小非线性价格影响的渐近性：对

请注意，从示例2.1中获得的闭式解和定理的假设来看，假设2.1已满足。（4.1）中冰冲击函数的定义符合假设2.2。通过引理4.2，假设3.2（i）得到满足。通过[10，推论5.6]的弱动态规划结果，假设2.3得到满足。现在，考虑到上述计算，为了使用我们的主要定理和建议3.1，我们需要证明假设3.1和假设3.2的最后三项得到满足，即：（i）定义包含（3.22）中定义的函数的s et f，并证明其具有假设3.2的性质，（ii）证明界限（3.8）。这是引理4.3和命题4.1的目标。备注4.2。（i） 与【25】和【14】类似，ut能力损失与相关ODE溶液中的一个常数成比例（这些文章中分别为cα或cα）。（ii）我们选择（4.1）的主要计算简化是，我们可以计算（4.7）中的λ，并获得（3.17）中的二阶导数估计，这是由于▄的一维因式分解 引理4.2中证明。在这种情况下λ，因此效用损失与κ2（m）成正比-1） m级*表示（4.1）中价格影响的大小。（iii）限制0<R<1是一个技术条件，需要获得附录中的界限（3.8）。在这种情况下，我们最终可以通过增加消费来轻松控制效用。（iv）在选择影响函数（4.1）的情况下，我们可以证明通过猜想渐近最优控制控制的状态具有特定的行为。事实上，我们可以证明，通过这种控制，向量SHεt的每个分量-htεm*表示与目标位置的偏差乘以S，在前导顺序上具有一维行为。

函数的因式分解 引理4.2中给出的结果也就不足为奇了。对于m=2的情况，在前导阶，每个分量的平均反转速度相等。因此，我们得到了在[25]意义下，任何方向都是主组合，并且渐近最优策略指向目标位置。然而，在m>2的情况下，一个简单的计算表明，尽管SHεt的每个分量-htεm*对于R>1，需要进行繁琐的估算，我们省略了这些估算，以免将已经复杂的分析淹没在更多的技术细节中。以前导顺序求解一维ODE，每个分量的局部平均反转速度可能会不同。因此，推测的渐近最优投资组合可能不会局部指向目标头寸。（v） 与[25，14]的一维框架不同，在一维框架中，展开的特征是唯一ODE（4.6）的解，该解不依赖于冲击函数，而仅依赖于α，在每个冲击函数的一般多维情况下，可能需要求解PDE。看看PDE（3.16）是否会允许对相当大类别的影响函数进行进一步简化，这将是一个有趣的问题。4.1.2验证主要示例MA 4.3的假设3.1和3.2。函数fcomp的类=（φ：D 7→ R:k>0：sup（t、w、s）∈D |φ（t，w，s）| 1+wk+w-k+Pdi=1（ski+s-ki）<∞)（4.14）在假设3.2中定义了比较性质。注意，如果函数φ∈ F满足了k>0的有界性假设，也满足了所有k′>k的有界性假设。这是因为supw>01+wk1+wk1+supw>01+w-k1+w-k′<∞.证据我们现在展示了Fcomp中粘度溶液的比较。

让你，你∈ f分别比较（3.7）的粘度下解和上解，使得R++×Rd++上的u（T，·）6u（T，·）。取k>0，使SUPj=1,2sup（t，w，s）∈D | uj（t，w，s）| 1+周+周-k+Pdi=1（ski+s-ki）<∞.直接计算表明l > 0足够大函数Γ：（t，w，s）7→ e-lt型1+w2k+w-2k+dXi=1s2ki+s-2ki是（3.7）的粘度上解。证明D上比较性质的论点是标准的变量双精度技术，如[37]中定理4.4.4和定理4.4.3的证明。根据Γ的定义，我们得到了所有δ>0，limw→0，w>0u（t，w，s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞,林西→0，si>0u（t，w，s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞, 对于1 6 i 6 d，limw→+∞u（t、w、s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞,林西→+∞u（t、w、s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞, 对于1 6 i 6 d.因此定义Φδ（t，t′，w，w′，s，s′）=u（t，w，s）- u（t′，w′，s′）- ΔΓ（t′，w′，s′）-2δ|t型- t′|+| w- w′|+| s- s′|,当δ＞0时，Φδ的最大值（tδ、t′δ、wδ、w′δ、sδ、s′δ）均存在。我们现在可以得出类似于定理4.4.4的结论。在[37]中。定理4.1证明的其余部分是检查假设3.1，并显示u*（6.1）中的定义由（4.14）中的定义构成，这在下面的命题4.1中得到了证明。4号提案。假设定理4.1的假设成立。然后，对于所有（t、w、s）∈ 存在ε>0和r>0这样的t hatsupV（t、w、s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*: （4.15）| t- t |+| w- w |+| s- s |+| h- h（t，w，s）| 6r，ε∈ (0, ε)< ∞,和u*（6.1）中定义的是Fcomp。附录中提供了非常技术性的（4.15）证明。4.2冲击功能的其他示例示例示例4.1。另一个可能的价格影响是fj（s，θ）=κjsmm-1jθj |θj | 2-毫米-1每项资产价格的影响取决于该资产的交易。

