大型系统默认集群中的网络效应

在图12的左图中，我们看到这两个近似值在估计总体损失率时表现相似。这也可以通过图12右图中两种近似值的总损失率随时间变化的平均值图进行验证。图12：。左：一级近似值D1approx和二级近似值D2approx的总极限损失，Tat T=1；右图：秩一近似值D1approx，秩二近似值D2approx，Tup totime T=1的总体极限损失的经验平均值。我们还可以研究在两级交互近似情况下对名称的平均影响。根据表6，我们将有10种不同类型的平均影响，即在两级交互近似情况下，大型系统31的默认聚类中的网络效应。如图13所示。图13：。对不同类型名称的平均影响，从时间t的全系统默认值到核心-外围情况的平均影响，通过排名一（实线）和排名二（虚线）的颜色来区分kinβC的选择，kIt有指导意义的是，将仅基于交互作用等级的低排名近似值与基于前两个交互作用等级的低排名近似值进行比较。虚线与图13中的实线非常接近。事实上，我们通过两种不同的近似值，即PEt（k，k）=| Q2approx，t（k，k），数值计算了平均影响aname的百分比误差- Q1approx，t（k）|/Q2approx，t（k，k），并且在所有情况下，使用一级相互作用近似与两级相互作用近似所产生的百分比误差在t的所有时间均不大于1.7%∈ [0, 1].

出于比较目的，我们还提到，基于两级交互近似的dt和qt计算量大约是基于一级交互近似的dt和qt计算量的两倍，这表明在保持准确性的同时节省了计算时间。最后，请注意，全系统违约对k=1、····、6类名称的平均违约影响是根据相应的传染系数βC、kvia表1.5.4的顺序排序的。核心-外围示例二：非齐次均值回复系数。现在我们研究具有非齐次均值回复系数的核-外围情况。我们假设均值回复系数λ在网络核心部分和外围部分的名称中采用不同的值：？λ=？λ核心=0.02和？λ=？λ外围=0.2，其余系数以及网络结构与之前第5.3.32小节的一级近似示例相同。KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yango注意“λcore=0.02”和“λperiphery=0.2”这两个选项代表了一种预期，即核心机构比外围机构更难违约。在我们研究的强度模型中，较小的均值回复参数|λ意味着较小的强度到默认过程。在这个例子中，我们只研究秩一近似。毕竟，正如我们在第5.3小节中所示，这种近似方法有助于准确捕捉我们感兴趣的动力学量。让我们用uk（t；k，k，k）表示时间t与k的第k时刻∈{1，2，…，6}，k∈ {1，2，3}和k∈ {1，2}分别是▄βC、▄和▄λ的选择指数。例如，k=1，k=2，k=1对应于选项▄βC=βC，1，▄`=land▄λ=▄λ=▄λ=▄λcore=0.02。

λβC、∧`和λ的经验联合分布总结如下。kkkprobability6 3 0.0015 2 0.0014 1 2 0.2273 1 2 0.2382 1 2 0.2281 1 1 2 0.305表7。联合分布为￠βC，￠`和￠∧。由于我们系统的特殊结构，我们最终得到了6个不同的方程，如表7所示：duk（t；k，k，k）=英国（t；k，k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-英国+1（t；k，k）}dt+英国-1（t；k，k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λkk）+Gk（t；k）dt+βSpXtkuk（t；k，k，k）dVt，连同uk（0；k，k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，其中我们定义了k（t；k）=Xi，i，iliu（t；i，i，i）P（▄βC=βC，i，▄`=li，▄▄λ=▄λi）kβC，k。特别是，uk（t；k，k，k）仅取决于k，kvia Gk（t；k）和|λk。在一个相互作用近似水平上的总损失率为n1约，t≈ d1近似值，t=1-Xk，k，ku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk，▄▄λ=▄λk）。类型（k，k，k）的损失率，其中k=1，2，6，k=1，2，3和k=1，2在一级相互作用近似中，实际上可分为6个不同类别，以k为索引，选择βC.DN1approx，t（k，k，k）≈ d1近似值，t（k，k，k）=1- u（t；k，k，k）。如表7所述，从系统范围内的默认值到时间t，与类型（k，k，k）相关，对名称n的平均影响由大型系统默认聚类中的网络效应33第一指数kQN，n1approx，t（k，k，k）表征≈ Q1approx，t（k）=βC，kL1approx，t，对于任何k=1，2，3，4和k=1，2，带l1approx，t=XklkP（`=lk）-Xk，k，klku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk，▄▄λ=▄λk）。与前面的示例一样，我们在级别K=20处截断，并选择时间端点为T=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数值迭代。我们进行了50000次蒙特卡罗试验，绘制了总体极限损失率D1approx，t，k=1，2，…，以及不同类型Dk1approx，t，k=1，2，…，的极限损失率，图14中的6。

