与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和价值

为此，我们定义了一个新变量：~z：=ln自然对数1.- qx- λ, （14） 理解为λ≥ 0，提前知道并确定。目前，这导致了（基本的）Gompertz回归方程：~zj=K+gxj+j、 （15）式中，xjis是年龄向量，例如x=35、x=36、x=37等，Zi由一年死亡率qxi计算得出。运行回归公式化的不等式（15）可得出最佳截距和斜率参数K和g，这是基于方程（13）得出的，可以很容易地得出Gompertz参数的无偏估计：g=~gln【h】=~K- ln[（eg- 1） /▄g]h=e▄Kge  g- 1.. （16） 这些分别是零岁时的死亡率增长率、对数（生物）危害率和实际（生物）危害率。事实上，知道Gompertz模型会导致（非常）高且显著的系数，人们会试图跳过正式回归（测试）并通过最小二乘线方程估计（h，g）：C=PN（xj- (R)x）（yj- 是）PN（xj- x） ，C=\'y- C'x，（17），其中'y和'x分别是y和x的算术平均值。而且，由于年龄变量是一个线性序列：(R)x=（xmin+xmax）/2。总之，无论采用何种精确校准方法，上述程序都会得出一对值：（h，g）用于人群中的每个亚组i。现在，死亡率的弱形式补偿定律表明，生物危害率相对较高的群体：h【i】>h【j】，增长率相对较低，g【i】<g【j】，反之亦然。更多信息，请参见Gavrilov&Gavrilova（原文章1979，1991年出版）。换言之，CLaM假设h[i]和g[i]之间存在形式分析关系，表示为h：=h（g），范围为：gmin≤ g级≤ gmax。

需要明确的是，弱式CLaM（仅）规定：h（g）/如果把h看作g的函数，那么g<0。一个强形式的蛤蜊在生命周期的最后通过假设开始：x*[i] =x*, i、 所有亚组的死亡率平台相同。这实际上对函数h（g）施加了更严格的限制，并且通过等式（10）可以得出：L：=ln（λ*- λ） =ln h（g）+gx*, （18） 其中L是一个（新的）方便常数。重新排列方程（18）得到函数的线性表示：ln h（g），可以表示为：ln h（g）=L- x个*g、 （19）我将引用并标记：ln h（g），作为CLaM函数。指数方程（18），实际零龄生物危害率：h（g）可表示为：h（g）=（λ*- λ） e类-x个*g、 （20）（g=0时）恢复死亡率平台：λ*= h（0）+λ。因此，在死亡率的强补偿定律下，我可以将方程（9）改写为：λx（g）=λ + (λ*- λ） eg（x-x个*)x<x*λ*x个≥ x个*（21）进行评估。回想一下，我可以访问一组100个值：{lnh[I]，g[I]}，假设它们与CLM的强形式一致，我可以估计（截距）L和（斜率）x*通过回归。特别地，根据等式（19），关系为：yjz}|{ln h[i]=Cz}|{L+Cz}|{(-x个*)zjz}{g[i]+j、 （22）注意，第二个回归程序不应与第一个回归程序混淆，第一个回归程序用于提取或估计方程（10）中的原始Gompertz参数。如Chetty等人所述，第一次回归（或最小二乘估计）是导致：ln h[i]和g[i]值的原因。

（2016）或Milligan和Schirle（2018）。要明确的是，一旦我们实际掌握了（h，g）参数，该参数将用于年金定价和价值池，第二个过程的要点是确认CLaM-e效应的存在，这意味着低收入者的CoVaL更高，反之亦然。表5显示了我所说的第二次回归的结果，从某种意义上说，第二次回归测试了数据中是否存在强CLaM。事实上，ln h[i]和g[i]之间的关系与接近98%的Rv值呈线性关系，这为按收入划分的美国人口中的强烈反对提供了支持。估计的L=ln（λ*- λ） ，揭示或定位高原。还有斜坡(-x个*) 是达到这一目标的年龄，即Gavrilov和Gavrilova（1979年）规定的物种特定寿命。作为最后的补充说明，有以下理论支持：L≈ ln（ln 2）），因此高原的一年生存率和死亡率为：-λ*= 0.5=e-eL，假设意外事故率（也称为Makeham常数）为零。Chetty等人（2016年）指出了L的低值，Milligan和Schirle（2018年）的数据也是如此。A、 2个封闭式年金系数和时刻在每个人口亚组内，直至死亡平台，一旦可以将连续时间风险率函数表示为：λx+t=hxegt=be（x+t-m） /b，（23），其中hxis是（任意基线）年龄x时的危险率，g是危险增长率。