在这种情况下，Φ仅取决于比率的向量xs。。。，xdsd公司,Φ（s，x）=dXi=1（m- 1） m级-1mmκm-1i西四m=：￠Φxs型.与Black-Scholes市场中价格影响函数（4.1）的主要示例类似，在s中的标定允许使用命题3.1。如果S不是对角线，则该对（）, λ） 仍然有一个类似于（3.16）的方程，但它们不能表示为一维函数的和。我们无法显式计算λ。备注4.3。我们不能完全处理这个例子。实际上，目前，文献中没有关于▄二阶导数增长的估计 在（3.17）中。这些估算对于检查假设3.2和继续验证第7节的估算是必要的。然而，在适当的假设下，可以使用所谓的adjointmethod的重新定义版本来显示示例4.1，即 满足约束条件|ξξ（ξ）|（1+|ξ|）+m6K。然后，可以使用这里介绍的方法来获得效用损失的表达式。示例4.2。fj（s，θ）=κjθj |θj | 2给出的fjare的最简单选择-毫米-1和fj（s，θ）=κjsjθj |θj | 2-毫米-对于一些分别导致加法和乘法的κj>0和m>2，Marco Cirant已经向我们指出了这一点，这是他正在进行的工作的主题。价格影响独立于股票价格。

然而，在这些情况下，第一修正方程（3.6）对t、w和s有复杂的依赖关系，命题3.1的因式分解是不可能的。因此，与前两个需要求解唯一的第一修正方程的示例不同，这里需要为每个（t、w、s）求解第一修正方程∈ D（并证明解的光滑依赖关系（t，w，s），见第3.2节）。5剩余估计在本节中，我们收集了一些对命题4.1（特别是引理7.4）和命题6.1和6.2的预测有用的结果。L et us将ε>0的r e标度位移函数ξε定义为ξε：=ξε（t，w，s，h）=h- h（t，w，s）εm*. （5.1）让我们用（νε）ε>0表示C1,2,2中的函数族，（χε）ε>0表示Cm中的函数族（回忆定义3.1），并定义ψε（t，w，s，h）：=V（t，w，s）- ε2m*νε（t，w，s，h）+ε2m*χεt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*. （5.2）第5.1条的提案。对于ε∈ （0，1），设νε∈ C1,2,2,2和χε∈ Cmbe实值函数和ψε用νε和χε定义，如（5.2）所示。我们假设νε及其两个导数在ε>0时允许有界，即supε>0 |νεa（t，w，s，h）|+|νεbc（t，w，s，h）| 6 D（t，w，s，h），其中∈ {t，w，s，h}，b，c∈ {w，s，h}，D是一个局部有界函数。ThenGε（ψε）（t，w，s，h）=Rε（t，w，s，h，ψε）+ε2m*Et、 w，s，νεt，νεw，νεs，νεww，νεws，νεss+ Et、 w，s，ξε，χεξ（t，w，s，ξε），χεξ（t，w，s，ξε）+ (wψε）1-m（Φ（s，χεξ）- Φ（s，χεξ+ε-m级*νεh））, （5.3）其中Gε在（2.24）中定义，Rε满足集合的以下性质{wψε>ζ}∩大众汽车- wψεVw<ζ对于某些ζ>0和ζ<1。（5.4）（i）Let（\'t，\'w，\'s）∈ D和r>0。假设νε和χε依赖于ε>0，但νε不依赖于h，并且χε的导数到二阶一致有界于br（\'t，\'w，\'s）×Rd。

