部分观测条件下公共债务的最优削减

我们说方程组（3.14）和（3.21）的强唯一性成立，如果，对于任何（eπt，eηt）t≥0strong系统（3.14）和（3.21）的解决方案，其中一个有eπt=πt，eηt=ηt，所有t≥ 0、提案3.10。假设2.1和3.1成立，并假设α（·，i）是任意i的局部Li-pschitz∈ S、 存在M>0，使得|α（q，i）|≤ M（1+| q |），对于任何q∈ I和任何I∈ S、 然后系统（3.14）和（3.21）允许一个独特的强解。请注意，在假设2.1下，命题3.10中关于α的要求得到了验证，例如，每当σ（q）≥ κ、 对于某些κ>0和任何q∈ 一、 或者如果b/σ和σ/σ是局部Lipschitz onq∈ 我有次线性增长。命题3.10的证明推迟到附录A。作为abyproduct，它还确保了（3.22）的解的强唯一性。在下文中，当需要强调相对于初始值x>0的依赖性时，我们将分别用Xx，0和Xx，ν表示（3.20）和（3.22）的解。从那时起πth（Xx，νt，·）= E[E[h（Xx，νt，Zt）| Ht]]，Fubini-Tonelli定理的应用允许根据可观测量重写（2.6）的成本泛函，如（3.23）Jx，y，q（ν）=E（x，y，q）Z∞e-ρtπt（h（Xνt，·））dt+Z∞e-ρtdνt.这里E（x，y，q）表示以xν为条件的期望-= x>0，π=y∈ Y、 η=q∈ 一、 注意，后一个表达式不再依赖于u-nobservable过程Z，这允许我们引入一个具有完整信息的控制问题，即分离问题，其中新的状态变量由三元组（Xν，π，η）给出。

对于这个问题，我们根据（3.14）、（3.21）和（3.22）给出的可观测过程重写部分信息11下的公共债务控制集合M（x，y，q），并用A（x，y，q）表示集合M（x，y，q）；也就是说，A（x，y，q）：=nν：Ohm ×R+→ R+：（νt（ω）：=ν（ω，t））t≥0是非递减的、右连续的、H自适应的，因此Xx，νt≥ 0 t型≥ 0，Xx，ν-= x、 π-= y、 η=q a.s.o，每x∈ (0, ∞) 对于任何y，初始值Xx，ν在（3.22）中定义∈ Y过程的初始值πt=（πt（i）；我∈ S） t型≥0方程（3.14）的解，以及任何q∈ Iη的初始值。在下面，我们设置ν-= 任何ν均为0 a.s∈ A（x，y，q）。给定ν∈ A（x，y，q），三重态{（Xx，νt，πt，ηt）}t≥0求解（3.22）、（3.14）和（3.21），与η相关的跳跃测量具有由等式（3.11）给出的H-可预测对偶投影。因此，过程{（Xx，νt，πt，ηt）}t≥0是一个H-Markov过程，因此我们将马尔可夫分离问题定义为（P2）V（x，y，q）：=infν∈A（x，y，q）E（x，y，q）Z∞e-ρtπt（h（Xνt，·））dt+Z∞e-ρtdνt对于dxx，νt=πt（β）Xx，νtdt+σXx，νtdIt- dνt，Xx，ν0-= x>0，（π，η）方程（3.14）和（3.21）的解。这是一个完全信息下的奇异随机问题，因为所有过程都涉及H-适应。下一个命题紧跟在分离问题的前一个构造以及（3.14）、（3.21）和（3.22）解的强唯一性之后。提案3.11。假设方程组（3.14）和（3.21）以及let（x，y，q）具有强唯一性∈ (0, ∞) ×Y×I是部分观测（P1）下问题中过程（X，Z，η）的初始值。然后（3.24）Vpo（x，y，q）=V（x，y，q）。此外，ν*∈ A（x，y，q）是分离问题（P2）的最优控制当且仅当ν*∈ M（x，y，q）是部分观测（P1）下原问题的最优控制。备注3.12。

