部分观测条件下公共债务的最优削减

函数b:I×S→ R、 σ：我→ (0, ∞), σ： 我→ (0, ∞), 和c:I×S→ 罕见到任何一个我∈ S： （i）（连续性）b（·，i）、σ（·）、σ（·）和c（·，i）是连续的；（ii）（局部Lipschitz条件）对于任何R>0，存在一个常数LR>0，如果| q |<R，| q′<R，q，q′∈ 一、 然后| b（q，I）- b（q′，i）|+|σ（q）- σ（q′）|+|σ（q）- σ（q′）|+| c（q，i）- c（q′，i）|≤ LR | q- q′|；（iii）（生长条件）存在一个常数C>0，使得| b（q，i）|+|σ（q）|+|σ（q）|+| C（q，i）|≤ C（1+| q |）。方程（2.2）中提出的动力学属于跳跃-分化型，考虑到经济状态影响的跳跃的大小和强度。在此之前，可以描述一大类随机因素，而这些随机因素可能表现出巨大的优势。观察过滤H=（Ht）t≥0定义为（2.3）H：=外汇∨ Fη，其中fx和Fη分别表示由x和η生成的自然过滤，用P-null集表示。显然，（X，η）适用于H和F F、 上述内容意味着政府无法直接观察经济状态Z，但这必须通过观察（X，η）来推断。因此，我们在partialinformation环境中工作。2.2. 最佳债务削减问题。政府可以通过干预初级预算平衡（即政府收入和支出之间的总体差异）来降低债务与GDP比率的水平，例如通过削减开支的紧缩政策。

通过这样做，债务比率动态修改为（2.4）dXνt=r- g（Zt）Xνtdt+σXνtdWt- dνt，Xν-= x>0。部分信息下的公共债务控制5过程ν是ZF根据其可支配的信息选择的控制。准确地说，νtde定义了ZF截至时间t的债务与GDP比率的累计减少，因此，ν是属于setM（x，y，q）的非减少过程：=nν：Ohm ×R+→ R+：（νt（ω）：=ν（ω，t））t≥0为非递减，右连续，H- 调整后，Xνt≥ 每t为0≥ 0，Xν-= x、 P（Z=i）=yi，i∈ S、 η=q a.S.o，对于任何给定和固定的x∈ (0, ∞) Xν，q的初始值∈ Iη的初始值，和y∈ Y、 这里：=ny=（Y，…yQ）：yi∈ [0，1]，i=1。Q、 QXi=1yi=1o，是RQ上的概率单纯形，表示过程Z的初始分布空间。从现在开始，我们设置ν-= 任何ν均为0 a.s∈ M（x，y，q）。备注2.2。请注意，在上述集合M的定义中，以及在下面的（2.6）和（P1）中，我们强调了对初始数据（x，y，q）的依赖性，只是为了便于标注，而不是强调所考虑问题的任何马尔可夫性质，事实上并非如此。对于任何（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I和ν∈ M（x，y，q），（2.4）存在唯一解，表示为Xx，νt，由（2.5）Xx，νt=X1,0t给出x个-ZtdνsX1,0s, t型≥ 0，Xx，ν-= x、 其中X1,0t=eRt（r-g（Zs））ds-σt+σWt，t≥ 在这里，以及在本文的其余部分，我们将使用符号RT（·）dνs=R[0，t]（·）dνsfor the lebesgue Stieltjes integral，关于[0]上的非减量过程ν诱导的随机测度dν·，∞).备注2.3。动力学（2.4）可通过以下方式进行调整。