然后它保持Br（\'t，\'w，\'s）×rdrε（t，w，s，h，ψε）|ε2m*6C（1+| h- h（t，w，s）|），对于一些C>0的情况，与t，w，s，h无关，但取决于χ和（\'t，\'w，\'s，r）的二阶导数界限。（ii）Let（\'t，\'w，\'s，\'h）∈ D×Rd，r＞0。假设χε不依赖于ε（并写入χ）。然后它保持Br（\'t，\'w，\'s，\'h），即Rε（t，w，s，h，ψε）ε2m*6C级1+|ξε（t，w，s）|+m、 对于某些C>0仅取决于r、\'t、\'w、\'s和\'h.（iii）假设χε不取决于ε（并将其写入χ）。如果setK=tε，wε，sε，hε- h（tε，wε，sε）εm*: ε > 0 D×Rdis有界，则Rε（tε，wε，sε，hε，ψε）ε2m*6Cεm*,对于某些C>0，仅取决于集合K的界。备注5.1。因为FIRS t校正方程的解 ξ不是齐次的（unlikein[36]），我们必须在第6节使用的结果中包含ν对ε的依赖关系。证据我们去掉了ε中νε和χε的依赖关系，以简化符号。首先考虑（5.2）中的函数ψε，并定义以下反馈控制函数Cε（t，w，s，h）=-U′型(wψε（t，w，s，h）），（5.5）～θε（t，w，s，h）：=ε-1Φxs-hψε（t，w，s，h）wψε（t，w，s，h）= ε-m级*(wψε（t，w，s，h））1-mΦxs、 χξt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*+ ε-m级*νh（t，w，s，h）. （5.6）注意，交易率|θε和消费cε是t、w、s和h的函数，这些函数是HJB方程（2.23）中哈密顿量的最大值，在ψε处进行计算。使用这些控制获得的财富过程和策略，并以（t、w、s、h）为起点∈ D×rd表示为▄Wε，t，W，s，hand▄Hε，t，W，s，H。我们有▄Hε，t，W，s，hu=▄θε（u，▄Wε，t，W，s，hu，Su，▄Hε，t，W，s，hu）du。我们表示扩散的漂移函数|ψε，t，w，s，hu=ψεu、 ~Wε，t，W，s，hu，Su，~Hε，t，W，s，hu通过|uψε。

