具有价格影响的最优提取问题

而且-αwx（x，y）- wy（x，y）+（x- c） =0表示所有（x，y）∈ 通过使用（4.44）和（4.46），并观察（4.7）中的-αA（F（x- αz））ψ′（x- αz）- A′（F（x）- αz））ψ（x-αz）+（x- αz）- c=0。因此，留下来表明-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- c≤ 0, （x，y）∈ W、 （4.47）Lw（x，y）- ρw（x，y）≤ 0, （x，y）∈ S=S∪ S（4.48）在下面的步骤1中，我们证明（4.47）成立，因为（4.48）的证明分别针对步骤2和步骤3中的砂执行。第1步。这里我们证明了（4.47）适用于任何（x，y）∈ W、 注意（4.7）给定a′（y）=F-1（y）- cψ（F-1（y））-αA（y）ψ′（F-1（y））ψ（F-1（y））。（4.49）20科赫岑法拉利，通过使用（4.38）和（4.49）的第一个和第三个方程式，我们将（4.47）的左侧（后列项后）重写为αA（y）ψ′（F-1（y））ψ（x）ψ（F-1（y））- ψ′（x）-F-1（y）- cψ（F-1（y））ψ（x）+x- c=Q（x，F-1（y）），（4.50）对于任何（x，y）∈ W、 这里，我们定义了q（x，q）：=αA（F（q））ψ′（q）ψ（x）ψ（q）- ψ′（x）-q- cψ（q）ψ（x）+x- c、 对于任何（x，q）∈ R×[x∞, x] 。自Q（Q，Q）=0时起，为了使（4.47）有足够的证据表明∞, x] 是F）Qx（x，q）的域≥ 0，对于任意x≤ q、 对于所有q∈ （十）∞, x] 。我们在下面证明了这一点。将Q与x区分开来，使用（4.27），给定sqx（x，Q）=ψ（Q）- （q）- c） ψ′（q）ψ′（q）ψ（q）- ψ′（q）ψ′（x）ψ′（q）ψ（q）- ψ′（x）-（q）- c） ψ′（x）ψ（q）+1。（4.51）取x≤ x个∞q=x∞, 回想一下x∞> c解算（x∞- c） =ψ′（x∞)ψ′（x）∞).

然后，在一些简单代数之后，我们得到了qx（x，x∞) = 1.-ψ′′（x）ψ′（x）∞)> 0，其中最后一个不等式是由于x 7→ ψ′′（x）严格递增。此外，我们发现qx（x，x）=1- （十）- c） ψ′（x）ψ（x）≥ 0，对于任意x≤ x、 （4.52）由于x>c唯一解（x- c） ψ′（x）- ψ（x）=0和x 7→ 1.- （十）-c） ψ′（x）ψ（x）<0严格递减。通过对Qxof（4.51）进行微分，得到qxq（x，q）=“ψ′′（q）[（q-c） ψ′（q）- ψ（q）]- ψ′′（q）[（q- c） ψ′（q）- ψ′（q）]ψ′′（q）ψ（q）- ψ′（q）#Φ（x，q），（4.53），其中我们引入了函数Φ（x，q）：=ψ′（x）ψ′（q）- ψ′′（x）ψ（q），对于所有（x，q）∈ R、 （4.54）即Φq（x，q）=ψ′（x）ψ′（q）- ψ′′（x）ψ′（q）>0，x个≤ q、 （4.55）因为ψ′/ψ′′在k=1的情况下减少到引理4.3。根据推论4.6，我们得到ψ′′（q）（q）- c） ψ′（q）- ψ（q）- ψ′（q）（q）- c） ψ′（q）- ψ′（q）≤ 0，（4.56）对于所有q∈ [x∞, x] 。因此，（4.53）右侧的Φ乘以一项为负。根据（4.55），我们知道，对于q，Φ（x，q）在q中增加≥ x。

