具有价格影响的最优提取问题

初步结果和验证理论在本节中，我们推导了与V相关的HJB方程，并提供了验证理论。我们首先证明值函数V的以下初步性质。提案3.1。存在一个常数K>0，因此对于所有（x，y）∈ R×[0，∞) 一个有0个≤ V（x，y）≤ Ky（1+y）1+| x|.（3.1）特别是V（x，0）=0。此外，V相对于x和y是增加的。证明分两步进行。我们首先证明（3.1）成立，然后证明V的单调性。第1步。V的非负性遵循容许（无）抽取规则ξ≡ 0使得J（x，y，0）=0表示所有（x，y）∈ R×[0，∞). V（x，0）=0这一事实清楚地跟随着注意到A（0）={ξ≡ 0}和J（x，y，0）=0。为了确定（3.1）中的上限，让（x，y）∈ R×（0，∞) 对于任何ξ∈ 我们有EZ∞e-ρtXx，ξt- cdξct+Xt≥0:ξt6=0e-ρt（Xx，ξt-- c）ξt-α(ξt）≤EZ∞e-ρt | Xx，ξt | dξct+ cy+EXt公司≥0:ξt6=0e-ρt|Xx，ξt-|ξt+α(ξt）,（3.2）我们使用cR的地方∞e-ρtdξt=cR∞ρe-ρtξtdt≤ cy以获取上面右侧的术语cy。我们现在的目标是估计（3.2）右侧出现的两个期望值。用Xx表示，0与ξ相关的（2.2）的解≡ 0（即（2.1）的溶液）。那么，如果b=0，很容易找到Xx，ξt=Xx，0t-αξt≥ -|Xx，0t|-αy a.s.，自ξt起≤ y a.s.如果b>0，因为Xx，ξt≤ Xx，0ta。s、 f或所有t≥ 0和ξt≤ y a.s.，一个hasXx，ξt=x+Zt一- bXx，ξsds+σWt- αξt≥ x+Zt一- bXx，0sds+σWt- αy=Xx，0t-αy≥ -|Xx，0t |- αy。此外，一个明显有Xx，ξt≤ Xx，0t≤ |Xx，0t |+αy表示b≥ 0

因此，在任何情况下，| Xx，ξt |≤ |Xx，0t |+αy.（3.3）6科赫法拉利通过应用It^o的公式，我们发现f或b=0，即| e-ρtXx，0t |≤ |x |+ρ中兴通讯-ρu | Xx，0u | du+| a |中兴通讯-ρudu+中兴通讯-ρuσdWu,对于b>0，则| e-ρtXx，0t |≤ |x |+ρ中兴通讯-ρu | Xx，0u | du+中兴通讯-ρu（| a |+b | Xx，0u |）du+中兴通讯-ρuσdWu.前两个方程暗示，在b=0和b>0的两种情况下，都存在C>0，这样E支持≥0e-ρt | Xx，0t|≤ |x |+C1+Z∞e-ρuE|Xx，0u|杜邦+ σE支持≥0中兴通讯-ρudWu.（3.4）然后，Bur k holder Davis-Gundy不等式（参见，例如，[22]第3章中的第3.28条）将其简化支持≥0e-ρt | Xx，0t|≤ |x |+C1+Z∞e-ρuE|Xx，0u|杜邦+ 总工程师Z∞e-2ρudu.（3.5）对于常数C>0，因此支持≥0e-ρt | Xx，0t|≤ C1+| x|,（3.6）对于某些常数C>0，因为根据标准考虑，存在C>0，因此R∞e-ρuE|Xx，0u|杜邦≤ C（1+| x |）。现在，利用（3.3）和（3.6），在b=0和b>0这两种情况下，我们得到以下结果：（i）对于合适的常数K>0（与x和y无关）EZ∞e-ρt | Xx，ξt | dξct≤ EZ∞e-ρt | Xx，0t | dξct+ αyEZ∞ρe-ρtξctdt≤ yE公司支持≥0e-ρt | Xx，0t|+ αy≤ Cy公司1+| x|+ αy≤ Ky（1+y）1+| x|.（3.7）这里我们使用了：（3.3）和第一个不平等的分部积分；ξct≤ y a.s.f或第二个；方程（3.6）具有倒数第二步。（ii）再次雇用（3.3），PT≥0:ξt6=0ξt≤ y、 和（3.6），我们也有Xt公司≥0:ξt6=0e-ρt|Xx，ξt-|ξt+α(ξt）≤αy+EXt公司≥0:ξt6=0e-ρt | Xx，0t|ξt≤αy+yE支持≥0e-ρt | Xx，0t|≤αy+Cy1+| x|≤ Ky（1+y）1+| x|,（3.8）对于某些K>0。因此，使用（3.2）中的（i）和（ii），我们得出结论，存在一个常数K>0，使得| J（x，y，ξ）|≤ Ky（1+y）1+| x|对于任何ξ∈ A（y），因此（3.1）成立。第2步。证明x 7→ V（x，y）对于任何y都是增加的≥ 0，设x≥ x、 观察到其中一个有Xx，ξt≥ Xx，ξta。s、 对于任何t≥ 0和ξ∈ A（y）。

