大型系统默认集群中的网络效应

因此，根据所选的低Rankaproximation，有时可能会失去一些财务意义。然而，如果特征值的谱间隙足够大，并且选择了与谱间隙一致的低阶近似值（即，对应于（4）且右侧较小的近似值），则预计不会出现这种情况。第5节中的数字示例表明，在这种情况下，利息统计数据（利息财务指标）的价值，直到可忽略的近似误差，都不会受到这种良好的低阶近似值的影响。然后，前面的讨论促使我们替换 通过A和，随后确定数量qn，n，At=βC，An·LN，At，（5）其中βC，An=（ξun，1，ξun，2，…，ξrun，r）和向量值过程LN，At=（LN，1t，LN，2t，…，LN，rt）T。为了简单起见，我们对分量LN使用相同的表示法，对于A和, 尽管我们总是和LN，A合作，所以不应该有混淆。现在我们已经讨论了矩阵 定义网络结构，让我们更具体地了解动态。强度由布朗运动Wn表示的特殊风险、过程X表示的系统风险以及过程QN、n表示的溢出风险驱动，At=βC、An·LN、At（通过a定义，低阶近似值为). 特别地，我们考虑以下相互作用系统dλN，nt=b（λN，nt，an）dt+σN·（λN，nt）ρdWnt+βC，an·dLN，At+βSnλN，ntdXtλN，N=λ0，N，ndXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dVtX=xLN，jt=NNXn=1\'N，jχ{τN，N≤t} 。j=1，2，r（6）注意，（6）已根据A而非原始定义. 这代表了在实践中要做的事情，以便简化系统，因为第3节和第4节将更加明确。此外，我们考虑了异质池，这意味着不同名称的强度动力学可能不同。

在模型σn中∈ R+，an∈ Rk对于某些k>0，βSn∈ R为常数，1/2≤ ρ < 1. 让我们设置P=R+×Rk+2r+1和^P=P×R+。适用于所有n∈ {1，2，…，N}，我们通过定义“类型”（7）pn=（σN，an，βCn，1，···，βCn，r，βSn，`N，1，···，`N，r）来捕捉这些不同的动力学∈ Pand（8）^pn=（pn，λ0，N，N）∈^P.大型系统默认聚类中的网络效应7此外，我们让^pnt=（pn，λN，nt）∈从现在起，我们抑制了超指数A，我们简单地写QN，nt，βCn，LNtin代替QN，n，At，βC，An，LN，At。从上下文中总是可以清楚地看到所使用的矩阵。正如刚才提到的QN，nt=βCn·lnt表示从系统默认值到时间t对第n个名称的平均影响（近似，由于潜在的低秩近似）。向量βCn=（βCn，1，·····，βCn，r）与βCn，i=ξiun，我将被解释为传染系数向量。βCn值越高，对第n个名称的默认强度影响越大。这是很自然的，因为矩阵A的第n列表示当n-该机构对所有其他机构都存在。其他令人感兴趣的网络性能指标是DNt=NPNn=1χ{τN，N≤t} DNt（pB）=NBPNn=1χ{τN，N≤t} χ{pN，n=pB}，NB=PNn=1χ{pN，n=pB}（我们使用符号{pN，n=pB}来区分类型B的名称），池中的总体损失率和相同类型名称的损失率，例如类型B。当N较大时，可以通过本文的近似定理（定理4.3）对这些量的分布进行数值近似。正如我们将在第5节中看到的，具有较大传染系数的类型名称往往会有较大的损失。此外，d代表 或r的低阶近似值A分别显示了d或r级别的层次结构。

