部分观测条件下公共债务的最优削减

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英文标题：
《Optimal Reduction of Public Debt under Partial Observation of the
  Economic Growth》
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作者：
Giorgia Callegaro, Claudia Ceci, Giorgio Ferrari
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a government that aims at reducing the debt-to-gross domestic product (GDP) ratio of a country. The government observes the level of the debt-to-GDP ratio and an indicator of the state of the economy, but does not directly observe the development of the underlying macroeconomic conditions. The government\'s criterion is to minimize the sum of the total expected costs of holding debt and of debt\'s reduction policies. We model this problem as a singular stochastic control problem under partial observation. The contribution of the paper is twofold. Firstly, we provide a general formulation of the model in which the level of debt-to-GDP ratio and the value of the macroeconomic indicator evolve as a diffusion and a jump-diffusion, respectively, with coefficients depending on the regimes of the economy. These are described through a finite-state continuous-time Markov chain. We reduce via filtering techniques the original problem to an equivalent one with full information (the so-called separated problem), and we provide a general verification result in terms of a related optimal stopping problem under full information. Secondly, we specialize to a case study in which the economy faces only two regimes, and the macroeconomic indicator has a suitable diffusive dynamics. In this setting we provide the optimal debt reduction policy. This is given in terms of the continuous free boundary arising in an auxiliary fully two-dimensional optimal stopping problem.
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中文摘要：
我们考虑的是一个旨在降低一国债务与国内生产总值（GDP）比率的政府。政府观察债务与国内生产总值比率的水平和经济状况的指标，但不直接观察基本宏观经济状况的发展。政府的标准是尽量减少持有债务的总预期成本和债务削减政策的总和。我们将该问题建模为部分观测下的奇异随机控制问题。本文的贡献是双重的。首先，我们提供了模型的一般公式，其中债务与GDP比率的水平和宏观经济指标的价值分别演化为扩散和跳跃扩散，系数取决于经济体制。这些都是通过有限状态连续时间马尔可夫链来描述的。我们通过过滤技术将原始问题简化为一个具有完全信息的等价问题（所谓的分离问题），并根据一个相关的完全信息下的最优停止问题给出了一般的验证结果。其次，我们专门进行了一个案例研究，其中经济只面临两种制度，宏观经济指标具有适当的扩散动力学。在这种情况下，我们提供了最佳的债务削减政策。这是根据辅助全二维最优停止问题中出现的连续自由边界给出的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：Contribution respectively Quantitative Optimization coefficients

在部分观察经济增长的情况下，公共债务的最佳减少乔治·卡列加罗、克劳迪亚·塞西和乔治·费拉里亚BStract。我们考虑的是一个旨在降低一国债务与国内生产总值（GDP）比率的ZF。ZF观察ebt与GDP比率的水平和经济状况的指标，但不直接观察基础宏观经济条件的发展。ZF的标准是将持有债务的总预期成本和债务削减政策的总和最小化。我们将该问题建模为部分观测下的奇异随机控制问题。本文的贡献是双重的。首先，我们提供了一个模型的一般公式，其中债务与GDP比率的水平和宏观经济指标的价值分别演变为差异和跳跃差异，系数取决于经济体制。这些都是通过有限状态连续时间马尔可夫链来描述的。我们通过过滤技术将原始问题简化为具有完全信息的等效问题（所谓的分离问题），并提供了在完全信息下相关最优停止概率的一般验证结果。其次，我们专门进行了一个案例研究，其中经济只面临两种制度，宏观经济指标具有适当的差异动力学。在这种情况下，我们提供了最佳的债务削减政策。这是根据辅助全二维最优停止问题中出现的连续自由边界给出的。关键词：奇异随机控制；部分观察；过滤；独立问题；最佳停车；自由边界；债务与GDP之比。MSC2010受试者分类：93E20、60G35、93E11、60G40、60J60、91B64.1。

最近几年，对一个国家的债务与GDP比率（也称为“债务比率”）进行优化管理的问题变得尤为重要。事实上，在2007年金融危机爆发的同时，发达国家的债务与GDP之比从平均53%飙升至80%左右。显然，ZF的债务管理政策在很大程度上取决于潜在的宏观经济条件；事实上，这些影响，例如GDP的增长率，反过来又决定了一个国家债务与GDP比率的增长率。然而，在实践中，通常既无法实时衡量GDP的增长率，也无法直接观察潜在的商业周期。2018年8月24日，美联储主席杰罗姆·鲍威尔表示：。。。在传统的经济模型中，主要经济量（如通货膨胀、失业和国内生产总值增长率）围绕着被视为“正常”、“自然”或“期望”的价值进行变动。FMOC（联邦公开市场委员会）选择了2%的通货膨胀目标作为这些期望值之一。其他值无法直接观察，也无法由任何人选择。。。根据[28]的观点，本文假设一个国家的GDP增长率由一个不可直接观察的连续时间马尔可夫链调节。马尔科夫链有Q≥ 2.对经济体的不同商业周期进行建模，以便宏观经济条件下的波动导致GDP增长率的价值发生变化。ZF只能观察到当前的deb t-GDP比率和宏观经济指标的水平。

