小非线性价格影响的渐近性：对

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英文标题：
《Asymptotics for Small Nonlinear Price Impact: a PDE Approach to the
  Multidimensional Case》
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作者：
Erhan Bayraktar, Thomas Caye and Ibrahim Ekren
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We provide an asymptotic expansion of the value function of a multidimensional utility maximization problem from consumption with small non-linear price impact. In our model cross-impacts between assets are allowed. In the limit for small price impact, we determine the asymptotic expansion of the value function around its frictionless version. The leading order correction is characterized by a nonlinear second order PDE related to an ergodic control problem and a linear parabolic PDE. We illustrate our result on a multivariate geometric Brownian motion price model.
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中文摘要：
我们提供了具有小非线性价格影响的消费多维效用最大化问题的值函数的渐近展开式。在我们的模型中，允许资产之间的交叉影响。在小价格影响的极限下，我们确定了价值函数在其无摩擦版本周围的渐近展开。超前阶校正的特征是与遍历控制问题相关的非线性二阶偏微分方程和线性抛物型偏微分方程。我们在一个多元几何布朗运动价格模型上给出了我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Asymptotics_for_Small_Nonlinear_Price_Impact:_a_PDE_Approach_to_the_Multidimensi.pdf (726.81 KB)

2022-6-11 03:49:18 上传

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关键词：非线性 Multivariate maximization Conservation Quantitative

小非线性价格影响的渐近性：多维情形的偏微分方程方法*Erhan Bayraktar+Thomas Cay'eIbrahim Ekren§2020年6月25日摘要我们提供了一个多维效用最大化问题的价值函数的渐近展开式，该问题来自具有小非线性价格影响的消费。在我们的模型中，允许资产之间的交叉影响。在小价格影响的极限下，我们确定了价值函数围绕其无摩擦版本的渐近展开。超前阶校正由一个与遍历控制问题相关的非线性二阶偏微分方程和一个线性抛物型偏微分方程来实现。我们在一个多元几何布朗运动价格模型上给出了我们的结果。数学学科分类（2010）：91G10、91G80、35K55。关键词：渐近展开，粘性解，何齐化，投资组合选择，非线性价格影响。内容1引言21.1符号。52模型62.1无摩擦默顿问题。62.2具有价格影响的默顿问题。8.*我们想感谢L.C.G。剑桥大学的罗杰斯挑战我们使用粘性解理论推导非线性交易成本的渐近展开式。我们还要感谢帕多瓦大学的Marco Cirantof Universit\'a di Padova进行了富有成效的讨论并提出了有益的意见。+密歇根大学数学系，530 Church Street，Ann Arbor，MI 48109。emailerhan@umich.edu.部分由美国国家科学基金会（NSF）和苏珊M。

史密斯教授职位都柏林城市大学数学科学学院，爱尔兰都柏林9号格拉斯文，电子邮件：thomas。caye@dcu.ie.Supported部分由瑞士国家科学基金会（SNF）资助175133。§佛罗里达州立大学数学系，1017 Academic Way Tallahassee，FL 32306，emailiekren@fsu.edu3主要结果103.1校正方程。103.2主要结果。133.3 Black-Scholes市场校正方程的因式分解。1 54影响功能示例174.1影响功能的主要示例。174.1.1主要示例的校正方程。184.1.2验证主要示例的假设3.1和3.2。214.2 Impac t函数的其他示例。225余数估计主要定理的236个证明286.1半极限。286.2上解性质。296.3地下处置财产。376.4终端条件。417附录437.1候选渐近最优策略。437.2（7.13）的半鞅分解。467.3效用重整化L oss的局部有界性。487.4命题4.1和引理7.2的证明。

