与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和价值

例如，在中等收入水平（使用50岁的基线年龄）下，男性的一人死亡率每年增长9.21%，女性为8.64%。表（#2b）最右边一栏中的数字是100岁时的预计死亡率，假设指数增长在50年内以相同的速率不变，并且在精算文献中用#qin表示。表#2b是精确的，这个增长数字是以连续时间表示的。通过在关系式中求解g来计算：q=qeg13，或等效：g=（ln q/ln q）/13，其中q表示x=63岁时的死亡率（男性或女性），q表示x=50岁时的相应数字。63岁以上的年龄并不是任意的，但事实上，切蒂等人（2016年）的报告认为死亡率是（滞后2年）收入的函数，这是最高年龄。在中等收入水平下，男性死亡率增长率为9.21%，女性死亡率增长率为8.64%（男女比例约为9%），这并不局限于50至63岁的年龄范围，也不是这个特定数据集的产物。从35岁到95岁，大多数人类物种的死亡率（大约）增长了9%。众所周知，贡佩兹（1825）的死亡法则是以本杰明·贡佩兹的名字命名的。回到死亡率不平等的话题，请注意，处于最低收入百分位的个体的死亡率增长率（比率）男性仅为5.63%，女性为4.81%，接近中等收入水平对应比率的一半。也许这可以解释为对经济不太幸运的人来说是一个小小的好消息。他们的死亡率没有增长或增加得那么快。当然，他们已经从一个更高的基础上开始工作（50岁）。

相比之下，那些有幸生活在收入最高百分位的人，随着年龄的增长，死亡率会增长10%。不同的是，他们的老龄化速度快于人口中的中位人群，也快于低百分位人群。事实上，男性（10%）和女性（9.97%）之间的差异几乎可以忽略不计。请注意，在x=100岁时，死亡率是如何相互接近的。我会回到这里的。高收入者和低收入者之间死亡率增长率的差异导致剩余寿命随机变量Tx的离散度存在相应的差异。我将正式而准确地定义该变量，但事实上，死亡率增长率与标准偏差之间存在着逆数学关系：SD【Tx】。较低的增长率与寿命变化系数（CoVoL）的增加同义，CoVoL定义为剩余寿命标准偏差SD【Tx】与平均剩余寿命E【Tx】的比率。与收入最低的百分位相比，长寿保险的需求相对较高，而且在其他条件相同的情况下，他们愿意为保险支付更多的费用。第（#4）节介绍了正式讨论3.3死亡率补偿定律（CLaM）图（#2）是所谓的死亡率补偿定律的可视化，它解释（并与）表（#2a）和（#2b）中显示的数据一致。图#2所示死亡率曲线的收敛性（或相对于qx绘制的回归线），据作者所知，是由L.A.Gavrilov和N.s.Gavrilova首次确定的，并在Gavrilov和Gavrilova（1991年，第148页）的书中使用他们所称的老化可靠性理论进行了充分解释。

我遵循加夫里洛夫（Gavrilov）和加夫里洛娃（Gavrilova）（1991年、2001年）以及索姆·冈佩茨（Assume Gompertz）的观点，得出了（更多）比切蒂等人（2016年）所假设的更高的年龄，尽管100岁或105岁的死亡率稳定期是否与65岁时的终身年金的贴现价值不太相关。虽然死亡率补偿定律和（i.）中年死亡人数与（ii）之间的负相关关系生物学家们都知道任何一个物种亚群的生长速度，但它仍然存在争议，因为它很难与流行的衰老和长寿理论相一致。尽管如此，可以解释这一补偿法的一个框架是所谓的衰老可靠性理论，该理论也解释了为什么根据Gompertzlaw的死亡率理论，生物体更愿意死亡。我建议读者参考加夫里洛夫和加夫里洛娃（2001），以了解更多关于寿命和经济风险和回报（安全性）的生物学基础。3.4审查Gompertz死亡定律为了分析寿命变化对保险需求的影响，需要一个生命周期死亡率的节约型模型，而不仅仅是几个离散的年龄数据点。回想前面小节中的死亡率qx，在年龄x中呈指数增长，而ln qxin在x中呈线性增长。这表明，在连续时间内，对数危险率的合适模型为：λx+t=hxegt=bex+t-mb=e（x-m） /bbet/b（1）负相关（c与c之间）有时被称为Strehler-Mildvan相关性，但并不完全是上述链接的性质。另请参见Marmot和Shipley（1996）发表的有趣且相关的论文，该论文表明，在老年人中，死亡率的收敛速度可能不会太快。这就是前面提到的Gompertz死亡定律。

