与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和价值

必要时，我将增加符号以包括生物学特性，即与年龄x相关的两个Gompertz参数（hx，g）。因此，a（hx，g）表示在危险率为h=hx时购买的，在Gompertz（hx，g）空间中建模剩余寿命随机变量的个人每年1美元的终身年金的市场价格。这些都在前面的第3节中进行了解释。我在这里提出的观点是，这两个生物人口特征很容易观察到，并且可以（合法）用于承保，或者至少用于理论估价目的。就金融和市场而言，利率（显然）会影响养老金和终身年金的价格，因此，如果我必须提请注意潜在的价格：r，假设它是常数，我会在表达式的最开始处附加第三个参数，并将年金系数写为：a（r，h，g），以确保完整性。请注意，表达式中没有任何年龄（x），因为这已经包含在危险率（hx）中。当我想特别注意模式值（m）或全局分散参数（b）对（x）表示的明确年龄的年金估值因子的影响时，偶尔会出现表达式a（r，x，m，b）。请注意，到目前为止，我只提到了市场价格，而没有提到理论模型或经济价值，这两者自然会有所不同。

为了将这两个数字联系起来，我引用了精算师可能会称之为致命索赔定价的基本定律，或者金融经济学家可能会简单地称之为无套利估值。无论哪种情况，市场价格：Gompertz死亡率定律下的a（x）应等于以下值：a（r，hx，g）：=Zω-xe公司-rtp（t，hx，g）dt，（4），其中ω表示假定人们生活的最后可能年龄，p（t，hx，g）是条件（x岁和死亡率hx）生存概率。基本的经济学假设是，如果将足够多的已知（hx，g）类型集合在一起，根据大数定律，它们将消除任何特殊的死亡风险，估值很容易通过贴现现金流预期进行。方程（4）中另一个隐含的假设是利率是一个常数r，尽管这并不重要。通过假设恒定速率r，可以使用Gammafunction解析地求解方程（4）。有关这方面的更多信息，请参阅技术附录。方程式（4）经常被离散使用，例如在Poterba、Venti和Wise（2011）中。从这一点开始，我将避免使用市场价格或价值，并参考：a（.）作为年金因素。在我开始讨论这一问题的经济学之前，重要的是要关注a（r，hx，g）的偏导数的符号，关于三个明确列出的参数。首先，年金系数随着年龄和风险率hx的增加而下降。直觉上（与永久性收入不同的是），随着年龄的增长（以及离死亡越来越近），一个固定的1美元终身收入的成本会下降。同样，该因子在估值率r较高时下降，毕竟它只是一个现值。

同样重要的是，在任何有条件的年龄x和危险率hx下，年金系数都会随着增长率g的增加而下降，这与剩余寿命较低的个体同义。这些见解不需要太多计算，在技术附录中有更详细的讨论。回到问题的经济学上来。设（^hx，^g）表示最佳总体（组）死亡率的Gompertz参数，而（hix，gi）表示最佳个体（子组）死亡率的参数。特别是，利用第#3节中介绍的思想，我让：（hx，g）表示收入最低百分位个体（即子群体）的Gompertz参数，而（hx，g）表示收入最高百分位个体的Gompertz参数。因此，总体模式和分散参数将是主题值：分别为^h=hx和^gx=g（尽管有点挥手）。如前所述，当我想提请大家注意（mi）和（bi）参数的总体平均值时，我将使用明显的：（m）和（b）。4.2测量效用t:U**（w） 表示将其财富w和U年金化的个人的价值函数（最大效用）*（w） 决定自行投保（即根本不拥有任何年金）并决定通过系统性提款计划为退休提供资金的个人的价值函数，那么：**（w）≥ U*（w） 。（5） 注意。Gompertz变量的加权平均值不是Gompertz。其次，即使我选择了最合适的平均线，Hx和g值也不会是线性平均值。因此，这是一个近似值，但也正是Chetty et al.（2016）所假设的。这是年金经济学中众所周知的结果，在第#2节中有提及和引用。存在一个常数δ≥ 0，以便：U**（w） =U*（w（1+δ））。

