建立信任需要时间：基于区块链的套利限制

（A4）此外，一阶泰勒展开提供了确定性等价物的便捷闭合形式近似，该等价物在收益分布的矩中是线性的。我们通过将（A3）和（A4）相等，插入（A1）并求解CE得到定理中的方程。引理2的证明。证明直接来自于将定理1与Yieldsdsdst的等弹性效用函数的导数一起应用-γdst（σst）Et（τ）-γ（γ+1）（γ+2）（dst）（σst）Etτ= 0.（A5）附录D中提供了有关收益矩母函数的详细信息。然后，根据笛卡尔的符号规则，多项式（dst）正好有一个正实根-γ（σst）Et（τ）（dst）-γ（γ+1）（γ+2）（σst）Etτ= 0。（A6）四次多项式的所有四个解都由dst=±给出√sγ（σst）Et（τ）±rγ（σst）Et（τ）+γ（γ+1）（γ+2）（σst）Et（τ）。（A7）然而，由于γ（σst）Et（τ）<rγ（σst）Et（τ）+γ（γ+1）（γ+2）（σst）Et（τ）（A8）适用于所有γ>0、σst>0和Et（τ）>0，因此引理中的表达式给出了唯一的正实根。引理3的证明。ρ的Uγ（~r）产率的泰勒表示*:= 日志1+ρb，A（q）1-ρs，B（q）:Et（Uγ（~r））=δb，st+Et（τ）ust- ρ*+∞Xk=2U（k）γδb，st+Et（τ）ust- ρ*kUγδb，st+Et（τ）ust- ρ*Et公司rb，s（t：t+τ）- ρ*- δb，st- Et（τ）ustk.（A9）设DST为方程式（8）中定义的套利边界（无交易成本）。然后，dst+ln1+ρb，At（q）1-ρs，Bt（q）是函数F（d）的根：=d+Et（τ）ust- ρ*+∞Xk=2U（k）γ（d+Et（τ）ust- ρ*)kUγ（d+Et（τ）ust- ρ*)Et公司rb，s（t：t+τ）- ρ*- d- Et（τ）ustk. （A10）因此，当且仅当δb，st>dst+ln1+ρb，At（q）1时，Et（Uγ（~r））为正- ρs，Bt（q）！。（A11）引理4的证明。证明直接遵循引理3和定理1。引理5的证明。

我们将套利者的优化问题转化为拉格朗日（q，f；ξ）=Bst（1- ρs，B（q））q+Abt（1+ρB，A（q+f））（q+f）- ξdst（f）- δb，st+对数1+ρb，A（q）- 日志1.- ρs，B（q）（A12）并观察相应的Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件意味着q=0∨ 英国夏令时(1 - ρs，B（q））- ρs，B（q）q- Abt公司（1+ρb，A（q+f））+ρb，A（q+f）（q+f）- ξρb，A（q+f）1+ρb，A（q+f）-ρs，B（q）1+ρs，B（q）= 0（A13）f=0∨ - Abt公司（1+ρb，A（q+f））+ρb，A（q+f）（q+f）- ξddfdst（f）+ρb，A（q+f）1+ρb，A（q+f）= 0（A14）ξ=0∨ dst（f）- δb，st+对数1+ρb，A（q+f）- 日志1.- ρs，B（q）= 0，（A15）我们首先考虑ξ=0的情况。条件（A13）和（A14）现在变为Q=0∨ 英国夏令时(1 - ρs，B（q））- ρs，B（q）q- Abt公司（1+ρb，A（q+f））+ρb，A（q+f）（q+f）= 0（A16）f=0∨ - Abt公司（1+ρb，A（q+f））+ρb，A（q+f）（q+f）= 0（A17），仅保持if1+ρb，A（q+f）=-ρb，A（q+f）（q+f）。（A18）由于ρb，A（q+f）>0根据假设4，这不能是任何q>0或f>0的情况。还要注意，ξ=q=f=0表示矛盾。因此，约束（16）不能在最佳状态下松弛，也不存在ξ=0的候选解。接下来，我们转向ξ>0的分析。q=0的简单情况不会带来任何正回报，套利者支付f>0的任何费用也没有意义。无论如何，套利者宁愿不交易，即q=f=0。我们只剩下q>0的两个有趣的例子。对于f=0，KKT条件给出候选解{q，f，ξ}作为方程组的解(1 - ρs，B（q））- ρs，B（q）q- Abt公司（1+ρb，A（q））+ρb，A（q）（q）-ξρb，A（q）1+ρb，A（q）-ρs，B（q）1+ρs，B（q）= 0（A19）dst（f）- δb，st+对数1+ρb，A（q）- 日志1.- ρs，B（q）= 0（A20）f=0。

