小非线性价格影响的渐近性：对

次二次交易成本），任何固定头寸都可以足够快地清算，以便在领先顺序（O（ε2m））下可以忽略效用损失*)) 由于持有“错误”数量的股份（Hεt6=Ht，或H 6=H（t，w，s））而受到的惩罚严格高于2m*, 与[36]中的不同，作者必须引入调整后的半极限。最后回顾函数ξε的定义：（t，w，s，h）∈ D×Rd7→h类-h（t，w，s）εm*, 给出了无摩擦最优策略y.6.2的重整化位移，以及6.1上的上解性质Propositi。在定理3.1的假设下，函数u*是第二修正方程（3.7）的下半连续粘度上解。证据该证明基于[36，命题6.4的证明]。函数的定义决定了函数的下半连续性。现在我们展示粘度特性。Let（t、w、s）∈ Dandφ∈ C1,2,2（D），使得（t，w，s）是u的stric t极小值*- D上的φ和u*（t、w、s）-φ（t，w，s）=0。然后，对于所有（t、w、s）∈ D \\{（t，w，s）}以下保持s0=u*（t、w、s）- φ（t，w，s）<u*（t、w、s）- φ（t，w，s）。（6.5）我们想证明φ是第二修正方程（3.7）在点（t，w，s）的上解，换句话说-E（t，w，s，φt，φw，φs，φww，φws，φss）>a（t，w，s）。由u定义*（见（6.1）），存在一个family（tε，wε，sε，hε）∈ D×Rd使得（tε，wε，sε，hε）→ （t，w，s，h（t，w，s）），uε*（tε，wε，sε，hε）→ u*（t，w，s）和pε：=uε*（tε，wε，sε，hε）- φ（tε，wε，sε）→ 0为ε→ 0。（6.6）根据假设2。1（hon D的连续性）和3.2（hon D的连续性 在D×Rd）上，存在ε，r>0，使得'Br（t，w，s） D和所有ε∈ （0，ε）我们有|（tε，wε，sε）- （t，w，s）| 6r，| pε| 61，（6.7）设M=sup{φ（t，w，s）|（t，w，s）∈\'Br（t，w，s）}+4，注意（6.7）表示|（t，w，s）-（tε，wε，sε）|>（r/2）开Br（t，w，s），对于0<ε6ε。

现在，我们可以选择c>0，这样c（r/2）>M，并通过Дε（t，w，s）=φ（t，w，s）+pε定义Дε和Дon Rd+2b- c |（t、w、s）- （tε，wε，sε）|，（6.8）Д（t，w，s）=φ（t，w，s）- c |（t、w、s）- （t、w、s）|。如果选择这些常数，（6.7）给出了Дε（t，w，s）6- 3开Br（t，w，s）表示所有ε∈ （0，ε），（6.9），通过对pε的定义（见（6.6）），我们得到- uε*（tε，wε，sε，hε）+Дε（tε，wε，sε）=0。（6.10）声称：在Rd中存在一个0附近的邻域，并且C>0常数，在这个邻域上SUP（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）（t，w，s，ξ）6 C |ξ|和sup（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）（t，w，s，ξ）ξ6 C |ξ|。这源于第一个校正方程和以下事实：（t，w，s，0）=ξ（t，w，s，0）=0表示任何（t，w，s）。 是第一个校正方程（3.6）的解。然后它适用于所有（t、w、s）∈\'Br（t，w，s）thatTr（ch（t，w，s）ξξ（t，w，s，0））=a（t，w，s）。对称非n-负矩阵的不等式| X | 6Tr（X），事实是 是凸的、chis正定义和连续的（参见假设2.1），以及收益率的连续性和正性|ξξ（t，w，s，ξ）| 6C在Rd中0的邻域上，对于某些C>0常数。