例如，后者可能是所谓的“四大”之一，通常被认为是工业生产指数的近似值，因此是商业条件的近似值。日期：2019年1月29日。在由堪萨斯城联邦储备银行（FederalReserveBankofKansasCity）在怀俄明州杰克逊霍尔（JacksonHole）主办的“不断变化的市场结构及其对货币政策的影响”研讨会上的演讲。这些指标构成了会议理事会的一致指标指数；它们是非农业企业的就业、工业生产、实际个人收入减去转移支付以及实际制造业和贸易2 CALLEGARO、CECI、FERRA RitZF可能会进行干预，以降低债务比率水平，例如通过制定政策或以削减开支的形式实施紧缩政策。我们假设债务比率会立即受到任何此类政策的影响。债务削减不一定要按利率执行，但也允许采取一次性行动，债务比率下降的累计金额是ZF的控制变量。债务比率的任何降低都会导致成比例的成本，ZF的目标是选择一种债务削减政策，使持有债务的总预期成本加上干预债务比率的总预期成本最小化。根据最近关于最优债务管理随机控制方法的论文（见[5]、[6]、[23]和[24]），我们将之前的问题建模为奇异随机控制问题。然而，与之前的所有工作不同的是，我们的问题是在部分观察环境中形成的，因此导致了完全不同的数学分析。在我们的模型中，观察结果包括负债率和宏观经济指标。

债务比率是一个线性控制的几何布朗运动，其漂移是根据GDP增长率给出的，GDP增长率由不可观测的连续时间马尔可夫链Z调节。宏观经济指示器是一个与债务比率过程相关的实值跳变，具有漂移，强度和跳跃大小取决于Z。我们的贡献。我们对最优债务削减问题的研究考虑了三个主要步骤。首先，通过混合型观测的高级过滤技术，我们将原始问题简化为完全信息下的等效问题，即所谓的分离问题。过滤问题在于描述不可观测马尔可夫链Z在任何时间t的条件分布，给定截至时间t的观测值。文献和教科书处理中广泛研究的差异观测值h的情况可在[20]、[32]和[37]中找到。纯跳跃观测也有已知的结果（例如，参见[4]、[8]、[9]、[35]和参考文献）。最近，文献[11]、[12]和[25]研究了混合型地层中涉及纯跳跃过程和差异的过滤问题。由于观察者动力学的结构，我们无法应用概率参考方法（见[12]和[46]），因此，我们选择了基于创新方法的替代路线，这导致了KushnerStratonovich方程。此外，与[11]和[25]不同的是，在我们的框架中，创新过程是二维的，因此，这些论文中采用的创新方法必须适合您的背景。

通过证明Kushner-Stratonovich方程具有唯一的强解，我们可以证明部分观测下的原始问题和分离问题在共享相同值和相同最优控制的意义上是等价的。其次，我们利用分离问题的凸结构，并提供了一个通用的概率验证定理。这一结果与[2]、[15]和[23]等中的发现一致，将最优控制过程与辅助最优停止问题的解决方案联系起来。此外，证明了分离问题的值函数是最优停止问题的值函数相对于受控状态变量的积分。因此，停止问题给出了减少一个额外单位债务的最佳时机。最后，通过指定连续时间马尔可夫链只面临两种状态（快速增长或缓慢增长阶段）的环境，以及宏观经济指标是一个合适的分化过程，我们能够描述最优债务削减政策的特征。在这个框架中，过滤过程是一个二维过程（πt，1- πt）t≥0，其中π是时间t时经济处于快速增长阶段的条件概率。我们证明，最优控制规定在任何时候将债务比率保持在内生确定的曲线以下，该曲线是ZF对当前经济状况的信心的函数。这种债务上限是全二维最优停止问题的自由边界，该问题与前面讨论的验证定理意义上的分离p问题有关。

通过几乎完全使用概率方法，我们能够证明辅助最优停止问题的值函数是其参数的C函数，因此具有所谓的平滑特性。此外，自由边界为asales。例如，我们提到[44]，其中作者提出了一系列广泛的经济指标，并检查了各种指标在2001年经济衰退中的预测表现。部分信息下的公共债务控制3过滤过程的连续、有界和递增功能。最后一个单调性属性也有一个明确的经济学解释：ZF越相信经济享受快速增长的体制，最优减债政策就应该越不严格。作为最优停止问题值函数正则性的显著副产品，我们还得出奇异随机控制问题的值函数是其关联Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的经典解。后者的形式是一个涉及椭圆二阶偏微分方程（PDE）的变分不等式。值得注意的是，价值函数的Cregularity意味着光滑函数的二阶原理的有效性，通常在一维问题中观察到。我们相信，辅助全二维最优停止问题的研究本身就是对文献的宝贵贡献。事实上，如果关于一维最优停止问题的文献非常丰富，那么到目前为止，在文献中，描述多维环境下最优停止规则的问题很少被探讨（参见最近的文献[13]、[15]和[31]，其中涉及多维停止问题的文献很少）。