我们现在有三种可能的情况。（a） 如果Φ为Φ（x，q）<0表示所有q∈ [x∞, x] ，然后到（4.56）（注意到（4.56）中的函数实际上出现在Qxq的分子中）我们必须有Qxq（x，q）≥ allq为0∈ [x∞, x] ，因此0≤ Qx（x，x∞) ≤ Qx（x，q）≤ Qx（x，x），对于所有q∈ [x∞, x] ，和x≤ x个∞.（4.57）如果Φ为Φ（x，q）>0，则具有价格影响的最优提取21（b）∈ [x∞, x] ，那么到（4.56），我们必须有Qxq（x，q）≤0表示所有q∈ [x∞, x] ，因此0≤ Qx（x，x）≤ Qx（x，q）≤ Qx（x，x∞), 对于所有q∈ [x∞, x] ，和x≤ x个∞.（4.58）（c）如果Φ是Φ（x，q）处的th≤ 0表示所有q∈ [x∞, \'\'q\'，其中\'\'q∈ [x∞, x] ，且所有q的Φ（x，q）>0∈ [(R)q，x]，那么到（4.56），我们必须有Qxq（x，q）≥ 0表示所有q∈ [x∞, q]和Qxq（x，q）≤ 0对于所有q∈ [(R)q，x]，因此qx（x，q）≥ 最小值{Qx（x，x∞), Qx（x，x）}≥ 0，对于所有q∈ [x∞, x] 和x≤ x个∞.（4.59）从（4.57）-（4.59），我们得出结论，（4.47）适用于任何（x，y）∈ W使x≤ x个∞.现在，以x为例∈ （十）∞, x] 让q∈ [x，x]。对于q=x，我们从（4.51）中发现qx（x，x）=0。（4.60）然后，如上所述，从（4.52）和（4.60）中，我们得到Qx（x，q）≥ allx为0∈ （十）∞, x] 带q∈ [x，x]。因此，综上所述，Qx（x，F-1（y））≥ 0表示所有x≤ F-1（y）和y>0，然后确定（4.47）。第2步。在这里，我们通过LemmaB证明（4.48）在S.S设置'x=a+ρcρ+b中成立。1在附录B中，我们有'x≤ x、 使用x解决（x- c） ψ′（x）- ψ（x）=0（参见引理4.4）。现在，让（x，y）∈ Sbe给定并固定。由于（4.39）中的第一和第二个等式，我们得到了（x，y）- ρw（x，y）=（a- bx）y- ρh（x- c） y型-αyi=：eQ（x，y）。ClearlyeQ（x，0）=0。此外，因为（x，y）∈ Sis使y≤α（x- x） 和x≥ x、 我们有eqy（x，y）=a- bx公司- ρ（x- c） +αρy≤ 一- bx公司- ρ（x-c）≤ a+ρc- x（ρ+b）≤ 0，其中最后一个不等式是由x引起的≥ \'x.因此Lw（x，y）- ρw（x，y）≤ S上的0。步骤3。

在这里，我们分别为这两种情况提供了S中（4.48）的证明：（i）a-卑诗省≤ 0和（ii）a-bc>0，在这两种情况下采用不同的方法（另请参见下面的备注4.12）。（i） 假设a- 卑诗省≤ 0、Let（x，y）∈ Sbe给定和固定，并回顾x≥ F-1（y）andy>α（x- x） 适用于所有（x，y）∈ S、 通过使用（4.44）和（4.45），并观察（4.3）中的一个散列σA（F（x- αz））ψ′（x）- αz）+一- b（x- αz）A（F（x- αz））ψ′（x- αz）- ρA（F（x- αz））ψ（x- αz）iz=z（x，y）=0，（4.61）我们得到lw（x，y）- ρw（x，y）=h（a- bx）z- ρ（x- c） z+ραz- bαzA（F（x-αz））ψ′（x- αz）iz=z（x，y）。（4.62）由于z＞0，A＞0，ψ′＞0，则有Lw（x，y）- ρw（x，y）≤bQ（x，y），其中我们有setbq（x，y）：=h（a- bx）z- ρ（x- c） z+ραziz=z（x，y）。22法拉利，KOCHObserve thatbQ（F-1（y），y）=自z（F）起为0-1（y），y）=0（参见（4.36））。因此，对于所有的（x，y），它必须显示bqx（x，y）<0∈ S、 微分Bq与给定的x的关系Bqx（x，y）=z（x，y）- b- ρ+ραzx（x，y）+ zx（x，y）h（a- bx）- ρ（x- c） i.由于zx>0且αzx<1（参见（4.40）并回忆起F′<0），且x≥ F-1（y）≥ x个∞, 我们发现Bqx（x，y）≤ zx（x，y）ha+ρc- F-1（y）（ρ+b）i≤ zx（x，y）a+ρc- x个∞（ρ+b）= zx（x，y）（ρ+b）\'\'x- x个∞,（4.63）和clearlybQx（x，y）≤ 如果为，则为0- 卑诗省≤ 0，s，因为后者表示“x”≤ c<x∞.这表明S上的Bq<0，因此w在Sif a中求解（4.48）- 卑诗省≤ 0.（ii）假设- bc>0。在这种情况下，正如Remark4.12中所讨论的，我们没有通过研究Lw的符号来证明（4.48）- ρw如上（i）所述。因此，我们遵循不同的方法，该方法基于[4]中引理6.7的证明。在这里，我们只提供主要观点，因为大多数论点都来自【4】。Let（x，y）∈W∩ Sbe给定并固定，并考虑任意zo>0。

