大型系统默认集群中的网络效应

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英文标题：
《Network effects in default clustering for large systems》
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作者：
Konstantinos Spiliopoulos and Jia Yang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider a large collection of dynamically interacting components defined on a weighted directed graph determining the impact of default of one component to another one. We prove a law of large numbers for the empirical measure capturing the evolution of the different components in the pool and from this we extract important information for quantities such as the loss rate in the overall pool as well as the mean impact on a given component from system wide defaults. A singular value decomposition of the adjacency matrix of the graph allows to coarse-grain the system by focusing on the highest eigenvalues which also correspond to the components with the highest contagion impact on the pool. Numerical simulations demonstrate the theoretical findings.
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中文摘要：
我们考虑一个在加权有向图上定义的动态交互组件的大集合，确定一个组件的默认值对另一个组件的影响。我们证明了一个大数定律，用于捕捉池中不同组成部分的演变的经验度量，并从中我们提取了数量的重要信息，如整个池中的损失率以及系统范围违约对给定组成部分的平均影响。图邻接矩阵的奇异值分解允许通过关注最高特征值来粗化系统，这些特征值也对应于对池具有最高传染影响的组件。数值模拟验证了理论结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Network_effects_in_default_clustering_for_large_systems.pdf (1.16 MB)

2022-6-11 07:12:31 上传

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关键词：网络效应 Applications Mathematical Quantitative Differential

大型系统Konstantinos SPILIOPOULOS和JIA YANGAbstract默认集群中的网络效应。我们考虑在加权有向图上定义的大量动态交互组件，确定一个组件的违约对另一个组件的影响。我们证明了一个大数定律，用于捕捉池中不同组成部分演变的经验度量，并从中我们提取了重要的数量信息，如整个池中的损失率，以及系统范围违约对给定组成部分的平均影响。图的邻接矩阵的奇异值分解允许通过关注高的奇异值来粗化系统，高的奇异值也对应于对池具有最高传染影响的组件。数值模拟验证了理论结果。1、简介2007-2009年的金融危机向数学金融界表明，需要更好地理解和建模金融系统中的连通性和网络效应。风险可以通过系统传播，网络拓扑可以影响其传播。作为初始冲击的外部风险，如抵押贷款支持证券的贬值、利率或商品价格的变化不能完全解释危机，但可能导致传染效应[29，2]。特别是，冲击会导致系统内的螺旋事件，系统的拓扑结构和连通性会影响这些螺旋事件的展开和传播方式。这可能导致系统性风险事件，例如，参见【30】，目前已被广泛接受为动态事件【2，4】。在过去的十年里，研究人员试图以不同的方式理解和模拟这种行为。出现了大量旨在理解和建模复杂金融系统的文献。

在描述本文的主要贡献之前，让我们首先简要描述系统性风险研究中出现的三条主要不同研究路线。首先，在前面的文献[1，16]的基础上建立了集群和传染的网络模型，参见文献[23]。其次，模型文献的动态平均场类型，参见示例【5、6、8、14、18、22、7、24、19】。第三，使用相关违约强度模型的简化形式信贷和投资组合风险文献[10、20、21、31、33、32]。尽管取得了重大进展，但许多问题仍然悬而未决。日期：2020年2月5日。本研究部分得到了国家科学基金会（DMS1412529和DMS 1550918）的支持。我们要感谢凯·吉塞克和保罗·瓜索尼对这个项目的讨论。2 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGOur的工作属于最后一类，即在简化形式的信贷风险文献中。受[2]的实证工作和[20，21]的推动，池中每个名字的违约强度过程由三个术语组成：一个特殊术语，它特定于每个名字，一个传染术语，它负责违约的聚集，以及池中所有名字共同的外部风险术语。当考虑一个大型系统时，我们通常会提到这个名称库，其中名称是系统的组件。正如【2、20、21】中所述，参见【31】中的回顾，这些术语对风险如何传播以及违约如何聚集提供了重要的见解。由于系统的互连性，单个组件的故障增加了系统中其他组件故障的可能性。

