与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和价值

请注意，衡量随机变量内在离散度的Gompertz b值和寿命波动性如何降低高收入百分位数。同样，随着年龄x接近值m，由于b的下降和CoVoL的内在增加，CoVoL较低。表4所示为表（#4）中的最后两列分别使用公式（7）和（8）计算个人和群体。需要明确的是，标有AEW的列表示个人，假设在任何百分位上，这些65岁的人与具有相同EMI、BIAN和相同风险类型的人汇集在一起。他们为年金支付公平的精算价格。在个人定价下，较高的收入百分位数与（较低的CoVoL）和较低的年金等价财富价值相关。第（#4.1）节给出了该结果的直观性，图（#4）显示了该结果。请注意，当养老金定价合理时，对穷人和富人来说，它们的价值要高出多少。接下来是强制性年金定价，最右边的一栏是基于加载定价，这显然对一些人（穷人）不利，对其他人（富人）有利正如论文中多次指出的那样，如果你比年金定价池中的一些人更健康，并且你没有为你的风险支付公平的利率，那么团体定价会提供更高的等价物价值。AEW的集团价值随着收入百分比形式的增加而增加，因为他们获得了更好的相对折扣。女性没有观察到这种模式（图4中假设的模式）。造成这种差异或缺乏统一性的原因是，尽管年金是有负担的，而且对收入最低的群体来说相对不具吸引力，但负担还不足以为收入最低的群体与收入较高的群体产生更低的年金等价物。

从某种意义上说，男性（群体）δ值的统一递增模式是一个令人惊讶的结果。不管怎样，这里的重点是，对于γ=3的情况，δ的所有值都大于0。他们都从一起游泳中受益（就效用而言）。同样，从该表中得出的关键（政策）是，即使在收入最低的百分位，在Gompertz风险率较高且退休预期寿命为梅雷德凯德（meredecade）左右的情况下，δ的值也为正值，即使在集团定价率下也是如此。当然，这假设价格完全基于群体死亡率，这是由50%参数决定的。如果增加了额外荷载或成本，δ可能变为负值。我应该注意到，在我对低收入百分位数、大量现有养老金年金收入和较低风险规避水平γ进行的广泛分析（并非全部显示）中，δ值几乎没有正值。6总结与结论在强制性养老金制度中，寿命较短的参与者会提前补贴预期寿命更长的人。此外，由于收入较高的个人往往较低，穷人最终会补贴富人。引用Brown（2003）的话，“如果在财务基础上进行衡量，这些转移可能相当大，而且往往远离经济弱势群体，转向财务状况较好的群体。”这一令人不安的事实在文献中得到了很好的证实，偶尔也被吹捧为转换为固定缴款（DC）计划的（社会）理由。

然而，Brown（2003）继续写道，“年金化的保险价值非常大，相对于没有年金的世界来说，所有群体都可以通过强制年金获得更好的效果。”激励这篇论文的问题是：在什么情况下，长寿预期的差距变得如此巨大，以至于年金的价值对于那些预期寿命最短的人来说实际上是负的？这是一个经验性的问题，与美国死亡率随收入增长的差距密切相关。在此背景下，本文重点关注剩余寿命第二时刻的异质性，这在经济学文献中并没有引起太多兴趣。我基于这样一个事实，即在任何给定年龄的情况下，低收入者的寿命变异系数（CoVoL）都比高收入者大。从某种意义上讲，穷人的生活（金融）风险相对较高，也绝对较高。这就意味着相对于高收入者，他们愿意支付长寿保险和年金等价财富的意愿更高。因此，在强制性DB养老金体系中，有两种相互竞争或相反的效果。一方面，财富从穷人（即高死亡率）向富人（即低死亡率）的转移是明确且预期的。另一方面，由于风险较高，经济弱势参与者从风险池中受益更多。本文，尤其是δ的主方程，有助于确定分界点。如果我可以用我一开始介绍的人物来总结一下，Heatherand Simon都受益于长寿风险池，即拥有终身年金，无论他们是与自己一样的人一起游泳还是被迫与他人一起游泳。

