小非线性价格影响的渐近性：对

在我们的框架中，这种相称性不成立，我们不能采用这种方法。第二种方法是展示一个可容许控制，其性能给出了所需的界。这是我们在第3.3节中处理的示例中使用的。然而，我们的任务在技术上是由控制容许条件和电力公用事业仅为积极消费定义的事实所决定的。在对校正方程的解进行假设之前，我们定义了以下类别的函数。定义3.1。我们称Cm为C1，2，2，2的子集[0，T]×R++（R++）d×Rd，R+包含函数χ，在初始值ξ处具有以下增长率∈研发部1 + |ξ|-（+m）（|χ|+|χw |+|χs |+|χww |+|χws |+|χss |+|χξξ|）（t、w、s、ξ）+supξ∈研发部1 + |ξ|-m（|χξ|+|χwξ|+|χsξ|）（t，w，s，ξ）6C（t，w，s），（3.11），其中C是一个连续函数，使得（w，s）7→ 支持∈[0，T]C（T，w，s）是局部有界的。假设3。2（关于修正方程的假设）。（i） 第一个校正方程（3.6）允许一个解（a，)a：（t、w、s）∈ [0，T]×R++×Rd++7→ R+， : （t，w，s，ξ）∈ [0，T]×R++×Rd++×Rd7→ R+。这两个函数分别在C（[0，T]×R++×Rd++，R+）和CMC中。功能 真是这样（t，w，s，ξ）>0，在[0，t]×R++×Rd++×（Rd \\{0}）和（t，w，s，0）=ξ（t，w，s，0）=0（t，w，s）∈ [0，T]×R++×Rd++。（ii）存在一类函数f comp，使得对于所有u∈ Fcomp（分别为u∈ Fcomp）粘度（3.7）的亚溶液（分别为上溶液），U（T，w，s）6u（T，w，s）表示所有（w，s）∈ R*+×R*+d、 一个hasu（t，w，s）6u（t，w，s）用于所有（t，w，s）∈ D、 （iii）u*和u*（3.9）和（3.10）中的定义属于Fcomp。备注3.3。（i） 请注意，功能u*和u*实际上，仅在域D内定义，然后扩展到DTby上半连续和下半连续。

我们在命题6.3中证明了这个扩张是0。（ii）还要注意，我们仅假设第二个修正方程的比较，我们的主要定理3.1通过Perron方法提供了该偏微分方程解的存在性。（iii）[30]的结果表明，第一个校正方程确实具有唯一的解决方案（t，w，s，0）=ξ（t，w，s，0）=0，当ξ6=0时，（t，w，s，ξ）>0。此外 和ξ可使用[30，命题4.2]和[7，命题3.4]获得。我们在第3.3节详细研究了校正方程，并给出了ξξ需要索赔 ∈ CMF为我们的主要示例。我们还提供了 在一些自然模型中。3.2主要结果见表3.1。在假设2.1、2.2、2.3、3.1和3.2下，存在唯一的粘度溶液U∈ F第二修正方程（3.7）和所有（t、w、s）的比较∈ 我们对值函数Vε进行了如下展开：Vε（t，w，s，h（t，w，s））=V（t，w，s）- ε2m*u（t，w，s）+o（ε2m*), （3.12）其中m*=3米-在证明了必要的中间结果之后，第6节给出了该定理的证明。备注3.4。（i） 事实上，对我们的证明进行更详细的分析表明，对于所有（t，w，s）∈ D，存在h（t，w，s）的邻域（取决于ε），使得Vε（t，w，s，h）的展开式与定理3.1中的Vε（t，w，s，h）的展开式相同，适用于该邻域中的任何h。（ii）项a是第二修正方程（3.7）的源项。

该方程为线性方程，其解为（3.12）中的一阶效用损失，函数a控制摩擦引起的一阶效用损失，我们有Feynman-Kac表示u（t，w，s）=EZTta（r、Wr、Sr）drWt=w，St=s.（iii）在Guasoni和Weber在[25]和Cay\'e、Herdegen和Muhle Karbe在[14]中研究的一维情况下，其校正方程简化为普通微分方程。I tssolution是一个由函数和常数组成的耦合，它同样给出了作为无摩擦优化器位移函数的交易速度和由摩擦引起的领先阶效用损失。（iv）由于我们模型中的小参数ε出现在方程（2.19）中的函数f内，它对应于[25]和[14]中的λα。然后，我们的扩展订单2m*等于这两篇文章中找到的扩展顺序p+2，其中参数p对应于交易成本函数同质性程度（在我们的模型中为α+1）。（v） 在极限情况下α→ 1（或相当于m→ 2） 我们正式恢复了[36]中发现的效用损失的顺序。此外，请注意，目标位置的位移按εm重新缩放*in（3.1）和as m→ 2这收敛到ε1/4，这是[36]中位移的重标度。我们可以通过进一步的研究表明，一系列渐近最优投资策略是由˙Hεt：=ε给出的-1Φx圣，-ε3m*Vw（t，Wεt，St）ξt、 Wεt，St，Hεt- htεm*= -Vw（t，Wεt，St）1.-mεm*Φx圣，ξt、 Wεt，St，Hεt- htεm*（3.13）和消耗率cεt：=-~U′（Vw（t，Wεt，St））=c（t，Wεt，St）。（3.14）为了陈述的简洁，我们不会证明这一说法。

