与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和价值

第（#3）节将对其进行精确定义大多数养老金经济学家都知道，从西蒙到希瑟的转移并不像预期的美元那么大，因为（用我的术语）西蒙的不确定性或风险比希瑟的更大。他更重视保险部分。更重要的是，他愿意和希瑟一起在游泳池里游泳，而不是冒着长寿的风险。当然，西蒙是退休的不健康的人的委婉说法，他们预期寿命不长，而希瑟代表的是预期寿命长的退休者。在这一点上，我应该明确指出，这不是性别、种族或国籍的问题。有大量证据表明，我们可以根据西蒙斯人的钱包大小和收入水平，而不仅仅是通过健康或基因检测，事先确定他们是世界上的西蒙斯人。尽管如此，当以效用单位衡量时，强制风险池（仍然）可以造福于每个人，这是养老金和保险经济学家所熟知的，因为预期寿命的差距不会太大，不确定性的差距也不会太小。这是一个经验问题。本文的主要贡献是利用Chetty et al.（2016）中的数据，该数据记录了基于收入的预期寿命差距不断扩大，以测试与几十年前相比，在今天的美国，合并对Simon和Heather是否仍然有价值。我们今天知道，在50岁的年龄段，收入最低的纳税人（死亡率和死亡率都要高得多）预计比收入最高的纳税人少活10-15年。然而，他们都被迫参加相同的（强制性）社会保障计划。再次，本文使用Chetty等人（2016）的死亡率数据（我将解释），在Gompertz框架下，通过所谓的年金等价财富来校准转移的程度。

为了预先说明我的结果，我认为即使是美国收入最低的百分位数，也仍然可以从联营中受益，因为他们的寿命波动很大，足以克服联营带来的隐性负担。这是目前（今天）的情况，假设他们没有任何其他终身收入保障来源。稍后将对此进行详细介绍。1.3论文大纲本文其余部分的组织结构（并以更具学术传统的方式呈现）如下所示。在下一节（#2）中，我将提供适当的文献综述，将当前论文与该领域的先前工作联系起来。然后，在第（#3）节中，我通过介绍Gompertz死亡定律以及所谓的死亡补偿定律，为长寿的波动性或风险提供了分析背景。第#4节提供了年金等价财富（annuityequivalent wealth，AEW）的表达式，这是表示长寿保险支付意愿（WtP）的另一种方式。我举例说明了它是死亡率特征的函数，并提供了一些例子。第#5节是本文的主要实证贡献，在美国第#6节中展示并讨论了AEW作为收入百分位数的函数，总结了本文的主要结论。所有表格和图表都位于文档末尾，技术推导被归入附录。同样的差距在加拿大也存在，per Milligan和Schirle（2018），但显然没有随着时间的推移而增长。2学术文献综述本论文属于所谓的年金经济学文献，试图解释对冲个人长寿风险的保险产品的需求或缺乏需求。终身年金是退休收入保险的一种重要形式，与养老金（DB）非常相似，例如Bodie（1990）所解释和提倡的。

近50年前，Menahem Yaari在1965年的一篇文章中，扩展了标准生命周期模型，将精算注释包括在内，这篇文献由此开始。Yaari（1965）证明，对于那些没有遗赠动机的消费者来说，最佳的生命周期策略是100%的资产年金化。很明显，很少有人能百分之百地将其财富年金化（或“养老金化”），而积极购买年金的人则更少，弗朗哥·莫迪利亚尼（Franco Modigliani）在1986年的诺贝尔奖演讲中指出了这一点。Davido Off、Brown和Diamond（2005）放宽了原始Yaari（1965）模型中的限制条件，年金的重要作用仍然占主导地位。事实上，引用Reichling和Smetters（2015）最近的一篇论文，“财富100%年金化的情况甚至比人们普遍认为的更为有力”，而且要“打破”（用他们的话来说）Yaari（1965）的结果需要相当多的模拟努力。当然，包括遗赠和利他动机将降低100%年金化的结果，因为年金收入随年金受益人死亡，并且没有遗产价值。Pashchenko（2013）在一份全面的回顾和建模报告中指出，遗赠动机、年金前财富和小规模年金购买障碍在多大程度上会阻碍全面年金化的结果。Inkman、Lopes和Michaelidis（2010）的研究也反映了遗赠动机的（负面）影响，他们有趣地发现年金市场参与与金融教育之间存在着积极的关系。Reichling和Smetters（2015）通过引入短期死亡率成功打破了50年前的模型，其中年金的现值与医疗费用相关。根据他们的说法，虽然年金有助于抵御长期风险的影响，但在对退休人员成本最高的自然状态下，即在医疗紧急情况下，其经济价值会降低。