注意，在Remark3.8-（2）的设置中，分别求解方程（3.22）和（3.14）的对（Xx，ν，π）是一个H-Markov过程，对于任何ν∈ A（x，y，q），（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I。因此，由于成本函数和容许控制集不明确取决于过程ssη，分离问题（P2）的值函数不再取决于变量q。我们将在第4.3.3节中将此设置作为案例研究。通过减少到最佳停止的概率函数。在本节中，我们将分离问题与马尔可夫最优停止问题联系起来，并证明后者的解与前者的最优控制直接相关。以下分析是完全概率的，它基于Lebesgue-Stieltjes积分变量公式的变化，该公式已用于奇异控制问题（参见，例如，[2]和[23]）。第4节将采用本节的结果，在案例研究中，我们通过解决辅助最优停止问题来确定最优债务削减政策的表达式。关于问题（P2），请注意πth（Xx，νt，·）=PQi=1πt（i）h（Xx，νt，i）a.s.对于任何t≥ 那么，对于任何（x，π）∈ (0, ∞) ×Y，set（3.25）bh（x，π）：=QXi=1π（i）h（x，i），且给定z∈ (0, ∞), 我们引入了最优停止问题（3.26）eUt（z）：=ess infτ≥tE公司Zτte-ρ（s-t） X1,0sbhx（Xz，0s，πs）ds+e-ρ(τ-t） X1,0τHt公司, t型≥ 0，其中对所有H停止时间τ进行优化≥ t、 12 CALLEGARO、CECI、FERRA RIUnder假设2.4，（3.26）中的预期为任何H停止时间τ的限定值≥ t、 对于anyt≥ 处理事件{τ=∞ }, 在（3.26）中，我们使用了公约（3.27）e-ρτX1,0τ：=lim inft↑∞e-ρtX1,0ton{τ=∞}.用Ut（z）表示Ut（z）的c\'adl\'ag修改，并观察0≤ Ut（z）≤ X1,0t，对于任何t≥ 0，a.s。

此外，确定停车时间（3.28）τ*t（z）：=inf{s≥ t：Us（z）≥ X1,0s}，z∈ (0, ∞),按照τ的约定*t（z）=∞ 如果右侧的集合为空。然后，通过eoremD。[34]附录D中的12，τ*t（z）是问题（3.26）的最佳停止时间。尤其是τ*（z） ：=τ*（z） 对于问题（3.29）U（z）：=infτ是最优的≥0EZτe-ρtX1,0tbhx（Xz，0t，πt）dt+e-ρτX1,0τ注意，由于hx（·，π）是a.s.增加，那么z 7→ τ*（z） a.s.正在减少。τ的这种单调性*（·）在以下方面很重要，因为我们需要考虑其广义逆。此外，由于三重态（Xz，0t，πt，ηt）是一个齐次H-Markov过程，因此存在一个可测函数u：（0，∞)×Y×I→ 对于任何t，Ut（z）=U（Xz，0t，πt，ηt）≥ 0，a.s.因此，U（z）=U（z，y，q），对于任何（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I，定义（3.30）eV（x，Y，q）：=ZxU（z，Y，q）dz。此外，引入非减量右连续过程（3.31）ν*t： =sup{α∈ [0，x]：τ*（十）- α) ≤ t} ，t≥ 0, ν*-= 0，然后是过程（3.32）ν*t： =ZtX1,0sdν*s、 t>0，ν*-= 0.注意ν*·是τ的右连续逆*( ·).定理3.13。LeteV与（3.30）相同，V与问题定义相同（P2）。然后一个haseV=V，和ν*是问题（P2）的（唯一）最优控制。证据第1步。设x>0，y∈ Y、 和q∈ 我被给予和固定。对于ν∈ A（x，y，q），我们介绍了νt：=RtdνsX1,0s，t的过程νsuch≥ 0，并通过（3.33）τν（z）：=inf{t）定义其逆（例如，参见第0章，第4节[43]）≥ 0 | x-νt<z}，0<z≤ x、 注意，过程τν（z）：={τν（z），z≤ x} 具有递减的左连续采样路径，因此允许右极限（3.34）τν+（z）：=inf{t≥ 0 | x-νt≤ z} ，z≤ x、 此外，点集z∈ 其中τν（z）（ω）6=τν+（z）（ω）是a.e的a.s.可数。