. 531简介选择最佳资产以拥有并重新平衡投资组合是投资组合管理者的主要任务。一流的金融首先提供了一种系统的方式，在没有摩擦的市场中做到这一点——在下文中，我们将其称为默顿问题（没有摩擦），诺贝尔奖获得者罗伯特默顿（RobertMerton）是第一个给出系统解决方案的人。虽然这些模型得出的结果很好，但对现实世界的投资者几乎没有帮助，因为规定的最优策略会在出现最小摩擦的情况下立即导致破产。事实上，金融市场的行为并没有按照这些早期模型的假设所描述的理想化方式进行。积极交易会带来成本，当投资组合再平衡的规模和速度增加时，成本更高。本文中我们感兴趣的交易成本类型源于缺乏市场深度和资产交易的流动性不足。要进行交易，投资者需要交易对手，即场外交易或有限订单。吸引足够多的交易对手进行大宗交易，需要价格朝着对投资者不利的方向移动。人们普遍认为，这种转变的规模随着交易规模和交易速度的增加而增加。Bertsimas和Lo【8】以及ofAlmgren和Chris s【3，2】的开创性著作建立了目前在文学中广泛使用的模型：假设价格影响与交易率的幂α>0成正比。对于可跟踪性，价格影响首先被认为是线性的（α=1），许多有趣的结果出现在曲线中（参见[26]、[16]、[6]、[36]和其中的参考文献）。然而，如[33]和[4]等实证研究表明，请注意，在这些研究和我们的研究中，价格影响只是暂时的：资产价格在交易后立即恢复到其“基础价值”。

有关瞬时（和临时）价格影响的不同模型的回顾，请参见Gatherel和Schied的调查【23】以及Roch和Soner的工作【39】。最近的发展包括【40、22、28、19、5】。交易速度的幂α在区间（0，1）内，这导致超线性但次平方的交易成本。具有这些类型摩擦的投资组合选择问题只是最近才被研究过。瓜索尼（Guasoni）和韦伯（Weber）[25]提出了分析这些摩擦的第一步，即投资者在斯科尔斯黑市中最大化最终财富的效用。交易引起的价格影响与交易率“量重整化”的功率α成正比。他们描述了优化器的特征，确定了一系列渐近最优策略，并在小价格影响的限制下，发现了领先订单的效用相对损失。这些ar表示为依赖于α的有序微分方程的解。最近，constantabsolute risk Reverse（CARA）投资者和一般一维市场的问题在[14]中得到了解决，在这些市场中，价格不必遵循马尔可夫It^o差异。[25]中的ODE仍然是解决方案的关键组成部分。在平行的文献链中，Cai、Rosenbaum和Tankov【12，13】将这些问题嵌入到跟踪概率的研究中。虽然之前的工作很好地理解了一维市场的行为，但它们没有考虑到通过相关性和交叉价格影响在多资产市场中相互依赖的重要影响。事实上，认为资产价格相互关联，一项资产的流动性紧张很可能会对另一项资产产生流动性影响，这并非没有道理。

对于比例交易成本和线性价格影响，资产流动性对投资组合优化问题的相互依赖性的后果相对来说已经得到了很好的理解，例如参见[38、9、27、22、36]。研究发现，与一维情况相反，直接向目标策略进行交易不再是最优的，目标策略是无摩擦优化器，除非当前位移是逆价格影响矩阵乘以波动矩阵的特征向量。一般来说，最优策略是根据价格影响和波动矩阵，按照s对称矩阵给出的方向进行交易。这个方向不需要指向当前最优的投资组合。在本文中，我们研究了交易成本为超线性和次二次型的多维市场中的投资组合选择问题。我们考虑一个具有持续相对风险厌恶（CRRA）的投资者，该投资者在有限的时间范围内最大化其共同消费的效用。我们的模型考虑了c-ross-impac-ts的一般模式，我们考虑了一般的马尔可夫It^oprice过程设置。超线性成本的存在使得这个问题很难明确解决，正如Shreve和Soner在【41】中首次在交易成本的背景下所做的那样，我们转向Crandall、Ishii和Lions【17】开发的粘性解决方案的强大机制来描述其解决方案。特别是，我们所考虑的成本结构的一个挑战性特征是，相关的Hamilton-Ja-cobi-Bellman方程退化为一阶导数中的哈密顿增长超Q，幂m=1+α>2。

考虑到实际交易成本很小，很自然会使用Soner和Touzi开发的比例交易成本技术对小价格影响问题进行简单的分析[42]。受周期项偏微分方程均匀化理论的启发，这些技术与粘度解的一般稳定性结果以及两个以上的校正方程的识别相结合，然后由Possamai、Soner和Touzi[38]和Moreau将其推广到具有比例交易成本的多维市场，Muhle Karbe和Soner【36】研究线性价格影响。基于【42、38、36】中开发的方法，并使用同质化理论中的工具。注意，要使用这种方法，问题的设置必须是马尔可夫的。通过使用凸对偶（见[24]）和一维微分的遍历理论（见[32]、[1]、[14][34、20、21、43]），可以在一维市场中放松该约束。我们描述了所谓校正方程解之间的问题的值函数的渐近展开。第一个校正方程是一个遍历型Hamilton-Jacobi-B ellman方程，具有超二次Hamilton量，类似于[30，15]中研究的方程。这种偏微分方程的结构既不依赖于价格动态，也不依赖于效用函数，在非线性价格影响问题中似乎无处不在。它推广了Guasoni和Weber在[25]中推导出的theODE，这也是在没有非线性价格影响的一维市场环境中[14]中解决方案的关键元素。第一个校正方程无法显式求解，我们必须依赖于[30，15]的存在性结果。

