小非线性价格影响的渐近性：对

我们相信这些计算会成功，但它们的篇幅和冗长不会给一篇已经相当技术性的文章带来更多的见解，而这些都留给勇敢的读者。最后，我们的结果，加上对初始财富的额外假设和对可用策略的限制，可用于通过效用差异确定衍生产品价格，并通过从投资者的最终消费中减去其最终收益（同时确保该数量保持非负）来确定相应的最优部分对冲策略。例如，参见【14】，其中考虑了具有最终财富预期效用的平滑和对流看跌期权的情况。本文的组织结构如下。我们在第2节中陈述了利益问题。然后，我们在第3节中陈述我们的主要结果。特别是在第3.3节中，我们对多维默顿问题的特殊情况进行了扩展，并提供了一个相当一般的影响函数类别。在第4节中，我们还提供了影响函数的明确表达式，该表达式满足了我们主要结果的假设，并且我们给出了本例中价值函数的扩展。在第5节中，我们陈述了余数估计，这是进行第6节粘度理论证明的主要估计。在附录中，我们证明了一个关于渐近最优控制状态变量和无摩擦目标之间距离的技术引理，该引理是检验我们示例的主要定理3.1的假设所必需的。在本节的其余部分，为了方便读者，我们将列出经常使用的符号。1.1符号对于光滑函数φ，φyde注意φ在y中的导数（我们保留符号yφ表示y）中任意组合的导数，φxy表示x和y的二阶导数。

我们用|·|表示向量或矩阵的欧几里德范数，sd表示对称矩阵集。对于确定性向量x，xidenotes表示其第i个分量，对于向量值过程（Xt），xit表示其第i个分量。我们还定义了集合D：{（t，w，s）∈ [0，T）×R++×Rd++}和DT：{（T，w，s）∈ {T}×R++×Rd++}其中我们写R++：=（0，∞). 在这篇文章中，我们研究了D上具有多项式增长的一般正常数或正连续函数，它可能从一条直线变化到下一条直线。对于向量x，y∈ Rd和α>0时，我们用x·y的循环积表示，x（α）=（符号（x）| x |α，符号（xd）| xd |α）, x |α|=（| x |α，…，| xd |α）andx×y=（xy，…，xdyd）.2模型2.1无摩擦的默顿问题Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P是一个过滤的概率空间。金融市场由利率为r（S）的amoney市场账户和股票组成。资产的动态如下所示：对于16j6d，Dsjt=Sjt（uj（St）dt+σj（St）·dBt），Sj=Sj，（2.1）dSt=Str（St）dt，S=S，其中B是d维布朗运动，r，ujare连续实值函数，σja连续向量值函数。我们还假设s 7→ sjuj（s）和s 7→ sjσj（s）areLipschitz连续，对于所有j=1。d、 我们用σ表示第j行为σj的d×d矩阵。此外，我们假设σσ是正定义。我们分别为r（St）、utforu（St）和σtforσ（St）写RTF。投资者在时间t选择消耗率ct>0和兔子数量Ht=（Ht，…，Hdt）持有股票。她的财富根据以下动态变化：dWt=（rtWt- ct）dt+dXj=1HjtSjt（ujt- rt）dt+dXi，j=1HjtSjtσji（St）dBit，（2.2）在向量表示法中，dWt=（rtWt- ct）dt+（Ht×St）·（ut- rt）dt+（Ht×St）TσtdBt，（2.3），其中为Rd的向量，每个成分nt为1。

目标是使消费的预期效用最大化。（t，w，s）的值函数∈ D∪ DTI，V（t，w，s）=sup（c，H）∈A（w）EZTtU（cr）dr+U（cT）Wt=w，St=s, （2.4）U（x）=x1-R/（1）- R） ，R>0，R 6=1是效用函数，Ai是一组可接受的策略（即每项资产的份额和消费），这些策略保证财富过程的SDE有一个连续的解决方案，并且对于所有t>0和cT6 Wt，Wt>0和ct>0。备注2.1。（i） 请注意，虽然财富动态中出现了STA，但我们可以通过将投资于HtSt股票的num'ERAIR单位金额作为控制来轻松消除它。在这里，我们将股份数量视为控制权，以便与下一节介绍的摩擦案例更为相似。（ii）还请注意，与经典问题不同，最终的消费是受控的。作出这种选择是为了使无摩擦问题和摩擦问题（2.22）具有相同的结构。请注意，利率以及价格的漂移和波动可能取决于时间和多维因素过程。这篇文章的所有分析都经过了。为了便于阅读和简化符号，我们选择省略它们。然而，我们显然具有与经典默顿问题相同的值，因为这里的最优控制是cT=WT，就像经典默顿问题一样。在某些假设下（例如。