Itholds|uψε（t，w，s，h）=Vt- ε2m*νt- ε4m*χt+ε3m*ht公司χξ（5.7）+（Vw- ε2m*νw- ε4m*χw+ε3m*（硬件）χξ）rw- cεwψε+（Vw- ε2m*νw- ε4m*χw+ε3m*（硬件）χξ）dXj=1hjsj（uj- r）- (wψε）dXj=1|θε，jfj（s，ε|θε）+（Vww- ε2m*νww- ε4m*χww）dXi，j=1hihjsisjσi·σj+ε3m*（（硬件）χwξ+（hww）χξ) -ε2m*（硬件）χξhwdXi，j=1hihjsisjσi·σj+Ls（V- ε2m*ν - ε4m*χ） +ε3m*dXi=1（hsi）χξsiui+dXi，j=1（ε3m*（（hsj）χξsi+（hsi）χξsj+（hsisj）χξ) - ε2m*（恒生指数）χξhsj）sisjσi·σj+dXi，j=1Vwsi公司- ε2m*νwsi- ε4m*χwsi+ε3m*（（恒生指数）χξw+（hw）χξsi+（hwsi）χξ)- ε2m*（硬件）χξhsisihjsjσi·σj- （ε3m*χξ+ε2m*νh）~θε.注意，应用于ψε的函数Gε给出了sgε（ψε）（t，w，s，h）=-Иuψε（t，w，s，h）+U（cε）, （5.8）由于对|θε和cε的选择提供了等式|U(wψε）=U（cε）-wψεcε和（￠θε）hψε-wψεPdj=1|θε，jfj（s，ε|θε）=ε-1(wψε）1-mΦ（s，hψε）。现在，我们将这些项重新排序为|uψε，并将它们分组，以便于分析。通过（省略参数（t，w，s））得到的他的二次变差中国l、 m=nXi=1dXj=1h0，lwh0，j+h0，lsjsjσjidXk=1h0，mwh0，k+h0，mskskσki. （5.9）用tr（chχξ）=（hw）给出了χ的Hessian乘的hm的二次变化对ξ的迹的公式χξhwdXi，j=1hihjsijσi·σj+2dXi，j=1（hsi）χξhwhjsijσi·σj+dXi，j=1（hsi）χξhsjsisjσi·σj.（5.10）方程（3.2）、（3.3）和（3.4）给出了E、ean和T的定义。我们将|uψεt（w，s，h）=Vt+|U（Vw）+LsV+Vwrw+VwdXj=1hjsj（uj- r） +dXi，j=1Vwsisihjsjσj·σi+VwwdXi，j=1hihjsijσiσj+VwdXj=1（hj- hj）sj（uj- r） +dXi，j=1Vwsi（hj- hj）sisjσi·σj+VwwdXi，j=1hihj公司- hihj公司sisjσi·σj+ε2m*（大众）1-mΦ（s，χξ）-Tr（chχξξ）j+ ε2m*- νt- Lsν- νwrw-eU′（Vw）νw- νwdXj=1hjsj（uj- r）-dXi，j=1νwsisihjsjσi·σj-νwwdXi，j=1hihjsisjσi·σj- Rε- U（cε）- (wψε）1-m（Φ（s，χξ）- Φ（s，χξ+ε-m级*νh））= -ε2m*E（t，w，s，ε-m级*（h）- h） ，χξ，χξξ）+E（t，w，s，νt，νw，νs，νww，νws，νss）- (wψε）1-m（Φ（s，χξ）- Φ（s，χξ+ε-m级*νh））- Rε- U（cε）。

（5.11）使用c 7的逐点最大化器（w和s）获得FIRS t线→ U（c）- Vwc，即U（c）- Vwc=~U（Vw）。回想一下，G（V）=0（参见（2.5）），因此上述等式右侧的前两行相互抵消。由于一阶条件（2.8），右侧的第三条线（和第四条线的一部分）可以重写为vwwpdi，j=1（hihj-2hihj+hihj）sisjσi·σj=Vww | Pdi=1（hi- hi）siσi |。这一术语添加到第四行-E（t，w，s，ε-m级*（h）-h） ，χξ，χξξ）。第四行和第五行给出-E（t，w，s，ν，νt，νw，νs，νww，νws，νss）。上述e质量中剩余或强制引入的术语收集在函数rε中，该函数可进一步分解为rε=Iε、~U+ε2m*T（T，w，s，νw，νww，νws；h）- T（T，w，s，νw，νww，νws；h）+Iε，1+Iε，2+Iε，3+Iε，4,其中，Iε是（5.12）、（5.13）、（5.14）、（5.15）和（5.16）中定义的函数。现在我们对构成Rε的每一项进行了约束。请注意，项目（i）、（ii）a和（iii）的集合（t、w、s）是紧凑的。T在h中为四分之一，不在χ上终止，因此三种情况下的界限都很明显。类似地，尽管▄U的导数在其ar gument中具有负幂，但假设（5.4），（t，w，s）在所考虑的集合上的有界性以及▄U，ν，χ，Vandψε是连续的这一事实允许我们将这些函数视为三变量s的Lipschitz连续函数。

