大型系统默认集群中的网络效应

在提出定理4.3之后，我们将详细说明（9）中定义的运算符的含义。回想一下，Vt=σ（Vs，0≤ s≤ t）∨N、 其中N是空集的集合。简介符号EVt[·]=E[·| Vt]。现在，我们可以陈述论文的主要结果了。定理4.3。让假设3.1-3.10保持不变。我们得到，uN·在DE[0，T]中的值收敛到测度值过程|u·的非分布。“u·的演化由度量演化方程d hf、“utiE=nhLf、”“utiE+hLXtf、”“utiE+hιν、”“utiE·hLf、”“utiEodt+hLXtf、”“utiEdVt、，f∈ C∞（^P）a.s.（10）大型系统默认集群中的网络效应13此外，如果（Qi（t），λ*t（^p），i=1，r） ，式中，^p=（p，λ），是唯一的pairsatisfyingQi（t）=Z^p∈^PliEVtλ*t（^p）膨胀-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。λ*t（^p）=λ+Ztb（λ*s（^p），a）ds+σ·（λ）*s（^p））ρdW*s+ZtrXi=1βCiQi（s）ds+βSZtλ*s（^p）dXs。那么对于任何A∈ B（P）和B∈ B（R+），？u由？ut（A×B）=Z^p给出∈PχA（P）EVtχB（λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。（11） 定理4.3的证明。证明材料见第6节和第7节。第6节我们声明{uN}N族∈Nis相对紧凑（作为DE[0，∞)有值随机变量）。因此{X，uN}N∈Nis也相对紧凑。因此，它（或子序列）在分布上收敛到一个随机过程（X，(R)u）。通过斯科罗霍德表示定理，可以找到概率空间和实现，为了方便起见，仍然表示为{X，uN}N∈Nand（X，u），使得（X，uN）几乎肯定会收敛到（X，u）。通过第6节中的计算，我们得出（X，(R)u）将满足（10）。第7节的结果表明，u实际上是唯一的，由（11）给出。对（Qi（t），λ*t（^p），i=1，r） 通过Lemma7.1存在并唯一。这些结果完成了定理的证明。

运算符Lf表示违约强度的特殊风险，请注意，终止期限-由于默认值，λf也包括在内。操作员Lxf和Lxf代表外部风险x=Xt的影响。最有趣的术语可能是方程hιν的非线性项，\'utiE·hLf，\'utiE，这是负责传染效应和可能的默认集群的术语。特别是，正如我们还将在第5节的数值实验中看到的那样，传染向量参数（元素方向）β的较大值会导致整个池以及各个交互水平中的较大平均损失。此外，当关联传染参数βCis较大时，系统范围内的默认值对给定名称的平均影响较大。限制项hιν、‘utiE·hLf、‘utiE’是r分量的总和，这表明需要有r界才能通过限制过程。结论部分8讨论了这一点的潜在减弱。我们在这一节的最后讨论了定理4.3。备注4.4。定理4.3将在第5节中用于近似动态利息量，如Qn，Nt，池中的总损失率DNt=NPNn=1χ{τN，N≤t} 或与N相同类型的名称集合中的丢失→ ∞. 更具体地说，第n个名称应为pi类型。那么，定理4.3意味着→ ∞可以通过相应的限制对象Qt（pi）和Dt来近似Qn、Nt和Dntb等量。定理4.3允许更高效的数值计算，因为它用一个可以有效计算的极限方程（10）取代了SDE模型（6）系统（详见第5节）。极限对象（10）是非局部PDE的弱公式，用于测量|ut的密度，例如v（t，^p）。