例如，矩阵的秩1（r=1）近似值 将具有比矩阵的秩2（r=2）近似更均匀的结构. 特别是，在一级近似值中属于相同类型的名称 （从第（6）项的敏感性过程的动态演变来看），在二级近似中可能是不同的类型（因此，在第（6）项中，与默认过程的强度不同）。换句话说，一个网络系统对应一个矩阵 具有大量非零特征值的r将比具有较少r的系统具有更好的结构。可以将r解释为系统中相互作用的级别数。我们将在第3节和第5节中再次讨论这一点。我们的论文显著扩展了[21]的结果。首先，漂移项b（λ，a）只需要具有关于λ的某些耗散性质。其次，我们有一个通过邻接矩阵描述的网络结构. 正如weshall所见，对该模型的分析不仅更具挑战性，而且还需要新的论点和想法。虽然主要参数和总体证明策略基于[20，21]的方法，但附录A中给出了所需的新数学参数。通过邻接矩阵引入网络结构, 允许提出更丰富的问题集。3、符号和假设在本节中，我们将回顾假设在本文中始终有效的假设。我们从假设3.1、3.2和3.3开始，这些假设与邻接矩阵具有足够规则行为的重要性有关, 或更具体的低阶近似值A，以及参数pn和^pndefinedvia（7）和（8）的向量。

除其他假设外，假设8 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANG3.1、3.2和3.3保证了以后定义良好的限制以及限制方程的计算可行性。假设3.1。假设有一个常数K3.1>0，使得所有系数σn，an，| |βCn | |，|βSn |和| ` n，j | j=1，2，d和n=1，2，································≥ σ> 0.下面的假设3.2和3.3是根据A来表述的，因为模型（6）基于A。显然，如果它们已经适用于顺序矩阵, 然后可直接代替（6）中的A。在实践中，通常会给出一个大型矩阵, 选择一个好的低Rankaproximation to 并使用特定近似值。换言之，出于所有实际目的，人们希望能够使用低阶近似值A。事实上，出于理论原因，我们将假设更多一点为假设3.2规范。假设3.2。我们假设，随着N的增长，模型（6）中使用的矩阵A的秩r保持有界。接下来，让我们定义πN=NNXn=1δpn，∧N=NNXn=1δλ0，N，N。测度π和∧Nbelong分别为Borel概率测度onP和R的空间。这些空间将分别用P（P）和P（R）表示。假设3.3。假设极限π=limN→∞πN∧=limN→∞∧Nexist分别位于P（P）和P（R）上。毫无疑问，假设3.1、3.2和3.3暗示了机构网络的某些行为。以下备注3.4和3.5相关。备注3.4。假设3.1关于| |βCn | | |和| ` n，j |的有界性，对于j=1，2，d和所有n∈ N允许我们证明度量值过程跟踪默认值的紧密性（参见第4节），但它也意味着原始矩阵 可以通过设置小于给定阈值的零奇异值来很好地近似，请参见[9]。

特别是，[9]表明 > 0，则-排名 （即距离就最大绝对进入标准而言，小于) 最多是订单√N、 如果再加上矩阵的每一个元素，则该结果在[35]中按对数N的顺序加强 可以通过对潜在的高维但有界的潜在变量应用分段分析函数来生成。这些结果表明，即使没有潜在的物理原因，足够大的数据集往往具有低秩结构，请参见[35]。这些表明，当N较大时，可以合理地预期矩阵 由低秩矩阵a很好地逼近。这是本文关注的领域。低Rankaproximations在财务文献中并不新鲜，例如参见【27】。低秩结构在块模型网络和低秩近似中很明显。大型系统默认聚类中的网络效应9可用于确定核心-外围结构（一个众所周知的金融利益网络），参见【12】。[11]的实证结果表明，核心-外围结构是一个利益金融网络。在[11]中，德国银行间网络的经验发现，银行间市场是分层的，这意味着大多数银行不是直接相互借贷，而是通过中介机构借贷。这种现象可以通过核心-外围模型来捕捉。