Hamilton-Jacobi-Bellman方程正则解的存在性和（2.4）的最优策略可以证明，无摩擦值函数V满足所有（t，w，s）的Hamilton-Jacobi-Bellman方程∈ DG（V）（t、w、s）：=- 电视- supc{U（c）- Vwc}- LsV公司- Vwrw（2.5）- suph（VwdXj=1hjsj（uj（s））- r） +dXi，j=1Vwsisihjsjσi（s）·σj（s）+VwwdXj=1hjsjσj（s）)= 0，V（T，w，s）=U（w），（2.6），其中LSI是与s相关的最小生成器，且上述上确界由h（T，w，s）逐点获得：=arg maxh∈Rd（Vw（t，w，s）dXj=1hjsj（uj（s）- r（s））+dXi，j=1Vwsi（t，w，s）sihjsjσi（s）·σj（s）+Vww（t，w，s）dXj=1hjsjσj（s）). （2.7）然后hs满足所有（t、w、s）的一阶条件∈ DVwsj公司uj- r+dXi=1VWSISJσi（s）·σj（s）+VwwdXi=1hisisjσi（s）·σj（s）=0，对于所有16j6d。（2.8）对于t>0，我们另外定义了Ht=h（t，Wt，St）。表示byeU（y）：=supx{U（x）- xy}=R1- Ry公司-1.-RR，当y＞0（2.9）时，U的凸对偶和最优消费率c（t，w，s）：=-~U′（Vw（t，w，s））。（2.10）最后，定义（t、w、s）7→ ch（t，w，s）函数t、 Wt，St=dh类t、 Wt，Stdt公司∈ Sd（2.11）是Ht公司t型∈[0，T]。假设2.1。我们对无摩擦问题作如下假设。（i） V、c、兔子C1、2、2（D∪ DT）函数，且chis连续且在D上为正∪ DT。（ii）该策略不允许卖空、借贷或任何资产的零头寸：h×sw∈ （0，1）dandxi=1sihiw<1。（2.12）（iii）我们在D上的Vw>0和Vww<0∪ DT。备注2.2。（i） 如【25】所述，禁止卖空和借贷进行投资，以避免在市场冲击面前破产。

事实上，在存在价格影响的情况下，投资者可能无法在市场下跌的情况下足够快地清算其空头头寸或过度投资的投资组合，并可能面临破产，这是幂效用函数所不允许的。（ii）然而，与[25]不同，在（2.12）中，由于技术原因，我们假设该策略严格属于单纯形的内部：有必要确保我们的候选人策略在所处理的示例中的可接受性；详见第7.1节和第7.3节。通过这些假设和符号，我们可以将方程（2.5）改写为0=-电视-U（Vw）- LsV公司- Vwrw（2.13）- Vw（h×s）·（u- r）-dXi，j=1Vwsisihj（t，w，s）sjσj·σi-VwwdXj=1hj（t，w，s）sjσj= 0.示例2.1。在整篇文章中，我们将说明几何布朗运动作为多维价格过程和具有风险厌恶的投资者的结果∈ (0, 1). 这意味着我们取u，σ和r常数，这样σσ为正定义，表示=σσT1/2. （2.14）在这种情况下，可以通过验证（使用以下ansatz方程（2.8）和（2.13））表明，值函数的形式为v（t，w，s）=g（t）U（w），（2.15）c（t，w，s）=g（t）-Rw，（2.16）高（t、w、s）=πws。。。，πdwsd, π=R时-1.σσ-1(u - r） ，（2.17），其中g（t）=1 + (ν - 1） e类-ν（T-t） νR（2.18）满意度g（T）=1且ν=（R- 1)rR+（u-r）(σσ)-1(u-r） 2R级6= 0.假设2.1意味着我们需要πi（t）=πi>0，对于所有i=1。d和Pdi=1πi<1。备注2.3。注意，函数g在[0，T]上有界且远离0。2.2具有价格影响的默顿问题使金融市场与无摩擦情况下的市场相同，但执行价格可能不同于基本价格。

