具有价格影响的最优提取问题

可以很容易地检查任意x的w（x，0）=0∈ R、 w在R×[0]上是连续的，∞) （还记得（4.14）后面的评论）。适用于所有（x，y）∈ W我们从（4.14）wx（x，y）=αne（x-c） n个-1(1 - e-αny），wxx（x，y）=αe（x-c） n个-1(1 - e-αny），（4.17）和wy（x，y）=ne（x-c） n个-1e级-αny。（4.18）同样，对于所有（x，y）∈ 通过直接计算Wx（x，y）=-αne-αn（y-x个-x个α） +x个- cα，wxx（x，y）=α1.- e-αn（y-x个-x个α),（4.19）和wy（x，y）=ne-αn（y-x个-x个α).（4.20）最后，对于（x，y）∈ Swe havewx（x，y）=y，wxx（x，y）=0，wy（x，y）=x- c- αy.（4.21）根据前面的表达式，现在可以直接检查w∈ C2,1（R×[0，∞))召回x时= 碳+氮（参见（4.13））。具有价格影响的最佳提取13步骤2。这里我们证明了w解HJB方程（3.10）。根据结构，我们有-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- （x，y）的c=0∈ S、 和Lw（x，y）- ρw（x，y）=0（x，y）∈W、 因此，仍需证明-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- c≤ 0表示（x，y）∈ W和LW（x，y）- ρw（x，y）≤ 0表示（x，y）∈ S、 这可以通过以下步骤实现。一方面，让（x，y）∈ W我们从（4.17）和（4.18）中的第一个方程中得出：-αwx（x，y）- wy（x，y）+x- c=-ne（x-c） n个-1+x- c≤ 0，其中最后一个不等式是e（x-c） n个-1.≥ （十）- c） n，由指数函数≥ q+1表示所有q∈ R、 另一方面，对于（x，y）∈ 从（4.14）和（4.21）的第三行中找到thatLw（x，y）- ρw（x，y）=ay-ρ（x- c） y+αρy=：H（x，y）。我们现在要证明H（x，y）≤ 0表示全部（x，y）∈ S、 因为y≤x个-x个α与x= c+n，我们发现Hy（x，y）=a- ρ（x- c） +αρy≤ 一-ρn.为了研究Hy、 我们需要区分两种情况。如果a≤ 0，然后立即Hy（x，y）≤ 0.如果a>0，则从（4.12）中调用B，并注意到因为EU 7→ B（u）在(-a/σ，∞)  R+，B（n）=0，且B（ρa）>0，一个有ρa≥ n

鸡血藤Hy（x，y）≤ 0、从现在起limy↓0H（x，y）=任何x的0≥ x个, 那么我们已经证明了H（x，y）≤ 0表示所有y≤x个-x个α、 对于任何x≥ x个. 因此，Lw- ρw≤ 0 in S.同样，对于（x，y）∈ S、 we FIN dLw（x，y）- ρw（x，y）=aα（x- x个) - ρ（x- c）x个- x个α+ρ2α（x- x个)=: H（x）。为了获得上述等式中的第一个等式，我们使用了（4.14）、（4.19）的第二行，n用（4.12）中的B解出B（n）=0。注意H（x) = 0和H′（x）=α一- ρ（x- c）. 如果a≤ 很明显，我们有H′（x）≤ 0，自x起≥ x个> c、 如果a>0，则h′（x）≤ 0当且仅当x≥ c+aρ，但后一个不等式适用于任何x≥ x个因为我们已经证明了，对于a>0，我们有ρa≥ n、 前面是x= c+n≥ c+aρ。因此，在任何情况下，H′（x）≤ 0表示所有x≥ x个, 然后Lw- ρw≤ S中的0。结合之前的所有发现，w是C2,1（R×[0，∞)) HJB方程（3.10）的解。第3步。在此，我们验证w满足应用定理3.2所需的所有要求。事实上y 7→ w（x，y）在w中增加，Sealy分别从（4.18）和（4.20）开始。Sis中w（x，·）的单调性改为（4.21）和y≤ （十）- x个)/砂x中的α> c、 为了显示（4.15）中的上限，请注意W（x，y）≤αn，对于所有（x，y）∈ W、 （4.22）自x<x. 此外，我们发现所有（x，y）∈ Sthatw（x，y）=αn1.- e-αn（y-x个-x个α)+ （十）- c）x个- x个α-2α（x- x个)≤αn+（x- c）x个- x个α≤αn+（x- c） y，（4.23）14科赫法拉利，我们在那里使用了y>（x- x个)/α表示所有（x，y）∈ S、 最后，对于所有（x，y）∈ Sit isclear that w（x，y）=（x- c） y型-αy≤ （十）- c） y.（4.24）因此，从（4.22）-（4.24）我们可以看出，w满足所需的增长条件。现在我们展示了w的非负性。