当年金定价合理时，即根据其自身的风险类型量身定制，并且我们使用小型隔离池时，Simon从汇集长寿风险和持有年金中获得了相对较高的收益。大自然赋予他更高的死亡率和较慢的死亡率增长率。这就意味着（或导致）长寿的高可用性，而规避风险的退休人员愿意（昂贵地）支付费用来降低更高的长寿风险。从某种意义上说，自然的死亡补偿法则导致死亡率最高的人对长寿保险的需求更高。相比之下，Heather的年金化相对收益可能（远）比Simon的小，因为她的预期寿命（远）更高，这意味着她的死亡率更低，她的个人寿命波动性更低。实际上（以及在现实世界中），在增加了相对较小的保险收益——也许还有一些预先存在的年金收入——之后，希瑟可能不会从额外的年金中获得任何价值。这也是她独自游泳的时候。一旦他们被迫进入同一个保险池，尽管Simon正在支付罚款（隐性保险加载）并且正在消退Heather，但她现在正受益于更便宜的养老金。这增加了她的支付意愿。因此，联营的价值是否为正是一个实证问题，所提供的数据表明（目前）情况仍然如此。参考文献[1]Andersen，S.、Harrison，G.W.、Lau，M.I.和Rutstrom，E.E.（2008），《引出风险和时间偏好》，计量经济学，第76卷，第583-618页。[2] Andersson，E.、P.Lundborg和J.Viksrom（2015），《收入和死亡率：瑞典公共部门员工的证据》，《公共经济学杂志》，第131卷，第21-32页。[3] Barseghyan、L.、F.Molinari和T。

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蛤蜊的极端形式表明，瞬时死亡率危险率在某个有利年龄收敛到一个常数。为了正确地模拟这种影响，我首先从一个同质的人口分组开始，在这个分组中，每个成员由两个参数识别：h[I]，g[I]，其中I=1。。N、 是子组数。在我们的背景下，我代表收入百分位数（N=100），如inChetty et al.（2016）。请注意，h【i】代表一个假设的零年龄生物危害率，g【i】是相应的死亡率增长率，假设在此早期阶段没有限制，除了：h【i】>0和g【i】≥ 此外，尽管有“零岁”这个短语，但我并不是在模拟生命的早期阶段（我忽略了婴儿死亡率）因此，实际上，在任何按时间顺序排列的年龄：x>>0时，第一亚组成员的总死亡率风险率λx[i]在一定的高龄之前都遵循所谓的Gompertz-Makeham（GM）关系，之后就会出现。形式：λx【i】=λ+h[i]eg[i]xx<x*[i] λ*[i] x个≥ x个*[i] （9）注意非生物（和非时间相关）危害率：λ≥ 0，对于总体的所有成员都是常量，但λ*[i] >>λ和相应的x*, 方程（9）非常一般。首先，平台可能依赖于i，即λ*[i] 6=λ*[j] ，对于i6=j。此外，对于一些i，它是可以想象的x*【一】→ ∞, 并且没有（确定的）死亡率平台。重新排列方程（9），GM模型也可以表示为：Qxz}|{ln（λx[i]- λ） =Cz}|{ln h[i]+Cz}|{g[i]x，x<x*[i] ，这是“Gompertzian”制度下所有年龄段的（对数）生物死亡率的标准线性表示。请注意，我故意使用：Qx，而不是左侧的标准一年死亡率：Qx，因为它们不是完全相同的东西。稍后将对此进行详细介绍。Chetty等人。

（2016）假设Qx=Qx，并报告C（theintercept）和C（斜率）的估计值，假设λ=0，基于2001年至2014年期间美国x至63岁的死亡率。Milligan和Schirle（2018）对加拿大数据也做了同样的处理，并获得了具有类似结构的Cand C估计值。然后，Cand Care的值用于预测或预测中老年人的一年死亡率（他们的样本中没有相关数据）一般来说，他们都发现：的最佳拟合值与C的值呈负相关。图5和图6说明了这一点。为了回到qx和qx之间的区别，在GM框架中，在任何给定的按时间顺序排列的年龄x，一年死亡率qx与持续死亡率相关，通过以下方式：1- qx=e-Rx+1xλydy。（11） 当λx=λ为常数（即h=0）时，任何时间t的存活率为s（t）=e-λt，然后qx=1- e-λ、 任何一年。在这种情况下（过于简单，显然不是Gompertz），参数λxis是连续复合死亡率和qxis有效年（一年）死亡率的同义词。在完全Gompertz-Makeham（h>0）情况下，任何子组的qx和模型参数（λ，h，g）之间存在以下关系：-ln[1- qx]=R（λ+heg（x+s））ds=Rλds+hegxRegsds=λ+hegx（例如- 1） /g（12）定义：-ln[1- qx]>λ≥ 0，所以我们可以从两侧减去λ，再取一次对数，通过GM参数得到一年死亡率（LHS）和年龄x（RHS）之间的线性关系：ln自然对数1.- qx公司- λ=Kz}|{ln[h]+ln[（例如- 1） /g]+g x，（13）其中，为了方便起见，定义了新常数：K，并建议使用适当的回归（或最小二乘）方法来校准：λ，h，g。目标是从（经验）~qx值的向量估计（λ，h，g）值。