假设公共债务（实际值）D和GDP Y遵循经典动力学dDt=rDtdt- dξt，d- = d>0，dYt=g（Zt）Ytdt+σYtdWt，Y=Y>0，其中ξ是截至时间t的累计实际预算余额。简单应用It^o公式，在设置dν：=dξ/Y时，得出X：=d/Y的比值，如（2.4）所示。ZF旨在降低债务比率水平。债务比率水平Xt=xat时间t≥ 0当经济状态为Zt=i时，ZF会产生瞬时成本（x，i）。这一成本可以被解释为对该国因衰退而产生的损失的衡量，例如，对后续低增长的支持趋势（参见[22]和[45]等）。代价函数h:R×S 7→ R+ful满足以下要求（另见[5]和[23]）假设2.4。（i） 对于任何i∈ S、 映射x 7→ h（x，i）是严格凸的，连续可微的，并且在R+上是不变的。此外，h（0，i）=0；（ii）对于任何给定的x∈ (0, ∞) 而我∈ S单相Z∞e-ρthXx，0t，idt公司+ EZ∞e-ρtX1,0thxXx，0t，idt公司< ∞.形式为h（x，i）=θix（x，i）的二次成本函数∈ [0, ∞) ×S，θi>0，对于合适的ρ>0，显然满足假设2.4。每当ZF干预以降低债务与GDP的比率时，都会产生一定比例的成本。我们假设每次干预的边际成本标准化为一。6 CALLEGARO、CECI、FERRA对任何给定和固定的（x、y、q）规定了跨期贴现率ρ>0∈ (0, ∞) 因此，ZF的目标是最小化预期总成本函数（2.6）Jx，Y，q（ν）：=E（x，Y，q）Z∞e-ρthXx，νt，Ztdt+Z∞e-ρtdνt, ν ∈ M（x，y，q）。这里E（x，y，q）是Xx，ν条件下的期望值-= x、 Z具有初始分布y，η=q。

因此，部分观察到的政府问题可以定义为（P1）Vpo（x，y，q）：=infν∈M（x，y，q）Jx，y，q（ν），（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I。其中一个VPOI定义明确。事实上，由于H的非负性，它是非负的；此外，由于可接受的政策“在初始时间瞬间将债务比率降低到0”是一个p-riori次优策略，且成本为x，因此Vpo≤ x、 我们想在任何时候再次强调th∈ M（x，y，q）是H-适应的，因此问题（P1）是部分观测下的随机最优控制问题。特别地，它是一个部分观测下的奇异随机控制问题；也就是说，一个最优控制问题，其中由[0，∞) 对于Lebesgue测度可能是奇异的，其中状态变量Z的一个分量不能被控制器直接观察到。在目前的公式中，最优债务削减问题不是马尔可夫问题，因此无法用随机控制理论的标准方法直接解决。在下一节中，通过使用过滤理论的技术，我们将介绍一个完全信息下的等价问题，即所谓的分离问题。这将采用马尔可夫结构，其解决方案将在第3.3节中通过马尔可夫最优停止问题进行描述。3、完全信息下的等价问题化简在本节中，我们导出了分离问题。为此，我们首先研究了模型中出现的过滤问题。正如导言中所讨论的，由于我们的动力学结构，无法从现有文献中直接获得关于此类过滤问题的结果。3.1. 过滤问题。

过滤问题在于根据截至时间t收集的信息，找出任何t和任何可测量函数f的最佳f（Zt）均方。在我们的设置中，此类信息流由过滤H给出。该估计可以通过过滤过程（πt）t来描述≥0，它为任何时间t提供给定的ZT Ht的条件分布（参见，关于姿态，[37]）。它被定义为H-c ` adl ` ag（右连续左极限）过程，在s={1，…，Q}上的概率测度的s步中取值，使得（3.1）πt（f）：=Ef（Zt）Ht公司,对于S上的所有可测f函数f。由于Z只取有限个值，因此滤波器完全由向量（3.2）πt（fi）=P（Zt=i | Ht），i∈ S、 其中fi（z）：=1{z=i}，i∈ S、 在下文中，我们将用π（i）表示过程π（fi），因此对于（3.1）中的所有可测函数f，πt（f）=PQi=1f（i）πt（i）。设置β（Zt）：=r-g（Zt），相应地，βi：=r-g（i），i∈ S、 请注意，β显然是一个有界函数。然后，定义两个过程I和I，对于任何t≥ 0（3.3）It：=重量-Ztσ-1.πs（β）- β（Zs）ds，It：=Bt-Zt公司πs（α（ηs，·））- α（ηs，Zs）ds，其中（3.4）α（q，i）：=σ（q）-1nb（q，i）- σ-1β（i）σ（q）o，（q，i）∈ I×S.从今以后，我们将在以下诺维科夫条件下工作。假设3.1。（3.5）EheRtα（ηs，Zs）dsi<∞, 对于任何t≥ 0.部分信息下的公共债务控制7根据假设3.1，根据过滤理论的经典结果（参见，例如，[37]），创新过程I和I关于过滤H的布朗运动。此外，假设B和W的独立性，它们是相互依赖的。与η跳跃相关的整数值随机测度定义为（3.6）m（dt，dq）：=Xs：ηs6=0δ（s，ηs）（ds，dq），其中δ（a，a）表示点（a，a）处的狄拉克测度∈ R+×R。

