具有价格影响的最优提取问题

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英文标题：
《An Optimal Extraction Problem with Price Impact》
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作者：
Giorgio Ferrari, Torben Koch
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A price-maker company extracts an exhaustible commodity from a reservoir, and sells it instantaneously in the spot market. In absence of any actions of the company, the commodity\'s spot price evolves either as a drifted Brownian motion or as an Ornstein-Uhlenbeck process. While extracting, the company affects the market price of the commodity, and its actions have an impact on the dynamics of the commodity\'s spot price. The company aims at maximizing the total expected profits from selling the commodity, net of the total expected proportional costs of extraction. We model this problem as a two-dimensional degenerate singular stochastic control problem with finite fuel. To determine its solution, we construct an explicit solution to the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and then verify its actual optimality through a verification theorem. On the one hand, when the (uncontrolled) price is a drifted Brownian motion, it is optimal to extract whenever the current price level is larger or equal than an endogenously determined constant threshold. On the other hand, when the (uncontrolled) price evolves as an Ornstein-Uhlenbeck process, we show that the optimal extraction rule is triggered by a curve depending on the current level of the reservoir. Such a curve is a strictly decreasing $C^{\\infty}$-function for which we are able to provide an explicit expression. Finally, our study is complemented by a theoretical and numerical analysis of the dependency of the optimal extraction strategy and value function on the model\'s parameters.
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中文摘要：
定价公司从水库中提取出一种可耗尽的商品，并在现货市场上即时出售。在公司没有采取任何行动的情况下，商品的现货价格要么是漂移布朗运动，要么是奥恩斯坦-乌伦贝克过程。提取时，公司会影响商品的市场价格，其行为会影响商品现货价格的动态。该公司的目标是最大化销售商品的总预期利润，扣除总预期比例提取成本。我们将该问题建模为具有有限燃料的二维退化奇异随机控制问题。为了确定其解，我们构造了一个关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的显式解，然后通过一个验证定理来验证其实际最优性。一方面，当（非受控）价格是漂移布朗运动时，当当前价格水平大于或等于内生确定的常数阈值时，提取最优价格。另一方面，当（非受控）价格演变为Ornstein-Uhlenbeck过程时，我们表明，最优开采规则由一条取决于水库当前水位的曲线触发。这样的曲线是一个严格递减的$C ^{\\infty}$-函数，我们可以为它提供一个显式表达式。最后，我们通过理论和数值分析对最优提取策略和值函数对模型参数的依赖性进行了补充。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：有价格 Mathematical Quantitative proportional Optimization

具有价格影响的最优提取问题Giorgio FERRARI，TORBEN KOCHAbstract。定价公司从水库中提取出一种可耗尽的商品，并在现货市场上即时出售。在公司没有采取任何行动的情况下，商品的现货价格要么演变为漂移布朗运动，要么演变为奥恩斯坦·纽伦贝克过程。在扩张过程中，公司会影响商品的市场价格，其行为会影响商品现货价格的动态。该公司致力于最大化销售商品的总预期利润，扣除总预期比例提取成本。我们将该问题建模为具有有限燃料的二维退化奇异随机控制问题。为了确定其解，我们构造了相关Hamilton-Jacobi-Bellman方程的显式解，然后通过验证定理验证其实际最优性。一方面，当（非受控）价格是漂移布朗运动时，当当前价格水平大于或等于内生确定的常数阈值时，提取最优价格。另一方面，当（非受控）价格演变为Ornstein-Uhlenbeck过程时，我们表明最优提取规则由终止于水库当前水位的曲线dep触发。这样的曲线是一条严格意义上的曲线∞-我们能够为其提供显式表达式的函数。

最后，我们通过理论和数值分析对最优提取策略和值函数对模型参数的依赖性进行了补充。关键词：奇异随机有限燃料控制问题；自由边界；变分不等式；最佳提取；市场影响；可耗尽商品。MSC2010主题分类：93E20；49L20；91B70；91B76；60G40.OR/MS主题分类：动态规划/最优控制：应用，马尔可夫；能力：随机模型应用，差异。JEL学科分类：C61；问题32.1。引言：文献中广泛研究的一个问题是，一家公司的目标是确定可耗尽商品的提取规则，同时使净利润最大化。据我们所知，关于这一主题的第一个模型是开创性的论文【16】，其中提出了最佳提取的决定性模型。从那时起，许多作者通过考虑随机商品价格和可接受提取规则的不同规格（参见大量经济学和应用数学文献中的[1]、[7]、[13]、[14]、[25]、[26]、[27]），对[16]的设置进行了概括。在本文中，我们考虑了一个寿命有限的利润最大化公司的最优提取问题。该公司从容量有限的水库中提取一种可采商品，产生固定的比例成本，然后立即在现货市场销售该商品。允许的提取规则不能是费率，也允许进行集总提取。此外，我们假设该公司是市场上的一个大参与者，因此其开采策略会影响商品的市场价格。