因此J（x，y，ξ）≥J（x，y，ξ），其中imp位于V（x，y）≥ V（x，y）。最后，让y≥ y、 我们有一个（y） A（y），因此V（x，y）≥ V（x，y）表示任意x∈ R具有价格影响的最优提取7我们现在继续推导我们期望V应该满足的动态规划方程。在本文的其余部分，我们通常用fx、fxx、fy、fxyetc表示。关于给定的光滑函数f的参数x和y的部分导数。此外，我们将用f′、f′等表示（除非另有说明）关于单变量光滑函数f的自变量的导数。最初，公司面临两种可能的行动：提取或等待。一方面，假设在时间零点，公司在短时间内不提取t、 然后继续遵循最佳提取规则（如果存在）。由于该动作不一定是最优的，因此它与不等式v（x，y）相关≥ Ee-ρ电视（Xxt型-, y）, （x，y）∈ R×（0，∞).那么假设V是C2,1（R×[0，∞)), 我们可以应用It^o公式，除以t、 调用中值定理，让t型→ 0，获得Lv（x，y）- ρV（x，y）≤ 0，（x，y）∈ R×（0，∞).这里L由二阶微分算子L给出：=σx个+（a）- bx）x、 如果b>0，ax、 如果b=0。（3.9）另一方面，假设公司立即提取ε>0的商品，在市场上销售，然后遵循最佳提取规则（前提是存在）。

参考（2.4），该动作与不等式v（x，y）相关≥ V（x）- αε，y- ε） +（x- c） ε-αε，其中，加减V（x- αε，y），除以ε，取ε→ 0，产量0≥ -αVx（x，y）- Vy（x，y）+x- c、 由于这两个动作中只有一个是最优的，并且考虑到我们设定的马尔可夫性质，前面的不等式表明V应该与汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程MaxNLW（x，y）的适当解W一致- ρw（x，y），-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- co=0，（x，y）∈ R×（0，∞),（3.10）边界条件w（x，0）=0（参见命题3.1），并满足（3.1）中的增长条件。方程（3.10）采用具有状态依赖梯度约束的变分不等式形式。关于（3.10），我们引入了等待区域（3.11）W：={（x，y）∈ R×（0，∞) : L w（x，y）-ρw（x，y）=0，-αwx（x，y）-wy（x，y）+x-c<0}，我们预计提取商品不是最优的，销售区域（3.12）S：={（x，y）∈ R×（0，∞) : Lw（x，y）-ρw（x，y）≤ 0, -αwx（x，y）-wy（x，y）+x-c=0}，其中应便于提取和销售商品。在下文中，我们将用W表示W的拓扑闭包。下一个定理表明，只要存在允许的提取规则，使W.8 FERRARI、KOCHTheorem 3.2（验证定理）中的状态过程（X，Y）保持（最小影响）不变，HJB方程（3.10）的合适解就与值函数相同。假设存在一个函数w:R×[0，∞) 7.→ R如w所示∈ C2,1（R×[0，∞)), 求解HJB方程（3.10），边界条件w（x，0）=0，在y中增加，满足增长条件0≤ w（x，y）≤ Ky（1+y）（1+x |），（x，y）∈ R×（0，∞),（3.13）对于某些常数K>0。

