具有价格影响的最优提取问题

If（x，y）∈ 斯腾x≥ x、 利用αbA（y）ψ′（x）>0，我们得到lu（x，y）- ρu（x，y）- αbA（y）ψ′（x）=（a- bx）- ρ（x- c）- αbA（y）ψ′（x）≤ 一- （ρ+b）x+ρc=（ρ+b）（\'x- x）≤ 0，自x起≥ \'x由LemmaB提供。1在附录B中。另一方面，让x∈ R应为（x，y）∈ S、 集合H（x，y）：=Lu（x，y）-ρu（x，y）-αbA（y）ψ′（x），注意H（x，y）x=-（ρ+b）- αbA（y）ψ′（x）<0，因为A和ψ′的正性。因此，为了证明Lu（x，y）- ρu（x，y）-αbA（y）ψ′（x）≤ 0表示全部（x，y）∈ S、 足以证明H（F-1（y），y）≤ 0、Setu：=F-1（y）；然后，利用A的定义（参见（4.27）），我们得到H（u，y）=ψ（u）ψ′（u）- ψ′（u）-1×h（a- 日分- ρ（u- c） （）ψ（u）ψ′（u）- ψ′（u）+ b（u- c） ψ′（u）- bψ（u）ψ′（u）i=σψ（u）ψ′（u）- ψ′（u）-1××hψ′′（u）（u）- c） ψ′（u）- ψ（u）-ψ′（u）（u）- c） ψ′（u）- ψ′（u）i<0，其中我们对最后一个等式应用了k=0和k=1的引理4.3-（2），最后一个不等式遵循自x以来的推论4.6∞< u≤ x、 因此，Lu（x，y）- ρu（x，y）-αbA（y）ψ′（x）≤ 最后，从命题4.11我们得到了x- c- u（x，y）≤ 0表示任意x∈ R、 前面的不等式表明，u（·，y）与W2相同，∞loc（R）-解决方案（4.68）。然后，基于价格影响27It^o公式的（广义）最优提取应用的标准验证定理表明，u（·，y）adm其表示（4.67）和停止时间τ（x；y）=在f{t中≥ 0:Xxt≥ F-1（y）}达到上确界。备注4.16。一些评论值得一提。关于奇异随机控制问题与最优停止问题之间的联系（参见，例如，[11]、[12]、[19]和[21]作为早期贡献，以及引入最近的[9]以获得更丰富的文献综述），我们可以解释停止时间τ（x；y）作为提取额外社区单位的最佳时间。

事实上，当时的基本过程是，从经济角度来看，边际预期最优利润（即αVx+Vy）与边际瞬时净利润（即x-c） 保持。2、如果我们在模型中不考虑价格影响（即，我们取α=0），可以很容易地看出，得到的最优提取问题V的值函数为vy（x，y）=supτ≥0Ehe-ρτ（Xxτ- c） i，结果与（4.67）明显一致。积分项-Zτe-（4.67）中出现的ρsαbA（y）ψ′（Xxs）ds可被视为运行成本/罚款，其影响随着价格影响α的增加而增加。可以检查，命题4.15证明的论点也适用于漂移布朗运动给出的最终价格，即当b=0时（参见第4.1节）。正如在（4.67）的右侧设置b=0所期望的那样，在这种情况下，它保持αVx（x，y）+Vy（x，y）=supτ≥0Ehe-ρτ（Xxτ- c） 因此，与最优提取问题相关的停止问题不取决于水库y的当前水位。这解释了为什么在第4.1节研究的漂移布朗运动情况下，自由边界x触发optimalextraction规则与y无关。5、比较静力学分析在本节中，我们分别研究了由漂移布朗运动（第5.1节）和byan-Ornstein-Uhlenbeck过程（第5.2节）给出的基本p水稻的提取问题的解的敏感性。特别是，在第5.1节中，我们分析确定了自由边界x的依赖关系（4.13）和参数a和σ的值函数（4.14）。在第5.2节中，我们分析研究了价值函数（4.34）和临界价格水平x和x∞引理4.5依赖于a和σ，以及自由边界F对a、σ和b.5.1的灵敏度。

