大型系统默认集群中的网络效应

注意，zt可以写成zt=λ+βC·{eΓtξt+ZteΓsξsβSb（Xs）ds}=λ+ZteΓsβC·ξsβSb（Xs）ds+βC·ξteΓtNext，假设βC·ξt≤Prj=1 |βCj |=|βC | |，我们得到{E[Z2pt]}1/（2p）≤ λ+| |βC | E[e2pΓt]1/（2p）+（E“ZtβC·ξseΓsβSb（Xs）ds2p#）1/（2p）。通过Cauchy-Schwartz不等式和H¨older不等式，我们得到了（E）ZtβC·ξseΓsβSb（Xs）ds2p#）1/（2p）≤（E）Zte2ΓsdspZt公司βC·ξsβSb（Xs）ds公司p#）1/（2p）≤“EZte2Γsds2p#1/4p“EZt[βC·ξsβSb（Xs）]ds2p#1/4p。通过Holder不等式，Zte2Γsds≤Zt公司e2Γs2p级1/（2p）Zt1ds1.-1/2p=t1-1/2便士Zte4pΓsds公司1/2便士。所以，我们有“E”Zte2Γsds2p#1/4p≤t2p型-1E（Zte4pΓsds）1/4便士。类似地，我们得到“E”Zt公司βC·ξsβSb（Xs）ds公司2p##1/4p≤t2p型-1E级Zt公司||βC | |βSb（Xs）4PD1/4便士。因此，我们有（E“ZtβC·ξseΓsβSb（Xs）ds2p#）1/（2p）≤ t1级-1/2便士中兴通讯e4pΓsds公司1/4pEZt公司||βC | |βSb（Xs）4PD1/4p=t1-1/2便士中兴通讯e4pΓsds公司1/4pZt | |βC | | 4p（βS）4pE[b（Xs）]4pds公司1/4p，总结引理的证明。引理4.1的证明。这个引理的证明将分几个步骤给出。让我们首先讨论λt方程的存在性和唯一性，假设b（λ，α）一致有界。大型系统默认聚类中的网络效应43解λt的存在性和唯一性与[34]第V.11章中的类似。然而，由于这里考虑的模型的特殊性，必要范数的界的推导更加复杂。

下面我们提到唯一性证明所需的调整，因为存在性证明所需的调整基本相同。对于任何M>0，让我们设置M（λ，a）=b（λ，a），对于所有|λ|≤ M、 让ym满足方程ymt=Zt∧τMeΓs[bM（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）]ds+σZt∧τMeΓs（1-ρ） （（YMs+Zs）∨ 0）ρdW s+βSZt∧τMσ（Xs）（（YMs+Zs）∨ 0）dVs，其中τMis通过（14）定义的随机时间τM=inft型≥ 0：| e-Γt（（YMt+Zt）∨ 0）|>米∧ M、 很明显，在时间τM之前，过程YMtwill与过程yt相同，后者以b代替bm作为其相应的漂移系数。现在，我们假设Ymtha的方程是另一个解，可能不同于YMt，用Y0Mt表示，我们用τmt表示相应的随机时间。让我们考虑0<η 1并定义函数（15）ψη（x）=lnη-1Z | x|Zyzχ[η，η1/2]（z）dz注意ψη是一个偶数函数。此外，其第一和第二导数满足ψη（x）=lnη-1Zxz=0zχ[η，η1/2]（z）dz和ψη（x）=lnη-1xχ[η，η1/2]（x）表示所有x>0。单调性参数表明，对于所有x∈ R和η>0，|ψη（x）|≤ 1和| x |≤ ψη（x）+√η.此外，我们注意到（16）ψη（x）≤lnη-1 | x |χ[η，√η） （| x |）≤lnη-1分钟|x |，η,xψη（x）≥ 0表示所有x∈ R、 我们有| YMt- YMt |≤ ψη（YMt- YMt）+√η ≤ D1，Mt+σD2，Mt+（βS）D3，Mt+Mt+√η，其中Mt是鞅，d1，Mt=Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）eΓsbM（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）- bM（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）ds公司≤Zt公司∧τM∧τMψη（YMs- YMs）厘米，1 | YMs- YMs | ds，44 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yango，其中CM，1是截断函数bM（·，a）的Lipschitz常数。