适用于所有（x，y）∈ W一个明显有W（x，y）≥ 0，其中一个还可以为所有（x，y）找到该值∈ Sw（x，y）=αn1.- e-αn（y-x个-x个α)+ （十）- c）x个- x个α-2α（x- x个)=αn1.- e-αn（y-x个-x个α)+x个- x个α（十）- c） +（x- c）≥ 0，其中最后一个不等式是由于y>x-x个α和x≥ x个≥ c、 此外，对于（x，y）∈ S、 oneobtainsw（x，y）=（x- c） y型-αy≥ yhx公司- c-（十）- x个)i=y（十）- c） +（x- c）> 0，我们使用y的地方≤ （十）-x个)/第一个不等式中的α和x≥ x个> c在最后一个不等式中。因此，w在R×[0上是非负的，∞).第4步。控制ξ可接受（4.16）给出的结果，并满足（3.14）和（3.15）的要求。由于步骤1和步骤2 w是HJB方程（3.10）的C2,1-解，并且步骤3满足了理论3.2的所有要求，我们得出结论：w（x，y）=V（x，y），（x，y）∈ R×[0，∞),根据定理3.2。备注4.2。注意，作为α↓ 0，最佳提取规则ξ公式（4.16）收敛于提取规则Bξ，该规则规定一旦价格达到x，立即耗尽水库; i、 e.定义，对于任何给定和固定（x，y）∈ R×[0，∞), bτ（x，y）：=in f{t≥ 0：x+at+σWt≥ x个}, 一个hasbξt=0表示所有t<bτ（x，y），一个hasbξt=y表示所有t≥ bτ（x，y）。对于公司没有市场影响（即α=0）的提取问题，可以很容易地检查lattercontrol是否最优。4.2. b>0：均值回复基本价格的情况。在本节中，假设b>0，我们研究了当商品的性质演变为线性控制的Ornstein-Uhlenbeck过程dxx，ξt=（a- bXx，ξt）dt+σdWt- αdξt，Xx，ξ0-= x个∈ R、 对于任何ξ∈ A（y）。在继续构造（2.3）的候选最优解之前，在下一个引理中，我们回顾了（非受控）OrnsteinUhlenbeck过程的一些重要性质，这些性质将在后续分析中需要用到。他们的证据可在附录A中找到。引理4.3。

设L表示非受控Ornstein-Uhlenbeck过程的微型发生器（参见（3.9））。那么以下是正确的。（1） 一般微分方程Lu的严格递增基本解-ρu=0由ψ（x）=e（bx）给出-a） 2σbD-ρb-（bx- a） σb√2b级,（4.25）具有价格影响的最佳提取151 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3图1。最佳提取规则ξ的图示（参见（4.16））和自由边界x. 通过使用a=0.4，σ=0.8，ρ=3/8，c=0.3，α=0.25获得该图。最佳提取规则规定了以下内容。在{（x，y）区域∈ R×（0，∞) : x<x} 最好不要提取。如果在初始时间（x，y），x>x和y≤ （十）- x个)/α、 然后应立即耗尽储层。另一方面，如果（x，y）发出x>x和y>（x- x个)/α、 然后，应制作一个大小为（x-x个)/α、 然后继续提取，直到商品耗尽，只要防止价格上涨到x以上.式中，dβ（x）：=e-xΓ(-β） Z∞t型-β-1e级-t型-xtdt，β<0，（4.26）是β阶圆柱函数，Γ（·）是欧拉伽马函数（例如，见[3]第八章）。