漂移布朗运动基本价格的敏感性分析。这里我们假设b=0 in（2.2）。感谢显式公式（4.13），研究自由边界x的灵敏度关于参数a和σ，是一个简单的微分练习。提案5.1。自由边界xof（4.13）相对于a和σ都在增加。证据我们将（4.11）的参数n看作a和σ的函数；也就是说，我们设置（a，σ）：=-aσ+raσ+ 2ρσ.28 FERRARI，KOCHThen，通过直接计算不难发现（5.1）na（a，σ）=σ应收账aσ+ 2ρσ- σ,和（5.2）nσ（a，σ）=σ一-aσ+ρraσ+ 2ρσ.显然，如果≤ 0一个有na≤ 0和nσ≤ 然后，假设a>0，注意（5.3）raσ+ 2ρσ≥aσandraσ+ 2ρσ≤aσ+ρa，其中上述第二个不等式后面是二项式公式的应用。通过使用（5.1）中的第一个不等式（5.3）和（5.2）中的第二个不等式（5.3），我们很容易发现na（a，σ）≤ 0，以及nσ（a，σ）≤ 0.最后，声明如下，因为x相对于n减小（参见（4.11））。提案5.2。（2.3）中定义的值函数V相对于a和σ增加。证据设^a>a和^σ>σ。我们分别在两步中证明了关于a和σ的单调性。第1步。Let（x，y）∈ R×（0，∞ ) 给出并确定。对于任何ξ∈ A（y），我们用bxx，ξt表示（2.2）的解，当b=0，漂移为^A时。一个显然有bxx，ξt≥ Xx，ξtP-a.s.对于任何t≥ 0.Th-er-eforebJ（x，y，ξ）≥ J（x，y，ξ）对于任何ξ∈ A（y），其中^J由（2.4）给出，基本状态为（bXx，ξ，Yy，ξ）。因此，我们得出V（x，y）≥ V（x，y），（x，y）∈ R×[0，∞),其中bv（x，y）：=supξ∈A（y）^J（x，y，ξ）。第2步。为了证明V相对于σ的单调性，我们采用了文献[2]中定理4的设置思想。当（2.2）中的波动系数为^σ时，LetbV为值函数。

回想一下（3.9）中的L，让BL与（3.9）中的一样，但波动系数为bσ。然后，对于所有（x，y）∈ R×（0，∞) 我们有LBV（x，y）- ρbV（x，y）=^σbVxx（x，y）+abVx（x，y）- ρbV（x，y）+（σ- ^σ）bVxx（x，y）=bLbV（x，y）+（σ- ^σ）bVxx（x，y）≤(σ- ^σ）bVxx（x，y）≤ 0，（5.4）因为（4.17）和（4.19）中的第二个方程以及（4.21）中的第二个方程bv（·，y）是凸的。此外，由于当（2.2）波动率为^σ时，bV是最优提取问题的值函数，因此bV必须满足-αbVx（x，y）-bVy（x，y）+（x- c）≤ 0，（5.5）对所有（x，y）具有价格影响的最优提取29∈ R×（0，∞ ), andbV（x，0）=所有x的0∈ R、 现在，在证明定理3.2的第一步中，通过使用（5.4）和（5.5），我们得到了≥ V，从而得到所要求的单调性。命题5.1和5.2表明，漂移a的水平越高，因此预期价格越高，公司开始提取的时间越晚，以获得更大的利润。此外，公司利用更高的不确定性，从而产生更大的价格波动，然后以更高的价格出售商品，并增加最终利润。5.2。Ornstein-Uhlenbeck基本价格的敏感性分析。我们首先研究x和x的灵敏度∞（参见Lemma4.5）关于模型参数A和σ。在下面，当需要时，我们写g（·；a，σ），以强调给定的真值函数g对a和σ的依赖性。回想一下，方程（L）的基本递增解- ρ） u=0由（4.25）给出（另见（4.26））。下面，当需要时，我们用ψ（k）（x；a，σ）表示k-关于ψx的TH导数。