因此，定义Iε，~u并使用泰勒展开式两次，存在η，η∈ （0，1）依赖于（t，w，s，h），iε，~U（t，w，s，h，ν，χ）=~U（Vw）-Uwψε- ε2m*~U′（Vw）νw（5.12）=ε2m*U′型大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车-U′（Vw）νw+ε4m*U′型大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车wχ=ε2m*νwηwψε- 大众汽车U′\'大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车+ ε4m*U′型大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车wχ。那么，考虑到χ∈ 对于0<ε<1，在（5.4）中定义的集合上获得以下界限。ε-2米*|Iε，~U（t，w，s，h，ν，χ）| 6 C（ε2m*|χw |+εm*|χξ|）（t，w，s，ξε）6 C（εm*+ ε2m*|ξε| 1+m+εm*|ξε| m）。Iε，1isIε，1（t，w，s，h，χ）=ε2m的表达式*χt+Lsχ+χwrw+χwdXj=1hjsj（uj- r） （5.13）+dXi，j=1χwsisisjhjσi·σj+χwwdXi，j=1hihjsijσi·σj.如果（t，w，s，h）在有界集中，则事实χ∈ Cm表示| Iε，1（t，w，s，h，χ）| 6 Cε2m*（1+|ξε| 1+m），如果χ有有界导数（项目（i）中的a s），| iε，1（t，w，s，h，χ）| 6 Cε2m*（1+| h- h（t，w，s）|）。Iε，2isIε，2的表达式（t，w，s，h，ν，χ）=（（Vw）1-m级- (wψε）1-m） Φ（s，χξ）。（5.14）类似于（5.12），（5.4）允许我们处理wψε作为Lipschitz函数。如果（t，w，s，h）取有界s et上的值，（（Vw）1-m级- (wψε）1-m） 可以一致有界于h- h（t，w，s）小enoug h，我们得到| Iε，2（t，w，s，h，ν，χ）| 6 Cε2m*Φ（s，χξ）6 Cε2m*（1+|ξε|）6 C（1+|ξε| 1+m）。如果χ的导数不存在，则不等式变为| Iε，2（t，w，s，h，ν，χ）| 6 C |（（Vw）1-m级- (wψε）1-m） | 6 Cε2m*.Iε，3和Iε，4areIε，3的定义（t，w，s，h，χ）=- εm*（ht）χξ+（hw）χξ（rw+dXi=1hisi（ui- r） ）+dXi=1（hsi）χξsiui+（硬件）χwξ+（hww）χξdXi，j=1hihjsisjσi·σj（5.15）+dXi，j=1（（hsj）χξsi+（hsi）χξsj+（hsisj）χξ）sisjσi·σj+dXi，j=1（恒生指数）χξw+（hw）χξsi+（hwsi）χξhisisjσi·σjandIε，4（t，w，s，h，χ）=（hw）χξhwdXi，j=1（hihj- hihj）sisjσi·σj（5.16）+dXi，j=1（hsi）χξhw（hj- hj）sisjσi·σj。如果（t，w，s，h）在有界域上，h∈ C1,2,2（参见。

假设2.1）和χ∈ Cm表示界限| Iε，3（t，w，s，h，χ）| 6 Cεm*（1+|ξε| m）6 C和| Iε，4（t，w，s，h，χ）| 6 C（1+|ξε| 1+m），如果χ的导数有界| Iε，3（t，w，s，h，χ）| 6Cεm*（1+| h- h（t，w，s）|）Iε，4（t，w，s，h，χ）| 6C（1+| h- h（t，w，s）|）。然后，结果（i）和（ii）是上述估计的结果。注意，如果另外ξε如（iii）中所示有界，则除Iε、4外的所有ter ms均以Cεm为界*. 对于Iε，4h- h=εm*ξε.因此，我们还得到了界| Iε，4（t，w，s，h，χ）| 6 Cεm*由于ξε和0<ε<1的有界性。这就是剩余估计的证明。6主要定理的证明在本节中，我们证明定理3.1.6.1半极限Vε*（分别为Vε，*) 是函数Vε的下半连续包络（分别为上半连续包络）。假设3.1允许我们确定（t、w、s）的以下半限值∈ 杜邦*（t，w，s）：=lim supε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （6.1）u*（t，w，s）：=lim infε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε，*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （6.2）其中m*=3米-2、定义u*是上半连续的，u*下半连续且符合FY06U*6u*.定义ε>0uε的附加值*（t，w，s，h）=V（t，w，s）- Vε*（t，w，s，h）ε2m*> 0，（6.3）uε*（t，w，s，h）=V（t，w，s）- Vε，*（t，w，s，h）ε2m*> 0.（6.4）如果市场存在次线性价格影响（即。