那么，在Br（t，w，s）×N上我们有|ξ（t，w，s，ξ）| 6C |ξ|和|（t，w，s，ξ）| 6C |ξ|，该权利要求被证明。对于固定（t，w，s）和r，E，ch，a，Φx和σ的连续性，φ和,（m- 1） -Φx的均匀性，事实上 ∈ Cmby假设3.2和最后一个声明允许我们定义以下正有限常数：K：=1+sup|E（t，w，s，Дt，Дw，Дs，Дww，Дws，Дss）|：（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）, （6.11）K∑：=1+supnch（t、w、s）: （t、w、s）∈\'Br（t，w，s）o，（6.12）K:=1+sup|ξ（·，ξ）| |ξ| m+|ξξ(·, ξ)| + |（·，ξ）| |ξ| 1+m（t，w，s）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），|ξ|>1+ supn公司|（t，w，s，ξ）| |ξ| 1+m+|ξξ（t，w，s，ξ）|：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），|ξ| 61o，（6.13）K\':= 1+sup|ξ(·, ξ)||ξ|+|ξξ(·, ξ)| + |(·, ξ)||ξ|（t，w，s）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），|ξ|>1+ 啜饮|(·, ξ)||ξ|+|ξ(·, ξ)||ξ|+ |ξξ(·, ξ)|（t，w，s）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s）|ξ| 61, （6.14）Ka：=1+sup|a（t，w，s）；：（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）, （6.15）KΦx：=1+sup|Φx（s，x）| 1∨ |x | m-1： | s- s | 6 r，x∈ 研发部, （6.16）γv：=inf-wwV（t、w、s）dXj=1ξjsjσj（s）: （t、w、s）∈\'Br（t，w，s），|ξ|=1. （6.17）此外，通过假设2.1，它认为D上的Vw>0，因此存在ι>0，使得ι6Vw（t，w，s）6ι对于所有（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）。（6.18）与[38，引理A.2]和[36，命题6.4的证明]类似，存在C*> 0使得对于所有η>0，我们可以找到函数hη∈ C∞（Rd，[0，1]），且aη>1，满足“B（0）”上的hη=1，在“Bcaη（0）”上的hη=0，| hηx（x）|∧ |xhηx（x）| 6η和| x | hηxx | 6C*. （6.19）将δ和η固定在（0，1）中。注意，由于不等式1+m<2，存在ξ*,δ> 0，（ξ）的唯一正解*,δ)=2(ξ*,δ） 1+mdK∑K+ 2（Ka+K）+dK∑K′（C）*+ 2)(1 - (1 - δ） m）γv。

（6.20）同时定义函数shη，δ：ξ∈ Rd7→ (1 - δ） hηξξ*,δ, （6.21）ψε，η，δ（t，w，s，h）：=V（t，w，s）- ε2m*Дε（t，w，s）- ε4m*(Hη，δ）（t，w，s，ξε），Iε，η，δ（t，w，s，H）：=Vε，*（t、w、s、h）- ψε，η，δ（t，w，s，h）ε2m*,为了写作的简洁，我们稍微滥用了no-tation(Hη，δ）（t，w，s，ξε）对于Hη，δ（ξε（t，w，s，H））（t，w，s，ξε（t，w，s，h））对于（t，w，s，h）∈ D×Rd.我们想在这里使用ψε，η，δ作为vε粘性次固结特性的测试函数，*（见假设2.3和方程式（2.24））。为此，我们需要函数Vε的内部最大化子，*-ψε，η，δ（或相当于Iε，η，δ）在‘（t，w，s）×Rd中。然而，Iε，η，δ的上确界可能不存在或不存在因此，我们需要修改ψε，η，δ。首先，请注意，对于族元素（tε，wε，sε，hε）0<ε6ε，我们有（6.10）和 （见假设3.2）Iε、η、δ（tε、wε、sε、hε）>0。（6.22）定义εη，δ：=ε∧ 1.∧ （K）（aηξ*,δ） 1+米）-1/（2米）*), 与[36，命题6.4的证明]类似，对于所有0<ε6εη，δIε，η，δ（t，w，s，h）6Дε（t，w，s）+ε2m，我们在“Br（t，w，s）×rd上获得以下不等式*|ξε（t，w，s，h）| 1+m （t，w，s，ξε（t，w，s，h））|ξε（t，w，s，h）| 1+m{|ξε（t，w，s，h）| 6aηξ*,δ} 6Дε（t，w，s）+ε2m*（aηξ*,δ） 1+mK6Дε（t，w，s）+1，（6.23），其中第一个不等式由（6.4）和估计值06Hη、δ（ξ）6{|ξ| 6aηξ确定*,δ} 第二个是K的定义（6.13）以及εη，δ的选择。