通过应用支配收敛定理，我们得到了ψ（k）a（x；a，σ）：=ψ（k）a（x；a，σ）=-bψ（k+1）（x；a，σ），对于所有k∈ N∪ {0}.（5.6）类似地ψ（k）σ（x；a，σ）：=ψ（k）σ（x；a，σ）=一- bxbσψ（k+1）（x；a，σ）-kσψ（k）（x；a，σ），（5.7）对于所有k∈ N∪ {0}通过使用（5.6）和引理4.3，可以很容易地得出下一个结果。引理5.3。一个人有这个（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））a=ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）- ψ（k+1）（x；a，σ）bψ（k+1）（x；a，σ）>0，（5.8）下一个结果的证明见附录a。它使用（5.7）。引理5.4。一个人有这个（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））σ（5.9）=（a- bx）[ψ（k+1）（x；a，σ）- ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）]+bψ（k+1）（x；a，σ）ψ（k）（x；a，σ）bσψ（k+1）（x；a，σ）>0。先前关于ψ/ψx对a和σ的依赖关系的结果（即（5.8）和（5.9））允许我们确定x和x的依赖关系∞关于a和σ。我们可以直觉地预期，该公司会利用更高的均值回归水平，从而以更高的价格出售商品。为了证明这一点，我们确实发现x，x∞, 值函数V随着a的增大而增大。在下面，我们用x，x表示∞（c，∞) 至（x-c） ψx（x；a，σ）-ψ（x；a，σ）=0和（x-c） ψxx（x；a，σ）-ψx（x；a，σ）=0。此外，V（x，y）表示（2.2）中平均回归水平为a/b且波动率为σ时的值函数。提案5.5。设^a>a，用^x和^x表示∞（c，∞) 至（x- c） ψx（x；^a，σ）- ψ（x；^a，σ）=0和（x- c） ψxx（x；^a，σ）- ψx（x；^a，σ）=0。30法拉利，科赫福特莫尔，我们用bybV（x，y），（x，y）表示∈ R×[0，∞), 在（2.2）中，平均回归水平为^a/b，波动率为σ时的v值函数。我们有^x>x和^x∞> x个∞,andbV（x，y）≥ V（x，y），（x，y）∈ R×[0，∞ ).（5.10）证明。

对于任何给定的q∈ R和σ>0，设置H（x；q，σ）：=（x- c） ψx（x；q，σ）- ψ（x；q，σ），x∈ R、 对于所有x>c，我们的Hx（x；q，σ）>0。此外，H（^x；a，σ）=ψ（^x；^a，σ）ψx（^x；^a，σ）ψx（^x；a，σ）- ψ（^x；a，σ）>0=H（x；a，σ），其中，我们使用H（^x；^a，σ）=0 f表示第一个等式，使用k=0表示不等式。因此，由m表示H（·；q，σ）在（c）上的耳鸣性，∞ ), 我们有^x>x。类似地，我们可以证明^x∞> x个∞采用引理5.3，k=1。为了证明（5.10），我们可以按照命题证明5.2的步骤1进行。下一个命题表明，临界价格水平x和x∞随着价格波动的增大而增加。提案5.6。设^σ>σ，用^x和^x表示∞（c，∞) 至（x- c） ψx（x；a，^σ）- ψ（x；a，^σ）=0和（x- c） ψxx（x；a，^σ）- ψx（x；a，^σ）=0。此外，当（2.2）中的平均回归水平为a/波段，波动率为^σ时，用bv表示值函数。我们有^x>x和^x∞> x个∞,andbV（x，y）≥ V（x，y），（x，y）∈ R×R+。（5.11）证明。对于任何给定的q>0和a∈ R、 设置H（x；a，q）：=（x- c） ψx（x；a，q）- ψ（x；a，q），x∈ R、 对于所有x>c，我们有Hx（x；a，q）>0。此外，使用H（^x；a，σ）=0，我们有H（^x；a，σ）=ψ（^x；a，σ）ψx（^x；a，σ）ψx（^x；a，σ）- ψ（^x；a，σ）>0=H（x；a，σ），其中不等式由k=0的引理5.4引起。由于H（·；a，q）随着allx>c的增加，我们有^x>x。类似地，我们可以证明^x∞> x个∞k=1的引理5.4。为了证明（5.11），我们可以使用命题证明5.2第2步中使用的参数，只要注意到bv（·，y）通过（4.38）和（4.39）中的第二个方程是凸的，以及（4.45）（回忆一下，A处的th是正的，ψ是凸的）。我们的结果的半显式性质使我们能够轻松地从数值上研究自由边界F对a的依赖性。如图3所示。