回想一下，参数g表示对数危险率（作为自变量）与年龄（因变量）回归的斜率，如前一小节所述。再次注意：b=1/g，它测量剩余寿命随机变量的离散度，表示为（m，b）公式中的：Txin。对于下面的内容，我使用：（hx，g）公式，其中hxis是当前x岁时的死亡率危险率，这导致与年金等价财富δ的关系更清晰、更直观。人们可以很容易地从（m，b）-空间移动到（hx，g）-空间。例如，假设65岁时的危险率为：h=0.5%，假设增长率为：g=10%，则寿命的模式值为：m=94.957=65- ln【0.005/0.1】/0.1年，离散值为：b=1/g=10。同样，如果：h=0.5%，但增长率为g=8%，则：m=98.761年，b=12.5年。接着，在（hx，g）危险率公式下，条件生存概率，表示为：p（t，hx，g）等于：p（t，hx，g）=exp{-Zthx+sds}=exp{（hx/g）（1- egt）}。

（24）回想一下，任何直接人寿年金系数都可以表示为：a（r，hx，g）=r∞e-rtp（t，hx，g）dt（25）=R∞e-rtexp{（hx/g）（1- egt）}dt=ehx/gR∞e-rtexp{-（hx/g）egt}dtI可以使用变量的变化来简化积分：s=（hx/g）egt，因此：s=hxgegt→ t=ln【sghx】/克→ dt=sgds（26）使用新变量s，而不是（hx/g）egt，我们可以简化被积函数：ehx/gZ∞e-rtexp-（hx/g）egtdt=ehx/gZ∞e-rte公司-sdt（27）我们现在可以将t替换为：ln[sg/hx]/g，以获得：ehx/gZ∞e-rte公司-sdt=ehx/gZ∞e-r（ln【sghx】/克）e-sdt=ehx/gZ∞e-s（sghx）(-rg）dt（28）用（1/sg）ds替换dt，并将所有非s项移出积分：a（r，hx，g）=ehx/gZ∞e-s（sghx）(-rg）sgds=ehx/克（ghx）(-rg）gZ∞hx/ge-不锈钢(-rg）-1ds（29）积分外部和左侧的项可以简化为：ehx/g（ghx）(-rg）g=gexp{g（hx+r ln[hx/g]）}=g exp{(-1/g）（hx+r ln[hx/g]}（30）Gompertz（尽管没有Makeham常数）终身年金系数现在可以正式重写为：a（r，hx，g）=g exp{(-1/g）（hx+r ln[hx/g]}Z∞hx/ge-不锈钢(-rg）-1ds（31）从看起来凌乱的方程（31）中可以看出，我似乎没有改善问题，但积分实际上可以被识别为不完整的伽马（IG）函数：Γ（α，β）=Z∞βe-ssα-1ds。（32）当积分下界β=0时，IG函数塌陷为基本Gammafunction，当α为整数时，则Γ（α，0）=（α-1)(α-2)... 等，也称为（α-1） 阶乘，理解为Γ（1，0）=1和Γ（2，0）=1。对于α和β的一般值，IG函数在大多数商业和科学软件包（当然还有R）中都很容易获得，类似于误差函数或正态分布。例如，Γ的值(-0.5，1）=0.178148到五位数，值为：Γ(-0.5, 0.3678) = 0.89635. 我要提醒的是，对于α的非正值，存在一些数值稳定性问题。