由于其非局部形式，它涉及从乘积项hιν、？utiE·hLf、？utiE计算积分项。反过来，对于14 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGj=1，····，r，由奇异值分解产生的整个参数空间^P上的项hιν，’utiEisan积分，该参数空间还包括向量\'j\'。为了使用外生给定的邻接矩阵A来计算后者，邻接矩阵A具有大但有限的维数N及其SVD，我们基于{N，j}N的经验分布来计算积分项hιν，\'utiEas A有限的总和∈{1，····，N}，对于每个j=1，····，r。在第5节中，我们对感兴趣的特定示例进行了精确分析，并收集了我们数值研究的主要结果。数值研究和模拟结果在这一部分中，我们用数值方法证明了本文的理论结果。在介绍数值研究之前，我们首先描述了我们遵循的数值方法，并对所有示例中常见的一般方面和问题进行了评论。我们感兴趣的一个数量是池中的总损失率，由DNT=NNXn=1χ{τN，N定义≤t} =NNXn=1（1- MN，nt）=1- uNt（^P）。与该数量相关的还有相同类型名称的损失率，例如类型B，用pB表示：DNt（pB）=NBNXn=1χ{τN，N≤t} χ{pN，n=pB}=NBNXn=1（1- MN，nt）χ{pN，n=pB}=1-NNBuNt（{p：p=pB}），其中nb是池中类型B的名称总数。我们还对名称n的平均影响感兴趣∈ {1，···，N}从时间t的全系统默认值，即QN，由QN定义，nt=βCn·LNt，传染系数向量为βCn=（ξun1，ξun2，…，ξrunr），r维向量LNt=（LN，1t，LN，2t。

，LN，rt）。回想一下，QN，Nt可以解释为到时间t时由于其他银行违约而导致的第n个违约强度的平均增加。为了能够计算QN，Nt，我们需要能够计算LN，jt，这与网络的第j个交互级别LN相关，jt=NNXn=1\'n，jχ{τn，n≤t} =NNXn=1`n，j-NNXn=1\'n，jMN，nt=NNXn=1\'n，j-νj，uNt,其中，我们回忆起νj（^p）=lj。定理4.3的渐近结果用于评估网络性能指标，如DNt、DNt（pB）和QN、nt。对于大N，数量如uNt（^P），uNt（{^P：P=pB}）和νj，uNt分别用大系统15和hνj的默认聚类中的|t（uP），|t（{P:P=pB}）网络效应和|ti来近似；通过定理4.3实现。为了能够数值计算后一个量，我们首先写出|t（d^p）=v（t，^p）d^p，其中|p=（p，λ）。对随机演化方程的一种形式化分段积分，其ut（d^p）满足分布意义上的密度满足dV（t，^p）=L*v（t，^p）+L*,Xtv（t，^p）+rXj=1Z^p∈^Pνj（^P）ι（^P）v（t，^P）d^P（L）*,j） v（t，^p）dt+L*,Xtv（t，^p）dVtv（0，^p）=（π×∧）（^p）v（t，p，λ=0）=limλ→∞v（t，p，λ）=0，其中伴随算子由：L给出*v（t，^p）=λ（σλ2ρv（t，^p））-λ（b（λ，a）v（t，^p））- λv（t，^p），L*,xv（t，^p）=λ（（βS）λσ（x）v（t，^p））-λ（βSλb（x）v（t，^p）），L*,xv（t，^p）=-λ（βSλσ（x）v（t，^p）），L*,jv（t，^p）=-βCjv（t，^p）λ、 j=1，2，r、 ι（^p）=λ，ν（^p）=（ν（^p），νr（^p））=`=（l。