此外，D2，Mt=1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）e2Γs（1-ρ） ×h（（YMs+Zs）∨ 0)ρ- （（YMs+Zs）∨ 0）ρids≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）e2Γs（1-ρ） ×h（（YMs+Zs）∨ 0)2ρ- （（YMs+Zs）∨ 0）2ρID≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）e2Γs×e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0)2ρ-e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0)2ρds公司≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）eΓsCM，2 | YMs- YMs | ds≤厘米，2lnη-1Zt∧τM∧τMeΓsds对于某些常数K，其中使用（16）。

这里，CM，2是局部Lipschitz函数f（x）=x2ρ的Lipschitz系数，对于| x |≤ M、 类似地，使用（16）和假设3.8，我们可以显示3，Mt=1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）σ（Xs）h（（YMs+Zs）∨ 0) - （（YMs+Zs）∨ 0）ID≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）σ（Xs）h（（YMs+Zs）∨ 0)- （（YMs+Zs）∨ 0）ID≤ KZt公司∧τM∧τMψη（YMs- YMs）YMs公司- YMs公司eΓse-Γs（YMs+Zs）+e-Γs（YMs+Zs）ds公司≤ KCM，3Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）YMs公司- YMs公司eΓsds公司≤KCM，3lnη-1Zt∧τM∧τMeΓsdtheore，我们得到了支持≤T∧τM∧τME | YMt- YMt |≤√η+（σ+βS）TKCM，2+KCM，3lnη-1+厘米，1 ztsups≤t型∧τM∧τME | YMs- YMs | dt。（17） 通过Gronwall引理，我们得到了≤T∧τM∧τME | YMt-YMt |≤√η+（σ+βS）TKCM，2+KCM，3lnη-1.exp{CM，1T}。大系统默认集群中的网络效应45Letη↓ 0，对于任何T>0，我们都有。支持≤T∧τM∧τME | YMt- YMt |=0。也就是说，对于任何M，YMt=YMt∈ N和t≤ T∧τM∧τM.然后设M→ ∞ 通过引理A.2观察到τM，τM几乎肯定会增加到一个整体，我们得到了以下方程的解yt的唯一性：yt=ZteΓs[b（e-Γs（（Ys+Zs）∨ 0），a）]ds+σZteΓs（1-ρ） （（Ys+Zs）∨ 0）ρdW s+βSZtσ（Xs）（（Ys+Zs）∨ 0）dVsLet us立即设置'Yt=Yt+Zt。然后，“Ytsaties”Yt=Zt+ZteΓs[b（e-Γs（(R)Ys∨ 0），a）+σZteΓs（1-ρ） （(R)Ys∨ 0）ρdW s+βSZtσ（Xs）（\'Ys∨ 0）dVs。现在很容易看出λt=e-Γt'Ytis lemma4.1中定义的唯一解决方案。接下来我们证明λt≥ 0。首先，我们注意到Y=Z=λ>0。由函数ψη（·ψη（`Yt）χR的^o公式-（\'Yt）=ψη（\'Y）χR-（\'Y）+Ztψη（\'Ys）χR-（(R)Ys）b（e）-Γs（(R)Ys∨ 0），a）ds+（1/2）σZtψη（(R)Ys）χR-（(R)Ys）e2Γs（1-ρ） （(R)Ys∨ 0）2ρds+1/2（βS）Ztψη（(R)Ys）χR-（\'Ys）σ（Xs）（\'Ys∨ 0）ds+mt，其中mt是鞅。注意，对于s>0，至少有一个χR-（\'Ys）和（\'Ys）∨ 0）必须为零，然后取两边的期望值：E[ψη（(R)Yt）χR-（\'Yt）]=E[Ztψη（\'Ys）χR-（(R)Ys）b（e）-Γs（(R)Ys∨ 0），a）]d注意χR-（(R)Ys）b（e）-Γs（(R)Ys∨0），a）只有在“Ys”时才能取非零值b（0，a）>0≤ 0