更准确地说，我们考虑一个临时价格影响模型，eSjt=Sjt+fj（St，εθt），（2.19），其中θt=˙hT是交易率，ε是一个小参数，（fj）是一系列满足以下假设2.2的函数。我们还定义了凸共轭Φ（s，.）在存在价格影响的情况下，只有勒贝格测度绝对连续的策略才是最优的：内部变化导致立即破产。函数θ7→ θ·f（s，θ）in RdbyΦ（s，x）：=supθ∈研发部x·θ-dXj=1θjfj（s，θ）, （2.20）在此基础上，f c的假设2.2可以等效公式化。假设2.2。函数f在其两个变量中都是连续的，在θ中连续可微，且α度为正齐次∈ （0，1）和θ中的奇数。此外，我们假设∈ （R++）d，函数θ7→ θ·f（s，θ）是严格凸的（然后也是α+1次齐次的）。Φ在两个变量中都是连续的，在x中是连续可微的。Φ是x中m＞2次的凸正齐次函数，Φx是x中的导数，是m次齐次的奇函数- 1，其中m=1+α>2。在第3.3节中，我们提供了满足此假设的影响函数的示例。备注2.4。（i） 常数α∈ （0，1）（或对于后来的偏微分方程结果，等效且更方便的是，常数m=1+α>2）在我们的研究中至关重要。它将市场影响的规模表示为交易率的函数。We fixα∈ （0，1）（因此m>2）和定义*=αα+3=3m-2.（ii）注意，函数f是瞬时交易成本函数θ→ θ·f（s，θ）是n，在α+1=mm阶的负、凸和正齐次上-1.∈ （1，2）：这是次二次交易成本的D维版本，如【25】和【14】所示，其中市场由单个风险资产和银行账户组成。

Dolinsky和Soner在[18]中已经在离散时间摩擦市场中确定了双摩擦Φ的重要性，Guasoni和R'asonyi在[24]中使用了双摩擦Φ来描述使用凸对偶的一维设置中非线性摩擦解决方案的优化器。有了这些摩擦，投资者的财富从t=0开始，按市值计算的财富为w，满足以下SDE（初始条件为wε=w），即[0，t]dWεt=（rtWεt- ct）dt+dXj=1HjtSjt[（ujt- rt）dt+σjt·dBt]- θjtfj（St，εθt）dt. （2.21）对应于这个新控制问题的值函数是vε：（t，w，s，h）∈ D×Rd7→ sup（c，θ）∈Aε（w）EZTtU（cr）dr+U（cT）Wt=w，Ht=h，St=s, （2.22）式中（c，θ）∈ Aεif Wεs-对于所有s，Pdi=1HisSis>0、His>0和cs>0∈ [t，t）和if cTWεt-Pdi=1 Hitsit。备注2.5。我们注意到，在我们的框架中，总财富w代表投资组合的无摩擦清算价值，其中h是每项资产所持股份数量的向量，w-Pdi=1代表代理人持有的现金。换句话说，Wε代表投资者的“按市值计价”财富。这是交易速度中交易成本的同质化程度，在【14】中称为p的参数，关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为- tVε- supc{U（c）- Vεwc}- LsVε- Vεwrw- supθVεhθ- VεwdXj=1θjtfj（s，εθt）(2.23)- VεwdXj=1hjsj（uj- r）-dXi，j=1Vεwsisihjsjσj·σi-VεwwdXj=1hjsjσj= 优化r c和θ，并利用f和Φ的均匀性，我们重写Hamilton-JacobiBellman方程（2.23）为0=Gε（Vε）（t，w，s，h）：=-tVε-U（Vεw）- LsVε- Vεwrw-（Vεw）1-mεΦ（s，Vεh）（2.24）- VεwdXj=1hjsj（uj- r）-dXi，j=1Vεwsisihjsjσj·σi-VεwwdXj=1hjsjσj.我们对摩擦值函数作出以下假设。假设2.3（摩擦值函数的特征）。