从（4.35）中，我们找到z（x+αzo，y+zo）=zo，利用后者，我们得到了（4.34），（4.44）和（4.45）的thatLw（x+αzo，y+zo）- ρw（x+αzo，y+zo）=-αbzoA（F（x））ψ′（x）+一- b（x+αzo）zo公司- ρ（x+αzo）- czo+ραzo=：U（zo）。注意，U（0）=0，因此显示U的负性，证明U′（zo）≤ 所有zo>0时为0。We findu′（zo）=-αbA（F（x））ψ′（x）- αbzo+（a- b（x+αzo））- ρ（x+αzo-c） =bx个- c- αA（F（x））ψ′（x）+ （x+αzo- c）-（b+ρ）+a- b（x+αzo）（x+αzo）- c,（4.64）在重新排列术语后，加上和减去术语b（x- c） 以获得上述第二个等式。现在，确定函数（4.65）κ（x）：=-（b+ρ）+a- bxx公司- c、 注意κ（x∞) =ψ′（x∞)-1.（a）- bx公司∞)ψ′（x）∞) - （b+ρ）ψ′（x）∞)= -σψ′′（x∞)ψ′（x∞)< 0，这里我们用了x∞解算x∞-c=ψ′（x∞)ψ′（x）∞)对于第一个等式，引理4.3-（2），k=1表示第二个等式。此外，κ′（x）=bc- a（x- c） <0，因为a>bc，那么对于所有x>x，y ieldsκ（x）<0∞. 从κ的单调性和负性以及zo7→ （x+αzo-c） 为正，随x增加≥ x个∞> c、 我们可以得到zo7→ （x+αzo- c） κ（x+αzo）降低。前面有U′（zo）≤ 0如果U′（0+），则所有zo>0≤ 为了证明右导数U′（0+）是负的，我们现在解释如何在我们设置引理6.7的证明中使用[4]。首先，我们讨论了[4]中的标准假设2.2。f（x）满足条件C2和C3≡ x个- c、 如果a- bc>0，则满足[4]中假设2.2中的条件C5（f（x）≡ x个- c、 ^σ≡ σ, β + δ ≡ ρ、 具有价格影响的最优提取23σρ^σ≡ a、 an dβ≡ b、 此外，在我们的案例中，不需要[4]的假设2.2中的所有其他要求。

事实上，条件C6保证x和x的存在和唯一性∞, 我们已经有引理4.4；条件C4只确保了我们从命题3.1得到的值函数的一个条件，而在我们的设置中，[4]的条件C1只意味着贴现因子必须严格为正。然后，在将我们的奇异随机控制问题重新表述为变量演算问题后，我们可以证明我们的自由边界F-1是我们的绩效基准（2.4）的（单方面）局部最大化者。因此，文献[4]中引理6.7的证明中的矛盾论点也适用于我们的情况，并得出U′（0+）≤ 0。这就完成了证明。备注4.12。（1） 正如我们所看到的，当a-bc>0需要不同的分析，在这里，我们试图解释为什么更直接的方法似乎不会导致理想的结果。假设- bc>0，如果一个人想通过研究Lw的符号来证明（4.48）- ρw in S，假设z：=z（x，y）≥ 0表示全部（x，y）∈ S、 可以尝试证明（cf.（4.62））L（x，y）：=a- bx公司- ρ（x- c） +ραz- bαA（F（x- αz））ψ′（x- αz）对于任何（x，y）为负∈ S、 通过使用（4.7）和A′的定义（参见（4.29））进行计算，发现对于任何y>0的情况，都有L（F-1（y），y）=χ（F-1（y）），其中，对于任何u∈ （十）∞, x] ，我们设置了χ（u）：=（ρ+2b）（bx- u） +bψ（u）（u）- c） ψ′（u）- ψ′（u）ψ′（u）ψ（u）- ψ′（u）,bx：=a+（ρ+b）cρ+2b<x∞. 注意到A（F（x- αz））ψ′（x- αz）=wx（x，y）- zin S（参见。