[11]中观察到的网络是稀疏的、有向的和有值的。在本文中，我们感兴趣的是研究动态量的极限行为，如Qn，N，t池中或给定类型asN名称内的损失率→ ∞ 为了在数学和数值上做到这一点，我们需要假设我们可以使用矩阵 （或适当的低rankapproximation A），以使其秩可以取，或近似地被认为是有界的N→ ∞. 假设3.2使该限制精确，在这种情况下，第4节的理论结果成立。此外，假设3.2也适用于我们在第5节进行数值研究的数值例子，包括核心-外围例子。在第5节所述的数值实验中，将明确使用哪个矩阵来定义Qn，Nt，从而确定模型（6）。结论部分第8节讨论了治疗ANK也随N增加的情况的可能性，但我们在这项工作中不会对此进行详细阐述。关于Pn的假设3.3意味着邻接矩阵的跨距列和行的经验分布具有明确的分布限制。例如，如果向量“j，uj”中对于每个特定频率的j只有有限数量的非零条目，则该假设成立。例如，在第5节的所有数值研究中都会出现这种情况。在实践中，如果给定一个特定的声明N，可以使用定理4.3来近似感兴趣量的概率分布，但当然可以使用经验分布π和∧Nas分别近似为π和∧。备注3.5。为了完整性，让我们给出一个核心-外围模型的简单示例，该模型在N增长到完整时具有有界秩，即满足假设3.2。此处给出的模型也满足假设3.3。

考虑一个基本模型N×N=C CPP C O其中C是Nc×Ncmatrix（表示核心的基本模型），CP是Nc×Npmatrix，P C是Np×Ncmatrix（表示核心和外围之间相互作用的基本模型），Nc+Np=N。然后，对于k∈ N、 letN=k×Nand，考虑N×N网络矩阵 = N×N=C···C CP···CP。。。。。。。。。。。。。。。。。。C··C CP··CPP C··P C O··O。。。。。。。。。。。。。。。。。。P C··P C O··O = N×Nis通过N×N通过将基本模型中的核心银行扩展到k×Ncbanks，将基本模型中的np外围银行扩展到k×Npbanks。矩阵的秩此外，10 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGa简单计算表明，对于每k∈ 因此，对于每N∈ N库存 = N×Nis也以N为界。对于这种模型，我们假设原始N机构的k个副本中的每一个都具有与默认过程λN对应的强度，N定义为与基础模型中相应原始机构的定义参数（an，σN，βSn，λ0，N，N）相同的值（或i.i.d副本，如果随机选择）。对于漂移系数函数b（λ，a），我们假设以下增长和正则条件。假设3.6。映射λ7→ b（λ，·）是局部Lipschitz，存在有限常数d>1，q>1，K>0和正有界函数γ和K，其中γ（a）>0，K（a）>0，使得λb（λ，a）<-γ（a）|λ| d，对于|λ|≥ K | b（λ，a）|≤ k（a）（1+|λ| q），b（0，a）>0。此外，我们假设对于任何λ∈ R+，a 7→ b（λ，a）是一个连续函数。关于假设3.6的备注如下。备注3.7。如果我们取a=（(R)α，(R)λ）∈ R+和b（λ，a）=-\'a（λ-则强度过程的异向部分成为经典的CEV模型。

注意，在这种情况下，b（λ，a）=-λV（λ，a），V（λ，a）=a（λ-函数vh为λ=(R)λ处的单个最小点。反过来，λ的平均值逆转意味着默认值的影响随着时间逐渐消失，强度将趋向于恢复到λ=(R)λ的水平。假设3.6将a ffne结构放宽至漂移系数b（λ，a）的适当耗散性要求。这扩大了可以考虑的漂移b（λ，a）的类别。例如，可以考虑b（λ，a）的情况=-λV（λ，a），其中V（λ，a）为双稳势。这种情况可能对应于某些名称的信誉可能有两个平衡点的情况，对应于商业周期的两个不同部分。本文的目标是探索（第5节）网络结构和低阶近似对动态演化随机过程分布的潜在影响。上述数值探索基于池中名称的经验生存分布的严格平均场限制（定理4.3）。定理4.3证明，漂移系数b（λ，a）上的适当耗散条件足以保证良好定义的违约过程强度以及随后良好定义的经验存活分布的平均场限值。有关更详细的相关讨论和潜在的未来方向，请参见第8节。其余假设与外部风险过程X有关。假设3.8。假设函数σ（·）有界，即存在常数K3.8，使得σ（x）|<K3.8。对于bassume supt<∞E | b（Xt）| 4p<∞对于一些p≥ 1、让我们定义=-βSZtb（Xs）ds。大型系统默认集群中的网络效应11假设3.9。