另请注意，当x时，ψη（x）取非正值≤ 0，当| x |<η时为0。因此，如果我们让η→ 0上述等式的右侧不大于零。在左侧，回想一下作为η→ 0，ψη（x）变为| x |。因此，让η→ 0，我们有-t] =E[|(R)Yt |χR-（`Yt）]≤ 因此，我们得到了-t] =0，即'Ytis非负，因此λt=e-ΓtΓYtis也不是唯一的。引理的证明到此结束。46 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGProof引理4.2。对于每个N∈ N和N∈ 1, 2, . . . , N定义N，nt=-βSN，nZtb（Xs）dsZN，nt=λ0，N，N+βCN，N·ZteΓN，nsdLNsYN，nt=ZteΓN，ns[b（e-ΓN，ns（YN，ns+ZN，ns），an）]ds+σN，nZteΓN，ns（1-ρ） （YN，ns+ZN，ns）ρdWns+βSN，nZtσ（Xs）（YN，ns+ZN，ns）dVs。那么λN，nt=e-ΓN，nt（YN，ns+ZN，nt）。我们有λN，nt，p≤他-2pΓN，nt+（YN，nt+ZN，nt）2pi。因此，根据假设3.9，足以表明≤TE | YN，nt+ZN，nt | 2p≤ K表示一些适当的有限常数K。将其^o公式应用于| YN，nt+ZN，nt | 2p。我们声称，在不丧失一般性的情况下，It^o公式中出现的鞅项可以被认为是真鞅，因此具有零期望。考虑到这一点，1- MN，nt-RtλN，nsMN，nsds是鞅，我们写λN，nt=e-ΓN，nt（YN，ns+ZN，nt）。然后，我们可以写下e | YN，nt+ZN，nt | 2p（18）=EZt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，ns[b（e-ΓN，ns（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0），an）]ds+EσN，nZt2p（2p- 1） | YNs+Zs | 2p-2ΓN，ns（1-ρ） （（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）2ρds+E（βSN，n）Zt2p（2p- 1） | YN，ns+ZN，ns | 2p-2（σ（Xs））（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）ds+EZt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，nsβCN，N·NNXi=1lie-ΓN，is（YN，is+ZN，is）MN，isds，根据假设3.6，我们有一些K>0，使得λb（λ，a）≤-γ（a）|λ| dfor |λ|≥ K、 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设耗散性条件在任何地方都适用（如果不是，我们只需单独考虑|λ|<K和|λ|）≥ K） 。

然后，我们得到估计值Ezt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，ns[b（e-ΓN，ns（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0），an）]ds（19）≤ -EZt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-2e2ΓN，nsγ（an）| e-ΓN，ns（YN，ns+ZN，ns）| dds。≤ 0大型系统默认集群中的网络效应47第二项，我们有Ezte2ΓN，ns（1-ρ） | YN，ns+ZN，ns | 2p-2（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）2ρds（20）≤ EZte2ΓN，ns（1-ρ） | YN，ns+ZN，ns | 2p-2 | YN，ns+ZN，ns | 2ρds≤ 22（p-1+ρ)-1EZte2ΓN，ns（1-ρ)|YN，ns | 2p-2+2ρ+| ZN，ns | 2p-2+2ρds公司≤ 22（p-1+ρ)-1EZt公司p- 1+ρp | YN，ns | 2p+1- ρpe2pΓN，nsds+22（p-1+ρ)-1EZt公司1.- ρpe2pΓN，ns+p- 1+ρp | ZN，ns | 2pds。借助于σ界的假设3.8，第三项与第二项相似。EZt | YN，ns+ZN，ns | 2p-2（σ（Xs））（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）ds（21）≤ EZt（σ（Xs））| YN，ns+ZN，ns | 2pd≤ 22便士-1K3.8EZt|YN，ns | 2p+| ZN，ns | 2pDs对于第四项，我们随后应用杨氏不等式，使用假设3.9，得到Ezt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，nsβCN，N·NNXi=1lie-ΓN，is（YN，is+ZN，is）MN，isds公司≤ CK3.1ENNXi=1Zt | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，nse-ΓN，is | YN，is+ZN，is|ds公司≤ C1+NNXn=1EZt|YN，ns | 2p+| ZN，ns | 2pds！