ω ∈ Ohm.rand om timeτν（z）实际上是一个（Ht）-停止时间，因为它是右连续过程ν和（Ht）t的开集的进入时间≥0是右连续的。此外，由于τν+（z）是右连续过程ν进入闭合集的第一个进入时间，因此对于任何z，它也是（Ht）-停止时间≤ x、 然后，如[23]中定理3.1证明的步骤1所述，通过采用第0章中变量公式的变化，即[43]的命题4.9，我们发现ev（x，y，q）=ZxU（z，y，q）dz≤ Jx，y，q（ν）。因此，sin ceν是任意的，我们发现（3.35）eV（x，y，q）≤ V（x，y，q），（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I.部分信息下的公共债务控制13步骤2。为了完成证明，我们必须证明逆不等式。让x∈ (0, ∞), y∈ Y、 andq公司∈ 一、 Xx、ν、π和η的初始值。我们首先注意到*∈ A（x，y，q）。的确，ν*是非减量的，右连续的，这样Xx，ν*t=X1,0t（x-ν*t）≥ 所有t均为0 a.s≥ 0，因为其中一个具有定义ν*t型≤ 此外，对于任何0<z≤ x、 我们可以写（参见（3.31）和（3.34））τν*+（z）≤ t型<==>ν*t型≥ x个- z<==> τ*（z）≤ t、 然后，回顾τν*+（z） =τν*（z） P-a.s.和a.e.z≤ x、 我们选择ν=ν*（等效地，ν=ν*), 根据[23]定理3.1证明中的步骤2，我们得到ev（x，y，q）=Jx，y，q（ν*).也就是说，eV=V乘以（3.35）和ν的容许性*. 因此ν*是最佳的。事实上，ν*是属于A（x，y，q）的控制类中的唯一最优控制，并且使得Jx，y，q（ν）<∞ 通过Jx，y，q（·）的严格凸性。备注3.14。对于任何给定（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I，定义马尔可夫最优停止问题v（x，Y，q）：=infτ≥0E（x，y，q）Zτe-ρtXx，0tbhx（Xx，0t，πt）dt+e-ρτXx，0τ,式中，E（x，y，q）表示概率测度P（x，y，q）下的期望，使得P（·）：=P（·| Xx，0=x，π=y，η=q）。然后，很容易验证v（x，y，q）=xU（x，y，q）。

此外，它认为停止时间τ*（x） ：=inf{t≥ 0:v（Xx，0t，πt，ηt）≥ Xx，0t}，P（x，y，q）- a、 sis最适合v（x，y，q）。4、在Q=2经济区域的案例研究中的解决方案在本节中，我们基于前几节中开发的一般过滤分析和定理3.13的结果，并在通过以下长期假设确定的案例研究中提供了最佳债务削减政策的形式。假设4.1。（1） Z取S={1，2}中的值，参考（2.4），我们取g：=g（2）<g（1）=：g；（2） 对于任何q∈ I和任何I∈ {1，2}其中c（q，i）=0，f或α，如（3.4）所示，我们取α（q，i）=α（i）；（3） h（x，i）=所有（x，i）的h（x）∈ (0, ∞) ×{1，2}，带h:R→ R使得：（i）x 7→ h（x）是严格凸的，两次连续可微，且在R+上h（0）=0且limx不变↑∞h（x）=∞;（ii）存在γ>1，0<Ko<K和K，K>0，使得Ko | x+|γ- K≤ h（x）≤ K（1+| x |γ），| h′（x）|≤ K（1+| x |γ-1） 和| h′（x）|≤ K（1+| x |）（γ-2)+).请注意，在假设4.1-（2）下，宏观经济指标η具有合适的离散动力学，其系数b、σ、σ使得函数α独立于q。如备注3.8-（2）所述，这是η的几何或算术离散动力学的情况。在这种情况下，Kushner-Stratonovich系统（3.14）得出（4.1）dπt（1）=λ- （λ+λ）πt（1）dt+πt（1）（1- πt（1））hβ- βσdIt+（α- α） dIti和πt（2）=1- πt（1）。