（m，b）参数化在精算财务文献中很常见。更简单的（h，g）公式在人口统计学、统计学和经济学中更为常见。根据上下文和需要，我将两者交替使用。在（m，b）公式下，两个自由（或支配）参数具有更直观的概率解释。它们被标记为模态值m和色散参数b，均以年为单位。一个物种或种群中的不同群体具有不同的（m，b）值，特别是那些收入较低的群体，其特点是m值较低，b值较高。或者，根据（h，g）的说法，在任何给定年龄，低收入群体的危险率h较高，但增长率g较低。（m，b）视角背后的直觉——以及为什么它们被标记为模态和离散——只有在剩余寿命随机变量Tx通过危险率和相应的密度函数确定后才变得明显。正式名称：Pr[Tx≥ t] ：=p（x，t，m，b）=e-Rtλx+sds=exp{e（x-m） /b（1- （2）式（2）中从第三项到第四项的定义来自于式（1）中危险率的定义。剩余寿命随机变量的期望值：E【Tx】，以及任何更高的力矩，可以通过由：F（x，t，m，b）：=1引起的累积分布函数（CDF）来计算-Pr[发送≥ t] ，或更常用的概率密度函数（PDF）定义为：f（x，t，m，b）=-tp（x，t，m，b）。我们可以根据危险率和增长率，或者（h，g）重新编写密度函数。寿命变异系数（CoVoL）衡量个人寿命或退休期限的相对不确定性。

在本文中，我偶尔会将该比率称为寿命波动率，因为在这种情况下，它经常被金融服务行业用作寿命风险的常用衡量指标。不管它的确切名称如何，我都会用符号Дx来表示它，并确保按当前年龄x进行索引，因为它在生命周期中会发生明显的变化。定义为：txt与预期值：E【Tx】之比的标准偏差。形式上，它可以计算如下：Дx=SD（TxE[Tx]）=SD[Tx]E[Tx]=qR∞tf（t）dt- （R）∞t f（t）dt）R∞t f（t）dt。（3） 请注意，缩写：f（t）是Gompertz死亡定律下全概率密度函数（PDF）的简写符号。图（#1）是我之前在介绍中比较Heather和Simon时提到的，本质上是两组Gompertz（m，b）值下f（t）的曲线图。在下一小节中，我将给出许多示例，并明确计算E[Tx]、SD[Tx]和Дx的值。在讨论数字之前，我想通过在最简单的（非Gompertzian）致命定律下检查其性质，即：λx=λ，并且在所有年龄段都是常数，来帮助读者对Дxfunction有一些直觉。随着时间的推移，人类会变老，他们的危险率也会增加，但实际上有少数物种从未变老。在我们的语言中，他们的危险率保持不变，无论他们的年龄有多大。他们（显然）会死亡，但死亡的速度从未改变。事实上，恒定的危险率与指数剩余寿命和Pr[Tx]相关≥ t] =e-λt。生存概率随t递减，但速率不变。

在这种非Gompertz定律下，期望值：E【Tx】=λ-1且标准偏差为（也）SD【Tx】=λ-1.这两者都是众所周知的指数寿命性质。回到波动性；根据方程式（3）中给出的一般定义，但适用于指数分布的寿命；^1=1，在所有年龄和所有参数值下。换句话说，CoVoL对λ是不变的。一般来说，当死亡率不变时，longevityrisk总是100%。事实上，这不仅仅是一个巧合，事实上也是我选择关注CoVoL的原因。回到Gompertzlaw的死亡率，冠状病毒（i.）总是低于100%，（ii。）在生命周期中，随着年龄的增长而增加，并且（iii.）在同一时间段死亡率较高的人群，如西蒙和希瑟。所以，非常清楚的是，Simon和Heather的TX标准差和TXA的CoVoLof标准差都较高。3.5 CoVoL数和直观（#3）为函数提供了一系列数值：在x岁时，根据m（Gompertz分布模式）和b（分散系数）的参数值排序请注意，通过fixing（m，b），任何年龄x的危险率为：λx=（1/b）e（x-m） /b，根据Gompertz死亡率危险率的定义。例如，第一行中的值是在假设m=98且重要性增长率为1/b=每年11.5%的情况下计算的，这意味着分散系数：b=6.696年。由于现在应该很明显的原因，我将（m，b）组合称为富人（即最高收入百分位数），出生时预期寿命：e[T]=92.98岁。出生时终身随机变量的标准偏差为：SD【T】=11.15年，比离散系数b=8.696高出两年多一点。