合并方程（32）和（31），我可以使用一个封闭形式的表达式来编写年金因子：a（r，hx，g）=Γ(-r/g，hx/g）g exp{(-（33）这是我们的基本年金系数。下面是一些数值例子。让我们任意设置利率r=3%。如果我们将g常数保持在0.08，那么当hx分别取0.1、0.2和0.3时会发生什么。a（0.03，0.1，0.08）=5.552432，a（0.03，0.2，0.08）=3.464195，和：a（0.03，0.3，0.08）=2.543422请注意，随着hxin的增加，年金系数的值会发生变化。这应该是直观的，因为死亡率（或危险率）的力量会杀死你，因此如果死亡率增加，你的寿命会缩短，因此收入会减少，从而使年金因素更便宜。同样，如果我们fix:hx=0.1，并将g更改为分别取0.09、0.12、0.15。然后，a（0.03，0.1，0.09）=5.392625，和：a（0.03，0.1，0.12）=4.981276，最后：a（0.03，0.1，0.15）=4.646376，均以美元计。因此，随着g的增加，年轮因子的值下降，同时保持hxconstant。图7如图7所示。x轴表示当前（或初始）危险率H，范围为hx=0.005至hx=0.5，增量相等。假设m=90，b=8，在备选（m，b）规范中，这恰好对应于x=64到x=101的范围。x轴标记有速率（顶部）和年龄（底部）。而且，虽然前者（顶行）线性增加，但后者（底行）没有，因为在Gompertz定律下x：=b ln[hb]+m。图7a中的y轴表示对应于特定（x轴）风险率和年龄的年金系数，假设：在上述（h，g）公式中，g=12.5%。请注意年金系数是如何下降的，因为我们从左向右移动，风险率（以及年龄）会增加。

面板#7b绘制了年金系数在hx=0.005到hx=0.5的相同范围内的值，假设减少：g=8%。年金系数在每一个值上都较高（从突出显示的几点可以看出），尽管它在风险率和/或年龄上也有所下降。请注意，在这种情况下，相应的b=1/g=12.5年，相应的（第二）x轴值范围为x=55至113。最后，回顾一下在实际金融中常见的Gompertz（m，b）公式，死亡率风险率表示为：λx+t=（1/b）e（x+t-m） /b.在这种情况下，立即年金系数a可以通过（x，m，b）的形式得出，用（1/b）exp{x替换：hx-mb}，并用1/b替换g。为了完整性，我给出：a（r，x，m，b）=bΓ(-rb，exp{x-mb}）exp{r（m- x）- exp{x-mb}}。（34）A.3推导年金等价财富或δI在假设个人没有预先存在的年金收入的情况下，快速证明年金等价财富（AEW）的表达式：1+δ。这是基于Milevsky和Huang（2018）的推导，他们在替代死亡率假设和更一般（非零）养老金收入下为AEW提供了各种封闭形式的表达式。另见Cannon和Tonks（2008）。设u（c）表示由风险规避γ参数化的常数相对风险规避（CRRA）效用（又称幸福度）函数，以及主观贴现率ρ=r。形式上，u（c）=c1-γ/(1 - γ). 无年金的最大效用：U*（w） =最大Ctzω-xe公司-rtp（t，hi，gi）u（ct）dt，（35），其中（hi，gi）是相关收入百分位的Gompertz参数，预算约束为：dWt=（rWt- ct）dt，W=W。（36）最佳消耗函数表示为：c*t、 不允许任何借贷，因为财富≥ 始终为0。选择早期vs。