由于（6.23）的右侧在0<ε6εη，δ的情况下均匀地围绕在Br（t，w，s）上，我们可以选择（^tε，η，δ，^wε，η，δ，^sε，η，δ，^hε，η，δ）∈ Br（t，w，s）×Rd使得iε，η，δ（^tε，η，δ，^wε，η，δ，^sε，η，δ，^hε，η，δ）>supBr（t，w，s）×RdIε，η，δ（t，w，s，h）-ε2m*. （6.24）我们现在在h方向上对ψε，η，δ进行惩罚∈ C（R+，[0，1]）是满足某些C>0f（0）=1，f（x）=0的函数，对于| x |>106F61和| f′（x）| 6c | x |，在0的邻域中。

（6.25）然后，定义η的函数∈ (0, 1], δ ∈ （0，1）和ε∈ （0，εη，δ）(R)ψε，η，δ（t，w，s，h）=ψε，η，δ（t，w，s，h）- ε4m*f（| h-^hε，η，δ|），Iε，η，δ（t，w，s，h）=Vε，*（t、w、s、h）-ψε，η，δ（t，w，s，h）ε2m*=Iε，η，δ（t，w，s，h）+ε2m*f（| h-^hε，η，δ|），紧集qε，η，δ：={（t，w，s，h）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），| h-^hε，η，δ| 61}。索赔：存在（▄tε，η，δ，▄wε，η，δ，▄sε，η，δ，▄hε，η，δ）∈ Int（Qε，η，δ）V的最大值*,ε-ψε，η，δonBr（t，w，s）×Rd。该权利要求的证明类似于[36，命题6.4的证明]（步骤3）。由于f（0）=1，“Iε，η，δ”的定义导致“Iε，η，δ（^tε，η，δ，^wε，η，δ，^sε，η，δ，^hε，η，δ）=Iε，η，δ（^tε，η，δ，δ，^wε，η，δ，δ，^sε，η，δ，ε）+2m*.此外，在（\'Br（t，w，s）×Rd）\\Qε，η，δ上，它保持\'Iε，η，δ（t，w，s，h）=Iε，η，δ（t，w，s，h）。这与（6.24）一起给出了ssup'Br（t，w，s）×Rd\'Iε，η，δ（t，w，s，h）= supQε，η，δ\'Iε，η，δ（t，w，s，h）. （6.26）函数Iε，η，δ是半连续的，Qε，η，δ是紧致的，因此存在一个V的最大值（▄tε，η，δ，▄wε，η，δ，▄sε，η，δ，▄hε，η，δ）*,ε-Qε，η，δ上的ψε，η，δ。它也是“Br（t，w，s）×Rd上的最大值。现在，let（t，w，s，h）∈ \'Br（t，w，s）×Rd.然后，根据界限06f61，以及0<εη，δ6 1和两个不等式（6.9）和（6.23），我们得到了\'Iε，η，δ（t，w，s，h）6Iε，η，δ（t，w，s，h）+ε2m*6.- 2+ε2m*6.- 1.另一方面，在“Br（t，w，s）×Rd”的内部，对于族（tε，wε，sε，hε）0<ε6εη，δ，I的定义为（6.22），“Iε，η，δIε，η，δ（tε，wε，sε，hε）>Iε，η，δ（tε，wε，sε，hε）>0，因此最大值为e Br点。（t，w，s）×Rd，证明了该权利要求。因此，对于ε∈ （0，εη，δ），我们有一个C1,2,2,2（D×Rd，R）函数ψε，η，δ和一个Vε的局部严格极大值，*-ψε，η，δ表示（▄tε，η，δ，▄wε，η，δ，▄sε，η，δ，▄hε，η，δ）。由于Vε，*是（2.24）的一个子解，它保持sgε（|ψε，η，δ）（|tε，η，δ，|wε，η，δ，|sε，η，δ，|hε，η，δ）60。

（6.27）表示ε、 η，δ（t，w，s，ξ）=(Hη，δ）（t，w，s，ξ）+f（|εm*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）和￠ξε，η，δ：=ξε（￠tε，η，δ，￠wε，η，δ，￠sε，η，δ，￠hε，η，δ）ε，η，δ（在这种情况下，命题5.1i的函数ν为Дε，且不依赖于h）具有（6.27）屈服强度（|tε，η，δ，|wε，η，δ，δ，|sε，η，δ，Дεt，Дεs，Дεw，Дεsw，Дεww，Дεss）（6.28）+E（|tε，η，δ，δ，|wε，η，δ，|sε，η，ξ，εδ，~ε,η,δξ, ~ε、 η，Δξ）+Rε（|tε，η，δ，|wε，η，δ，|sε，η，δ，|hε，η，δ，|ψε，η，δ）ε2m*60、家庭tε，η，δ，~wε，η，δ，~sε，η，δ| ε ∈ (0, εη,δ], η ∈ (0, 1), δ ∈ (0 , 1)是有界的。