在那种自然状态下，年金是不可取的；因此，应该获得更多养老金的人（比以前想象的要少）。“打破”Yaari（1965）模型的其他尝试围绕基础（相加）生命周期模型展开，并从隐含的生命周期风险中性转向具有递归偏好的模型。另见Bommier（2006）。要明确的是，我并不想在Yaari（1965年）的模型中再次出现漏洞，也不想为消费者不年金化提供理由。最近在行为经济学方面的研究，特别是Brown等人（2008）的文章，为消费者为什么不喜欢年金提供了一个相当令人信服的解释；必须处理框架、锚定和损失厌恶。当前的论文很好地保持了新古典主义范式，假设消费者是理性的、风险厌恶的，并且在随机的生命周期内最大化消费的加性效用。这是Levhari和Mirman（1977）、Davies（1981）、Sheshinski（2007）或最近的Hosseini（2015）所采取的方法，仅举几个例子。此外，我假设消费者使用Kotliko Off和Spivak（1981）提出的年金等价财富（AEW）指标来评估年金，Brown（2001）和其他在世界各地校准这些数字的人也使用了这一指标。AEW只是表示支付意愿指标的另一种（互惠）方式，在经济学中广泛使用，最近在Barseghyan等人（2018）中进行了审查。Brown（2001）表明，个人AEWL的增加导致年金化倾向的增加。

它部分预测了谁有可能购买年金，这也是深入研究AEW结构的另一个原因。这就是说，当前论文的主要关注点与死亡率异质性以及养老金的主观或个人价值有关，因为每个人都必须支付相同的价格，也就是说，他们都必须在同一个池子里游泳。死亡率不平等不断加剧的证据不断积累，尤其是切蒂等人（2016）最近的研究表明，美国收入最高和最低百分位之间的预期寿命差距可能高达15年。这些数字大于（比如）De Nardi、French和Jones（2009）报告的10年，或在养老金和社会保障方面，在Poterba（2014，表3）中指出的5年差距。Peltzman（2009）指出，2002年，美国（按县）的预期寿命最高为79.83岁，最低为73.17岁，与七岁相比差距较小。另见Brown、Mitchell、Poterba和Warshawsky（2001）以及与货币价值比率的联系。相比之下，Chetty等人（2016年）指出，可测量的差距可以延伸到15年。与同样的趋势相呼应，在社会保障的背景下，Goldman andOrszag（2014）讨论并证实了“按收入增长的死亡率梯度”，并报告了月平均收入最低与最高（AIME）人群之间13年的预期寿命差距。值得注意的是，（低）收入和（高）死亡率之间的相关性不仅仅是美国的现象。在美国市场之外，也有类似的讨论。Andersson、Lundborg和Vikstrom（2015）以瑞典为例，在瑞典，人们预计不会观察到这种死亡率梯度。Milligan和Schirle（2018）提供了加拿大死亡率梯度的最新证据。

然而，推动这篇论文的问题是：死亡率和寿命的异质性如何影响年金的价值？Brown（2003）利用20世纪末可用的数字，根据种族和教育程度编制了年金价格和死亡率表，并得出结论：“如果管理成本足够低，即使对于死亡率高于平均水平的人来说，完全年金化也能提高福利。”这一结果在戴蒙德（2004）向美国经济协会发表的总统演讲中得到了回应（并被引用）。他首先指出，“与低收入者相比，统一年金将有利于预期寿命更长的人（例如）高收入者”，但得出结论，Brown（2003）“与之前的比较相比，年金的效用价值差异要小得多。”然而，Brown（2003）分析（具体见表1）中健康与不健康之间的预期寿命范围在67岁时为3.8岁。他假设高中文凭以下的黑人男性的条件寿命预期为81.0年（最低），而美国的拉美裔男性的条件寿命预期为84.8年（最高）。将这些差异与Chetty等人（2016年）甚至Goldman andOrszag（2014年）提供的更近的颗粒数字进行对比，其中，最高和最低收入百分比（校准至67岁）之间的预期寿命差距在10至15岁之间。目前尚不清楚，为保险价值支付的一致积极意愿，即年金等价财富价值大于1，是否能够在预期寿命的巨大差距中存活下来。

当预期寿命较低的退休人员被强制集中在一起，即要求与预期寿命更长的人一起游泳时，年金等价财富可能低于捐赠财富，长寿风险池的价值可能为负值。有人能毫不含糊地说，无论西蒙的死亡率相对于希瑟的死亡率有多高，他都愿意与希瑟一起分享年金并从中受益吗？当然，肯定有一点答案是否定的，他愿意自己年金，因为不得不补贴希瑟的隐性负担（太）高了。我在这里的观点不仅是主张更新或修订可能过时的数字，以反映死亡率日益增加的异质性，尽管这当然是本文的动机。相反，我的目标也是关注死亡率增长率（与寿命离散度成反比）作为年金价值的驱动因素。我利用一个简单（封闭形式）的年金等价财富分析表达式来说明这一点，然后根据Chetty等人（2016）的数据，按百分位数校准死亡率。从概念上讲，本文的主要论点可以总结如下。尽管最近的数据表明死亡率的异质性在增加，预期寿命的差距在增加，但根据CLaM的研究，同样的数据证实，死亡率越高的个体寿命波动越大。这有助于提高长寿保险的价值。换句话说，年金的吸引力并不是因为预期寿命较短（或死亡率较高）。相反，正是寿命的波动性推动了其价值。