（22）对于适当的常数C，C<∞.现在请注意| YN，nt | 2p=| YN，nt+ZN，nt- ZN，nt | 2p（23）≤ 22便士-1 | YN，nt+ZN，nt | 2p+22p-1 | ZN，nt | 2p。下一步是使用（19）、（20）、（21）、（22）绑定（23）。

首先，我们对方程（19）、（20）、（21）、（22）取n的平均值∈ {1，···，N}与假设3.1，假设3.8，假设3.9，引理A.1一起，我们得到了一个常数Ksuch，nnxn=1E[| YN，nt | 2p]≤ K+KZtNNXn=1E[| YN，ns | 2p]ds。48 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGBy Gronwall引理，我们得到了（24）sup0≤t型≤TNNXn=1E[| YN，nt | 2p]≤ 凯克特。此外，请注意，现在使用（24），（23）和（19），（20），（21），（22），也可以得到任何n∈ {1，···，N}（25）sup0≤t型≤TE[| YN，nt | 2p]≤ K、 对于适当的常数K<∞ 上界与n无关。结合假设3.9和引理A.1，我们最终可以从引理中宣传的（24）界得到。关于随机积分的鞅性质的主张还有待解决。事实上，使用与Lemma4.1证明中相同的截断参数，我们得到，对于每个固定的M>0，所讨论的项都是真鞅。然后，由于（24）中相应的上界对于M>0是一致的，并且由于引理A.2，该主张得到了证明，从而得出了引理的证明。引理7.1的证明。在引理4.1的证明中，如果我们可以证明bMin代替b的截断过程的结果是正确的，那么，由于引理。2，限值为M时，结果为真→ ∞ 也因此，对于任意常数M<∞.此外，设S（R+）是R+值的自适应连续过程{λt}t的集合∈[0，T]使得kλkT，1=sup0≤t型≤TE |λt |<∞.赋范数k·kT，1的空间S（R+）是Banach空间。考虑一个非负过程Ut（^p）∈ S（R+）并设置ξ（U）t=（ξ（U）t，ξr（U）t）ξi（U）t=Z^p∈P1.- EVt公司经验值-ZtUs（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。对于给定的Ut（^p），Ut（^p）∈ S（R+），我们考虑ξt=ξ（U）t=（ξ（U）t，ξr（U）t），ξt=ξ（U）t=（ξ（U）t，ξr（U）t）。

确定地图Φ：S（R+）7→ 通过让Φ（U）表示SDEλt=λ+ZtbM（λS，a）ds+ZtσλρsdWs+βC·ξt+βSZtλsdXs的唯一解λ=Φ（U）。同样，我们定义λ=Φ（U）用于方程的解，用ξ代替ξ。然后，过程Rt∧τM∧τM=λt∧τM∧τM- λt∧τM∧τMsatis fiesrt∧τM∧τM=Zt∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ds+Zt∧τM∧τMσλρs- λsρdWs+rXi=1βCiZt∧τM∧τM（dξs- dξs）+βSZt∧τM∧τMRsdXs。大系统默认聚类中的网络效应49将It^o公式应用于ψη（Rt），其中ψ在方程（15）中定义，并得到ψη（Rt∧τM∧τM）=Zt∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ψη（Rs）ds+rXi=1βCiZt∧τM∧τMψη（Rs）（dξs- dξs）+σZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）ds+σZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）dWs+βSZt∧τM∧τMb（Xs）Rsψη（Rs）ds+βSZt∧τM∧τMσ（Xs）Rsψη（Rs）dV s+Zt∧τM∧τMβSσ（Xs）Rsψη（Rs）ds。