大型系统默认集群中的网络效应

我们在图2左图中绘制了总体极限损失Dt和类型pi的极限损失Dt（pi），i=1，2。我们还绘制了大型系统默认聚类中总体网络效应的经验平均值19图1。不同截断水平下的总极限损失密度DTK=5、10、20、50。图2右图中，极限损失率dt和两种类型的极限损失率的经验平均值dt（pi），i=1，2，直到时间T=1。图2：。左：总极限损耗密度DT和类型i极限损耗DT（pi），i=1，T=1时为2；右图：总体极限损失的经验平均值DT和类型DT（pi）的极限损失的经验平均值，i=1，2直到时间T=1。在图3中，我们绘制了两种不同类型名称的全系统默认值对名称n（即Qt（pn））的平均影响，作为时间t的函数。这里的名称n可以是两种类型中的一种，类型1或类型2，如参数20 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGβC，1，βC，2所示。从图中可以看出，Qt（p）≥ Qt（p），这是由于βC，1>βC，2的传染系数的关系而预期的。图3：。从系统范围默认值到时间T=1.5.2，对类型1 Qt（p）和类型2Qt（p）名称的平均影响。两级互动案例。在本例中，我们现在考虑以下情况： 有两个正特征值。这相当于有一个具有两个交互级别的异质池，d=2。在本例中，我们还将从数值上测试低阶近似值对极限损失的影响，以及系统范围内默认值对给定名称的平均影响。让我们为参数κ=4，θ=0.5选择以下值， = 0.5，X=0.2，σ=0.9，α=4，λ=0.2，λ=0.2，βS=2。

此外，让我们考虑N=1000个名称的apool。此外，我们假设50%的βCn，1（一级相互作用）取βC值，1=0.2050，其余50%的βCn，1取βC值，2=0.3980。所有的ln，取l=0.0316的值。此外，2/3的βCn，2的（第二级相互作用）取值βC，1=0.0009，其余1/3的βCn，2的取值βC，2=0.0022。最后，50%的ln，2取l=0.0043，而其余50%的ln，2取l=-0.0022.与前一个示例一样，我们略微滥用符号并定义了离散的区域变量▄βC、▄βC、▄和▄，使得P（▄βC=βC，1）=1/2，P（▄βC=βC，2）=1/2，P（▄▄▄=l）=1，P（▄βC=βC，1）=2/3，P（▄βC=βC，2）=1/3P（▄▄=l）=1/2。我们假设随机变量▄βC、▄βC、▄`、▄`、▄'是独立的。大系统默认聚类中的网络效应21对应的邻接矩阵, 奇异值分解有两个非负特征值10和1。右矩阵的第一列取两个值0.0205和0.0398，频率相同。这确实对应于两个值βC，1=0.0205·10=0.2050和βC，2=0.0398·10=0.3980。右矩阵的第二列取两个值0.0009和0.0022，频率比为2:1。这实际上对应于两个值βC，1=0.0009·1=0.0009和βC，2=0.0022·1=0.0022。左矩阵的第一列仅取一个值0.0316。左矩阵的第二列采用频率相等的两个值0.0043和-0.0022。现在让我们用uk（t；k，k，k）表示时间t的第k个时刻，其中k，k，k∈ {1，2}分别为▄βC、▄βCand▄的选择指数。例如，k=1、k=1、k=2对应于选项▄βC=βC、1、▄βC=βC、1和▄`=l。