不确定性成为一个问题，这使得市场参与者担心资产价格会出现更多与危机严重程度不成比例的损失。减少相关违约的形成点过程模型多次用于评估组合信用风险，并基于计数过程。我们使用动态投资组合信用风险模型来理解大型金融系统的症状和违约聚类。我们在本文中的贡献是双重的。首先，我们考虑网络效应，这是文献[10，20]及其后续研究中缺失的一个特征。更精确地说，我们通过加权有向图G（Γ，E，ω）来指定名称之间的相互作用，其中Γ是顶点集（即名称），E是（有向）边集，ω：E→ (0, ∞) 是一个为边分配权重的函数（按照惯例，无论何时（i，j），我们都可以定义ω（i，j）=0/∈ E） 。A边（i，j）∈ E意味着一种定向交互作用，即默认名称i对名称j的影响。权重ω（i，j）衡量交互作用的强度。例如，ω（i，j）可以表示交易对手i违约时名称j的损失（损失通常是违约时合同市值的正部分）。正如我们将看到的，权重ω（i，j）也代表了名称j违约强度增加的幅度，这是由于名称i违约时的交易对手损失造成的 对于i，j=1，····，N，为元素ω（i，j）的矩阵。结果表明，奇异值分解（SVD）为 使我们能够量化传染效应。此外，SVD允许我们量化相互作用的水平（这是 在第2）节中，我们需要更精确地对非均质系统进行有效粗粒化。它还允许我们通过适当的低阶近似来降低系统的维数。

本文从理论上分析了生存名称经验测度的极限为N→ ∞ 我们还通过数值研究展示了不同的案例。我们从数值上证明，如果 从奇异值分解（SVD）出发，通过适当的低阶近似，可以很好地逼近随机感兴趣过程的概率分布。这变得非常有用，因为没有低阶近似，正如我们将看到的，计算感兴趣的数量可能会变得非常昂贵。在本文中，我们假设给定了一个邻接矩阵 具有足够规则的行为（详见第2-3节）。然后，我们的目标是研究总体池和同类型名称中损失率的典型行为。此外，我们还研究了系统范围内的违约对给定名称的平均违约影响，即组件数N→ ∞. 我们允许池具有随机强度的异质性，这种随机强度在一段时间内动态演变，对于不同的i，j，具有不同的权重ω（i，j）。此外，大型系统3的默认聚类中的损失率网络效应（无论是池中的整体还是特定类型的名称）以及系统范围内的默认对给定名称的平均默认影响都是动态量，其计算可能在数字上很麻烦。

我们在数值上表明，通过SVD激发的低Rankaproximation可以非常有效地精确地降低系统的维数，从而使其评估在数值上具有可分割性。因此，本文开发的程序可以量化给定邻接矩阵的影响 对感兴趣的动态数量，如池中损失率的分布、特定类型名称中损失率的分布，意味着系统范围内的违约对给定名称的影响，等。请注意，对整个池的损失率和特定类型名称的损失率等数量的评估有助于进一步了解许多名称在短时间内彼此违约的可能性（即违约聚类）。事实上，在给定的时间内，池的平均损失率的增加表明许多违约的可能性更大。然后，研究特定类型名称中的损失率，指出哪些类型的名称更有可能违约。自然地，平均损失率较大的类型名称更有可能违约，从而揭示级联事件的结构。此外，我们通过SVD发现，池中的平均损失率与特定系数正相关，后来称为传染系数。特别是，传染系数是相应奇异值和正交向量系数的函数，这些正交向量系数捕获了网络对传染的暴露。我们在第5节的数值研究中展示了这些发现，在第5节中，我们展示了如何量化这些问题。其次，我们考虑了一般随机强度到违约过程，其中特质成分的迁移系数只需要满足适当的耗散性质，而不是要求它是一个函数。

我们证明了相关随机强度模型的适定性，并严格描述了池中名称的经验生存分布的限制，即它们的行数到完整性。在动态平均场模型文献中最近的相关工作[8]中，作者考虑了一个银行间借贷模型（不是我们在这里考虑的简化形式的信贷风险模型），该模型考虑了网络拓扑和系统风险的传播，并对银行数量N进行渐近分析→ ∞ 也在本文中，我们还将极限视为N→ ∞ 并考虑网络拓扑，但我们通过对违约强度演变的频谱分析以及对特定利益统计（如池中的损失率和对特定类型网络组件的平均影响）来关注网络矩阵的影响。在这一点上，我们想提及的是，尽管我们的主要动机来自金融数学中的相互作用粒子系统，但我们的结果适用范围更广。在一个具有许多不同组件的给定系统中，并非所有组件都与其他组件同等连接，或受到其他组件默认值的同等影响。一个组件因外部作用力而失效，导致给定系统的其他组件失效，这是一个更广泛的问题。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细描述了我们的模型。在第3节中，我们列出了假设贯穿本文的假设。第4节包含了本文的主要结果。康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯（KONSTANTINOS SPILIOPOULOS）和贾扬（JIA Yang）对主要定理的证明在后面的章节中。特别是，第6节讨论了经验测度极限点的紧密性和特征，第7节讨论了极限点的唯一性。