事实上，尽管在适当的假设下，这一主张的证明可以类似于[14]，但在我们的案例中，由于允许性条件，需要在适当的打击时间修改候选策略，以避免卖空（类似于（7.8））。这又需要证明解的性质 超出本工作范围的第一个校正方程。当证明在交易区间结束之前停止策略的概率是渐进的很小时，技术难度也很大。这需要根据模型的原语另外停止其他过程，并获得重整化位移ξε（·，Wε·，S·，Hε·）的统一力矩存在性。这些技术问题与比例成本（见【1】、【29】）或非线性价格影响（见【14】）中出现的问题类似。3.3 Black-Scholes市场校正方程的因式分解考虑了具有常数系数的示例2.1中的默顿问题。让我们计算hπiWtSit，πjWtSjtidt=πiπjSitSjtdXk，l=1H0，ktSktH0，ltSltσk·σl- WtdXk=1SktH0，ktσk·σi+σj+Wt公司σi·σj=Wt公司πiπjSitSjtπσσπ - πσσ（ei+ej）+eiσσej公司=Wt公司πiπjSitSjt（u- r- Rσσei）Rσσ-1(u - r- Rσσej），其中{ei}i=1，。。。，dis Rd.T henchi的正则基，j（T，w，s）=wπiπjrsij（u- r- Rσσei）σσ-1(u - r- Rσσej）是出现在第一个主方程（3.6）中的函数（回忆（3.2））。表示为∑矩阵，其第i列为向量π-1(u - r- Rσσei）=πiRS（π- ei），对于1 6 i 6 d。我们现在陈述了关于g e计量布朗运动的校正方程因式分解的一个性质。3.1上的提案。假设无摩擦问题是示例2.1中描述的具有常数系数的默顿问题，并且定理3.1的假设成立。

还假设Φ（s，x）=￠Φxs型（3.15）和椭圆方程r | Sx|-~Φ( ~x（x））+2RTr~xx（x）∑Σ= λ、 对于x∈ Rd，（3.16）允许一种独特的解决方案, λ） s在Isifying▄（0）=0和supx∈Rd |（x） |+|xx（x）|（1+| x |）（+m）+| |x（x）|（1+| x |）m！<∞. （3.17）然后，第一个校正方程的解具有以下形式（t，w，s，ξ）=g（t）w1-R+4m*~ξ×sw1+m*, （3.18）a（t，w，s）=λg（t）w3mm*-R全部（t、w、s）∈ [0，T]×R++×Rd++。值函数的展开式是vε（t，w，s，h（t，w，s））=U（w）g（t）- λ(1 - R） （wε）2m*\'g（t）+ o（ε2m*), （3.19）其中函数g求解线性常微分方程g′（t）+g（t）-βg（t）-R+βR+βR+β（β- 1） 2R级(u - r）σσ-1(u - r）= -g（t），\'g（t）=0，（3.20）β=3mm*- R和具有显式表达式“g（t）=ZTtg（s）expZsth公司- βg（u）-R+βR+βR+β（β- 1） 2R级(u - r）σσ-1(u - r） iduds。（3.21）备注3.5。（i） 函数g在[0，T]上从上方和远离0的方向有界，因此，\'g.（ii）与[25，36，14]类似，效用损失与常数T成正比，我们表示λ，λ是展开式中唯一依赖于f表达式的项（\'g依赖于假定为固定的m>0）。为了理解相关函数和影响函数对λ的联合影响（以及因此的扩展），我们需要研究遍历型Hamilton-Jacobi-Bellman方程（3.16）。[15，30]研究了该方程。虽然我们无法显式计算, 方程式（3.16）充分描述了S和Φ如何影响膨胀的机理。我们在下面提供了一个|Φ选项，该选项允许将该偏微分方程的解进一步简化为一维函数之和。然而，一般来说，我们不期望该偏微分方程的显式解。（iii）（3.13）中渐近最优策略的交易方向由两个函数Φx和Φx的组合确定ξ.