（6） 不年金的退休人员需要增加财富的δ%，才能与年金的退休人员产生相同水平的效用。考虑到我们是在恒定相对风险规避（CRRA）效用下运营的，并且没有预先存在的年金收入，我将设置w=1，并通过：（1+δ）引用年金等价财富，通过δ引用长期风险池的价值。要结束所有这些（基于效用的）定义的循环，请注意，如果我的风险池主观价值为：δ=25%，AEW为1.25美元，那么初始财富W=125美元的人会愿意支付25美元或100美元δ/（1+δ）来访问年鉴。支付意愿为δ/（1+δ）。无论是AEW、WtP还是仅仅是池δ的值，所有这些基本上都度量相同的东西，并且在本文中可以互换使用，除非数字本身很重要。无论哪种方式，δ都是单个Gompertz参数（hix，gi）、市场定价参数（^hx，^g）和基于效用的偏好（涉及风险γ和贴现ρ=r）的函数。接下来，假设一个个体（用i表示）及其死亡率分别是Gompertz参数，人口也（近似为）Gompertz，Up年金因素的基础。个体的AEW可以表示为：1+δix=a（r，x，mi，bi）1/（1-γ） a（r、x、^m、^b）-1a（r，x- biln[γ]，mi，bi）γ/（1-γ） =a（r，hix，gi，）1/（1-γ） a（r，^hx，^g）-1a（r，hix/γ，gi）γ/（1）-γ） （7）式中，γ表示CRRA效用中的相对风险规避系数，并假设主观贴现率（也）等于r。我有意使用（m，b）和（hx，g）公式表示年金系数，主要是为了在任何一组参数可用时（容易）计算δ。请注意，当年金价格公平时（即风险相等的联营），hix值=^hx，gi值=^g。

因此，方程式（7）中的表达式可以进一步简化，这将在稍后完成。寿命风险池δ的值是个体寿命变异系数（CoVoL）的递增函数。其运行的确切机制是通过较高的死亡率危险率hx。要清楚的是，即使g保持不变，hxin的高值也会导致δ的高值（CoVoL和）。这也是养老金定价合理的时候，使得hx=^hx和g=^g在等式（7）中。技术附录中给出了支持性证明和比较静力学。我还参考了Milevsky和Huang（2018）的其他支持材料。请注意，我在本文中的兴趣是使用年金等价财富的表达式a.k.a.（1+δ）。最后，在同质情况下，子组中的每个人都经历了完全相同的死亡率，即hx=^hx和g=^g。年金等价财富为：1+δx=a（r，x，m，b）a（r，x-^b lnγ，m，b）！γ1-γ=a（r，hx，g）a（r，hx/γ，g）γ1-γ. （8） 它是两个精算年金因素之比的简单函数，并且很容易以离散或连续形式计算。特别要注意的是，方程式（8）中各自的年金系数是在两个不同的年龄（或风险率）下计算的分子按生物年龄x（或危险率hx）计算，分母按修正（风险调整）年龄x计算-^b lnγ（或危险率hx/γ）当γ>1时，分母因子中的修正年龄低于（小于）x。较低的修改年龄会增加年金系数和AEW。然而，即使γ<1，δx>0的值也提供了γ>0。

这里有一些年金等价财富的数值例子和直觉。4.3一个简单的数字示例：两个假设组假设假设构建的A组65岁时的剩余预期寿命为：11.95岁，潜在的Gompertz死亡率参数为：m=75.02和b=11.87。65岁时的CoVoL为60.4%，这是剩余寿命的标准偏差：SD【T】按平均剩余寿命：E【T】缩放。现在，假设假设B组的剩余预期寿命为：E【T】=23.64岁，Gompertz参数为：m=91.72，B=12.87，寿命变异系数（CoVoL）为：47.4%。由于这只是一个数字示例，我将假设（主观贴现率和）估值率为：r=3%，相对风险规避系数为：γ=3（在CRRA效用中）。这些值对于主观效用和AW的评估并非不合理。在这些参数值下，代表性的a组（65岁，退休人员）如果能够与其他类似的a组成员共同承担这一风险，则他们会将长寿保险的价值定为：δ=89.32%，方法是根据自己的人口获得价格合理的终身年金：m=75.02，b=11.87参数。这个89.32%的数字基于方程式（8），首先通过计算a（0.03，65，75.02，11.87）=9.493，除以a（0.03，51.96，75.02，11.87）=14.528，得出(-3/2），然后减去1表示为百分比。特别是，注意分母中的年龄倒退，从：x=65到修改后的年龄51.96=（65-（11.87）ln 3），我将其标记为风险调整年龄。该AEW与过去30年（许多）其他研究中报告的（通常）年金化的巨大收益一致，如第2节的文献综述所述。

例如，Brown（2003）在相对风险规避（CRRA）值的系数范围内计算δ（数值），γ=1。。他的数字从36%到90%不等，这取决于人口因素。现在，假设相同的r=3%的估值率和γ=3，风险规避系数，让我们检查B组退休人员的代表性。如果将其与B组的同质风险合并，则其在x=65岁时的δ值低于A组对应的δ值。直觉上，65岁时，他们的CoVoL也较低。特别是，使用m=91.72，b=12.87的值，方程式（8）得出的值δ=48.39%，低于集团成员愿意支付的金额。尽管B组退休人员的预期寿命为24岁，而A组退休人员的预期寿命为12年，这一事实显而易见（但并不十分相关）。事实上，推动（公平）长寿保险δ的是长寿的波动性（通过m和b），而不是b组退休人员寿命更长这一人口统计学事实。再看一个更大的异质池，想象一下a组和B组，按年龄顺序都是65岁，在一个大池中等量地混合在一起。为了保持制度公平，养老金的定价基于混合人口死亡率。稍微挥动一下手臂，假设得出的Gompertz参数为：m=85.45，b=12.41，据此对集团年金进行定价。直觉上，A组成员的年金价格相对较差，B组成员的年金价格相对较好。这是假设在强制性制度下，两个群体都被迫以相同的价格购买年金。AEW基于群体（市场定价）和个人（生命周期效用）死亡率。见方程式（7）。