那么耦合系统中总共有2=8个方程。然而，由于特殊的结构，我们最终只得到了4个不同的方程。特别是对于k，k，k∈ {1，2}我们有duk（t；k，k，k）=英国（t；k，k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-英国+1（t；k，k，k）}英国+英国-1（t；k，k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λk）+Gk（t；k，k）dt+βSpXtkuk（t；k，k，k）dvt通知k的uk（t；k，k，1）=uk（t；k，k，2），k=1，2。我们用初始条件补充uk（t；k，k，k）以及uk（0；k，k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，我们定义k（t；k，k）=klβC，kXi，i，iu（t；i，i，i）p（▄βC=βC，i，▄βC=βC，i，▄`=li）+kβC，kXi，i，iliu（t；i，i）p（▄βC=βC，i，▄`=li），其中k，k=1，2。然后我们得到了总损失率为NT≈ Dt=1-Xk，k，ku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk）。类型（k，k，k）的损失率，其中k，k，k=1，2基本上只随k而变化，k的形式为DNt（k，k，1）≈ Dt（k，k，1）=1- u（t；k，k，1），Dt（k，k，1）=Dt（k，k，2）。从系统范围的默认值到时间t，对名称n的平均影响仅通过相应地选择k和k通过|βc和|β来确定。特别是，我们有QN，nt≈ Qt（k，k）=βC，kLt+βC，kLt，其中j-相互作用的第th级，j=1，2，我们有lt=l- lXk，k，ku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk）Lt=XklkP（▄`=lk）+Xk，k，klku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk）22 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yanglos由于假设的独立性，所有联合概率都可以写为边际概率的乘积，例如，P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k， `=lk）=P（￠βC=βC，k）P（￠βC=βC，k）P（￠`=lk）。与前面的示例一样，我们选择时间端点为T=1。我们进行时间步长为0.01的数值迭代。我们经营着5万辆蒙特卡洛梯。在图4中，我们显示了不同截断水平K=5、10、20、50时池中总极限损失率的密度。

同样，对于所有这些不同的截断级别，结果在视觉上无法区分，这意味着截断机制即使对于较低级别的截断也是可靠的。图4：。不同截断水平下的总极限损失密度DTK=5、10、20、50。在以下实验中，我们仍然选择截断水平K=20，并在图5的左图中绘制总体极限损失率Dt和不同类型Dt（K，K），K，K=1，2的极限损失率。我们还绘制了总体极限损失率的经验平均值和不同类型随时间变化的损失率DT的经验平均值DT（k，k），k，k=1，2在图5的右图中。在图6中，我们绘制了从类型（k，k），k，k=1，2due到时间T=1的系统范围默认值对名称的平均影响。正如我们在本节开头所讨论的，SVD有助于将网络交互分解为r平均场类型的交互级别。我们仅通过保持第一级交互来测试低阶近似的影响。这就挑出了最重要的互动层次的贡献。换句话说，我们替换 byA=Aprox=ξ\'ut，这将问题简化为一级交互问题。比较我们从两级相互作用情况下得到的总极限损失dt及其第一级相互作用近似值Dapprox，t，见图7的左图，我们得出极限损失过程的分布实际上是不可区分的。大型系统默认集群中的网络效果23图5。左：T=1时，总极限损耗DT和DT（k，k）型极限损耗DT的密度；右图：截至时间T=1，总极限损失DT的经验平均值和DT（k，k）型极限损失的经验平均值。图6：。

从系统范围默认值到时间T=1，对类型（k，k）、Qt（k，k）名称的平均影响。从图7的右图中可以得出类似的结论，其中我们绘制了两个相互作用水平下的总体极限损失率的经验平均值，例如dt和第一个相互作用水平近似值Dapprox，T。这反过来意味着，在这些计算中，可以忽略第二个相互作用水平。最后，我们研究了两级交互案例及其一级交互案例的系统范围内的违约对名称的平均影响，约为24 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGFigure 7。左：总极限损失dt和总极限损失Dapprox的密度，T从T=1时的秩一近似值；右图：总体极限损失的经验平均数dt和秩一近似值Dapprox中极限损失的经验平均数，Tupto时间T=1。版本比较。在图6中，我们看到，对名字的平均影响主要取决于▄βC，而不是▄βC。这将在一级交互近似情况下得到进一步验证，在这种情况下，我们仅使用βCand和LNt的第一个条目的信息，即仅使用第一级交互的信息，计算这两种类型的近似平均影响，如图8所示。图8：。在粗粒度情况下，从系统范围内的默认值到时间t对不同类型名称的近似平均影响。大型系统默认集群中的网络效应25QN，napprox，t（pi）≈ βC，iLapprox，t，对于i=1，2。比较图6和图8，我们可以看到，具有最大特征值的第一级交互作用确实捕捉到了▄βC所定义类型的给定名称上的平均影响行为。此外，请注意，对于所有类型，对类型2名称的平均默认影响大于对类型1名称的平均默认影响∈ [0, 1].