然后w≥ R上的V×[0，∞).此外，假设对于所有初始值（x，y）∈ R×（0，∞), 存在一个过程ξ∈ A（y）使得（Xx，ξt、 Yy，ξt）∈ W、 对于所有t≥ 0，P-a.s.，（3.14）ξt=Z[0，t]{（Xx，ξs、 Yy，ξs）∈S} dξs、 对于所有t≥ 0，P-a.s.（3.15），那么我们有R×[0上的w=V，∞) 和ξ是最优的；即J（x，y，ξ) = V（x，y）表示所有（x，y）∈ R×[0，∞).证据证明分两步进行。根据假设w（x，0）=0=V（x，0），x∈ R、 在下面的参数中，我们可以假设y>0。第1步。Let（x，y）∈ R×（0，∞) 给出并确定。这里，我们展示了V（x，y）≤ w（x，y）。Letξ∈ A（y），对于N∈ N集τR，N：=inf{s≥ 0:Xx，ξs/∈ (-R、 R）}∧ N、 根据It^o-TanakaMeyer公式，我们发现-ρτR，Nw（Xx，ξτR，N，Yy，ξτR，N）- w（x，y）=ZτR，Ne-ρsLw（Xx，ξs，Yy，ξs）- ρw（Xx，ξs，Yy，ξs）ds+σZτR，Ne-ρswx（Xx，ξs，Yy，ξs）dWs |{z}=：MτR，N+X0≤s≤τR，Ne-ρsw（Xx，ξs，Yy，ξs）- w（Xx，ξs-, Yy，ξs-)+ZτR，Ne-ρs- αwx（Xx，ξs，Yy，ξs）- wy（Xx，ξs，Yy，ξs）dξcs。（3.16）现在，w（Xx，ξs，Yy，ξs）- w（Xx，ξs-, Yy，ξs-) = w（Xx，ξs--αξs，Yy，ξs-- ξs）- w（Xx，ξs-, Yy，ξs-)=Zξsw（Xξs-- αu，Yy，ξs--u）udu=Zξsh- αwx（Xx，ξs-- αu，Yy，ξs-- u）- wy（Xx，ξs-- αu，Yy，ξs-- u） 用于（3.16）的idu给出了等效的zτR，Ne-ρsXx，ξs- cdξcs+X0≤s≤τR，Ne-ρsZξsXx，ξs-- αu- c杜邦- w（x，y）=- e-ρτR，Nw（Xx，ξτR，N，Yy，ξτR，N）+ZτR，Ne-ρsLw（Xx，ξs，Yy，ξs）- ρw（Xx，ξs，Yy，ξs）ds+MτR，N+X0≤s≤τR，Ne-ρsZξsh- αwx（Xx，ξs-- αu，Yy，ξs-- u）- wy（Xx，ξs-- αu，Yy，ξs-- u） +（Xx，ξs-- αu- c） idu+ZτR，Ne-ρsh- αwx（Xx，ξs，Yy，ξs）- wy（Xx，ξs，Yy，ξs）+Xx，ξs-cidξcs。具有价格影响的最佳提取9W，因为满足（3.10）和w≥ 0，通过对后一个方程两边的期望值，并使用E[MτR，N]=0，我们得到了w（x，y）≥ EhZτR，Ne-ρsXx，ξs- cdξcs+X0≤s≤τR，Ne-ρsZξsXx，ξs-- αu- c酒后驾车。（3.17）我们现在要将极限值取为N↑ ∞ 和R↑ ∞ 在上述等式的右侧。

为此，请注意。ZτR，Ne-ρsXx，ξs- cdξcs+X0≤s≤τR，Ne-ρsZξsXx，ξs-- αu- c杜邦≤Z∞e-ρs | Xx，ξs | dξcs+cy+Xs≥0:ξs6=0e-ρs|Xx，ξs-|ξs+α(ξs）,（3.18）和（3.18）的右侧可被（3.7）和（3.8）积分。因此，我们可以调用支配收敛定理，将极限作为R↑ ∞ an d然后作为N↑ ∞, so asto getJ（x，y，ξ）≤ w（x，y）。（3.19）自ξ起∈ A（y）是任意的，我们有v（x，y）≤ w（x，y），（3.20），产生V≤ R×（0）中（x，y）的任意性，∞).第2步。这里，我们证明V（x，y）≥ w（x，y）表示任意（x，y）∈ R×（0，∞). Letξ∈ A（y）满足（3.14）和（3.15），且设τR、 N：=inf{t≥ 0:Xx，ξt型/∈ (-R、 R）}∧ N、 对于N∈ N、 然后，通过使用与步骤1相同的参数，所有不等式都变为等式，我们得到ZτR、 东北-ρsXx，ξs- cdξ,cs+X0≤s≤τR、 东北-ρsZξsXx，ξs-- c- αu杜邦+ Ehe公司-ρτR、 Nw（Xx，ξτR、 N，YξτR、 N）i=w（x，y），其中ξ,cdenotesξ的连续部分. 如果nowlimN↑∞limR公司↑∞Ehe公司-ρτR、 Nw（Xx，ξτR、 N，YξτR、 N）i=0，（3.21），那么我们可以将极限值作为R↑ ∞ 和N↑ ∞ , 和（3.18）（ξ=ξ) 与（3.7）和（3.8）一起，我们发现J（x，y，ξ) = w（x，y）。因为V（x，y）清晰可见≥ J（x，y，ξ), 然后V（x，y）≥w（x，y）表示所有（x，y）∈ R×（0，∞). 因此，使用g（3.20），R×（0）上的V=w，∞), 因此R×[0，∞) 因为对于所有x，V（x，0）=0=w（x，0）∈ R、 为了完成证明，只剩下证明（3.21），我们在下面完成这一点。