请注意，H-自适应随机度量m为（3.7）Ztc（ηs- , Zs公司- )1{c（ηs-,Zs公司-)6=0}dNs=ZtZRq m（ds，dq），t>0。为了进一步进行，我们需要以下有用的定义。定义3.2。（G—可预测的P过程由R表示）。给定任何过滤G，让P（G）表示（0，∞) ×Ohm 和B（R）R上的Borelσ-代数。任何映射H：（0，∞) ×Ohm ×R→ R是P（G）×B（R）-可测的称为G-可预测过程，由R.let（3.8）Fmt：=σ{m（（0，s）]×A）：0索引≤ s≤ t、 A∈ B（R）}，我们用Fm表示：=（Fmt）t≥0随机测量值m（dt，dq）生成的过滤。定义3.3。（m的双重可预测投影）。考虑到任何过滤，例如Fm G、 m的G-对偶可预测投影，用mp，G（dt，dq）表示，定义为唯一的正可预测随机测度，因此对于任何非负的G-可预测过程ssΦ，由R（3.9）E索引Z∞ZRΦ（s，q）m（ds，dq）= EZ∞ZRΦ（s，q）mp，G（dt，dq）.为了证明正G-可预测随机测度提供了m的G-对偶可预测投影，证明方程（3.9）适用于Φ（t，q）=CtA（q）形式的任何过程，其中C为非负G-可预测过程，C为非负G-可预测过程∈ B（R）。有关更多详细信息，请参阅【4】和【29】。我们现在的目标是推导过滤器进化方程（过滤方程）。为此，我们使用了所谓的创新方法（见【4】、【11】、【37】等），在我们的设置中，需要引入η（3.10）mπ（dt，dq）：=m（dt，dq）的H补偿跳跃度量- mp，H（dt，dq），其中mp，H（dt，dq）是m的H-双重可预测投影（参见上文定义3.3）。三元组（I，I，mπ）也代表了H-鞅构造的构造块，如下面的Proposition3.5所示。我们开始确定mp的形式，H命题3.4。

m的H-对偶可预测投影由mp给出，H（dt，dq）=QXi=1πt-（i） λN（i）1{c（ηt-,i） 6=0}δc（ηt-,i） （dq）dt，（3.11），其中δ表示点a处的狄拉克测度∈ R、 证明。第1步。首先，我们证明了m的F-对偶可预测投影由（3.12）mp，F（dt，dq）：=λN（Zt）给出- )1{c（ηt-,Zt公司-)6=0}δc（ηt-,Zt公司-)（dq）dt。让A∈ B（R）并引入（3.13）Nt（A）：=m（（0，t）]×A）=Xs≤t型{ηs∈A \\{0}}，t≥ N（A）是计算η到时间t的跳跃次数的点过程，其中跳跃的大小在集合A中。因为由（2.2）可以得到ηs=c（ηs- , Zs公司- )1{c（ηs-,Zs公司-)6=0}Ns，s≥ 0，N是一个点8 CALLEGARO，CECI，FERRA RIprocess，其F-可预测强度由{λN（Zt）给出-)}t型≥0，我们得到对于每个C非负可预测过程ZtCsdNs（A）= EZtCs{c（ηs-,Zs公司-)∈\\{0}}个dNs= EZtCs{c（ηs-,Zs公司-)∈A \\{0}}λN（Zs-)ds公司.也就是说，对于任何A∈ B（R），我们有{λN（Zt-)1{c（ηt-,Zt公司-)∈A \\{0}}}}}t≥0提供计数过程N（A）的F-pr可预测强度。回顾（3.13）和定义3.3，这意味着（3.12）中给出的mp，F（dt，dq）与m的F-d双可预测投影一致，因为等式（3.9）适用于选择G=F和Φ（t，q）=CtA（q），其中C是任意非负的F-可预测过程，A∈ B（R）。第2步。正如在[10]中的命题2.3中，我们现在可以通过简单地投影mp，fw相对于观测流H来推导出mp，F的H-对偶可预测投影，用mp，H（dt，dq）表示。准确地说，我们得到了点过程N（A）的H-可预测强度，A.∈ B（R），由πt给出- （λN（.）1{c（ηt-,.)∈A \\{0}}）=QXi=1πt- （i） λN（i）1{c（ηt-,（一）∈A \\{0}}，A.∈ B（R）。这意味着mp，H（dt，dq）由（3.11）给出，因为（3.9）适用于选择G=H，Φ（t，q）=CtA（q），以及∈ B（R）和C是任意的非负H-可预测过程。