由于βC，2>βC，1.5.3的关系，这是可以预期的。核心-外围示例一：齐次均值回复系数。核心外围（CorePeripheral）案例是金融相关应用的合理现实模型，参见示例【11，25】。在核心-外围模型中，一个具有构成网络核心的几个名称，并且在很大程度上相互依赖，从某种意义上说，它们构成了网络中最具影响力的部分，而外围则由池中其他名称组成，它们之间的依赖性较小。核心机构向外围至少一家机构借贷。基于这种结构，让我们考虑N=1000个名称和适当邻接矩阵的情况. 为了便于说明，10×10块 Is给出人：10×10=0 10 1 10 10 1 10 1 1 1010 0 1 1 10 10 10 1 10 11 1 0 1 1 1 1 1 1 15 1 1 0 1 1 1 1 1 15 5 1 1 0 1 1 1 1 11 5 1 1 1 0 1 1 1 15 1 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 0 1 11 5 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0这种矩阵的奇异值分解给出了5个特征值1029、143、137.8、59.9和58.5，显著大于其他特征值，其中第一个特征值最大。因此，在低阶近似的激励下，我们可以使用前几个层次的相互作用来近似网络的行为。5.3.1. 核心-外围的一级相互作用近似。让我们选择第一个特征值进行低阶近似。与前面的示例类似，我们定义了离散随机变量▄βCand▄，并从SVD中取相应相对频率的值。结果表明，SVD成分产生了六个不同的值，分别对应于▄βc和▄▄的三个不同值。我们分别记录表1和表2中的值。βCβC，1βC，2βC，3βC，4βC，5βC，6值31.0514 32.4883 32.5136 33.9505 73.6927 74.4088表1。

~βC的可能值。让我们为参数κ=4，θ=0.5选择以下值， = 0.5，X=0.2，σ=0.9，α=4，λ=0.2，λ=0.2，βS=2。让我们用uk（t；k，k）表示时间t和k的第k时刻∈{1，2，…，6}和k∈ {1、2、3}分别是▄βC和▄▄的索引选择。26 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANG  ll值0.0308 0.1597 0.1625表2。的可能值。例如，k=1，k=2对应于选择▄βC=βC，1和▄`=l。▄βC和▄▄的经验联合分布总结如下。kkprobability6 0.0015 2 0.0014 1 0.2273 1 0.2382 1 0.2281 1 0.305表3。~βc和 `的联合分布。通常，耦合系统中总共有6×3=18个方程。然而，由于特殊的结构，我们最终只得到6个不同的方程。根据表3所示的k、kas的可用组合，wehaveduk（t；k，k）=英国（t；k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-英国+1（t；k，k）}dt+英国-1（t；k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λk）+Gk（t；k）dt+βSpXtkuk（t；k，k）dVt，连同uk（0；k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，其中我们定义了k（t；k）=Xi，iliu（t；i，i）P（▄βC=βC，i，▄`=li）kβC，k。尤其是英国（t；k，k）仅受指数k通过Gk（t；k）的影响。一级相互作用近似下的总损失率为n1约，t≈ d1近似值，t=1-Xk，ku（t；k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk）。类型（k，k）的损失率，其中k=1，2。

，6和k=1，2，3在一个相互作用近似水平上，实际上分为6个不同的类别，以k为指标，选择βC.DN1approx，t（k，k）≈ d1近似值，t（k，k）=1- u（t；k，k）。从系统范围内的违约到时间t，对名称n的平均影响仅由第一个指数kQN，n1approx，t（k，k）表征≈ Q1approx，t（k）=βC，kL1approx，t，大型系统默认群集中的网络效应27对于任何k=1，2，3，带l1approx，t=XklkP（`=lk）-Xk，klku（t；k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk）与前两个示例一样，我们在水平k=20处截断，并选择时间端点为t=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数值迭代。我们进行了50000次蒙特卡罗试验，绘制了总体极限损失率D1approx，t，k=1，2，…，以及不同类型Dk1approx，t，k=1，2，…，的极限损失率，图9中的6。请注意，分布的平均值是如何随着kincreates的值向右移动的，这表示随机变量▄βCtakes的值增加了。我们在图10中绘制了整个池和各个类型的损失率随时间的平均值。我们观察到，随着kinvalue的增加，该图显示了更大的损失，这表明βcw值较大的名称更有可能出现错误，从而对潜在的默认聚类事件作出更大的贡献。图9：。总极限损失密度D1approx，和D1approx类型的极限损失，T（k）在T=1时。在图11中，我们绘制了从系统范围内的默认值到时间t对名称的平均影响。正如我们之前讨论的那样，共有6个不同的类别被k索引，k是▄βC的选择。5.3.2. 核心-外围的两级相互作用近似。现在，让我们通过基于前两个交互级别进行低阶近似来研究核心-外围情况。从奇异值分解来看，第二大特征值是143。