自y 7起→ 假设w（x，y）增加，我们有（3.13）和（3.3），即0≤ e-ρτR、 Nw（Xx，ξτR、 N，YξτR、 N）≤ e-ρτR、 Nw（Xx，ξτR、 N，y）≤ e-ρτR、 NKy（1+y）1+| Xx，ξτR、 N个|≤ Ky（1+y）（1+αy）e-ρτR、 N+e-ρτR、 N | Xx，0τR、 N个|≤ Ky（1+y）（1+αy）e-ρτR、 N+e-ρτR、 Nsupt公司≥0e-ρt | Xx，0t|.10法拉利、KOCHTaking期望值和使用H¨older的不平等0≤ Ee-ρτR、 Nw（Xx，ξτR、 N，YξτR、 N）≤ Ky（1+y）h（1+αy）Ee-ρτR、 N个+ Ehe公司-ρτR、 尼赫苏普≥0e-ρt | Xx，0t | ii。（3.22）为了处理（3.22）右侧的第三个期望值，观察It^o的公式，我们有（在两种情况下，b=0和b>0）e-ρt（Xx，0t）≤ x+中兴通讯-ρuhρ（Xx，0u）+σidu+Zt2e-ρu | Xx，0u |（| a |+b | Xx，0u |）du+2σ支持≥0中兴通讯-ρuXx，0udWu.（3.23）注意∞e-2ρuE|Xx，0u|杜邦≤ C（1+| x |），f或某些常数C>0，因此Burkholder-Davis-Gundy不等式的应用（例如，参见[22]中的定理3.28）给出了≥0中兴通讯-ρuXx，0udWu我≤ C（1+| x |）），（3.24）对于合适的C>0。然后取（3.23）中的期望值，利用（3.24），我们很容易得出存在一个常数C>0，这样E支持≥0e-ρt | Xx，0t|≤ C（1+| x |）。因此，当取极限为R时↑ ∞ 和N↑ ∞ 在（3.22）中，（3.22）的右侧收敛到零，从而证明（3.21）并完成证明。4、构建最优解决方案我们猜测，公司仅在当前价格足够大的情况下提取和销售商品。因此，我们预计f或任何y>0时，存在一个临界价格水平G（y）（由内生决定），将等待区W和销售区S分开（参见（3.11）和（3.12））。

特别地，我们假设w={（x，y）∈ R×（0，∞) : y>0和x<G（y）}∪ （R×{0}），（4.1）S={（x，y）∈ R×（0，∞) : y>0和x≥ G（y）}。（4.2）根据这样的猜测，并参考（3.10），候选值函数wshould satisfyLw（x，y）- ρw（x，y）=0，对于所有（x，y）∈ W、 （4.3）众所周知，（4.3）承认两个基本严格正解ψ（x）和ψ（x），前者严格递减，后者严格递增。因此，（4.3）的任何解都可以写成（x，y）=A（y）ψ（x）+B（y）Д（x），（x，y）∈ W、 对于某些函数，可以找到A（y）和d B（y）。在两种情况下，b=0和b>0（参见（2.2）），函数Д呈指数增长至+∞ 作为x↓ -∞ （例如，参见【6】中的附录1）。根据命题3.1中证明的V的增长条件，我们因此猜测B（y）=0，因此w（x，y）=A（y）ψ（x）（4.4）对于任何（x，y）∈ W、 适用于所有（x，y）∈ S、 相反，w应该感到满意-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- c=0，（4.5）最优提取，价格影响11-αwxx（x，y）- wyx（x，y）+1=0。（4.6）为了发现G（y）和A（y），y>0，我们施加w∈ C2,1，因此通过（4.4）、（4.5）和（4.6），我们得到了所有（x，y）∈ W∩ S、 即x=G（y），即-αA（y）ψ′（x）- A′（y）ψ（x）+x- x=G（y）时，c=0，（4.7）-αA（y）ψ′（x）- 在x=G（y）时，A′（y）ψ′（x）+1=0。（4.8）从（4.7）和（4.8）可以很容易地得出，A（y）和G（y），y>0，满足-αA（y）ψ′（x）- ψ（x）ψ′（x）+ （十）- c） ψ′（x）- ψ（x）=0，x=G（y）。（4.9）在下文中，我们通过分别研究b=0和b>0的情况来继续分析，这两种情况分别对应于商品的基本价格，即漂移布朗运动和奥尔斯坦-乌伦贝克过程。