在图15中，我们还绘制了整个池和各个类型的损失率随时间变化的平均值。我们观察到，由于均值回复值较小，网络核心部分的名称比网络外围部分的名称更不可能默认。这基本上证实了我们在这种情况下的预期。此时，将图14与图9以及图15与图10进行比较是指示性的。图14：。总极限损失密度D1approx，以及D1approx类型的极限损失，T（k）在T=1时。在图16中，我们绘制了从系统范围内的默认值到时间t对名称的平均影响。正如我们之前所讨论的，共有6个不同的类别，通过选择βC.6来表示。limitLet的紧性和特征我们现在讨论{uN}N族的相对紧性∈Nand将其极限表示为N→ ∞.引理6.1。族{uN}N∈Nis相对紧凑，如DE[0，∞)-valuedrandom变量。34 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang图15。总体极限损失的经验平均值D1approx，tand D1approx类型的极限损失的经验平均值，T（k）直到T=1图16。对不同类型名称的平均影响，与第一级近似的核心-外围情况下截至时间t的全系统违约相比。证据根据附录A中证明的引理4.2，引理的证明如[20]第6节所示。因此，省略了细节。接下来，我们要使用鞅问题来确定uN的极限为Ngrows。设S为Φ（x，u）=Д（x）Д（hf，uiE，hf，uiE，…，hfM，uiE）形式的元素Φ在B（R×P（^P））中的集合，在大型系统35的默认群集中，对于一些∈ N、 一些^1∈ C∞（R） ，^1∈ C∞（RM）和一些{fm}Mm=1in C∞（^P）。然后S分离概率测度空间P（^P）。

那么考虑S上的鞅收敛问题就足够了∈ C∞（^P）并了解f、 uN当其中一家公司违约时。假设第n个公司在时间t默认，其他公司在时间t没有默认（默认同时发生，概率为零）。我们有f、 uNtE=NX16n6Nn6=nfpN，n，λn，nt-+NrXj=1ξjun，jln，jMN，nt，其中，当N中有一个默认值时，我们使用了λN中的跳跃大小，nat时间t-该公司为NPRj=1ξjun，jln，j。此外，注意到MN，nt=0（自公司在时间t时的默认值为tλN，nsds=en），giveshf，unt-iE=NX16n6Nn6=nf（pN，n，λn，nt-)MN，nt+Nf（pN，n，λn，nt-).因此，我们有HF，uNtiE- hf，uNt-iE=JfN，n（t），其中JfN，n（t）=NX16n6NfpN，n，λn，nt-+NrXj=1ξjun，j\'n，j- f（pN，n，λn，nt-)MN，nt-Nf（pN，n，λn，nt-).对于f∈ C（R）定义操作员org（f）（x）=b（x）fx（x）+σ（x）fx（x）。此外，确定运算符（AΦ）（x，u）=G（Д）（x）Дhf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE+MXm=1х（x）φxm公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE×Lfm，uE类+Lxfm，uE类+ιν, uE类·Lxfm，uE+MXm=1φx（x）φxm公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiEhσ（x）Lxfm，uiE+MXp，q=1Д（x）φxp系统xq公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE×hLfp、uiEhLfq、uiE.36 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGand（BΦ）（x，u）=σ（x）φx（x）Дhf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE+ ^1（x）MXm=1φxm公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiEhLxfm，uiE。然后，定理6.2描述了可能的极限点。定理6.2。我们有那个Limn→∞EΦ（Xt，uNt）- Φ（Xt，uNt）-Ztt（AΦ）（Xs，uNs）ds-Ztt（BΦ）（Xs，uNs）dVsJYj=1ψj（xrj，uNrj）= 0对于任何Φ∈ S和0≤ r≤ r≤ ··· ≤ rJ=t<t<t和{ψj}Jj=1∈ B（R×E）。证据首先，我们注意到，MN，nt=1-MN，nt-ZtλN，nsMN，nsds是鞅。