此外，ψ是严格凸的。（2） ψ（k）的第k阶导数∈ N、 其中之一是ψ（k）是严格凸的，并且它是（L）的正严格递增基本解- （ρ+kb））u=0。（3） 对于任何k∈ N∪ {0}，ψ（k+2）（x）ψ（k）（x）- ψ（k+1）（x）>0，对于所有x∈ R、 对于任何大于0的y，从（4.9）中，我们发现a（y）在G（y）的s中的表示；也就是说，A（y）=（G（y）- c） ψ′（G（y））- ψ（G（y））α[ψ′（G（y））- ψ′′（G（y））ψ（G（y））]。（4.27）注意A（y）的分母对于引理4.3-（3）是非零的。对于我们随后的分析，将G视为状态变量y的函数是很方便的∈ (0, ∞), 特别地，我们猜想它是内射非负函数F的逆，它与它的域和beh-avior一起内生确定。这就是我们接下来要做的。从现在开始，我们设定G≡ F-因为对于任何x，我们有V（x，0）=0（参见定理3.2）∈ R、 我们施加A（0）=0。然后，从（4.27）我们得到边界条件（4.28）x：=F-1（0）求解（x- c） ψ′（x）- ψ（x）=0。事实上，下列（更一般的）结果给出了曲面的存在性和唯一性。其证明见附录A.16法拉利，科奇莱玛4.4。回想一下，ψ（k）表示k阶导数，k∈ N∪ψ的{0}。然后，对于任何k∈ N∪ {0}，在（c，∞ ) 到方程式（x- c） ψ（k+1）（x）-ψ（k）（x）=0。

特别地，存在x>c唯一解（x- c） ψ′（x）- ψ（x）=0和x∞> c唯一求解（x- c） ψ′（x）- ψ′（x）=0。从（4.7）和（4.8）我们得到a′（y）=（F-1（y）- c） ψ′（F）-1（y））- ψ′（F-1（y））ψ′（F）-1（y））ψ（F-1（y））- ψ′（F-1（y）），y>0，（4.29），并且由于引理4.3-（3），A′（y）的d enomator是非零的。现在，我们定义了函数M:R 7→ R和N：R 7→ 对于任何x∈ RM（x）：=（x- c） ψ′（x）- ψ（x）α[ψ′（x）- ψ′′（x）ψ（x）]，N（x）：=（x- c） ψ′（x）- ψ′（x）ψ′（x）ψ（x）- ψ′（x），（4.30），通过区分M和重新排列项，我们得到M′（x）=[ψ′（x）[（x- c） ψ′（x）- ψ（x）]- ψ′′（x）[（x- c） ψ′（x）- ψ′（x）]]ψ（x）α[ψ′（x）- ψ′′（x）ψ（x）]。然而，通过注意M（x）=A（F（x））（参见（4.27）和（4.30）），链式规则屈服Sm′（x）=A′（F（x））F′（x），这反过来又给出了SF′（x）=M′（x）N（x），（4.31），前提是从（4.29）和（4.30）中观察到N（x）=A′（F（x））。回想一下，Lemma4.4中存在一个唯一的x∞> c求解N（x∞) = 0; 即求解（x-c） ψ′（x）-ψ′（x）=0。由于（4.31），这一点是F′的垂直对称点，下一个结果显示x∞位于x的左侧。p屋顶见附录A。引理4.5。回想引理4.4，让x和x∞是M（x）=0（即（x）的唯一解-c） ψ′（x）-ψ（x）=0）和N（x）=0（即（x-c） ψ′（x）-ψ′（x）=0）。我们有∞< x、 下面有用的推论直接来自引理4.4的证明。推论4.6。一个有（x- c） ψ′（x）- ψ（x）<0，对于所有x<x和（x- c） ψ′（x）- ψ′（x）>0，对于所有x>x∞.通过在区间[x，x]中积分（4.31），对于x∈ （十）∞, x] 利用f（x）=0的事实（参见（4.28）），我们得到了f（x）=Zxx[ψ′′′（x）[（x- c） ψ′（x）- ψ（x）]- ψ′′（x）[（x- c） ψ′（x）- ψ′（x）]]ψ（x）-α[ψ′（z）ψ（z）- ψ′（z）][（z- c） ψ′（z）- ψ′（z）]dz，（4.32），定义良好，但对于x=x可能是有限的∞. 在下文中，我们将提到自由边界。