我们将看到，在这两种情况下，最优提取规则的形式有很大不同，我们还将通过确定与我们的最优提取问题相关的最优停止问题来对此提供定量解释（见下文第4.2.1节和备注4.16）。4.1. b=0：漂移布朗运动基本价格的情况。我们从简单的情况b=0开始，因此我们研究了当基本商品的价格是漂移布朗运动时，公司的提取问题（2.3）。动力学（2.1），b=0 Yieldxx，ξt=adt+σdWt- αdξt，Xx，ξ0-= x个∈ R、 对于任何ξ∈ A（y），因此（4.3）读作σwxx（x，y）+awx（x，y）- ρw（x，y）=0，（x，y）∈ R×（0，∞).（4.10）后一个方程的递增基本解ψ由ψ（x）=Enx给出，其中n：=-aσ+raσ+ 2ρσ> 0.（4.11）为了将来的使用，我们注意到n用B（u）：=σu+au解出B（n）=0- ρ、 u型∈ R、 （4.12）观察到ψ′（x）- ψ（x）ψ′（x）=所有x的0∈ R、 我们在（4.9）中看到，任何对y的明确依赖都会消失，因此我们得出，对于任何y>0且常数值x的临界价格G（y）都是相同的= c+n，（4.13），它唯一地解方程（x- c） n个- 1=0（参见（4.9）和（4.11））。此外，通过使用（4.7）或（4.8），并通过施加（0）=0（因为对于所有x，我们必须有v（x，0）=0∈ R参见Theorem3.2），（4.4）中的函数A由A（y）给出：=αne-中国大陆-1.1.- e-αny, y≥ 0、根据之前的发现，候选等待区域W由W={（x，y）给出∈ R×（0，∞) : y>0，d x<x} ∪ （R×{0}），12 FERRARI，KOCHand我们预计销售区域S为S=S∪ S、 式中：={（x，y）∈ R×（0，∞) : x个≥ x个和y≤ （十）- x个)/α} ，S：={（x，y）∈ R×（0，∞) : x个≥ x个和y>（x- x个)/α}.在S中，我们认为最好立即耗尽储层。

在S中，公司应一次性提取大小（x-x个)/α、 然后继续销售商品，并以这样的方式将接合过程（X，Y）保持在W内，直到储液罐中什么都没有剩下。这些考虑因素建议引入候选值函数W（x，y）：=αne（x-c） n个-1(1 - e-αny），if（x，y）∈ W、 αn1.- e-αn（y-x个-x个α)+ （十）- c）x个-x个α-2α（x- x个)if（x，y）∈ S、 （十）- c） y型-αy，if（x，y）∈ S、 （4.14）请注意，（4.14）第二行中的第一项是从新状态（x）开始的连续值, y-x个-x个α） ，并且上述w通过构造是连续的。从现在起，我们将参考临界价格水平x关于自由边界。下一个命题表明w实际上与函数V的值相同。提案4.1。函数w:R×[0，∞) 7.→ [0, ∞) （4.14）中定义的是C2,1（R×[0，∞))HJB方程（3.10）的解，使得（4.15）0≤ w（x，y）≤ Ky（1+y）（1+x |），（x，y）∈ R×[0，∞),对于合适的常数K>0。此外，它与值函数vf rom（2.3）和容许控制ξ一致t： =y∧ sup0≤s≤tαx个- x个+ as+σWs+, t型≥ 0, ξ0-= 0，（4.16）带x如（4.13）所示，是一种最佳提取策略。证据证据是按步骤组织的。第1步。我们开始证明w∈ C2,1（R×[0，∞)).