，lr）。现在，根据定理4.3，我们近似，DNt≈ Dt=1- ut（^P）=1-Z^p∈^P？ut（d^P）=1-Zp公司∈PZ公司∞λ=0v（t，p，λ）dλπ（dp）DNt（pB）≈ Dt（pB）=1- κBut（{p:p=pB}）=1- κBZ^p：p=pB？ut（d^p）=1-Z∞λ=0v（t，pB，λ）dλ，其中κB=limN→∞NNB=[π（{pB}）]-1如果存在限制。LN，jt≈NNXn=1`n，j- hνj，(R)uti=NNXn=1\'n，j-Z^p∈^Pνj（^P）(R)ut（d^P）=NNXn=1\'n，j-Zp公司∈PljZ公司∞λ=0v（t，p，λ）dλπ（dp），因此，足以计算u（t，p）=R∞v（t，^p）dλ。为了做到这一点，我们首先定义了k阶矩，另请参见[21]，（12）uk（t，p）=Z∞λkv（t，^p）dλ。力矩uk（t，p）可以从dv（t，^p）的演化函数中计算出来，将其乘以λkand积分，再乘以[0，∞). 在下面的例子中，KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang16将变得更加清楚，uk（t，p）将满足一个方程组。然而，这个系统不是一个封闭的系统，对于任何k∈ N、 英国取决于英国+1。为了解决这个问题，我们遵循截断的方法，特别是对于足够大的K，我们设置uK+1=uK，然后向后求解。正如我们稍后将看到的（相关结果也请参见[21]），这种截断是u（t，p）=R的一种非常好的计算效率近似∞v（t，^p）dλ，此外，K通常被认为是小的。我们的数值研究表明，至少对于本文所研究的数值例子来说，选择K=20更能保证良好的近似性质。此外，正如【33】附录A中的数字所示，在没有网络结构的简单情况下，这种平均场类型的近似从数值角度来看是有利的，而不是直接模拟有限系统。现在，如果交互作用水平d的数量很大，或者如果池具有很大程度的异质性，那么系统中方程uk（t，p）的数量可能会非常大。

为了解决这一问题并使计算在数值上可行，可以按照奇异值分解（SVD）的要求得到适当的低阶近似值。VD有助于将网络交互分解为r平均场类型的交互级别。这突出了最重要的交互级别的贡献。为了支持这一主张，请进一步注意向量{uj，j=1，·····，r}的正交性和定义βCn，j=ξjun，jgives，对于每个j=1，····，rkβC·，jk=ξjku·，jk=ξj，它根据特征值ξj立即给出kβC·，jk的排名。我们将在下面的示例中看到低阶近似的威力。特别是，如果SVD给出的特征值中有足够的谱间隙，则仅考虑与前几个大特征值相关的相互作用水平，忽略其余部分，就可以很好地近似极限损失率dt以及对给定名称Qnt的极限平均影响。在介绍数值研究之前，让我们在此收集他们的主要发现并陈述一些有用的观察结果（见图2-16）：o一级近似值 就模型（6）的默认动态强度描述而言，是对网络结构的粗略近似，而不是二级近似。类似地，秩二近似是比arank三近似更粗糙的网络结构近似，依此类推，导致层次结构。

这是SVD的一个简单结果特征值的排序, ξj，j=1，···，r，···，d给出了解释池异质性的不同交互水平的重要性的明确排名相应传染参数βCn，j的排名给出了系统范围内违约对属于相同交互水平的名称的平均影响的清晰排名假设模型的其他参数相同，传染系数βCn，j值较大的类型名称的平均违约率将大于βCn，j值较小的类型名称的平均违约率。这意味着，如果池中的总体损失率较大，则表明存在区域聚集，βCn值较大的类型名称，如果模型描述中的其余参数相同，则在大型系统17的默认集群中，jwill会产生更多的网络效应βCn的值越大，系统范围内的违约对nthname的平均影响就越大，正如我们在随后的小节中所看到的，我们能够精确地量化这一点，例如，参见第5.3小节中的示例中的数字平均回复水平|||Μ也对同类型名称所经历的损失有重要影响，见示例5.4。平均回报率|λ较小的名称违约的可能性较小。o在具有许多不同交互水平或高度异质性的复杂网络中，像dtorqt这样的量的数值计算可能会非常大。奇异值分解和极限结果定理4.3允许我们通过低秩近似和大N近似，降低系统的维数，使此类计算可行，同时保持准确性。外部风险成分XT的影响通过参数βS进行量化。