每当公司提取商品并在2018年12月5日当天出售时，这种情况就会发生。2法拉利，科赫市场，商品价格会立即按提取量的比例下降。我们对前一个问题的数学表述导致了一个二维退化有限燃料奇异随机控制问题（参见[8]、[20]、[21]和[23]作为早期贡献，以及[4]和[15]最近对最优清算问题的应用）。基本状态变量是一个二维过程（X，Y），其组成部分是商品价格和水库水位（即仍然可用的商品数量）。价格过程是一个线性控制的It^o扩散过程，而储层水平的动态是严格控制的，没有任何扩散成分。特别是，我们假设，在没有任何干预的情况下，商品价格要么以漂移布朗运动的形式演化，要么以奥恩斯坦-乌伦贝克过程的形式演化，我们通过采用猜测和验证的方法明确地解决了最优提取问题。这依赖于相关Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的经典解的构造，在我们的问题中，该方程采用具有状态相关梯度约束的变分不等式的形式。据我们所知，这是第一篇针对价格制定公司在不确定情况下的非最优提取问题提供显式解决方案的论文，该公司面临具有加性和均值回复动态的差异商品现货价格。在商品价格的布朗动态漂移的简单情况下，我们发现最优提取规则规定在任何时候提取所需的最小量，以使商品价格低于内生确定的恒定临界水平x,所谓的自由边界。

只有在初始商品价格超过levelx的情况下，才能在初始时间观察到一次性提取（因此最优控制的跳跃）. 在这种情况下，根据水库的初始水位，耗尽水库或提取一块商品以使p大米降低到所需的x水平可能是最佳的.如果商品的价格还有一个均值回复行为，并且演变为一个非斯坦因-乌伦贝克过程，那么分析就比布朗案例更为复杂和技术性。这是由于涉及theOrnstein-Uhlenbeck过程的微型发生器的二阶常微分方程的基本解的不规则和不明确的形式。在构造HJB方程的显式解时，需要了解增量基本解的性质。最优提取规则由临界价格水平触发，该临界价格水平与布朗情况不同，不再是常数，但取决于水库y的当前水平。我们称之为F-第4.2节中的1（y）-是正的、严格递减的C的倒数∞-我们明确确定的函数F。最佳提取方式是使关节过程（X，Y）保持在区域{（X，Y）：X内≤ F-1（y）}，并且只有当初始数据位于前一区域之外时，才应该进行适当的lum p sum提取。自由边界Fhas在点x处的渐近线∞点x处为零。

这两点有一个清晰的解释，因为它们分别对应于在燃料有限且没有市场影响的模型中触发最优提取规则的临界价格水平。在布朗和Ornstein-Uhlenbeck两种情况下，最优提取规则都是通过求解一个Skorokhod反射问题，该问题在方向上的自由边界处具有倾斜反射，从而在数学上给出的(-α, -1). 这里α>0是公司行为对商品价格的边际市场影响。事实上，如果公司在时间t提取了一个数量，比如说dξt，那么价格将线性减少αdξ，而储层水平将线性减少dξt。此外，我们证明了该值函数是关联HJB方程的经典C2,1-解。当价格遵循Ornstein-Uhlenbeck动力学时，我们对构建的候选值函数的最优性的证明部分采用了最近[4]中处理的非最优清算问题研究中提出的论点，该问题与我们的问题具有数学相似性，即价格影响3的最优提取。事实上，在“小”边际开采成本的情况下，由于theOrnstein-Uhlenbeck过程的最小生成元的增加特征函数的不确定性和隐式形式，我们无法通过直接手段证明为解HJB方程，候选值函数需要满足的不等式。出于这个原因，在这种情况下，我们采用了文献[4]中的观点，其中对原始奇异控制问题进行了有趣的重新表述，作为一种变分方法。然而，还值得注意的是，当开采的边际成本为“largeenough”时，[4]的方法并不直接适用，因为[4]中的基本假设（参见其中的假设2.2-（C5））不满足。

相反，直接研究变量不等式可以得到期望的结果。这一事实表明，在两种方法都无法证明候选值函数对任何模型参数选择的最优性的情况下，联合使用变异数计算方法和标准猜测与验证方法可以成功地解决问题。我们参考命题4.11的证明和备注4.12了解详细信息。作为我们结果的副产品，我们发现(-α, -1） ）的值函数与最优停止问题的值函数一致（见下文第4.2.1节和备注4.16）。这一事实与[20]和[21]的发现相一致，也让我们能够定量地解释为什么在商品p大米的漂移布朗动力学的情况下，x水平触发最优提取规则与水库当前水位y无关。实际上，在s ucha情况下，最优停止问题的值函数与y无关，因此，其自由边界x也与y无关.由于我们结果的明确性，我们可以在第5节中提供详细的比较静力学分析。我们得到了临界价格水平x的价值函数依赖性的理论结果, x个∞, 和xM关于模型的一些参数。在Ornstein-Uhlenbeck商品价格的情况下，还导出了数值结果，以显示fr-ee边界曲线F对波动性、均值回归水平和均值回归速度的依赖性。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了设置并阐述了问题。