特别是，为了证明辛展开式，我们需要这个方程的解的条件估计，目前它们仅适用于价格影响函数的特定选择（见（4.1））。对于更一般的影响，我们预计，在一些技术假设下，仍然可以使用伴随法获得此类二阶导数的界限，但这超出了本文的范围。超前阶效用损失由第二修正方程表征，该方程为线性偏微分方程。与文献中先前的结果类似，第二个修正方程是由无摩擦问题的值函数求解的偏微分方程的线性化。其源项由第一修正方程提供，反映了遍历控制问题中快速变量的最优控制产生的局部效用损失。第二修正方程的解也可以表示为在交易水平面上积分的状态变量函数的期望值，如[4 2，38，36，14]所示。由于通常无法明确求解Firs t corrector方程，因此需要依赖该方程的数值解来获得效用损失的近似值。或者，一些特定的影响函数和模型选择允许分解其解，并以闭合形式表示效用损失（直至一维ODE的解）。我们在Propo position 3.1中针对Merton问题的特殊情况提供了这样一种分解，并且成本函数满足缩放特性。在这种情况下，解决方案对投资者价格、时间和财富的最正确方程式的依赖性消失。该偏微分方程的唯一状态变量是与默顿投资组合的重标度偏差。

这个方程的解是一对, λ). 然后，效用损失可以直接写为λ和（t，w）的线性函数，其中状态变量tuple表示时间和当前财富（按市值计价）。虽然我们在这里没有证明它们是最优的，但我们也提供了一系列推测为最优的策略。这些策略也可以使用 以及双摩擦函数Φ。因此，关于价格影响下的por tfolio优化问题的自然问题的答案包含在（）, λ). 例如，了解渐近最优策略是否包括向默顿比例转移可以通过研究函数Φx和▄来回答x、 除了这一关于默顿问题的一般性陈述外，我们还提供了一个冲击函数的示例，其中第一个修正方程可以简化为一维PDE和（）, λ） 可以进行明确的计算。因此，对于该冲击函数，类似于[27，36]，λ可以显式计算，效用损失可以显式获得。我们还提到了其他可以考虑的冲击函数的例子。膨胀的证明依赖于粘度解的基因ral稳定性结果以及无摩擦和摩擦值函数之间差异的局部一致界限。鉴于对有摩擦的投资组合问题的研究与ergo-dic控制问题密切相关，正如在[42]、[1]、[14]中已经明确的那样。有关遍历控制理论的最新发展以及如何近似其解，请参见[15]和[11]以及其中的参考文献。粘度解方面，与[36，19]中不同，第一个校正方程的解不是无摩擦目标偏差的简单二次函数。

因此，生成测试函数以使用摩擦值的粘度特性更具挑战性。与之前的文献相比，我们的测试函数具有额外的依赖性，并且不总是作为幂函数进行扩展。此外，这些特征必须包含在Proposition 5.1的剩余估计中，这使得这些估计更具挑战性。第一个校正方程解的复杂性也决定了检验应用我们的主要定理所需假设的难度。特别是，需要一种新的方法来获得无摩擦和摩擦值函数之间差异的局部一致边界。实际上，在我们的例子中，我们不能简单地将It^o公式应用于当前位置和目标位置之间的平方差，以获得这些边界。此外，我们无法找到[38]中所述的磨擦偏微分方程的牙齿亚解来获得它们。为了利用无摩擦目标位置的强均值回归特性，需要找到合适的李亚普诺夫函数。事实上，在我们的多维框架中，第一个修正方程的解就是这个李雅普诺夫函数。然而，It^o公式在Lyapunov函数中的应用非常技术化，我们在附录中给出了指南，以获得具有几何布朗运动的模型的两个值函数之间的极大差异的局部一致界限。重新定义这些技术估计值将证明候选策略系列的最优性。