假设对于某些p≥ 1，支持<∞E【X2pt】和supt<∞E[e4p | t |]有界。最后一个假设3.10确保我们可以将一些技术引理从有界漂移b（x）扩展到潜在的无界漂移。假设3.10。假设有一个函数u（x），使得σ（x）u（x）=-b（x）对于任何T>0，我们有eHE1/2RT | u（Xs）| dsi<∞,对于任何T，都有一个p>1，这样e-RTu（Xs）dVs-1/2RT | u（Xs）| dspi<∞.假设3.8、3.9和3.10成立的一个例子是取b（x）=-γx和σ（x）=1，这是[20]中研究的均值回复示例。4、模型的适定性和主要结果在本节中，我们证明了模型的适定性，并给出了我们的主要结果。让我们从模型的适定性开始，引理4.1。引理4.1。设ξ为具有r分量的过程向量，可预测、右连续、单调且ξ=0有界。让假设3.1-3.10保持不变。存在以下SDE的唯一非负解λ：dλt=b（λt，a）dt+σ（λt∨ 0）ρdWt+βC·dξt+βSλtdXtλ=λodXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dVt。引理4.2是关于一个基本的先验界，它将在后续证明的许多地方使用。引理4.2。设λN，nbe为（6）的唯一解，在引理4.1的假设下保证。让p≥ 1应确保假设3.8和3.9成立。那么，对于这样的p≥ 1和每T≥ 0，K4.2def=sup0≤t型≤T、 N个∈NNNXn=1E[|λN，nt | p]是有限的。引理4.1和4.2的证明见附录A。

让我们用mn表示池中给定名称的生存指标过程，nt=χ{τN，N>t}，并定义与时间t之前存活的名称相对应的^pn的经验分布，如下所示：unt=NNXn=1Δ^pntMN，nt。请注意，unT捕获了模型的整个动态（包括异质性和网络拓扑的影响）。12 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang为了研究uN的收敛性，我们需要建立适当的拓扑框架。也就是说，设E是子概率测度on^P的集合，即E由这些Borel测度νon^P组成，使得ν（^P）≤ 1、然后确定一个点？不在^P中，且设^P+=^P∪ {?} （所谓的^P的一点压缩位置）。开集是^P的开子集（与原始拓扑相关）或^P的闭子集（同样，在^P的原始拓扑中）在^P+中的互补集。定义从E到^P+上的Borel概率测度的双射ζas（ζν）（Z）=ν（Z∩ P） +（1-ν（P））δ？（Z） ，对于任何Z∈ B（^P+）。然后我们可以把E变成一个抛光空间。我们定义了P（^P+）上的Skorokhod拓扑，并通过要求ζ为等距来定义相应的度量单位E。然后，空间E将被抛光。因此，uNis是DE[0，∞), i、 e.，是来自[0，∞) 到E，它是右连续的，并且有左极限。空间DE[0，∞) 将被赋予Skorohod度量，我们用dE表示，参见【15】。接下来，对于每个f∈ C∞（^P）定义<f，u>E=Z^P∈^Pf（^p）u（d^p）。此外，确定生成器lf（^p）=σλ2ρfλ（^p）+b（λ，a）fλ（^p）-λf（^p）Lxf（^p）=（βS）λσ（x）fλ（^p）+βSλb（x）fλ（^p）Lxf（^p）=βSλσ（x）fλ（^p）Lf=βCfλ（^p）ι（^p）=λν（^p）=`（9）带βC，`是向量值，形式分别为βC=（βC，βC，···，βCr）和`=（l，l，··，lr）。对于j=1，2，…，我们写νj（^p）=ljj，r