对于固定η∈(0, 1), δ ∈ （0，1），由于选择了f和Hη，δ，命题5.1中权利要求（i）的假设成立（直到将ε>0减少为（tε，η，δ，wε，η，δ，sε，η，δ，Hε，η，δ）在（5.4）中定义的集合中），并且我们获得了C>0的存在，这可能取决于η，δ∈ （0，1），但不在ε>0上，以便| Rε（| tε，η，δ，| wε，η，δ，| sε，η，δ，| hε，η，δ，|ε2m*6C（1+|εm*~ξε,η,δ|). （6.29）索赔：Fixη∈ （0，1）和δ∈ （0，1），族{ξε，η，δ：ε∈ （0，εη，δ）}以Cξ为界。为了证实这一点，我们假设存在一个序列（εn）n∈确认limn→∞Иξεn，η，δ=∞ 带εn∈ （0，εη，δ）对于所有n∈ N和εN→ 0作为n→ ∞ （事实上，函数ξε是连续的tε，η，δ，~wε，η，δ，~sε，η，δ| ε ∈ (0, εη,δ], η ∈ (0, 1), δ ∈ (0, 1)有界且εn从0开始有界意味着{ξε，η，δ：ε∈ （0，εη，δ）}有界）。如果没有普遍性，我们可以假设序列（εn）正在减少。根据Hη的定义（6.21），δ认为对于（t，w，s），Hη，δ及其导数在（t，w，s，|ξεn，η，δ）处消失∈ Br（t，w，s）和n足够大（sayn>n）。

那么对于n>n，我们有εn，η，Δξ=ξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|），Дεn，η，Δξξ=ξξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）。此外，它适用于η∈ (0, 1), δ ∈ （0，1）和ε∈ (0 , εη,δ),ξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）=εm*f′（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|）Dεn，η，δ，ξξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）=ε2m*f′（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|）Dεn，η，δ（Dεn，η，δ）+ ε2m*f′（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|）Dεn，η，δ，其中εm*Dεn、η、δ和ε2m*Dε、η、δ是函数ξ的梯度和海森函数∈ Rd7→ |εm*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|（在上式中省略的点（t，w，s，ξ））。通过对f′的假设（见（6.25）），我们得到了（t，w，s，ξ）∈\'Br（t、w、s）×Rdξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）6εm*C和ξξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）6ε2m*Cf，（6.30），其中Cf是一个正常数，可独立于η、δ和ε进行选择。然后，根据Φ的m-均匀性（记住m>2）和曲线的线性，存在C′f>0这样的曲线-Vw（t、w、s）1.-mΦs、 εn，η，Δξ（t，w，s，ξ）+Tr公司ch（t，w，s）~εn，η，Δξξ（t，w，s，ξ6ε2m*C’fon’Br（t，w，s）×Rd.t这最终提供了E的估计值（见（3.2））E~tεn，η，δ，~wεn，η，δ，~sεn，η，δ，~ξεn，η，δ，~εn，η，Δξ，~εn，η，Δξξ(6.31)> -C′fε2m*-Vww（▄tεn，η，δ，▄wεn，η，δ，▄sεn，η，δ）dXj=1？ξεn，η，δj？sεn，η，δjσj（？sεn，η，δ）> -C′fε2m*+ γvИξεn，η，δ.注意，E（t，w，s，Дεt，Дεw，Дεs，Дεww，Дεws，Дεss）不依赖于ξ（或h），且ε的界值为？Br（t，w，s）∈ (0, 1).