（4.44）），其中之一是L重写为L（x，y）=a- bx公司- ρ（x- c） +ραz+bαz- bαwx（x，y），因为αzx<1乘以（4.40）和wxx≥ 0乘以（4.45），很容易看出S上的Lx<0。因此，证明Sit上的L<0将有助于显示x上的χ<0∞, x] 。然而，由于函数ψ的隐含表达不明确，即使数值研究似乎证实了χ的负性，我们也无法证明这一性质。由于这一技术原因，在定理证明4.11的步骤3—（ii）中，我们依赖于那些最初在[4]中提出的论据来解决案例a- bc>0。（2） 还值得注意的是，[4]中的变分法方法不会直接适用于任何参数的选择。事实上，当-bc<0，则（4.65）的函数κ在增加，因此没有[4]假设2.2条件C5所要求的单调性。然而，在此类参数的限制下，直接计算（如命题证明4.11的步骤3—（i）中开发的计算）会得到期望的结果。这一事实表明，在复杂的情况下，如果两种方法都不能证明候选值函数对模型参数的任何选择是最优的，那么结合使用变量演算方法和对HJB方程进行更标准的直接研究可能会成功。我们的结论是，（4.34）中的w与值函数V相同。与abyprodu ct一样，我们还提供了最佳提取规则。我们首先需要以下技术结果。在考虑以下节理过程（X，ζ）为（退化）的rw扩散，且在方向上有斜反射时，通过适当地采用[10]中的经典结果，其证明如下(-α, -1） 在C∞-自由边界F（另见【4】，备注4.2）。24法拉利，科奇莱玛4.13。

Let（x，y）∈ R×（0，∞), F如（4.32）所示，z：=z（x，y）求解（4.35），并让 := （x，y）=y1{（x，y）∈S} +z1{（x，y）∈S} 。然后存在一个（沿路径）唯一的自适应连续（X，ζ），ζ增加，例如xt≤ F-1（y-  - ζt），dXt=一- bXt公司dt+σdWt- αdζt，dζt=1{Xt=F-1（y--ζt）}dζt，对于任何0≤ t型≤ τζ，τζ：=inf{t≥ 0：ζt≥ y- }, 起点（X，ζ）=（X- α, 0).定理4.14。分别调用（4.32）和（4.34）中的函数F和w。函数w与（2.3）中的v值函数v以及由ξ表示的最佳提取策略相同, 由ξ给出t型=( + ζt，t∈ [0，τζ），y，t≥ τζ，（4.66）带ξ0-= 0，以及, ζ、 和τζ，如引理4.13所示。证据我们的目标是应用定理3.2。我们已经知道w∈ C2,1（R×[0，∞)) 是引理4.10和命题4.11对HJB方程（3.10）的解，对于所有x，满足度（x，0）=0∈ R、 此外，f函数w相对于y增加。要看到这一点，请注意，从（4.29）可以看出，A′（y）>0，对于y>0（因为（4.29）的分母由引理4.3-（3）为正，分子也由f为正-1（y）≥ x个∞), 这使得W和S上的wy>0（参见（4.38）和（4.46））。此外，可以很容易地从（4.39）中检查wy≥ Sbecause y上为0≤ （十）- x） /α和x>c。为了证明（3.13）中的上界，回想一下（cf.（4.27））A（y）=（F-1（y）- c） ψ′（F-1（y））- ψ（F）-1（y））α[ψ′（F）-1（y））- ψ′（F）-1（y））ψ（F-1（y））]，y≥ 0.自x起≥ F-1（y）≥ x个∞对于任何y≥ 0，通过使用ψ，ψ′和ψ′是连续的，我们得到存在一个大于0的常数，使得a（y）≤ K代表所有y≥ 因此，通过（4.34），我们得到了w（x，y）≤Kψ（F-1（y））≤ Kψ（x）表示所有（x，y）∈ W、 此外，0≤ z（x，y）≤ y代表所有（x，y）∈ 因此，砂（x-c） z-αz≤ （十）-c） z≤ （十）-c） y。