第5节包含我们对低阶近似的模拟研究和数值结果。技术结果及其证明已收集在附录A中。第8节是关于我们的结论和对未来工作的展望。2、模型描述本文所考虑的模型模拟了一个由N个名称组成的系统的演化，这些名称都有违约风险。违约风险模型考虑了三个术语：特殊风险（特定于一个名字）、非系统风险（所有名字都通用）和一个建模违约传染和螺旋事件的术语。最后一项考虑网络拓扑。固定概率空间(Ohm, F、 P）确定了所有随机变量。设{Wn}n∈Nbe一组i.i.d.标准布朗运动，用于建模池中每个组成部分的特殊风险。假设V是独立于Wn的标准布朗运动，驱动系统风险因素过程X的随机性。假设Vt=σ（Vs，0≤ s≤ t）∨ N、 其中N是所有集合的集合。设{en}n∈Nbe一组独立的标准指数随机变量。对于N∈ N和N∈ {1，2，…，N}，用τN表示，N系统的第个组件发生故障的停止时间。失效时间τN，nhas随机强度过程λN，如下所述。默认时间τN，nisτN，N=影响≥ 0:ZtλN，nsds≥ 埃诺。我们也可以写出χ{τN，N≤t} =χ[英，∞)ZtλN，nsds,其中χBis是集合B的指示符函数。调用系统的网络结构，该网络结构由有向图G（Γ，E，ω）描述，其中Γ是系统中的组件集，E是有向边集，ω：E→ (0, ∞) 是为边指定权重的函数。

ω（i，j）表示第i个名字对第j个公司的默认影响。然后，由于timet的系统范围默认值，名为j的总损失为nxi=1ω（i，j）χ{τN，i≤t} ，（1）并且，正如我们将看到的，它还表示池中第n个名称的默认强度的总增加。允许 是G的邻接矩阵，即（i，j）-然后是 ω（i，j）表示（i，j）∈ E和0 if（i，j）/∈ E、 然后，经典奇异值分解（简称SVD）产生 =dXj=1ξj ` ju>j（2）大型系统5默认聚类中的网络效应，其中{`，…，`d}是正交向量（跨越), {u，…，ud}是正交向量（跨越) ξ>ξ>···>ξd>0是称为奇异值的实数。这里，d≤ N称为. 在某种意义上，d代表系统的复杂性。d越大，相互作用的结构就越复杂。让\'i，jbe为\'jin（2）的第i个条目，同样地，让ui，jbe为向量uj的第i个条目。从系统范围内的defaultsup到时间t，对第n个名称的平均默认影响可以写为qn，n，t=NNXi=1ω（i，n）χ{τn，i≤t} =dXj=1ξjun，jNNXi=1\'i，jχ{τN，i≤t} =βC，n·LN，t、 （3）其中βC，n=（ξun，1，ξun，2，…，ξdun，d）与向量值过程LN，t=（LN，1t，LN，2t，…，LN，dt）Thas elementsLN，jt=NNXi=1\'i，jχ{τN，i≤t} 。LN的第j个条目，t可以粗略地解释为网络第j级交互的随机损失率。当j=1，···，r时，向量的元素\'i，jof\'jc可以解释为第i银行对第j个相互作用水平的贡献。

类似地，元素βC，n、 对于向量βC，NCA可解释为i=1，····，r时，第n家银行在第i级互动中的风险敞口。请注意，QN，n，t可以解释为第n家银行在时间t之前由于其他银行违约而违约的平均增加。我们对QN，n，t当系统较大时，即当N→ ∞. 正如我们在备注3.4中更详细地阐述的，在大型系统中，依赖低阶近似是合理的。此外，出于计算可行性的目的，我们希望 通过适当的低阶近似。一种常用的方法是使用矩阵代数stating的经典结果，即如果0<r<d是正整数，则LdistancekD的最小值-Bk（标准Frobenius范数）在所有秩小于或等于r的矩阵B上实现atA=rXj=1ξj\'ju>j，且ξjin降序。此外，我们实际上有 - Ak=dXi=r+1ξi.（4）如果, d、 很大，但只有少数主要特征值。在这种情况下，人们通常希望利用这一点。这是我们在这里采取的实际观点。事实上，给定一个大矩阵 首先，我们会调查一个良好的低秩近似值的可能性，然后选择一个舒适的低秩近似值6 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGwith，并使用它。正如我们将在第5节中看到的，这种近似与定理4.3实现的科斯粒化相结合，使得问题在计算上更容易处理。在这一点上，我们还要提到，虽然原始矩阵的元素, i、 ω（i，j）是非负的，可能是任意选择的低Rankaproximation A 它的某些元素可能是负面的。