因此，将（6.28）、（6.29）和（6.31）放在一起，我们得到了一些正常数Cγv~ξε,η,δ6C（1+|εm*Иξε，η，δ|），这与ξεn，η，δ到单位的收敛性相矛盾，而当n到∞.因此，该权利要求被证明是d，并且ε>0中存在一个子序列，使得tε，η，δ→~tη，δ，~wε，η，δ→ ~wη，δ，~sε，η，δ→ ~sη，δ，~hε，η，δ→~hη，δ=h（~tη，δ，~wη，δ，~sη，δ）和ξε（~tε，η，δ，~wε，η，δ，~sε，η，δ，~hε，η，δ）→~ξη,δ.利用这种收敛性，函数φ，（Дε）ε的连续性大于0，, Hη，δ，Vww，Vw，Φ，ch，Rε，ean，在其域上，（Дε）ε>0均匀收敛于？Br（t，w，s）到？asε→ 0，建议5.1的权利要求（iii）（请注意，（~tη，δ，~wη，δ，~sη，δ，~hη，δ）也在（5.4）中定义的集合中，因为我们取了ε→ （5.4）中集合元素序列的0，并将（6.28）的极限取为ε→ 0我们得到了不等式e（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ，▄ξη，δ，ξ(Hη，δ），ξξ(Hη，δ））（6.32）6- E（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ，Д，Дs，Дw，Дww，Дws，Дss）。我们还使用了估计值（6.30），得出如下结论：在Br（t，w，s）×BCξ（0），~εn，η，Δξ和εn，η，Δξξ一致收敛于ξ(Hη，δ）和ξξ(Hη，δ）分别为ε→ 0（式中，C|ξ限制族{ξε，η，δ：ε∈ （0，εη，δ）}之前的权利要求）。注意（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）∈\'Br（t、w、s）。直接计算ξξ（Hη，δ), hη导数的性质（6.19），K，K的定义, K′, （6.11）-（6.14）中的K∑，元素方程Tr（A）6 d | A |，不等式0<δ<1和（6.32）在点pη，δ处产生以下不等式：=（|tη，δ，|wη，δ，|sη，δ，|ξη，δ）-Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δ）- |Vw（￠tη，δ，￠wη，δ，￠sη，δ）| 1-mΦsη，δ，ξ(Hη，δ）（Pη，δ）6- E（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ，Дt，Дw，Дs，Дww，Дws，Дss）-Tr公司中国ξξ(Hη，δ）Pη，δ6K+dK∑K′C*+ 2ηK′+ K~ξη,δ1+米∨ 1..