取ψη（Rt）的期望，我们得到ψη（Rt∧τM∧τM）=EZt∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ψη（Rs）ds+rXi=1βCiEZt∧τM∧τMψη（Rs）（dξs- dξs）+σEZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）ds+βSEZt∧τM∧τMb（Xs）Rsψη（Rs）ds+EZt∧τM∧τMβSσ（Xs）Rsψη（Rs）ds。如引理A.2所示。在[21]中，后一个表达式yieldsE |ξt- ξt|≤ K3.1tZ^p∈P | | U.（P）-U、 （^p）| tπ（dp）∧（dλ）。因此，我们有rXi=1βCiEZt∧τM∧τMψη（Rs）（dξs- dξs）≤ tCK3.1Z^p∈P | | U.（P）-U、 （^p）| tπ（dp）∧（dλ）。同时，我们有EZt公司∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ψη（Rs）ds≤ C1，MZt∧τM∧τME | Rs | ds。50 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang，我们获得的第三个任期σEZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）ds≤σEZt∧τM∧τMλ2ρs- λs2ρψη（Rs）ds≤σEZt∧τM∧τMC2，M | Rs |ψη（Rs）ds≤ C2，MK3.12tlnη-1=C（η，t，M）。现在，让我们假设bis有界。

那么我们有βSEZt∧τM∧τMb（Xs）Rsψη（Rs）ds≤ K3.1KZt∧τM∧τME | Rs | ds。上学期EZt公司∧τM∧τMβSσ（Xs）Rsψη（Rs）ds≤（βS）EZt公司∧τM∧τM（σ（Xs））（λs- λs）ψη（Rs）ds≤（βS）EZt公司∧τM∧τM（σ（Xs））C3，M | Rs |ψη（Rs）ds≤C3，MK3.1lnη-1EZt公司∧τM∧τM（σ（Xs））ds=C（η，t，M）。对于任何0<M<∞, 我们得到两个项C（η，t，M）和C（η，t，M）都变为0↓ 0或t↓ 因此，对于任何M<∞, 我们有ψη（Rt∧τM∧τM）≤ （C+KK3.1）Zt∧τM∧τME | Rs | ds+tCK3.1Z^p∈^P | | U.（^P）-U、 （p）| tπ（dp）∧（dλ）+C（η，t，M）+C（η，t，M）。然后应用| x |≤ ψη（x）+√η并使用Gronwall引理，我们得到了| Rt∧τM∧τM|≤tCK3.1Z^p∈^P | | U.（^P）-U、 （p）| tπ（dp）∧（dλ）+C（η，t，M）+C（η，t，M）+√η] ·e（C+KK3.1）t.Sendη↓ 注意，我们可以选取足够小的t，使C（t）=tCK3.1e（C+KK3.1）t<1。因此，我们获得了| Rt∧τM∧τM|≤ C（t）Z^p∈^P | | U（^P）-U（^p）| t，1π（dp）∧（dλ），其中C（t）<1。大型系统默认聚类中的网络效应51因此，我们得到了由λ=Φ（U）定义的映射Φ与U∈ S（R+）是S（R+）上的一个带有Lnorm的收缩。标准Picard迭代显示存在一个固定点λ*使λ*t=Φt（λ*) 对于0≤ t型≤ t型∧τM∧τm，C（t）<1。这个固定点是唯一的，因为≤t型∧τM∧τMλ*t（^p）-λ*t（^p）≤ C（t）Z^psupt≤t型∧τM∧τMλ*t（^p）-λ*t（^p）π（dp）∧（dλ）所以，我们有≤t型∧τM∧τMλ*t（^p）-λ*t（^p）= 0Thus，我们已经证明了λ的唯一性*吨[0，t∧τM∧τM]。然后，从twe开始，我们在[t]上获得唯一性∧τM∧τM，（2t）∧τM∧τM]以同样的方式，并通过填充整个区间[0，T]得出结论∧ τM∧ τM]。接下来，让M→ ∞, 并且使用引理A.2，这意味着τM，τMconvergeto几乎可以肯定，我们得到了有界b引理的证明。对于一般b的情况，假设3.10保证mt=e-RTu（Xs）dVs-1/2RT | u（Xs）| ds，是根据Novikov条件的鞅。假设3.10还假设E | MT | p<∞.然后，结果来自引理A.6的证明。在[21]中。