由于（3.13）中的上界在S中得到了明显的满足，我们得出结论，存在一个常数K>0，使得W（x，y）≤ Ky（1+y）（1+| x |）表示所有（x，y）∈ R×（0，∞).对于w的非负性，注意对于所有（x，y）∈ Swe havew（x，y）=（x- c） y型-αy≥ yx个- c-（十）- x）≥ yx个∞- c+x- c≥ 0，自y起≤x个-xα，x≥ F-1（y）≥ x个∞和x>x∞> c、 此外，ψ和a的非负性意味着（x，y）≥ 0，表示所有（x，y）∈ W、 而且，给定（x，y）∈ S、 我们有w（x，y）=A（F（x-αz））ψ（x-αz）+（x-c） z-αz≥Zz（x-αu-c） 杜邦≥Zz（x∞-c） 杜邦≥ 0，自0起≤ z≤x个-x个∞α和x∞> c、 因此w≥ R×[0上的0，∞).现在，自ξ满足（3.14）和（3.15），因此，根据定理3.2，我们得出结论，加宽系数为V，且θ为是一种最佳提取策略。具有价格影响的最佳提取250.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6图2。最佳提取规则ξ的图示（参见（4.66））和自由边界F。通过数值计算（4.32）的自由边界，使用a=0.4、σ=0.8、ρ=3/8、c=0.3、b=1、α=0.25和d获得该图。最佳提取规则规定如下。在{（x，y）区域∈ R×（0，∞) : y<F（x）}最好不要提取。如果在初始时间（x，y），x>F-1（y）和y≤ （十）- x） /α，则应立即耗尽储层。另一方面，如果（x，y）发出x≥ F-1（y）和y>（x- x） /α，然后进行大小合适的z（x，y）的集总提取，然后继续提取，直到通过阻止（最优控制的）过程（x，y）离开区域{（x，y），耗尽公共性∈ R×（0，∞) : y≤ F（x）}。4.2.1. 一个相关的最优停车问题。在本节中，我们展示了方向导数u：=αVx+vyidentifies与最优停止问题的值函数。

这样的结果与[21]中获得的结果一致，对于不同的布朗动力学模型，其中研究了有限燃料奇异随机控制问题与最优停止问题之间的联系。提案4.15。函数u:R×[0，∞) 7.→ 定义为u（x，y）：=αVx（x，y）+Vy（x，y）的概率表示u（x，y）=supτ≥0Ee-ρτ（Xxτ- c）-Zτe-ρsαbA（y）ψ′（Xxs）ds, （x，y）∈ R×[0，∞),（4.67）26科赫法拉利，其中优化是在F停车时间集合上进行的。此外，对于（4.32）中的F，我们得到了停止时间τ（x；y）=在f{t中≥ 0:Xxt≥ F-1（y）}，（x，y）∈ R×[0，∞),在（4.67）中是最佳的。证据在剩下的证据中，y∈ [0, ∞) 将给出并确定。请注意，u（·，y）∈C（R）按构造（参见（4.7）和（4.8））。此外，对（4.34）的直接计算表明Uxx（·，y）∈ L∞loc（右）。现在我们来看看u（·，y）如何解HJB方程maxnlw（x）- ρw（x）- αbA（y）ψ′（x），x- c- w（x）o=0，a.e.x∈ R、 （4.68）回顾销售区域S和等待区域W.L et x∈ R应为（x，y）∈ W、 注意（4.34），我们有vx（x，y）=A（y）ψ′（x），Vy（x，y）=A′（y）ψ（x）。那么，由于u=αVx+Vy，Lu（x，y）- ρu（x，y）- αbA（y）ψ′（x）=σαA（y）ψ′′（x）+A′（y）ψ′（x）+ （a）- bx）αA（y）ψ′（x）+A′（y）ψ′（x）-（ρ+b）αA（y）ψ′（x）- ρA′（y）ψ（x）=αA（y）Lψ′（x）- （ρ+b）ψ′（x）+ A′（y）Lψ（x）- ρψ（x）= 0，使用ψ（k）满足引理4.3-（2），k=0，1。现在，让x∈ R应为（x，y）∈ S、 所以u（x，y）=x- c（召回（4.5））。