正如【21】中所述，由于违约强度的增加，β值越大，自然会导致更大的损失。鉴于这里的这种影响与[21]中观察到的类似，并且因为在本文中我们的重点是通过传染术语研究网络效应，所以我们在这里不研究βs进一步的影响。在下面的所有数值示例中，为了简单起见，我们考虑函数b（λ，α）=-α(λ -和ρ=1/2，并将系统风险过程视为CIR过程dXt=κ（θ- Xt）dt+√XtdVt。对于本文的数字目的，我们将注意力限制在上述选择上，因为我们希望能够比较现有文献并从中得出直觉，这些文献主要基于a ffine模型（有关未来的相关方向，请参见结论第8节）。我们考虑以下四种不同的数值研究。第一个示例有一个交互级别，即SVD中的d=1，第二个示例有两个交互级别，即SVD中的d=2。第三个和第四个例子是由财务模型的核心-外围网络结构驱动的，见示例【11，25】。在第三个示例中，所有名称都具有相同的平均反转系数。在示例四中，我们为核心机构和外围机构选择了不同的平均回归系数。请注意，不同类型的名称可能属于相同的交互级别。也就是说，每个层次的交互不需要是同质的。这在下面的具体示例中变得很清楚。Thematrix公司 对于核心-外围银行，我们选择了一些例子来反映经验证据【11，17】，即外围银行比核心银行规模更小，活动性更低。5.1. 一级互动案例。在本例中，我们考虑一种情况，其中邻接矩阵 只有一个正特征值。

这对应于有一个交互级别，d=r=1，但当然，池仍然是不确定的。让我们从参数κ=4，θ=0.5的一些值开始， = 0.5，X=0.2，σ=0.9，α=4，λ=0.2，λ=0.2，βS=2。此外，让我们考虑N=1000个名称的apool。此外，假设50%的βCn，1取βC值，1=1.2361，其余50%的βCn，1取βC值，2=0.6362，而所有\'n，1\'s18 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGtake值l=0.0316。为了更有效地描述这一点，我们稍微滥用了符号，并考虑了离散随机变量▄βC▄由P（▄βC=βC，1）=0.5、P（▄βC=βC，2）=0.5和P（▄▄l）=1定义。对应的邻接矩阵 具有仅具有一个非负特征值10的奇异值分解。左矩阵的第一列取一个值0.0316。右矩阵的第一列取两个值0.12361和0.06362，频率相同。

请注意，正如预期的那样，我们确实有βC，1=0.12361·10=1.2361和βC，2=0.06362·10=0.6362。因此，我们有一个具有两种不同类型的异构池，但它们都属于相同的交互级别。在这种情况下，（12）定义的力矩满足以下一对耦合方程Duk（t，p）=英国（t，p）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1)) -英国+1（t，p）dt+nuk-1（t，p）（0.5σk（k- 1） +α′λk+lβC，1k（1/2u（t，p）+1/2u（t，p）））odt+βSpXtkuk（t，p）dVtduk（t，p）=英国（t，p）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1)) -英国+1（t，p）dt+nuk-1（t，p）（0.5σk（k- 1） +α′λk+lβC，2k（1/2u（t，p）+1/2u（t，p）））odt+βSpXtkuk（t，p）dVtwith uk（0，p）=R∞λk（π×λ）（^p）dλ。然后，我们得到了总的丢失率，对于大的N，isDNt≈ Dt=1- （1/2u（t，p）+1/2u（t，p））pi型的损耗率，i=1或2 isDNt（pi）≈ Dt（pi）=1- u（t，pi），i=1，2时间t时的系统范围默认值对名称n的平均影响，其来自类型pi，i=1或2 isQN，nt≈ Qt（pi）=βC，iLt，i=1，2其中lt=l- l（1/2u（t，p）+1/2u（t，p））。现在请注意，力矩满足的系统是非闭合系统，因为第k个力矩的方程取决于（k+1）力矩。为了解决这个问题，我们将系统截断到某个级别K，通过设置uK（t，p）=uK+1（t，p）并向后求解。这将为我们提供u（t，p）和u（t，p）表示任意时间t。这里我们选择时间端点为t=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数字书写。我们进行了50000次Carlo试验，并在图1中绘制了不同截断水平K=5、10、20、50时的总极限损失dt。从图1可以清楚地看出，对于所有这些不同的运行级别，结果在视觉上是无法区分的，这意味着即使对于较低级别的截断，截断机制也是可靠的。在下面的实验中，我们将使用K=20和相同数量的蒙特卡罗试验。