有关这方面的更多信息将在本文正文中提供。需要明确的是，还有许多其他作者和论文集中了注意力，并将寿命的标准差（SD）与最佳生命周期行为联系起来。这一类别中最突出的是Edwards（2013），他们在Tuljapurkar和Edwards（2011）的工作基础上，记录了x=10岁时的15年标准差。Edwards（2013）建立在Yaari（1965）模型的基础上，得出了理性生命周期消费者在承受更高的生命变化时所需的延长寿命的估计值。虽然Edwards（2011）的大部分内容都是基于正态分布的寿命，而且我是在Gompertz框架内操作的，但他表明，额外一年的标准差（以年为单位）相当于六个月的寿命。然而，就文献综述而言，《爱德华兹》是少数几篇将经济学家的注意力集中在人生第二个（相对于第一个）时刻并展示其对最佳行为的影响的论文之一。从这个角度来看，本文的观点是，这两个时刻之间的联系具有经济解释和含义。3生死攸关的问题3.1按性别和收入计算的死亡率（#2）显示了美国男性和女性的死亡率，作为不同年龄和收入百分比的函数。这些数据代表了2001年至2014年期间每1000人的实际死亡率，并基于Chetty等人（2016）收集的数据。提供的数字是特定年龄段（比如50岁）观察到的死亡人数与该年龄段总人数（比如50岁）的实际比率。这些比率不是精算预测，而是基于超过14亿人年的观察和近670万人的死亡。表2a所示为Chetty等人的文章中描述的方法。

（2016年），作为收入百分比函数的死亡率的全部数据可在线获取。他们（滞后的2年收入）的数字是针对40到63岁的人，人们必须使用预测程序（也称为Gompertz）来获得晚年的价值，这是我稍后将返回的内容。这些死亡率包含了各种见解或收获，有些是显而易见的和直观的，有些则不那么明显。首先关注中排，即所谓的中等死亡率。40岁时，男性每1000人中有1.2人（中等收入）死亡，而女性每1000人中只有0.8人死亡。另一方面，40岁（中等收入）男性的一年死亡率比女性高50%，这自然会导致（中等收入）男性的预期寿命较低。继续同一行，50岁的男性死亡率现在更高，为每1000人中有2.9人，女性为2.0人，为了简洁起见，我省去了一年和收入中值这两个短语。60岁时，患病率分别为7.3（男性）和4.5（女性）。这只是年龄的影响，对男性和女性都有影响。目前还没有什么令人惊讶的，但请注意，男性与女性死亡率之间的差距如何从40岁时的150%（=1.2/0.8）缩小到50岁时的145%（=2.9/2.0）。这并不是一个很大的下降趋势（至少在表中是这样），因为在60岁时，超额死亡率又回到了162%（=6.3/4.5）。继续（更有趣的）行，我们现在有机会衡量收入百分比对死亡率的影响。请注意，对于处于最低收入百分位（中位数以南）的美国男性来说，50岁时的死亡率高出四倍以上，每1000人中有12.5人死亡，而收入中位数为2.9。

与此形成鲜明对比的是，收入最高的50岁男性（中位数以北）的死亡率仅为1.1‰。这还不到收入中值的一半。不同的是，第一个百分位和第一百个百分位之间的死亡率范围为（12.5/1.1）或超过11比1。对于那些之前没有看过这些数字的人来说，它们可能看起来很极端，但它们绝不是原创的。正如Deaton（2016）所指出并在本文第一段中引用的，在经济学文献中，重要性和收入之间的联系已经得到了很好的证实。这些数字所依据的Chetty等人（2016年）只是死亡率与收入梯度关系的最新和最全面的文献之一。事实上，Goldman和Orszag（2014）提供了类似的证据，他们的数据似乎表明基于收入和财富因素的预期寿命差距更大（即大于15岁）。再深入一点，请注意最低收入百分比（表顶）和最高收入百分比（表底）之间的死亡率比率是如何随着时间的推移而缩小或下降的。例如，对于40岁的男性，最差与最佳的比率为9.67（=5.8/0.6），而在60岁时，该比率降至7.89（=22.1/2.8）。女性的相对比率也出现了同样的下降。40岁时，最差与最好的比率为14（=4.2/0.3），但到60岁时，它缩小到5.8（12.8/2.2）的倍数。不同的是，死亡率似乎随着年龄的增长而趋同。3.2年龄趋势：GompertzTable（#2b）一瞥基于表（#2a）中包含的数字构建，并显示一年死亡率本身随年龄增长的年增长率，作为收入百分比的函数。