这意味着我们可以写（1- MN，nt）=dMN，nt+λN，ntMN，ntdt通过It^o公式我们得到dhf，uNtiE=NNXn=1hLf（^pN，nt）+λN，ntf（^pN，nt）iMN，ntdt+NNXn=1hLXtf（^pN，nt）iMN，ntdt+NNXn=1σN（λN，nt）ρfλ（^pN，nt）MN，ntdWnt+NNXn=1LXtf（^pN，nt）MN，ntdVt+NXn=1JfN，n（t）d[1- MN，nt]=hLf，uNtiE+ιf，uNtdt+hLXtf，uNtiEdt+NNXn=1σn（λn，nt）ρfλ（^pN，nt）MN，ntdWnt+hLXtf，uNtiEdVt+NXn=1JfN，n（t）d[1- MN，nt]。（13） 大型系统默认集群中的网络效应37再次，根据It^o的Φ（Xt，uNt）公式，我们随后得到Φ（Xt，uNt）=Φ（X，uN）+ZtG（Д）（Xs）Дhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEds+ZtД（Xs）MXm=1φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×nhLfm，uNsiE+ιfm，uNt+ hLXsfm，uNsiEods+ZtMXm=1φx（Xs）φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×σ（Xs）hLXsfm，uNsiEds+ZtД（Xs）NXn=1λN，nsnДhf，uNsiE+JfN，n（s），hf，uNsiE+JfN，n（s），hfM，uNsiE+JfMN，n（s）- φhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEoMN、nsds+Ztσ（Xs）φx（Xs）Дhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEdVs+ZtД（Xs）MXm=1φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEhLXsfm，uNsiEdVs+2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×NXn=1σn（λn，ns）2ρfp公司λ（^pN，ns）fq公司λ（^pN，ns）MN，nsds+MXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×hLXsfp、uNsiEhLXsfq、uNsiEds+NNXn=1MXm=1ZtД（Xs）φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×σn（λn，ns）ρfm公司λ（^pN，ns）MN，nsdWns+ZtД（Xs）NXn=1nДhf，uNsiE+JfN，n（s），hf，uNsiE+JfN，n（s），hfM，uNsiE+JfMN，n（s）- φhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEodMN，ns=Xi=1JNi，其中，对于i=1，····，11，JNIRE在最后一个显示器的右侧显示ithterm。请注意，38 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGJN+JN=Zt（BΦ）（Xs，uNs）dVs，以及JN+JN+JN+JN+JN=Φ（X，uN）+Zt（AΦ）（Xs，uNs）-ANSDS，其中▄ANTI定义为▄ANt=MXm=1Д（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE。

，hfM，uNtiE×NNXn=1λN，ntJfmN，N（t）MN，nt。而▄JfN，n（t）定义为▄JfN，n（t）=NX16n6NrXj=1ξjun，j\'n，jfλ（^pN，nt）MN，nt- f（^pN，nt）。注意，我们有rxj=1ξjun，j\'n，j=βCN，n·ln，其中βCN，n=（ξun，1，ξun，2，…，ξrun，r）和ln=（ln，1，ln，2，…，ln，r）。回想一下LF=βCfλ（^p）。式中，βC=（ξu，ξu，…ξrur），我们得到▄JfN，n（t）=ln·Lf，uNtE- f（^pN，nt）。因此，我们得出▄ANt=MXm=1Д（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE，hfM，uNtiE×NNXn=1λN，nthln·Lfm，uNtE- fm（^pN，nt）iMN，nt=MXm=1х（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE，hfM，uNtiE×NNXn=1λN，ntln·Lfm，uNtEMN，nt-NNXn=1λN，ntfm（^pN，nt）MN，nt=MXm=1х（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE，hfM，uNtiE×ιν，uNtE类·Lfm，uNtE-ιfm，uNtE.大型系统默认集群中的网络效应39现在我们证明JN公司-Rt▄ANsds→ 0作为N→ ∞. 表示运算符lf（^p）=σλρfλ表示表达式Φ（Xt，uNt）asRtANsds中的跳跃项jn。现在我们把这个项的极限看作N→ ∞.因此，存在一个常数K，该常数取决于系数的上限，因此JfN，n（t）-NJfN，N（t）KNk公司fλk。因此，我们得到thatlimN→∞EZt | ANs-ANs | ds= 0。接下来让我们展示一下JN→ 0.上述术语jnmxp可以写成，2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×nNNXn=1（Lfp）（^pN，ns）（Lfq）（^pN，ns）MN，nsods=2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×（LfpLfq），uNs编辑：当N变为单位时，该项变为零。实际上，对于给定的M和{fm}Mm=1和t，存在一个常数C，取决于max{p，q=1，…，M}kφxp系统xqkand max{m=1…m}kfmk和系数的上界，2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×（LfpLfq），uNsEds公司中国大陆-→ 最后，我们处理术语JN和JN。请注意，倒数第二个术语jn是布朗鞅，而术语jn也是鞅。用鞅MNt表示它们的数量。