现在我们证明了F的性质，这些性质到目前为止只是猜测。提案4.7。（4.32）i中定义的自由边界F对于所有x严格递减∈（十）∞, x） 属于C∞（（x）∞, x] ）。此外，（4.33）limx↓x个∞F（x）=∞ = 林克斯↓x个∞F′（x）。具有价格影响证明的最佳提取。第1步。我们首先证明所声称的单调性。注意，（4.32）一hasF′（z）=-Θ（z），这里是函数Θ：（x∞, ∞] 7.→ R由Θ（z）：=[ψ′′（z）[（z）]给出- c） ψ′（z）- ψ（z）]- ψ′′（z）[（z- c） ψ′（z）- ψ′（z）]]ψ（z）-α[ψ′（z）ψ（z）- ψ′（z）][（z- c） ψ′（z）- ψ′（z）]。根据引理4.3，一个有ψ′′（z）ψ（z）- ψ′（z）>0，对于任何z∈ R、 此外，Φ（z）：=（z-c） ψ′（z）- ψ′（z）>0，所有z>x∞> c根据推论4.6。因此，对于任何z，Θ的分母都是严格负的∈ （十）∞, x） 。同样，应用推论4.6意味着对于任何z，在Θ的算符处的th是严格负的∈ （十）∞, x） ，因此Θ>0且F′<0。因此，我们得出结论，F是严格递减的。第2步。为了证明（4.33），回想一下，从步骤1开始，我们设置了Φ（z）=（z-c） ψ′（z）-ψ′（z）>0表示所有z∈ （十）∞, x） ，和defineh（z）：=[ψ′′（z）[（z- c） ψ′（z）- ψ（z）]- ψ′′（z）[（z- c） ψ′（z）- ψ′（z）]]ψ（z）-α[ψ′（z）ψ（z）- ψ′（z）]，z∈ （十）∞, x） ，在步骤1中为连续且非负。注意h/Φ=Θ，其中Θ与步骤1相同。根据德·霍皮塔尔的规则，林茨↓x个∞Φ（z）z- x个∞= 林茨↓x个∞Φ′（z）=（x）∞- c） ψ′′（x∞) =: l > 因此，对于任何ε>0的情况，在if | z处存在δε>0这样的th- x个∞| < Δε，则Φ（z）z-x个∞- l< ε.因此，对于任何ε>0，我们将Δε设为如上所述，并取x∈ （十）∞, x个∞+ δε). 然后，回顾（4.32），我们看到存在一个常数C>0（可能取决于x∞和x，但不是x）s uch thatF（x）=ZxxΘ（z）dz=Zxxh（z）（z- x个∞)Φ（z）（z-x个∞)dz公司≥Zx公司∞+ΔεxC(l + ε） dz（z- x个∞)+ CZxx公司∞+ΔεdzΦ（z）→ ∞作为x↓ x个∞.最后，由于（4.32）中的被积函数是C∞-功能开启（x∞, x] ，也就是说，F也是So。备注4.8。

关键价格水平为x和x∞有一个清晰的解释。xis是当我们将α设置为0时，最优提取问题中出现的自由边界，因此公司的行为没有市场影响。x个∞当水库中有一定数量的商品可用时，即y=∞.如上所述，给定F，我们现在介绍划分（候选）销售区域S:S：={（x，y）的集合和st∈ R×（0，∞) : x个≥ F-1（y）和y≤ （十）- x） /α}，S：={（x，y）∈ R×（0，∞) : x个≥ F-1（y）和y>（x- x） /α}。（候选）等待区域w：={（x，y）∈ R×（0，∞) : x<F-1（y）}∪ （R×{0}）。我们现在根据集合W和S猜测最优策略的结构。如果当前价格x足够低，尤其是x<F-1（y）（即（x，y）∈ W） ，我们推测公司没有提取，而应计的支付只是延续值A（y）ψ（x）。每当价格试图突破临界水平F时-1（y），然后公司进行微型提取，以保持状态过程（X，y）18法拉利，科钦赛德地区{（X，y）∈ R×（0，∞) : x个≤ F-1（y）}。如果当前价格x非常高（即x>F-1（y）），且水库的当前水位非常大（即位于S），则公司进行适当振幅z的ins等值一次性提取，并将联合过程（X，y）推至点{（X，y）的轨迹∈ R×（0，∞) : y=F（x）}，然后继续提取。然后，关联的Payoff是从新状态开始的continuationvalue之和（x-αz，y-z） ，以及销售商品的z个单位产生的利润，即（x- c） z-αz.如果当前容量水平不够大（即。