（A21）对于f＞0，我们可以得到候选解{q，f，ξ}作为解toBst(1 - ρs，B（q））- ρs，B（q）q-Abt公司（1+ρb，A（q+f））+ρb，A（q+f）（q+f）-ξρb，A（q+f）1+ρb，A（q+f）-ρs，B（q）1+ρs，B（q）= 0（A22）-Abt公司（1+ρb，A（q+f））+ρb，A（q+f）（q+f）-ξddfdst（f）+ρb，A（q+f）1+ρb，A（q+f）= 0（A23）dst（f）- δb，st+对数1+ρb，A（q+f）- 日志1.- ρs，B（q）= 0。（A24）然而，结合（A22）和（A22）表明，只有当ξ=Bst时，解才是可容许的(1 - ρs，B（q））- ρs，B（q）qddfdst（f）-ρs，B（q）1+ρs，B（q）>0。（A25）方程式（A25）现在为我们提供了解决问题的必要条件，该问题需要严格的正结算费用。也就是说，q>0，f>0ξ>0只能在以下两个条件之一成立的情况下求解（i）-ddfdst（f）>ρs，B（q）1-ρs，B（q）和1- ρs，B（q）>ρs，B（q）q（ii）-ddfdst（f）<ρs，B（q）1-ρs，B（q）和1- ρs，B（q）<ρs，B（q）q。然而，条件（ii）不能保持在最大值，因为1-ρs，B（q）<ρs，B（q）q表示交易量使得边际价格影响超过平均价格影响。在这种情况下，套利者会减少交易量以提高总回报。因此，（i）仍然是具有正结算费的候选解决方案的必要条件，该结算费将完成证明。B随机波动性下的延迟分布我们可以通过允许σStTo随时间变化来放松σSti在区间[t，t+τ]上保持不变的假设。更具体地说，让σst:R+→ R+带θ（τ）：=t+τRt（σsk）dk<∞ τ、 即，卖方市场的波动遵循（确定性）路径，且积分方差有界。假设ust=0，然后我们可以重写给定延迟τasrb，s（t：t+τ）=δb，st+t+τZtσskdWsk的套利曲线的日志返回。（B1）上述积分对应于具有独立增量的高斯过程。更具体地说，我们rb，s（t：t+τ）- δb，st= θ(τ) - θ（0）=EtWsθ（τ）- Wsθ（0）.

（B2）换句话说，时变布朗运动Wsθ（t）与方程式（B1）中给出的对数回报具有相同的分布（例如，Durrett，1984；Barndorff-Nielsen等人，2002）。因此，我们可以重写返回过程asrb，s（t：t+τ）=δb，st+t+θ（τ）ZtdWsk，（B3）引理1的含义仍然成立，但我们需要计算转换后的延迟mθ（τ）（u）的矩生成函数，这取决于延迟分布和波动过程的动力学。首先，注意，当θ（τ）严格增加时，概率积分变换产生τ（θ），Pt（θ（τ）=y）=Pt的分布τ = θ-1（y）y>0。（B4）最后，θ（τ）的分布通过其特征函数进行了充分描述，其形式为Дθ（τ）（u）=Eteiθ（τ）u=2πZ∞Z∞-∞Дτ（s）e-是τdseiθ（τ）udτ。（B5）L'evy的特征描述允许将这些想法扩展到更一般的非确定性被积函数和随机时间变化。虽然方程（B5）允许基于定理1推导出每个连续局部鞅的理论套利边界，但我们的分析仅限于价格过程和相关结算延迟的分析上更易于处理和直观的动力学。C指数分布延迟的回报分布为了提供一个示例，我们将设置延迟的概率分布参数化为一个指数分布，局部常数比例参数λt：=λ（It）。延迟的概率密度函数由πt（τ）=λte给出-λtτ，（C1），条件平均值Et（τ）=λ-1和条件方差Vt（τ）=λ-2吨。指数分布的动量母函数为mτ（u）=1.- λ-1吨-1.