下面，我们总结了SVD分解矩阵第二列中系数的经验分布。表4是针对系数βC的，表5是针对系数βC的。现在让我们用uk（t；k，k，k，k）表示时间t与k的第k时刻∈ {1，2，…，6}，k∈ {1，2，…，9}，k∈ {1、2、3}和k∈ {1，…，5}是28名康斯坦蒂诺·斯皮利奥普洛斯和贾扬图10。总体极限损失的经验平均值D1approx，tand D1approx类型的极限损失的经验平均值，T（k）直到T=1图11。对不同类型名称的平均影响，与第一级近似的核心-外围情况下截至时间t的全系统违约相比。βCβC，1βC，2βC，3βC，4βC，5βC，6βC，7βC，8βC，9值-12.7072-12.1454-5.7944 0.2753 0.2777 0.5080 0.5105 6.5777 6.5801表4。~βC的可能值。分别为▄βC、▄βC、▄和▄选择索引。例如，k=1，k=1，k=2，k=1对应于选项▄βC=βC，1，▄βC=βC，1，▄`=土地▄`=l。大型系统默认群集中的网络效果29▄▄▄LLL值-0.0107-0.0081-0.0054 0.6674 0.7002表5。的可能值。~βC、~βC、▄和▄的经验联合分布总结如下。KKKK6概率6 1 3 5 0.0015 2 4 0.0014 9 1 2 0.0894 9 1 0.1204 8 1 3 0.0183 7 1 2 0.1713 6 1 3 0.0672 5 1 2 0.1722 4 1 3 0.0561 3 0.305表6。~βC、~βC、~`和~`的联合分布。通常，耦合系统中总共有6×9×3×5=810个方程。然而，由于特殊的结构，我们最终只得到了10个不同的方程。

根据表6中所示的k、k、k、kas的允许选择，我们有duk（t；k、k、k、k）=英国（t；k，k，k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-uk+1（t；k，k，k，k）}dt+uk-1（t；k，k，k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λk）+Gk（t；k，k）dt+βSpXtkuk（t；k，k，k，k）dVttogether with uk（0；k，k，k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，其中我们定义了gk（t；k，k）=kβC，kXi，i，i，iliu（t；i，i，i，i）P（▄βC=βC，i，▄βC=βC，i，▄`=li，▄`=li）+ kβC，kXi，i，i，iliu（t；i，i，i，i）P（▄βC=βC，i，▄βC=βC，i，▄`=li，▄`=li）.特别是，英国（t；k，k，k，k）仅受k，kthroughGk（t；k，k）选择的影响。总损失率为n2approx，t≈ D2近似值，t=1-Xk，k，k，ku（t；k，k，k，k，k）·P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk，▄`=lk）DN2约，t（k，k，k，k）≈ D2近似值，t（k，k，k，k）=1- u（k，k，k，k）。30 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang类型（k，k，k，k）对名称n的平均影响，其中k=1，2，6，k=1，2，9，k=1，2，3和k=1，2，5，再次由选项k和k确定，即▄βc和▄β峰值qn，n2approx，t（k，k，k，k）≈ Q2approx，t（k，k）=βC，kL2approx，t+βC，kL2approx，t，其中对于第j级相互作用，j=1，2，在两级相互作用近似中，t=XklkP（`=lk）-Xk，k，k，klku（t；k，k，k，k，k）·P（～βC=βC，k，～βC=βC，k，～βC=βC，k，～lk，～lk）L2approx，t=XklkP（～lk）-Xk，k，k，klku（t；k，k，k，k，k）·P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk，▄`=lk）。与前一个示例一样，我们在级别K=20处截断，并选择时间端点为T=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数值迭代。我们进行了50000次蒙特卡罗试验，并绘制了两级相互作用近似下的总体极限损失D2approx。