证明部分信息下的原始问题等同于分离问题的一个重要工具是将滤波器描述为滤波方程的唯一解（见[7]和[21]）。为了推导由π求解的滤波方程，我们首先给出了H-鞅的一个表示定理。附录A中给出了以下技术结果的证明。提案3.5。在假设2.1和3.1下，每个H-局部鞅M都允许分解mt=M+ZtДsdIs+ZtψsdIs+ZtZRw（s，q）Mπ（ds，dq），其中Д和ψ是H-适应过程，而w是由R索引的H-可预测过程，因此a。s、 ZtДsds<∞,Ztψsds<∞,ZtZR | w（s，q）| mp，H（dt，dq）<∞, t型≥ 我们现在可以证明以下基本结果，其证明被推迟到附录A。定理3.6。回忆（3.10），让y∈ Y是Z的初始分布，假设2.1和3.1成立。然后滤波器πt：=（πt（i）；我∈ S） t型≥0求解Kushner-Stratonovich系统πt（i）=yi+ZtQXj=1λjiπs（j）ds+Ztπs（i）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+Ztπs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）odIs+ZtZRwπi（s，q）- πs-（一）mπ（ds，dq），（3.14）对于任何i∈ S、 这里，βi=r- g（i）和（3.15）wπi（s，q）：=dλN（i）πs- （i） 1{c（ηs-,i） 6=0}δc（ηs-,i） （dq）dhPQj=1πs-（j） λN（j）1{c（ηs-,j） 6=0}δc（ηs-,j） （dq）idenotes测度λN（i）πs的Radon-Nikodym导数-（i） 1{c（ηs-,i） 6=0}δc（ηs-,i） （dq）分别为qj=1πs- （j） λN（j）1{c（ηs-,j） 6=0}δc（ηs-,j） （dq）。让我们介绍过程η的跳跃时间和跳跃大小的顺序，用{Tn，ζn}n表示≥1，递归定义为T：=inf{T>0:Rtc（ηs- , Zs公司- )dNs6=0}，Tn+1：=inft>Tn:ZtTnc（ηs- , Zs公司- )dNs6=0, ζn：=ηTn- ηTn-= c（ηT-n、 ZT公司-n） ，n≥ 1.部分信息下的公共债务控制9在上述定义中，我们使用标准惯例 = +∞.然后是与η（cf。