向哪个方向ξ点由一个xdue到因式分解（3.18）。例如，如果向量场的构成x和Φx将指向原点。因此，要理解最优投资组合的方向如何取决于问题的各种数据，需要计算 使用【11】中的方法进行数值计算。证据利用无摩擦值的表达式（2.15）和Φ的因子化，FirstCorrector方程得出函数° 由（3.18）定义，这可能最终取决于ont，w，s解出PDERg（t）w1-R+2m*Sξ×sw1+m*- g（t）w-R+3mm*~Φ~x个ξ×sw1+m*+g（t）w-R+3mm*2RTr公司~xx号ξ×sw1+m*ΣΣ= a（t、w、s）。考虑到（3.16）的唯一性假设，我们有 不依赖于t，w，s和a（t，w，s）=λg（t）w-R+3mm*其中（▄, λ） 由（3.16）的解给出。对于第二个校正方程，考虑到a不依赖于s，我们得出以下Ansazi（t，w，s）=λw3mm*-R'g（t）=U（w）（1- R） λw2m*\'g（t）。（3.22）然后，将其插入（3.3），利用hin（2.17）获得的最佳值，我们获得了‘’g的线性化曲线（3.20）。此Riccati方程的解为（3.21）。4影响函数示例4.1影响函数的主要示例我们充分处理的主要示例是价格影响函数fj（s，θ）=κm- 1msjS（S（θ×S））（m-1)对于某些κ>0，（4.1）冲击函数（4.1）是否适用于给定市场是一个实证问题，超出了本文的范围。为了鼓励选择pric e impact函数，让我们看看m=2的情况。

对于这一参数的选择，我们可以回收Garleanu和Pedersen【22】（假设影响矩阵和市场的协方差成比例）和Guasoni和Weber【27】：θ·f（s，θ）=κ| s（θ×s）|=κ（θ×s）S（θ×S）=κdXj=1 |（S（θ×S））j |。（4.2）在Gar leanu&Pedersen[22]中，这种成本函数的基本原理源于我们投资者的对手所承担的风险：要接受持有这些资产直到他们找到最终买家，市场制造商必须得到风险补偿。这些做市商进入交易所需的（瞬时）成本函数数量。在[22]中，这个奖励是交易速度的二次方。我们在本节中介绍的价格影响函数为成本θ·f（s，θ）=κm选择α+1同质性- 1mdXj=1 |（S（θ×S））j | mm-1=κm- 1mdXj=1 |（S（θ×S））j | 1+α。选择（4.1）的第二个也是最重要的原因是，对于冲击函数的选择，第一个修正方程的解可以写成一维函数的和。我们利用解的这个性质，得到了 并表明这是假设3.2所需的Cmas。实际上，对于f的选择，Φ是Φ（s，x）：=supθ∈Rd（x·θ- κm- 1mdXj=1 |（S（θ×S））j | mm-1） =mκm-1dXj=1S-1.xs型jm、 （4.3）其中xs型代表xs。。。，xdsd公司Φ的形式与（3.15）相同。因此，定义Φ（x）=mκm-1dXj=1S-1.x个jm（4.4）我们可以使用命题3.1来获得第一个校正方程的第一个因式分解。然后，我们展示了（4.4）允许我们编写 定义为解（3.16）为一维函数之和。（4.1）中f的形式也符合[38，示例3.1]，其中直接为FirstCorrector方程假设了一种形式。

我们在第4.2小节中提供了影响函数的其他示例，并提到了这些问题需要何种类型的估计。对于一般设置，对 假设3.2的必要性被认为是正确的，但他们的证明远远超出了本文的范围，需要自己的证明。因此，我们选择仅为（4.1）o演示主要结果。4.1.1主要示例的校正方程对于示例（4.1），为了简化（3.16）中的术语r | Sx |中的相关关系结构的影响，我们将ansatz（3.18）略微更改为（t，w，s，ξ）=g（t）w1-R+4m*~S（ξ×S）w1+m*.然后，（3.1 6）变为dxj=1Rxj公司-mκ1-m |xj（x）| m+2RTr公司~xx（x）（∑S）∑S= λ（4.5）我们将用, 这是ODE的解决方案)′′（x） =-x+λm+m-m（m- 1)1-m |（)′（x） | m，用于x∈ R、 和▄（0）=0，（4.6），其中λm>0是唯一常数，使得limx→±∞( ~)′（x） | x | 2/m=±m（m-1） m级-这种溶液的存在可以通过两种不同的方法来提供。我们可以注意到，该方程实际上（4.5）被简化为一维，并使用[30]、[7]和[15]中发展的理论，或者，注意-( ~)′实际上等于[25，定理6]中定义的函数，λmis等于同一定理中定义的常数cα。我们现在提供▄的其他属性.引理4.1。函数√由ODE（4.6）定义的是凸的，具有有界的二阶导数。证据根据对称性，我们只显示+∞. 因为它是一个奇数递增函数的反导数（参见[14，引理3.1]），~是凸面的。因此，我们只需要（▄的上界)′′. 二阶导数是一阶导数的函数，m>2，我们得到是连续可区分的四倍。~次二次方的极限（)′′at-in-finity不能是in-finity。