引理A.2。对于任何T>0和通过（14）定义的τMde，我们有thatlimM→∞P[τM<T]=0。引理A.2的证明。对于任何T>0，P[τM<T]≤我支持∧τM<T | e-Γt（（YMt+Zt）∨ 0)|.根据假设3.9和引理A.1，足以证明E支持∧τM≤T | YMt+Zt|≤Kwhere▄K独立于M。Now supt≤T | YMt+Zt |可以像以前一样进行估计。实际上，将It^o公式应用于| YMt+Zt |，我们得到| YMt+Zt |=λ+Zt2 | YMs+Zs | eΓs[b（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）]ds+σZt2e2Γs（1-ρ） （（YMs+Zs）∨ 0）2ρds+（βS）Zt2（σ（Xs））（（YMs+Zs）∨ 0）ds+σZt2 | YMs+Zs | eΓs（1-ρ） （（YMs+Zs）∨ 0）ρdWs+βSZt2 | YMs+Zs |σ（Xs）（（YMs+Zs）∨ 0）dVs+Zt2 | YMs+Zs | eΓsβC·dξs52 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang由于假设3.6（与（19）类似，我们可以在不失去普遍性的情况下假设耗散条件到处都适用）上述表达式右侧的第一行有界，并且我们有λ+Zt2 | YMs+Zs | eΓs[b（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）]ds≤ λ-Zt2 e2Γsγ（a）| e-Γs（YMs+Zs）| dds≤ λ因此，如果我们在It^o的公式表达式中两边都平方，我们将得到| YMt+Zt|≤ 6λ+ 6σZte2Γs（1-ρ） | YMs+Zs | 2ρds+ 6（βS）Zt（σ（Xs））| YMs+Zs | ds+ 24σZt | YMs+Zs | eΓs（1-ρ） | YMs+Zs |ρdWs+ 24（βS）Zt | YMs+Zs |σ（Xs）| YMs+Zs | dVs+ 24Zt | YMs+Zs | eΓsβC·dξs取第二项的上确界期望，利用H¨older不等式，结合ρ<1的事实和假设3.9，我们得到了支持∧τM≤TZte2Γs（1-ρ） |（YMs+Zs）| 2ρds≤ EZTe2Γs（1-ρ） | YMs+Zs | 2ρds！≤ EZT | YMs+Zs | 4ρdsZTe4Γs（1-ρ） ds！≤ cpEZTsupu公司∧τM≤s | YMu+Zu | ds，对于某些常数cp>0。类似的计算和假设3.8也给出了第三项的类似界限。

使用第四项的Burkholder-Davis-Gundy不等式和Young不等式，ρ<1的事实和假设3.9，我们得到了“支持∧τM≤TZt | YMs+Zs | eΓs（1-ρ） | YMs+Zs |ρdWs#≤ cpEZT | YMs+Zs | 2（1+ρ）e2Γs（1-ρ） ds公司≤ cp+cpEZTsupu∧τM≤s | YMu+Zu | dscp、cpa和cpa是一些正常数。关于V的随机积分项- 布朗运动使用假设3.8进行类似处理。对于最后一项，我们使用杨氏不等式和假设3.1和3.8。大型系统默认集群中的网络效应53obtainE supt∧τM≤TZt | YMs+Zs | eΓsβC·dξs≤ cpE“支持∧τM≤TZt | YMs+Zs | eΓsβC·dξs#≤ cpE“支持∧τM≤T | YMt+Zt | supt∧τM<TZteΓsβC·dξs#≤ cpE公司支持∧τM≤T | YMt+Zt |+2[支持∧τM≤TZteΓsβC·dξs]≤ 内容提供商 E支持∧τM≤T | YMt+Zt |+cp对于任何 > 0和相应常数cp> 因此我们可以选择足够小，所以cp < 我们可以把这个项移到左手边。因此，将所有术语与假设3.1相结合，得出估计支持∧τM≤T | YMt+Zt|≤ K1+中兴supu∧τM≤s | YMu+Zu | ds！。然后通过Gronwall引理，术语E supt∧τM≤T | YMt+Zt |以独立于M的常数为界，我们通过Fatou引理和followedJensen不等式得出结论。参考文献[1]富兰克林·艾伦和道格拉斯·盖尔。金融传染。《政治经济学杂志》108，（2000），第1-33页。[2] Shahriar Azizpour、Kay Giesecke和Gustavo Schwenkler。探索defaultclustering的来源。《金融经济学杂志》，129（1），（2018），第154-183页。[3] Yacine Ait Sahalia、Cacho Diaz、Julio和Roger Laeven。使用相互激励的跳跃过程建模金融传染。《金融经济学杂志》，第117卷，第3期，（2015），第585-606页。[4] Brunnermeier、Markus K、Gary Gorton和Arvind Krishnamurthy。风险地形图。NBERMacroeconomics年刊，第26卷，（2012），第149-176页。[5] 李俊波和阿戈斯蒂诺·卡波尼。