（3.6））也可以写成（3.16）m（dt，dq）=Xn≥1δ（Tn，ζn）（ds，dq）1{Tn<+∞}.方程的过滤系统（3.14）具有序列{Tn}n的自然递归结构≥1，如下一个命题所示。提案3.7。在两个连续的e跳跃时间之间，t∈ 【Tn，Tn+1】，方程式（3.14）的过滤系统读数为πt（i）=πTn（i）+ZtTnnQXj=1λjiπs（j）- πs（i）hλN（i）1{c（ηs-,i） 6=0}-QXj=1λN（j）πs（j）1{c（ηs-,j） 6=0}iods+ZtTnσ-1πs（i）nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+ZtTnπs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）odIs，（3.17）对于任何i∈ S、 在η的跳跃时间，例如Tn，πt=（πt（i）；我∈ S） t型≥0跳跃，其值由（3.18）πTn（i）=λN（i）πT给出-n（i）1{ζn=c（ηT-n、 i）}PQj=1λn（j）πT-n（j）1{ζn=c（ηT-n、 j）}，i∈ S、 证明。首先，回顾mπ（dt，dq）=m（dt，dq）- mp，H（dt，dq），thatmp，H（dt，dq）=QXj=1πt- （j） λN（j）1{c（ηt-,j） 6=0}δc（ηt-,j） （dq）dt，我们得到ZtZrwπi（s，q）-πs- （一）mp，H（ds，dq）=Ztπs（i）HλN（i）1{c（ηs-,i） 6=0}-QXj=1λN（j）πs（j）1{c（ηs-,j） 6=0}个ID，从（3.14）中可以看出∈ 【Tn，Tn+1】，πt（i）解方程（3.17）。最后，方程（3.18）后跟（3.15），πTn（i）=wπi（Tn，ζn）=λn（i）πt-n（i）1{c（ηT-n、 i）6=0}δc（ηT-n、 i）（ζn）PQj=1πT-n（j）λn（j）1{c（ηT-n、 j）6=0}δc（ηT-n、 j）（ζn）。我们要强调的是，等式（3.18）表明，向量πtn完全由观测数据η和πt的知识决定∈ [总氮-1，Tn），自πT起-n（i）：=极限↑Tnπt（i），i∈ S、 备注3.8。

关于过滤方程的一些评论值得一提。（1） 在情况c（q，i）中≡ c 6=0，对于任何i∈ S和q∈ 一、 η和Ncoincide的跳跃时间序列以及方程（3.14）的滤波系统简化为更简单的πt（I）=yi+ZtQXj=1λjiπs（j）ds+Ztπs（I）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+Ztπs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）odIs+Zt“λN（i）πs-（i） PQj=1πs-（j） λN（j）- πs- （一）#dNs-QXj=1πs- （j） λN（j）ds, 我∈ S、 10 CALLEGARO、CECI、FERRA RI（2），在α（q，i）=α（i）和c（q，i）的情况下≡ 0，对于任何i∈ S和q∈ 一、 方程式（3.14）的过滤系统不再明确依赖于过程η。特别地，一个具有πt（i）=yi+ZtQXj=1λjiπs（j）ds+Ztπs（i）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+Ztπs（i）nαi-QXj=1αjπs（j）odIs，i∈ S、 （3.19）其中我们设置了αi：=σ-1.b（一）-σ-1βiσ. 参考（2.2）和（3.4），该设置对应于，例如，对于任何i∈ S和q∈ 一、 或者对于任何一种情况，对于纯微分几何，c（q，I）=0，b（q，I）=b（I）q和σ（q）=σq，σ（q）=σq∈ S和q∈ 一、 在第4节中，我们将在此设置中提供最优债务削减问题的显式解决方案。3.2. 独立问题。由于滤波器的引入，方程（2.1）、（2.2）和（2.4）现在可以根据可观察过程重写。特别地，我们有（3.20）dXt=πt（β）Xtdt+σXtdIt，X=X>0，（3.21）dηt=πt（b（ηt，·））dt+σ（ηt）dIt+σ（ηt）dIt+ZRζm（dt，dζ），η=q∈ 一、 和（3.22）dXνt=πt（β）Xνtdt+σXνtdIt- dνt，Xν-= x>0。注意，对于任何ν∈ M（x，y，q），过程xν被证明是H适应的，并且取决于向量πt=（πt（i）；我∈ S） t型≥0，使得π=y∈ Y、 定义3.9。（强唯一性）。我们说一个过程（eπt，eηt）t≥0如果Y×I中的值满足路径方程，则为方程（3.14）和（3.21）的astrong解。