出生时，标准偏差：SD【T】=bπ/√6，比b大28%。要清楚，在Gompertza假设下计算出生时的平均值和标准偏差，以计算危险率λx，x=0的演变。。ω、 具有一定的艺术性（或特殊性）。毕竟，即使是在最发达的国家，死亡率在生命的最初几年也相对较高，在10岁左右达到最低水平，只有在30岁到95岁之间才开始以类似Gompertz的方式“表现”。我并不是说所有年龄段的死亡率表都是Gompertz。相反，表（#3）中的要点是为Gompertz随机变量的矩提供一些直觉，而不是准确地建模生命周期中的最早年龄。不用说，婴儿和儿童都没有购买终身年金或共同承担长寿风险。沿着表的第一行移动，CoVoL在出生时仅为：Д（98，8.686）=12%，然后在整个生命周期中增加，在x=65岁时达到：Д（98，8.686）=33.7%。注意-为了可复制性-尽管可以通过分析推导出φ，但x>>0处的CoVoLnumbers是通过数值计算得出的。νx的分母，即剩余寿命的平均值，以闭合形式提供（见附录A.3，r=0），而分子需要一个数字程序。综上所述，x=65退休年龄的富裕女性的CoVoL为33.7%。同样，m=98和b=8.696参数代表了Chetty et al.（2016）数据中的最高收入百分位数。这位65岁的老人在x=65岁时的死亡率危险率为λ=0.2586%。现在，当我向下移动第一个面板中的行，将死亡率从11.5%降低到5.5%，同时将生命模式值固定在98岁时，CoVoL值增加。

需要明确的是，保持固定并减少g：=1/b会导致表中第6列λxas相应增加。虽然这些参数组合并不对应于任何特定的收入百分比，但这里的重点是发展年龄、参数（m，b）、危险率λx和CoVoL之间联系的直觉。注意降低死亡率增长率（记住这是：g=1/b），即增加b，会均匀地降低出生时的预期寿命E[T]，并增加出生时的标准差SD[T]。分子上升，分母下降，因此COVOL随着b值的增加而增加。这种情况在65岁时变得不那么明显或明确。请注意，平均值是如何在28.82年（b=8.696）开始生效，然后随着人们对b值更高的预期而下降，但随后在28.59年衰减并开始增加。分散度b的增加似乎会增加平均值，这在高倾斜分布中经常发生。这也是由于65岁时的初始危险率更高。总而言之，标准偏差SD【T】确实随着频带的增加而单调增加。净影响是，变化系数在b中确实增加。从富裕到贫穷，在表（#3）的底部面板中，生命的模式值为m=78岁，相应的预期寿命值在各年龄段（远）较低。危险率也较高。在最底层，b=18.182岁（即最低年龄），退休年龄x=65时的预期寿命现在是17岁（而不是28岁）。穷人的CoVoL为61.9%，几乎是第一排的两倍，而富人的CoVoL为33.7%。表（#3）中的艺术数字和潜在的直觉对于理解下一节中的比较静力学非常重要。

注意年龄x、模态值m和离散值b之间的相互作用如何影响CoVoL。Asx→ m CoVoL增加纯粹是由于潜在的Gompertz定律，即使在NB不变的情况下。换句话说，衰老增加了你余生的相对风险。从经济角度来看，正如我将在下一节中所展示的那样，长寿保险和风险分担的需求随着年龄的增长而增加，也就是说，死亡率更高。同样重要的是，同时使用x和m，以及（仅）增加b的值也会增加scovol。在任何给定的年龄x，m和/或b越高，CoVoL越高。图（#3）显示了两组（m，b）参数在整个生命周期内的CoVoL数。请注意，它是如何在较高的年龄稳定下来的，并且从未超过100%。我们可以将其视为Gompertz剩余寿命的预期值：E[Tx]收敛到SD[Tx]，x→ ω.从概率的角度来看，这是如何思考的。在非常高龄的时候，你实际生活的时间与你期望的生活时间非常接近。见图（#3）。图#3为清楚起见，变异性与随机死亡率、Lee和Carter（1992）模型的概念或人口Q值随时间的总体变化无关。我没有使用波动率来预测（比如）50年内的死亡率，本文中的模型完全是确定性的。

这就是说，如果一个人从危险率λx的确定性模型毕业，并假设一个随机模型：|λx，则Иxmetric仍将被定义为动量比，并且在非常高龄时应收敛到一个值。4年金等价财富和支付意愿我们现在得出了一个主要工具，我将用它来衡量高CoVoL的西蒙是否会被迫购买大量养老金。4.1年金定价我使用符号a（.）表示x岁时终身年金的市场价格。换句话说，支付：a（.）对于保险公司或养老基金，发行人有义务在买方、即退休人员或年金受益人的生命周期内每年返还1美元（或连续返还1吨）的收入。i支架内的EMS（.）是条件因素，可能是年龄、性别、健康等。例如，退休人员可能会支付：a（65）=20美元购买终身年金，从：x=65岁开始，终身每年提供1美元，但如果在：x=70岁时购买，价格可能是：a（75）=14美元，等等。这两个数字都是完全任意的，虽然为了讨论这篇论文，我会假设终身年金的规模，年薪10万美元的价格正好是10万美元。没有批量（规模经济）折扣或（逆向选择引起的）处罚。此外，唯一的负担或摩擦（隐含地）来自于与更健康、长寿的个体的融合，与利益或其他制度特征相对应。现在，在上述示例中，市场价格因年龄x而不同。实际上（大多数）公司和发行人因性别而不同，而一些公司甚至更进一步，承保年金，这是基于年金受益人健康状况的价格。