我们看到F增加asa增加：均值回归水平越高，公司开始提取的时间越晚，以获得更大的收益。图4显示了曲线x 7的相关性→ F（x）关于σ。我们看到整个曲线F随着σ的增加而增加。因此，我们得出结论，公司利用了更高的不确定性，进而在平均回归水平上产生了更高的波动，然后以更高的价格出售商品，并提高了其收益。在图5中，我们可以观察到自由边界F相对于b的灵敏度，不同于增加σ和a时发生的情况，现在整个曲线F随着b d的减小而增大，实际上，随着b的减小↓ 0，收敛到x, 这是b=0情况下的自由边界（即与漂移布朗运动情况相关）。这一事实可以通过价格影响的最优提取310.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2图3来解释。自由边界图x 7→ F（x）表示b=1，σ=0.8，ρ=3/8，c=0.3，α=0.25，以及a的各种值：a=0.4（绿色），a=0.5（蓝色），a=0.6（红色），a=0.7（黄色）。0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4图4。自由边界图x 7→ F（x）表示a=0.4、b=1、ρ=3/8、c=0.3、α=0.25以及各种波动率值：σ=0.8（绿色）、σ=0.9（蓝色）、σ=1（红色）和σ=1.1（黄色）。32法拉利，科赫0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2图5。自由边界图x 7→ F（x）对于a=0.4、σ=0.8、ρ=3/8、c=0.3、α=0.25以及平均回复速度的各种值：b=1（绿色）、b=0.25（蓝色）、b=0.125（红色）和b=0.05（黄色）。也就是说，如果a>0，b的值越低，公司就越等待，因为它预计未来能够以更高的价格出售商品。附录A.引理4.3第4.2节和第5.2节的结果证明。（1） 我们请读者参阅[18]等。

此外，ψ的严格凸性可以通过（4.25）上的直接计算来检验。（2） 定义函数f:R+×R→ R+byf（t，x）=Γ（ρb）tρb-1.e-t+tbx公司-aσb√2b，即，一旦与x不同，yieldsfx（t，x）=ρ√2bbσΓ（ρ+bb）tρ+bb-1.e-t+tbx公司-aσb√2b。注意，f是（4.26）中出现的β=-ρb.T然后，对x进行微分（4.25），并调用支配收敛定理，我们得到ψ′（x）∝ e（bx-a） 2σbD-ρ+bb-bx公司- aσb√2b级,注意到fx（t，x）是D的被积函数-ρ+bb-bx公司-aσb√2b级（参见（4.26））。因此，ψ′可以被确定为（常数模）的正严格递增基本解（L-（ρ+b））u=0，通过直接计算，可以确定它是严格凸的。通过重复前面的论点，我们可以看到，对于任何价格影响为33k的最优提取∈ N、 函数ψ（k）是严格凸的，并且与（L）的正严格递增基本解一致- （ρ+kb））u=0。（3） 我们定义函数f（k）：R+×R→ R+byf（k）（t，x）=√2b/σkΓ（ρb）tρb+k-1.e-t+tbx公司-aσb√2b。通过直接计算，我们确定ψ（k+1）（x）=Z∞f（k+2）（t，x）f（k）（t，x）dt，x∈ R、 借助于H¨older不等式（严格地说f（k）（·，x）不是f（k+2）（·，x））的倍数），givesZ∞f（k+2）（t，x）f（k）（t，x）dt<Z∞f（k+2）（t，x）dtZ公司∞f（k）（t，x）dt。后者实际上等于ψ（k+2）（x）ψ（k）（x）- ψ（k+1）（x）>0。引理证明4.4。让k∈ N∪ {0}给定并固定，定义∧（x）：=（x- c） ψ（k+1）（x）- ψ（k）（x），x∈ R、 然后我们有以下内容。（i） 对于x≤ c、 很容易看出∧（x）<0。（ii）对于所有x>c+ψ（c）ψ′（c），其中一个具有∧（x）>0。要看到这一点，重写∧（x）=ψ（k）（x）（十）-c） ψ′（x）ψ（x）- 1., 注意，通过引理4.3ψ′（x）ψ（x）′=ψ′′（x）ψ（x）- （ψ′（x））（ψ（x））>0。因此，对于所有x>c+ψ（c）ψ′（c）>c，其中一个具有ψ′（x）ψ（x）>ψ′（c）ψ（c），这意味着（x- c） ψ′（x）ψ（x）- 1>（x- c） ψ′（c）ψ（c）- 1>0，对于所有x>c+ψ（c）ψ′（c）。