晚期消费归因于死亡率信念和替代的跨期弹性，1/γ。现在，由于没有预先存在的养老金收入，相关的消费率必须足以一直持续到ω，因此：w=c*Zω-xe公司-rtp（t，hi，gi）1/γdt，（37），这导致相应的：c*t型=wR公司∞e-rtp（t，hi，gi）1/γdtp（t，hi，gi）1/γ，（38）等式（38）分母中的积分是一个年金因子（各种），假设生存概率p（t，hi，gi）移动1/γ。例如，当γ=1时，最优消耗函数c*tin方程（38）被简化为假设年金：w/a（r，hi，gi）乘以生存概率p（t，hi，gi），这小于终身年金所能提供的。将所有流动财富w转换为年金的个人将消费w/a，但非年金者根据生存概率按比例减少消费。与之相反：U*（w） ，让U**（w） 表示财富的贴现终身效用，假设财富w在x岁时完全年金化或集合。贴现效用为：U**（w） =Z∞e-rtp（t，hi，gi）u（w/a（r，^h，^g））dt，（39），其中优化的消耗路径是平凡的c*t=w/a（r，^h，^g），对于所有t。下一步（本质上是最后一步）是注意δ将满足以下等式：U*（（1+δi）w）=U**（w） ，（40）根据AEW的定义。我们请感兴趣的读者参考Milevsky和Huang（2018），了解从上述方程中提取：δIf的代数。A、 4δ的比较静态最终图（#8）将整个技术附录汇集在一张汇总图中。假设四种不同的假设死亡率风险率hx，它绘制了寿命风险池值的方程式：δx，一系列死亡率增长率g。

顶行（红色）点将初始死亡率固定为3%，第二行（蓝色）假设为2%，第三行（紫色）基于1%，底行（黑色）基于0.5%。假设r=3%，γ=3，这四个死亡率风险率与表#4中显示的高收入与低收入的数字范围相当（尽管并不完全相等）。图#8在此指出，在x轴上死亡率增长率g的任何特定值，所谓的高死亡率δ值均位于低死亡率δx值之上。但是，当一从左向右移动并增加g的值时，在其他条件相同的情况下，对δxis的影响是非单调的。的确δx/g无法签名。在低死亡率时，它实际上会增加（g），而在高死亡率时，它会下降（g）。然而，如果我在这张图上叠加适当校准的死亡率线补偿定律，并且只关注或使用Hx和g的生物现实组合，即箭头穿过点的地方，就会出现一个清晰的模式。增加死亡率增长率g会降低初始死亡率hxitself（每只蛤）。寿命风险池的值在g中下降，因此在1/g中增加。因此，我得出结论，δxin的值在寿命变异系数（CoVoL）以及寿命的标准偏差方面都会增加，这要归功于LAM。Q、 E.D.Table#1：养老金补贴直觉Mon Heather当前年龄：65 65已赚养老金额度：最大年养老金收入：25000美元预期寿命（地平线）：10年30年期M年金PV（3%）：212750美元487250资金系统资产：700000养老金总供款：350000美元转移和补贴：-137250美元+137250美元注。有关详细信息和上下文，请参阅正文，尤其是导言。表#2a：美国。

每1000人的死亡率。男性女性收入组年龄=40年龄=50年龄=60年龄=40年龄=50年龄=60最低（第一个百分点）5.8 12.5 22.1 4.3 8.0 12.825百分位2.0 4.5 10.9 1.2 2.7 5.9中值（第50个百分点）1.2 2 2.9 7.3 0.8 2.0 4.575百分位0.8 1.8 4.9 0.5 1.3 3 3 3.5最高（第100个百分点）0.6 1.1 2.8 0.3 0.8 0.8 0.8 2.2表格2b：死亡率增长率和项目收入男女组g：=ln qx+Tln qx/T 1000qg：=ln qx+Tln qx/T1000qLowest（第1个百分点）5.63%208.5 4.81%89.225个百分点8.74%355.2 8.32%171.1地中海（第50个百分点）9.21%285.7 8.68%158.975个百分点10.22%302.1 10.21%211.4最高（第100个百分点）10.00%163.2 9.97%115.0注：来源于Chetty等人（2016），2001年至2014年期间的死亡率使用两年的收入滞后。第二组中g的计算（由作者）基于从x=50到x=63的年龄增长。每个百分位的g值用于预测：~q。请注意，在x=100岁时，预测死亡率在两倍以内。根据理论，他们应该趋同。表#3：寿命变化系数（CoVoL）：Дx。。。当模态寿命值（m）为：98年时。死亡率下降。平均标准偏差。CoVoL危害是指StDev。