（6.33）我们还将这一术语写成-Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δ）- （大众）1-mΦsη，δ，ξHη，δ+Hη，ΔξPη，δ= -Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δ）- （大众）1-mΦsη，δ，ξHη，δPη，δ+ （大众）1-m级Φsη，δ，ξHη，δ- Φsη，δ，ξHη，δ+Hη，ΔξPη，δ=: Iη，δ+Iη，δ。（6.34）我们的初界Iη，δ，Iη，δ>-Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δj）- （大众）1-m（1- δ） mΦ（·，ξ） （Pη，δ）=-(1 - (1 - δ） m）Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（sη，δj）- (1 - δ） m级Tr公司中国ξξ（Pη，δ）- a（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）> (1 - (1 - δ） m）γv~ξη,δ- (1 - δ） m级dK∑K~ξη,δ1+米∨ 1.+ 灵魂. （6.35）我们使用（Vw）1获得了第一个不等式-假设2.1中的mis为非负，假设2.2中的Φ为非负，均次于m，然后我们使用了满足以下条件的第一个校正方程（3.6）： 获得第二个等式和常数的定义（6.12）-（6.17），获得最后一个不等式。根据Φ的凸性和估计值（6.18），我们有（为了清楚起见，我们在接下来的两组共同计算中给出了函数的参数，它们取在点（~tη，δ，~wη，δ，~sη，δ，~ξη，δ））；Iη，δ| 6ιm-1.ΦxsξHη，δ+ΦxsξHη，δ+Hη，ΔξHη，Δξ6ιm-1(1 - δ） mKΦx1∨ |ξ| m-1+ 1 ∨ξhηИξη，Δξ*,δ!+|ξ*,δ| hηξИξη，δξ*,δ!m级-1.η|ξη，δ| 6ιm-1(1 - δ） m2CmKΦx1.∨ |ξ| m-1+ 1 ∨|ξ*,δ| hξИξη，δξ*,δ!m级-1.η|ξη，δ|，（6.36），其中第二个不等式由（6.19）、KΦx的定义（6.16）和m- 1Φx的均匀性。

对于第三个不等式，我们将Cm>1设为常数，使（a+b）m-16Cm（am-1+bm-1） 对于所有a，b>0，使用估计值06Hη，δ61。现在假设|Иξη，δ| 2/m>1，回忆一下K> 1，则| Iη，δ| 62ιm-1(1 - δ） mCmKΦx1∨ |ξ| m-1+ 1 ∨η|~ξη,δ|m级-1.η|ξη，δ| 62ιm-1(1 - δ） mCmKΦx1.∨K|ξη，δ| mm级-1+ 1 ∨K|ξη，δ| mm级-1.ηK|ξη，δ| m64ιm-1(1 - δ） mCmKΦxKmη|ξη，δ|，（6.37），其中第一个不等式源自hη的性质（见（6.19）），第二个不等式源自K的定义（6.13以及由|ξη，δ的假设得出的第三个d。因此，如果|Иξη，δ|>1，结合在一起（6.33），（6.34），（6.3 5）和（6.37），我们得到(1 - (1 - δ） m）γv- 4ιm-1(1 - δ） mCmKΦxKmη|~ξη,δ|(6.38)6(1 - δ） m级dK∑K~ξη,δ1+m+Ka+ K+dK∑K′C*+ 2ηK′+ K~ξη,δ1+米.设ηδ=（1-(1-δ） m）γv8ιm-1(1-δ） mCmKΦxKm, 对于η∈ (0, ηδ∧ 1） 我们有（1- (1 - δ） m）γvξη,δ(1 - (1 - δ） m）γv- 4ιm-1(1 - δ） mCmKΦxKmη|~ξη,δ|.因此，在假设|ξη，δ|>1和η的情况下∈ (0 , ηδ∧ 1） ，（6.38）导致~ξη,δ~ξη,δ1+mdK∑K+ 2（Ka+K）+dK∑K′（C）*+ 2)(1 - (1 - δ） m）γv。这表明，由于ξ的定义（6.20）*,δ表示所有η∈ (0, ηδ∨ 1),~ξη,δ以1为边界∨ξ*,δ.