因此，存在M>0和yn↑ ∞ 如此（）)′′（yn）6 M.假设)′′isnot bounded，意思是存在xn→ ∞ 这样（)′′（xn）↑ ∞ 和（）)′′（xn）>M。因此，对于所有xn，存在ym（n）和ym（n），使得ym（n）6 xn6 ym（n）。请注意（）)′′在[ym（n），ym（n）]上有一个loc almaximum。表示此局部最大值，并注意ym（n）<xn<ym（n）和′′′（￠xn）=0。我们对（4.6）进行两次微分，以获得局部最大值xnof（）)′′, 我们有0>（）)′′′′（x） =-2+C |（)′（xn）| m-2|( ~)′′（xn）|，对于仅依赖于m的常数C。因此，|（|)′（xn）| m-2|( ~)′′（xn）C)′对于一些足够大的n，m>2给出了假设)′′（xn）>未纠正。我们的结论是)′′是有界的。请注意，重复该过程，用▄xn▄替换yn▄，我们可以证明（▄)′′在单位收敛到0。备注4.1。引理4.1的结果实际上比本文其余部分的分析所需的结果更强。为了证明定理3.1，Cm类（参见定义3.1）中定义的生长条件已经足够，即（4.9）中所述的生长条件。现在，我们给出了简化的第一修正方程（4.5）的适定性的以下引理。引理4.2。前提是（∑S）（∑S）都是正的，存在唯一解，表示为（λ，）), 满足（4.5）的要求(0) = 0, ~ > 0和lim inf | x|→∞（x） >0。此解决方案由▄给出（x） =Pdj=1βj▄（γjxj），其中▄是（4.6）和γj的解=mκ（m- 1)m级-1R3m-1（∑S）（S）mjj！m级*,βj=2-4米*（∑S）（∑S）4毫米*-1jjR公司-1.-4米*κ（m- 1） m级4（米-1） m级*,λ=λmdXj=1R2γj.（4.7），此处λmis也在（4.6）中确定。

此外，▄和▄ 是C，凸且满足极限和边界| x|→∞~（x） | x | 1+m=m（m+2）（m- 1)1-m、 （4.8）（1+| x |）+mC- C 6°（x） 6 C（1+| x |）+m，（4.9）和supi∈{1，…，d}，x∈研发部~xi（x）xi▄（十）+~xi（x）| x|+~xi（x）1+| x | m< ∞, （4.10）其中C为正常数。证据通过验证，我们可以看到给定函数解出了PDE（4.5）。由于该偏微分方程的解是唯一的（这是[30，定理4.14]的结果），我们的假设是（4.5）的解。对于极限，让η>0任意小。根据[25]，存在xη>0，因此对于所有x>xηi轨道m（m- 1)1-m级- ηxm6（yen)′（x） 6m（m- 1)1-m+ηxm。（4.11）然后在0和x之间积分，对于x>xη，我们得到，C-η+m（m- 1)1-m级- η毫米+2x1+m6▄（x） 6 C+η+m（m- 1)1-m+ηmm+2x1+m，其中C±η=Rxη（）)′（y） dy公司-m（m-1)1-m±ηmm+2x1+mη。由于η是任意的，我们得到了在+∞. 其生长行为的原因-∞ 完全一样。Nowtake x=（x，…，xd）∈ Sd和r>0。我们有（rx）r1+m=dXi=1βj▄（γjrxj）r1+m，（4.12），然后，使用, 我们获得LIMR→∞~（rx）r1+m=m（m+2）（m- 1)1-mdXi=1βj |γjxj | 1+m.（4.13）最后，（4.9）是（4.12），（4.11）和上述Sdas相同推理的结果。那么（4.10）是（℃）线性增长的结果)′[25，定理4]给出了0左右及其在单位的增长。我们在此总结价格影响函数（4.1）的结果。定理4.1。设u，σ，r为策略（2.17）不存在任何卖空和借贷，即对于所有1 6 i 6 d和Pdi=1πi<1，πi>0。还假设价格影响为（4.1）和0<R<1。然后是所有（t、w、s）∈ D、 值函数的下列展开式holdsvε（t，w，s，h（t，w，s））=U（w）g（t）- λ(1 - R） （wε）2m*\'g（t）+ o（ε2m*),式中，g由（2.18）给出，’g求解（3.20），λ由（4.7）给出。证据