y≤x个-xα，所以（x，y）∈ S） 之后，该公司立即耗尽了水库。该行动与净利润（x）相关- c） y型-αy。根据之前的推测，我们在前面定义了候选值函数asw（x，y）：=A（y）ψ（x），if（x，y）∈ W、 AF（x- αz）ψ（x）- αz）+（x- c） z-αz，if（x，y）∈ S、 （十）- c） y型-αy，if（x，y）∈ S、 （4.34）其中，对于任何（x，y）∈ S、 我们用z表示：=z（x，y）唯一解玩具- z=F（x- αz）。（4.35）事实上，它的存在性和唯一性是由下一个引理保证的，下一个引理的证明是不附文的。引理4.9。对于任何（x，y）∈ S、 存在唯一的解决方案z（x，y）到（4.35）。此外，我们有z（x，y）∈ （十）-xα，x-x个∞α∧ y] ，z（x，F（x））=0表示任何x∈ （十）∞, x） ，（4.36）和Z（x，y）=x- xα，对于任意（x，y）∈ R×（0，∞) 这样x≥ x和y=x- xα。（4.37）接下来，我们验证w是HJB方程（3.10）的经典解。这将在接下来的两个结果中完成。引理4.10。函数w为C2,1（R×[0，∞)).证据通过构造可以清楚地看到连续性。在此之前，我们需要开发W的导数。用Int（·）表示集合的内部，我们用（4.34）表示所有（x，y）∈ Int（W）wx（x，y）=A（y）ψ′（x），wxx（x，y）=A（y）ψ′（x），wy（x，y）=A′（y）ψ（x），（4.38）和所有（x，y）的∈ Int（S）wx（x，y）=y，wxx（x，y）=0，wy（x，y）=x- c- αy.（4.39）前面的方程很容易给出Int（W）、Int（S）和inR×{0}中导数的连续性。评估wx、Wxxx和wyfor（x，y）∈ Int（S），我们需要更多的工作。从（4.35）出发，利用隐函数定理计算了z=z（x，y）相对于x和y的阶导数，得到了z（x，y）=F′（x- αz）αF′（x- αz）- 1，（4.40）和zy（x，y）=1- αF′（x- αz），（4.41）对任何（x，y）具有价格影响的最优提取19∈ Int（S）。

此外≡ F-1，取y=F（x- αz），我们从（4.7）A′（F（x- αz））=x- αz- cψ（x- αz）- αA（F（x- αz））ψ′（x- αz）ψ（x-αz），（4.42）和（4.8）A′（F（x- αz））=1- αA（F（x-αz））ψ′（x）- αz）ψ′（x- αz）。（4.43）通过在S内严格区分w与x的关系（参见（4.34）中的第二条直线），并使用（4.40）和（4.42），我们得到Wx（x，y）=A（F（x- αz））ψ′（x- αz）+z.（4.44），也可由（4.43）和（4.40）wxx（x，y）=A（F（x- αz））ψ′（x）- αz）。（4.45）此外，关于y（4.34）的第二行，使用g（4.41）和（4.42），yieldswy（x，y）=A′（F（x- αz））ψ（x-αz）。（4.46）方程式（4.44）-（4.46）适用于任何（x，y）∈ Int（S），并给出w∈ C1,2（Int（S））。现在，让（xn，yn）n Int（S）是收敛于（x，F（x）），x的任意序列∈ （十）∞, x] 。辛塞利姆→∞z（xn，yn）=0，通过z的连续性，并且由于A，ψ，ψ′和ψ′也是连续的，我们从（4.38）和（4.44）–（4.46）得出结论，w∈ C2,1（W∩ S） ，其中W和sde记录了W和S的闭包，以证明W∈ C2,1（S∩ S） ，考虑序列（xn，yn）n 收敛到（x，x-xα），x≥ x、 再次通过F的连续性，利用F（x）=0，我们得到limn→∞z（xn，yn）=α（x-x） 。因此，我们有∈ C2,1（S∩S） 通过（4.39）和（4.44）–（4.46），并在使用A（F（0））=0和ψ（x）A′（F（0））=ψ（x）ψ′（x）=x时- c根据（4.43）。收集了之前的所有结果，下面的声明如下。提案4.11。（4.34）中的函数w是C2,1（R×[0，∞)) HJBequation（3.10）的解，并且w（x，0）=0。证据所声称的规律性来自引理4.10，而我们从引理（4.34）中看到w（x，0）=0，因为A（0）=0。因此，我们在下面假设y>0。此外，重要的是要记住，在（4.7）和（4.8）中，我们设置了G≡ F-1、按结构Lw（x，y）- ρw（x，y）=0表示所有（x，y）∈ W、 此外，-αwx（x，y）-wy（x，y）+（x- c） =0表示所有（x，y）∈ S