对于ε>0，值函数Vε是局部有界的，并且是Hamilton-Jacobi-Bellman方程的（可能不连续）粘度解Gε（Vε）（t，w，s，h）=0（t，w，s，h）∈ D×RdVε（T，w，s，h）=U（w-Pdi=1hjsj）（w、s、h）∈ R++×Rd++×Rd，（2.25），其中Gε在（2.24）中定义。3主要结果3.1质量的校正方程动机。我们假设Vε（t，w，s，h）=V（t，w，s）形式的摩擦问题的值函数的渐近展开- ε2m*u（t、w、s）- ε4m*t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*,对于某些函数u和 满足要确定的可积性和增长条件，其中 是“快速变量”ξε（t，w，s，h）=h- h（t，w，s）εm*. （3.1）在HJB方程（2.24）中引入该ansatz，我们得到（回想一下，Vsaties（2.13）和Φ是m阶齐次的）Gε（Vε）（t，w，s，h）=ε2m*Et、 w，s，ξε，ε3m*-1+2m*m级ξ（t，w，s，ξε），ξξ（t，w，s，ξε）+ Et、 w、s、ut、uw、us、uww、uws、uss+ Rε（t，w，s，h，Vε），其中函数E和E定义如下（t，w，s，ξ，p，X）：=-VwwdXj=1ξjsjσj- |Vw | 1-mΦ（s，p）+TrchX公司, （3.2）E（t，w，s，x，p，q，Xww，Xws，Xss）：=t（t，w，s，p，Xww，Xws；h（t，s，w））+x+（q×s）·u（s）+rwp+dXi，j=1（σσσ)i、 jsisj（Xss）i，j+~U′（Vw）p，（3.3），我们表示t（t，w，s，p，Xww，Xws；h）：=p（h×s）·（u）- r） +（Xws×s×h）TσσTs（3.4）+Xww（h×s）TσσT（h×s）和ch（T，w，s）是（2.11）中定义的无摩擦策略的二次变化。比例因子m的值*=3米-事实上，这是唯一允许我们索赔ε3m的选择*-1+2m*m=1，膨胀率sgε（Vε）（t，w，s，h）=ε2m*Et、 w，s，ξε，ξ（t，w，s，ξε），ξξ（t，w，s，ξε）+ Et、 w、s、ut、uw、us、uww、uws、uss+ Rε（t，w，s，h，Vε），（3.5）在u和 收敛到0为ε↓ 在h（t，w，s）的高边界中，h为0。

详见第5节，尤其是Pro位置5.1。因此，对于正确的扩展，我们期望 求出所谓的第一和第二修正方程，E（t，w，s，ξ，ξ（t，w，s，ξ），ξξ（t，w，s，ξ））=a（t，w，s）on（D）∪ DT）×Rd，（3.6）（t，w，s，0）=D上的0-E（t，w，s，ut，uw，us，uww，uws，uss）=a（t，w，s）o n（D∪ DT），（3.7）u（T，w，s）=R上的0*+×R*+d、 备注3.1。（i） 对于第一个校正方程（3.6），三元组（t、w、s）∈ D实际上只是方程的一个参数。方程的变量为ξ∈ [7、15、30]中的RDA。第一个校正方程的解是一对(, a） 。第一修正方程解的项a是第二修正方程中的源项。（ii）第一修正方程（3.6）是小交易成本渐近理论研究中最重要的对象。实际上，当事务参数ε变为0时，与无摩擦位置的偏差ξεt：=Hεt-Htεm*在0左右振荡更快。第一个修正方程表示代理需要在将该数量保持在接近0和她必须支付的交易成本之间进行权衡。在FIRS t校正方程中，位移ξε引起的效用损失来自以下项-Vww（t、w、s）Pdj=1ξjsjσj> 0，交易成本来自术语（Vw（t，w，s））1-mΦ（s，p）。代理解决的局部控制问题是一个有限的地平线问题，类似于[30，方程（2.2）]。这源于不同变量演变的时间尺度的不同。

实际上，当ε变为0时，变量ξε（均匀化理论中所谓的快速变量）的振荡速度越来越快，可以看到任何微小的间隔（在右标度下），而变量（t，w，s）在如此小的间隔上几乎保持不变。（iii）我们还注意到，在系统（3.6）-（3.7）中，唯一的非线性是对偶摩擦函数Φ，它被认为是m>2次的凸正齐次函数。Φ也是该系统中唯一依赖于价格影响函数f的术语。我们现在陈述了主要结果所需的不同假设。假设3.1（重整化效用损失的局部边界）。适用于所有（t、w、s）∈ D存在ε>0和r>0这样的t hatsupV（t、w、s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*:（t、w、s、h）- （t，w，s，h（t，w，s））6r，ε∈ (0, ε)< ∞,（3.8）其中m*=3米-2见备注2.4。假设3.1，足以确定半极限*（t，w，s）：=lim supε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （3.9）u*（t，w，s）：=lim infε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε，*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （3.10）用于第6节，其中Vε*和Vε，*分别是Vε的下半连续包络和上半连续包络。它们使我们能够描述与无摩擦值的偏差，并证明下面所述的主要定理。备注3.2。该假设是摩擦值Vε的一个性质，事实上是最难检验的假设。有两种方法可以检验假设。与[38]类似，可以尝试展示摩擦PDE（2.23）的光滑亚解，该亚解接近无摩擦值函数V。然而，在[38]中，由于无摩擦值与第二修正方程u的解之间的比例关系，该方法有效。