这种差异是由于基于所考虑的最优停止问题中产生的变分不等式显式解的构造的标准猜测和验证方法不再适用于变分不等式涉及aPDE而非一阶微分方程的多维环境。相关文献。正如前面已经注意到的，我们的论文是在最近的工作中，通过连续时间随机控制技术来解决最优债务管理问题。具体而言，[5]和[6]分别将最优债务削减问题建模为具有奇异和有界速度控制的一维控制问题。在[24]中，ZF可以提高和降低当前的债务比率水平，债务利率由一个连续时间可观察的马尔可夫链调节。该数学公式导出了一个具有状态切换的一维有界变差随机控制问题。在[23]中，当以最佳方式降低债务比率时，ZF会考虑国家通货膨胀率的演变。后者演变为一个不受控制的分化过程，并影响债务比率的增长率，这是一个有界变化的过程。在这种情况下，债务减免问题被表述为一个二维正弦随机控制问题，其HJBE方程涉及一个二阶线性抛物偏微分方程。之前的所有文件都是在完整的信息环境下制定的，而我们的文件只是部分观察。关于部分观测下奇异随机控制问题的文献也相当有限。

[38]中获得了部分观测下二维最优校正问题的值函数的PDE特征的理论结果，而最近在[39]中推导出了部分信息下不一定是马尔可夫单随机控制问题的一般极大值原理。我们还参考了[14]和[19]，其中对模型中的最优分红策略进行了深入的研究，其中剩余p过程演化为漂移布朗运动，漂移未知，在给定概率下只能取两个常数值。论文大纲。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了设置和制定问题。第3节将部分观测下的问题简化为分离问题；具体而言，过滤结果见第3.1节。第3.3节证明了将分离问题与最优停止问题联系起来的概率验证定理。在第4节中，我们将考虑一个案例研究，其中经济只面临两种制度。第4.2节和第4.3节中给出的解决方案取决于第4.1节中对二维最优停车问题的研究。最后，附录A收集了一些技术过滤结果的证明。设置和问题公式2.1。设置。C关于完全过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），捕捉我们设置的所有不确定性。这里，F：=（Ft）t≥0表示全部信息过滤。我们认为，这种过滤满足了完整性和权利连续性的通常假设。我们用Z表示描述不同经济状态的连续时间有限状态马尔可夫链。对于Q≥ 2，设S：={1，2，…，Q}是Z和{λij}1的状态空间≤i、 j≤Qits generator4 CALLEGARO、CECI、FERRA RImatrix。

这里，λij，i 6=j，给出了从状态i到状态j的转变强度，因此λij≥ 0，对于i 6=j，且pqj=1，j6=iλij=-λii。任何时候t≥ 0，zt是可测量的Ft。在ZF没有任何干预的情况下，我们假设对GDPratio的（非受控）债务演变为（2.1）dXt=r- g（Zt）Xtdt+σXtdWt，X=X∈ (0, ∞),其中W是上的标准F-布朗运动(Ohm, F） 独立于Z，r≥ 0和σ>0是常数，g:S→ R、 常数R是d ebt上的实际利率，σ是债务的波动率，g（i）∈ R是经济处于状态i时的GDP增长率∈ S、 很明显，方程（2.1）允许一个唯一的强解，当需要时，对于任何x>0，我们将用Xx，0表示它。ZF在任何时候都知道当前的债务与GDP比率水平，因此Xx，0是所谓观察过程的第一个组成部分。ZF还观察宏观经济随机指标η，例如所谓的“四大指标”之一，我们将其解释为商业状况的代表。我们假设η是求解随机微分方程（2.2）dηt=b（ηt，Zt）dt+σ（ηt）dWt+σ（ηt）dBt+c（ηt）的跳跃微分过程- , Zt公司- )dNt，η=q∈ 一、 其中，b、c、σ>0和σ>0是其参数的可测函数，而I R是η的第h个状态空间。这里，B是一个F-标准布朗运动，与W和Z无关。此外，N是一个F-适应点过程，与Z没有共同的跳跃时间，与W和B无关。N的可预测强度表示为{λN（Zt- )}t型≥并且取决于经济的当前状态，λN（·）>0是一个可测量的函数。从现在起，我们假设以下假设，以确保方程（2.2）的解的强存在性和唯一性（参见【26】等）。假设2.1。