因此，引理1产生了νrb，s（t：t+τ）（u）=eiuδb，st1- iustλtu+（σst）2λtu，（C2），对应于具有Et的不对称拉普拉斯分布的特征函数rb，s（t：t+τ）= δb，st+ustλtand Vtrb，s（t：t+τ）=λt（ust）+（σst）（例如，Kotz等人，2012年）。在没有漂移（ust=0）的情况下，分布塌陷为对称拉普拉斯分布，位置参数δb，st，尺度参数σst√2λt，以及相应的概率密度函数πtrb，s（t：t+τ）=√2λt2σstexp-√2λtσstrb，s（t：t+τ）- δb，st, （C3）带Etrb，s（t：t+τ）= δb，支架Vtrb，s（t：t+τ）= （σst）Et（τ）。因此，毫不奇怪，在基本布朗运动没有漂移的情况下，套利策略隐含的（有条件的）预期回报等于瞬时回报δb，st=bst-abt.（有条件的）方差等于（本地恒定的）市场现货方差s，（σst），以（有条件的）交易结算前的预期等待时间λ为标度-1吨。因此，卖方市场的波动性越大，或在转让结算前的预期等待时间越长，极端不利价格变动的风险就越高。图C1提供了结果分布的图示。该图显示了在随机采样等待时间停止的布朗运动的模拟绘图。图顶部的边际分布说明了等待时间的指数分布。右侧的边际分布显示了价格过程的最终抽样分布，该分布收敛于局部分布的极限。

图中显示了具有负漂移的价格过程的不对称拉普拉斯分布，而没有漂移的价格过程将产生图C1：指数分布延迟下的回报分布。注：如果原木价格遵循布朗运动且延迟呈指数分布，该图说明了随机延迟（横轴）对回报分布（纵轴）的影响。各个路径对应于价格过程的抽样图，点对应于停止的维纳过程的终值。顶部的边缘分布对应于采样的延迟。右侧的边际分布对应于收益的样本分布，该分布在拉普拉斯分布的极限内收敛。图中显示了负漂移ust<0的价格过程的结果分布。对称拉普拉斯分布。D恒定绝对风险厌恶下的套利界我们将我们的主要结果进一步应用于具有恒定绝对风险厌恶（CARA）的常用效用函数的情况。同样，我们忽略了方程（7）中泰勒表示四阶以上的高阶矩的影响。这些假设产生了套利边界的一个分析上易于处理的公式。引理6。如果除了假设1和2之外，套利者还有指数效用函数Uγ（r）：=1-e-风险规避γ>0的γ（1+r）γ，则套利边界St=- Et（τ）ust+γVt（τ）（ust）+（σst）Et（τ）-γ3ust（σst）Vt（τ）+（ust）Et(τ - Et（τ））+γ（ust）Et(τ - Et（τ））+ 6（σst）（ust）E（τ）+Etτ- 2Et（τ）+γEtτ（σst）。（D1）证明。对于指数效用，我们有U（k）（r）/U（r）=(-γ） k级-1对于k≥ 1.