集团年金系数（或双方支付的价格）现在是a（r=3%，65，^m=85.45，^b=12.41）=13.583，这在精算上对双方都不公平。这对B组成员有利（必须支付15.97英镑），对A组成员不利（只需支付9.493英镑）。这里是要点。B组成员现在经历：δ=74.48，比之前的（同质情况）更高：δ=48.39%。相比之下，A组成员面临着沉重的价格（13.583 vs.9.493），他们对年金的估值仅为：δ=32.32%。事实上，如果A组成员的预期寿命（甚至）更低，但仍然支付相同的组价，那么可以想象方程（7）中的δ实际上可能是有益的。在这种情况下，A组（鱼类）不愿意与健康的B组（鲨鱼）一起在游泳池中游泳。他们宁愿冒险，自保长寿。图#4如下图所示。图（#4）在可能的m值范围内以图形方式说明了这种关系。左边是预期寿命较低（以m表示）的个人（想想A组），退休时的寿命波动性相对较高。右边是预期寿命较高、寿命波动性较低的个人（如B组）。为了计算公式（7），Gompertzdispersion的寿命（与寿命的波动性相反）保持不变：1/g=b=12年。上限是基于γ=5，即较高的风险规避水平，而下限是γ=1，尽管方程式（7）中略有修改，以说明对数效用。请注意，随着m的增加，长寿风险池和支付意愿的价值下降——当池是同质的。

B组退休人员（支付公平价格）的Aδ低于A组（支付公平价格）；但当它们混合在一起，并且都支付相同的集团价格时，曲线就颠倒了。从本质上讲，A组更重视长寿保险，因为他/她长寿的波动性更高，但正负荷降低了其吸引力。相比之下，B组成员对长寿风险池的好处有些矛盾，现在愿意为相对便宜的终身年金支付更多。仅仅根据市场价格来改变购买某样东西的主观意愿似乎有些奇怪。毕竟，我买苹果或桔子的意愿不应该取决于价格。事实上，这就是衡量标准的要点，即对市场价格保持不变。更确切地说，正确的方式是，在年金时，愿意支付一些橘子（即A组）与苹果（即B组）混合的费用。健康而富有的B组成员（鲨鱼）愿意为混合袋支付更多的费用。有了这种直觉，我们可以回到主要的经验问题上来。美国不同收入百分位数的情况如何？最低收入百分位数（即Simon）是否经历了足够大的寿命波动，以克服因必须补贴最高收入者（即Heather）的年金而产生的隐性负担？5美国按收入百分比计算的AEW我现在使用寿命风险池价值的主方程（7），即a.k.a。

年金等价财富，相对风险规避系数的合理值γ=1。。以及Gompertz参数（mi，bi）的实际值，作为收入百分比的函数。图#5如前所述，根据前面解释和介绍的死亡率补偿法，图（#5）显示了（h）和（g）之间的关系，作为收入百分位数的函数，基于Chetty et al.（2016）中前面提到的数据。请注意，根据Milligan和Schirle（2018），初始死亡率和死亡率增长率之间存在相同的负相关关系。如图#6所示。因此，这并不是一种仅在美国存在的虚假关系。图6所示，就衡量风险厌恶而言，我知道正在进行的辩论和校准γ的众所周知的问题，请感兴趣的读者参考O\'Donoghue和Somerville（2018）、orSchildberg-H¨orisch（2018）和Andersen（2008）最近的工作，为了使用这些值的公正性。同样，在对不同百分位进行比较时，我假设γ保持不变，并不取决于（mi，bi）或（hi，gi）值的特定选择。事实上，可以提出一个论点，即死亡率较高的个体实际上可能具有较低的水平或风险厌恶。参见Cohenand Einav（2007），了解风险敞口与保险需求之间的可能联系。表（#4）使用γ=3的中点显示结果，并根据要求提供其他（数值表）。首先，我估计相关的Gompertz-miand-bi（或hiand-gi）值，然后计算剩余寿命预期值：E[Tx]和标准偏差：SD[Tx]。有了这些数字，我可以显示个人的长期波动性以及最终的两个AEW值。