在第3节中，我们提供了初步结果和验证定理。然后，当商品价格分别为漂移布朗运动和Ornstein-Uhlenbeck过程时，在第4.1节和第4.2节构造最优提取问题的显式解。第4.2.1节推导了与最佳停车问题的联系。敏感性分析见第5节。附加ices包含第4.2节和第5.2节中所需的一些结果的证明，以及一个辅助引理。2、设置和问题制定网(Ohm , F、 F：=（英尺）t≥0，P）是一个过滤概率空间，过滤F由标准的一维布朗运动（Wt）t生成≥0，通常由P-null集扩充。我们考虑一家公司从容量有限的水库中开采商品≥ 0，并在现货市场即时出售。我们假设，在公司没有任何干预的情况下，（基本）商品价格（Xxt）t≥0根据动态xxt随机演化=一- bXxt型dt+σdWt，Xx=x∈ R、 （2.1）对于某些常数a∈ R、 b类≥ 0和σ>0。在下文中，我们用漂移a的漂移布朗运动确定了当b=0时的基本价格。另一方面，当b>0时，价格为Orn-stein-Uhlenbeck类型，因此具有商品市场中通常观察到的均值回复行为（例如，见[24]第2章）。在后一种情况下，参数Bre表示平均反转水平，b表示平均反转速度。在我们的车型中，科奇诺（KOCHnot）将我们的注意力限制在积极的基本价格上，因为某些商品也以消极的价格销售。

例如，2017年10月和2018年5月，在阿尔伯塔（加拿大），天然气生产商面临着向客户付费获取天然气或关闭油井之间的权衡。储备水平可以在恒定比例成本c>0时降低。提取不需要以一定的速度进行，我们确定了截至时间t已提取的商品的累计数量≥ 0，ξt，作为公司的控制变量。这是一个Fadapted，n为负，递增的c\'adl\'ag（右连续左极限）过程（ξt）t≥0以便ξt≤ y a.s.适用于所有t≥ 0和dξ0-= 0 a.s.约束ξt≤ y代表所有t≥ 0有一个明确的解释，即在任何时候，其开采量都不能超过储层中可用商品的初始数量。对于任何给定的y≥ 0，因此可容许提取策略集定义为asA（y）：={ξ：Ohm × [0, ∞) 7.→ [0, ∞) : （ξt）t≥0是F自适应的，t 7→ ξtis增加，c\'adl\'ag，ξ0-= 0和dξt≤ y a.s.}。显然，A（0）={ξ≡ 0}.时间t，Yt时的储层水位演变为asdYy，ξt=-dξt，Yy，ξ0-= y≥ 0，其中我们写了Yy，ξ，以强调储备水平对商品初始量y和提取策略ξ的依赖性。提取时，公司会影响商品的市场价格。特别是，当遵循提取策略ξ时∈ A（y），时间t，Xt的市场价格，在某些α>0的情况下，瞬间减少αdξt，因此现货价格演变为dxx，ξt=一- bXx，ξtdt+σdWt- αdξt，Xx，ξ0-= x个∈ R、 （2.2）我们注意到，对于任何ξ∈ A（y）【28】第五章定理6对（2.2）存在唯一的强解，我们用Xx，ξ表示它，以跟踪其初值x∈ R、 以及所采用的提取策略ξ∈ A（y）。备注2.1。请注意，当b=0时，公司提取对价格的影响是永久性的。

另一方面，在均值回复情况B>0时，这是暂时的，因为在公司没有任何干预的情况下，影响衰减率X会恢复到均值回复水平。该公司的目标是最大化总预期利润，扣除总预期开采成本。也就是说，对于任何初始价格x∈ R和储备y的任何初始值≥ 0，公司旨在确定ξ∈ A（y）达到sv（x，y）：=J（x，y，ξ) = supξ∈A（y）J（x，y，ξ），（2.3），其中J（x，y，ξ）：=EZ∞e-ρt（Xx，ξt- c） dξct+Xt≥0:ξt6=0e-ρt（Xx，ξt--c）ξt-α(ξt）,（2.4）对于任何ξ∈ A（y），对于给定的贴现系数ρ>0。在这里，也在下面，ξt：=ξt- ξt-, t型≥ 0，ξc表示ξ的连续部分∈ A（y）。例如，参见《金融邮报》上的文章或美国网站上的新闻。S、 能源信息A具有价格影响的管理优化提取5备注2.2。在（2.4）中，期望中的积分项是关于连续部分ξcofξ的标准LebesgueStieltjes积分。该总和考虑了整块提取，其形式可以通过解释任何整块提取的大小进行非正式调整ξt给定的时间t是在同一时间t进行的一系列完整的多个完整的提取。这样，设置t：=ξtN，通过提取大量资产而产生的净利润ξtof商品不合格-1Xj=0e-ρtXx，ξt--c-jαttN→∞-→Zξte-ρtXx，ξt--c-αudu=e-ρthXx，ξt--cξt-α(ξt）i.这一启发式论点——也在[2]第329-330页讨论了一维单音跟随问题——可以得到严格的证明，关于收敛的技术细节可以在最近的[5]中找到。我们还参考了文献[17]和文献[29]中关于使用控制过程积分定义的乌拉速控问题的其他文献。3.