因此，根据定理1，我们得到ce=δb，st+Et（τ）ust-γurb，s（t:t+τ）（2）+γurb，s（t:t+τ）（3）-γurb，s（t：t+τ）（4）+O（r），（D2），其中urb，s（t：t+τ）（k）：=Etrb，s（t：t+τ）- δb，st- Et（τ）ustk是返回的k阶中心动量，O（r）对应于我们随后忽略的泰勒近似误差。认识到通过定义mrb，s（t：t+τ）（iu）=Дrb，s（t：t+τ）（u），我们可以推导出由mrb给出的收益的矩母函数，s（t：t+τ）（u）=euδb，stmτuust+u（σst）. （D3）中心力矩母函数定义为asCrb，s（t：t+τ）（u）=Et经验值ur（t：t+τ）- Et（rb，s（t：t+τ））= 经验值-uEt（rb，s（t：t+τ））mrb，s（t：t+τ）（u）。（D4）因此，我们有urb，s（t：t+τ）（k）=kukCrb，s（t：t+τ）（u）u=0=kukexp公司(-Et（τ）ustu）mτuust+u（σst）u=0。（D5）然后，基本微积分得出urb，s（t:t+τ）（2）=Vt（τ）（ust）+（σst）Et（τ）（D6）urb，s（t:t+τ）（3）=3ust（σst）Vt（τ）+（ust）Et(τ - Et（τ））（D7）urb，s（t:t+τ）（4）=（ust）Et(τ - Et（τ））+ 3Etτ（σst）+6（σst）（ust）Et（τ）+Etτ- 2Et（τ）Etτ. （D8）然后，我们将方程（D6）-（D8）插入（D2）。最后，认识到套利者利用价格差异当且仅当CE>0时，我们可以求解最小瞬时价格差异δb，St，从而完成证明。在没有漂移（ust=0）的情况下，引理6的套利边界进一步简化了dst=γ（σst）Et（τ）+γ（σst）Vt（τ）+Et（τ）. （D9）就像CRRA的情况一样，套利边界DST正依赖于（i）RBITRAGEUR的风险规避，（ii）卖方市场的局部波动性，（iii）预期的结算等待时间，以及（iv）等待时间的方差Vt（τ）。E无套利隐含相对风险规避我们计算隐含相对风险规避^γb，St，以便在t时观察到的所有交换对{b，s}的价格差异都位于隐含套利限制内。

对^γb，Sti的解释很简单：如果套利者的风险厌恶低于^γb，st，那么交易是合理的。我们根据下面的引理计算^γb。引理7。定义^γb，STA为三次多项式的根δb，st-（σst）c^γb，st-（σst）c^γb，st-（σst）cδb，st+（σst）c^γb，st=0，（E1），其中，与方程式（27）和（28）类似，c=^Et（τ）+^E（τb）·（Bs- 1） c=^Vt（τ）+^V（τB）·（Bs- 1)+^E（τB）·（Bs- 1） +^Et（τ）. 然后，价格差异（针对交易成本进行调整）~δb，st构成了风险规避套利的（统计）套利机会，只有当γ<γb，st.Proof时。证明直接来自于应用定理1和Yieldsdsdst的效用函数的导数-γdst（σst）Et（τ）-γ（γ+1）（γ+2）（dst）（σst）Etτ= 0。（E2）那么，根据笛卡尔的符号规则，多项式（dst）正好有一个正实根-γ（σst）Et（τ）（dst）-γ（γ+1）（γ+2）（σst）Etτ= 0。（E3）根据定义，DST对应于给定风险规避γ的套利边界。如果观察到的价格差异△超过边界，套利者倾向于交易。因此，根据γ重写方程（E3），并用γ中的一个三次多项式∧δstyiels替换dst：δb，st-（σst）Etτ^b，圣-（σst）Etτ^γb，st（E4）-（σst）Et（τ）δb，st+（σst）Etτ^γb，st=0用等式（27）和（28）给出的值替换（有条件的）预期延迟完成证明。交易对特定隐含风险规避γb的定义应确保观察到的价格差异δb，st（根据交易成本进行调整）与具有风险规避参数γb，st的等弹性效用函数的套利边界一致。随着套利边界随风险规避单调增加，任何γ<γb的值，这为套利者提供了一个套利机会。

相反，γ>^γb反映出观察到的价格差异不能证明（无约束）交易是正当的，因为风险厌恶程度较高的套利者通过交易较少或根本不交易获得更高的（预期）效用。由于资产在N个市场上交易，我们确定了所有观察到的价格差异均在隐含套利界限内的最小风险规避参数，即^γt：=最大值，j∈{1，…，N}γi，jt。（E5）