与上述计算类似的计算结果得出→∞支持∈[0，T]E | MNt |=0，定理的证明是完整的。唯一极限点的识别定理6.2所隐含的极限鞅问题解的唯一性类似于[20]引理7.1的对偶论证，此处不再重复该定理。40 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGLet我们现在在以下两个引理中确定这个独特的解决方案。引理7.1将为我们提供某个随机微分方程的唯一解的存在性，然后将用于确定引理7.2中的唯一极限解。引理7.1。让W*是参考布朗运动，T<∞. 对于每个^p∈^P，其中^P=（P，λ），每个t≤ T有一对唯一的（Qi（T），λ*t（^p），i=1，r） Qi（t）=Z^p∈^PliEVtλ*t（^p）膨胀-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。λ*t（^p）=λ+Ztb（λ*s（^p），a）ds+σ·（λ）*s（^p））ρdW*s+ZtrXi=1βCiQi（s）ds+βSZtλ*s（^p）dXs。引理7.1在附录中得到了验证。引理7.2。Let（Qi（t），λ*t（^p），i=1，r） ，其中^p=（p，λ）是引理7.1的唯一对，vt是由极限X生成的过滤∈B（P）和B∈ B（R+），？u由？ut（A×B）=Z^p给出∈^PχA（P）EVtχB（λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。证据对于任何f∈ C∞（P），定义Vt-DEby theAction HF的自适应随机元素u，utiE=Z^p∈^PEVtf（p，λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。通过It^o公式，我们使用[21]中的引理B.1和B.2，得到DHF，\'utiE==Z^p∈^PEVth（Lf）（p，λ*t（^p））+（LXtf）（p，λ*t（^p））iexp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）}dt+Z^p∈^PEVt（LXtf）（p，λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）dVt+（Z^p∈^PEVt“rXi=1Qi（t）（Lf）i（p，λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）ds#π（dp）∧（dλ））dt=（hLf，\'utiE+hLXtf，\'utiE+rXi=1Qi（t）h（Lf）i，\'utiE）dt+nhLXtf，\'utiEodVt。式中，ι（λ，p）=λ。

定义nowGi（t）=Z^p∈^PEVtli经验值-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。那么，我们有thatGi（t）=-Z^p∈^PEVtliλ*t（^p）膨胀-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）=-hliι，(R)utiE。大型系统默认集群中的网络效应41另一方面，通过引理7.1，我们得到了Gi（t）=-Qi（t），总结了引理的唯一性证明。8、结论和进一步研究工作我们考虑了一个通用的点过程模型，该模型通过加权有向图确定了不同组成部分之间违约的影响，从而在一组组成部分（如公司或名称）中相互作用。该模型具有实证动机，并结合了传染效应、常见的系统风险因素以及特质效应。我们证明了经验生存分布的一个大数定律。然后用它来研究动态感兴趣量的行为，例如池中的平均损失率或系统范围内默认值对给定名称的平均影响。网络结构的存在扩大了我们可以提出的一组有趣的问题，同时允许通过奇异值分解论证来减少低阶近似的计算负担。我们在这里没有解决的一个有趣的问题是，选择的影响，例如强度到默认过程的特殊成分中的双稳态。由此类选择引发的问题，以及包括最可能违约路径研究在内的其他问题，更适合于大偏差分析，这将在后续工作中进行。

在目前的工作中，我们专注于建立此类模型的数学适定性，并在数值上探索网络结构和低阶近似对感兴趣量的典型行为的影响。另一个潜在的有趣的问题是，当一个人想让低阶近似的秩 随着N的增加，假设r=r（N）→ ∞.在这种情况下，我们期望术语QN，nt=βCn·LNtin方程（6）应按r（N）标度，从而用r（N）βCn·LNt代替。我们在本文中不研究这个问题，但我们相信本文中开发的技术将有助于解决这个问题。附录A。附录在这个附录中，我们证明了整篇论文中使用的引理。我们在此指出，在本附录中的结果证明中遇到了由于在强度过程的特殊部分中删除某一结构而产生的大多数技术难题。设ξ是具有r分量的过程向量，可预测、有界、右连续、单调且ξ=0。定义过程zt=λ+βC·ZteΓsdξs.Lemma A.1。让p≥ 1应确保假设3.8和3.9成立。然后我们得到了[Z2pt]1/（2p）≤ λ+| |βC | E[e2pΓt]1/（2p）+t1-1/2便士中兴通讯e4pΓsds公司1/4pZt | |βC | 1/4p（βS）1/4pE[b（Xs）]4pds公司1/4便士。特别是，我们有一个有限常数0<K<∞ 使E[Z2pt]≤K、 42 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang引理A.1的证明。