后者明确给出了∧（x）>0的所有x>c+ψ（c）ψ′（c）。因为∧′（x）=（x- c） ψ（k+2）（x）>0对于所有x>c，我们从（i）和（ii）中得出结论，（c）上存在唯一解，∞) 通过∧的连续性，方程∧（x）=0。引理证明4.5。我们用矛盾来争论，我们给出了x∞≥ x、 然后定义x和x∞wehavex公司- x个∞= （十）- c）- （十）∞-c） =ψ（x）ψ′（x）-ψ′（x∞)ψ′（x）∞).（A-1）自Lemma4.3起ψ（x）ψ′（x）′=ψ′（x）-ψ（x）ψ′（x）ψ′（x）<0，对于任何x∈ R、 34法拉利，科赫威（A-1）thatx- x个∞≥ψ（x）∞)ψ′（x∞)-ψ′（x∞)ψ′（x）∞)> 0，同样是由于Lemma4.3。但这与x相矛盾∞≥ x、 引理证明4.9。首先注意，对于（4.35）的解z的存在性，有必要是y-z≥ 0自F起≥ 0和x-αz∈ （十）∞, x] 因为F的域是（x∞, x] 。因此，如果存在（4.35）的解，它必须是z（x，y）∈ （十）-xα，x-x个∞α∧ y] ，适用于所有（x，y）∈ S、 Let（x，y）∈ 给定并固定y>F（x），定义R（z）=y-z-F（x-αz），f或z∈ （十）-xα，x-x个∞α∧ y） 。那么，R（0）=y- F（x）>0和limz↑（十）-x个∞α∧y） R（z）<0。自7世纪以来→ R（z）是严格递减的（严格按F的耳蜗度m递减），因此（4.35）存在唯一解。最后，（4.36）注意到当y=F（x）时，0解（4.35）并且解的唯一性。类似地，（4.37）后面会注意到x-xα唯一解（4.35），sinceF（x）=0。引理5.4的证明。（5.9）中的第一个等式遵循fr om（5.7）。

为了证明（5.9）中的最后一个不等式，我们通过引理4.3-（2）发现σψ（k+2）（x；a，σ）+（a- bx）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）=0。（A-2）从（A-2）中，回顾ψ（k+1）>0，我们得到（A- bx）=-σψ（k+2）（x；a，σ）2ψ（k+1）（x；a，σ）+（ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）。因此，我们有（a- bx）hψ（k+1）（x；a，σ）- ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）i+bψ（k+1）（x；a，σ）ψ（k）（x；a，σ）=（ρ+（k+1）b）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）+σψ（k+2）（x；a，σ）2ψ（k+1）（x；a，σ）hψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x，a，σ）- ψ（k+1）（x；a，σ）i |{z}>0通过引理4.3>ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）h（ρ+（k+1）b）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x，a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）i。我们现在的目标是确定后一个等式右侧的最后一项为正。关于（5.9），这显然意味着（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））σ> 0.从（A-2）我们得到（ρ+（k+1）b）ψ（k+1）（x；A，σ）=σψ（k+3）（x；A，σ）+（A- bx）ψ（k+2）（x；a，σ），具有价格影响的最优提取35，然后产生ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）h（ρ+（k+1）b）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）ψ（k+2）（x；a，σ）i=ψ（k）（x；σ）ψ（k+1）（x；a，σ）hσψ（k+3）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）+ψ（k+2）（x；a，σ）（a）- bx）ψ（k+1）（x；a，σ）- （ρ+kb）ψ（k）（x；a，σ）i=σψ（k）（x；σ）ψ（k+1）（x；a，σ）hψ（k+3）（x；a，σ）ψ（k+1）（x；a，σ）- ψ（k+2）（x；a，σ）i>0，其中最后一个等式通过（a-2）的应用再次出现，最后一个不等式通过Emma4.3出现。因此（ψ（k）（x；a，σ）/ψ（k+1）（x；a，σ））σ> 0，证明已完成。附录B.辅助结果附录B.1。设xbe为（4.28）和（B-1）x的解：=a+ρcρ+B。我们有x<x的证明。定义H（x）：=（x- c） ψ′（x）- ψ（x），x∈ R、 自ψ满足σψ′（x）+（a- bx）ψ′（x）- ρψ（x）=0，对于所有x∈ R、 σψ′（x）>0，我们发现-ψ（x）<-（a）-bx）ρψ′（x），x个∈ R、 因此，我们有h（\'x）<（\'x- c） ψ′（(R)x）-（a）- b'x）ρψ′（'x）=h（'x- c） ρ- （a）- b'x）iψ′（'x）ρ=0，通过'x的定义。