这里，λ：=λ>0和λ：=λ>0.14 CALLEGARO，CECI，FERRA RIDenoting byπt：=πt（1），t≥ 0，问题（P2）则显示为（P3）V（x，y）=infν∈A（x，y）E（x，y）Z∞e-ρth（Xνt）dt+Z∞e-ρtdνt其中dxx，y，νt=[β+πyt（g- g） ]Xx，y，νtdt+σXx，y，νtdIt- dνt，Xx，y，ν0-= x>0，dπyt=λ- （λ+λ）πytdt+πyt（1- πyt）h（g- g） σdIt+（α- α） dIti，π=y∈ （0,1），其中gi=r- βi，表示状态i的经济增长率，i=1，2。值得注意的是，在问题（P3）的马尔可夫公式中不需要涉及过程η。这是因为求解上述两个随机微分方程的耦合（Xν，π）是一个强马尔可夫过程，且成本泛函和容许控制集（由上面的a（X，y）表示）不明确依赖于η。因此，问题（P3）的值函数不依赖于过程η的初始值q。然而，宏观经济指标过程η的记忆通过常数项α出现在过滤器π中- α在其动力学中。最后，我们记得，由于提案3.11，通过解决问题（P3），我们也解决了原始问题（P1）。实际上，对于任何给定和固定的（x，y），我们都有Vpo（x，y）=V（x，y）∈ (0, ∞) ×（0，1），且控制对于分离问题（P3）是最优的，当且仅当它对于部分观测下的原始问题是最优的。在下面的分析中，我们需要（由于技术原因，由于我们问题的时间范围有限）采取一个足够大的折扣系数。即定义ρo：=β+σ∨γβ+σγ(γ - 1)∨2β+ σ∨24θ- (λ+ λ)∨4β+ 6σ∨4β(2 ∨ γ) + 2σ(2 ∨ γ) (4(2 ∨ γ) - 1),带θ：=（g）-g） σ+（α- α), 我们假设如下。假设4.2。一个是ρ>ρ+o。由于h上的生长条件，假设4.2特别确保ρ>γβ+σγ（γ-1） 所以（平凡的）容许控制ν≡ 0具有有限的总预期成本。4.1.

相关的最优停止问题。受前几节结果（尤其见定理3.13）的启发，我们现在的目标是通过研究辅助最优停车问题来解决问题（P3）。非正式地说，解决这样一个最优停止问题给出了ZF应该将债务比率再降低一个单位的最佳时间。最优停止问题涉及一个二维离散过程，在下文中，我们提供了几乎完全的概率分析。4.1.1. 配方和初步结果。回想一下（It，It）t≥0是一个二维的标准布朗运动，引入了二维扩散过程（bX，π）：=（bXt，πt）t≥0求解随机微分方程（SDE）（4.2）dbXt=bXt[β+（g- g） πt]dt+σbXtdIt，dπt=λ- （λ+λ）πtdt+πt（1- πt）h（g- g） σdIt+（α-α） dIti，初始条件sbx=x，π=y，对于任何（x，y）：=（0，∞) × (0, 1). 在下面，我们设置为：=（0，∞) × (0, 1). 回想一下，β=r- g、 由于过程π是有界的，SDEs的经典结果确保系统（4.2）允许一个唯一的强解，当需要时，我们将用（bXx，y，πy）表示，以强调其对初始数据（x，y）的依赖性∈ O、 在关节，很容易获得（4.3）bXx，yt=xe（β-σ） t+σIt+（g-g） Rtπysds，t≥ 0，部分信息下的公共债务控制15此外，可以肯定的是，费勒的爆炸试验（例如，见[33]第5.5章）给出了1=P（πyt∈ (0, 1), t型≥ 0）对于所有y∈ (0, 1). 事实上，边界点0和1是入口而不是出口（参见[3]，p）。

15） 因此，π过程无法实现。关于Remark3.14，这里我们研究了具有值函数v（x，y）：=infτ的完全二维马尔可夫最优stoppin-gp问题≥0E（x，y）Zτe-ρtbXth′（bXt）dt+e-ρτbXτ=: infτ≥0bJ（x，y）（τ），（x，y）∈ O、 （4.4）在（4.4）中，对所有H停止时间进行优化，s y mbol E（x，y）表示概率测度P（x，y）下的预期(Ohm, F） ，定义为P（x，y）（·）：=P（·| bX=x，π=y），对于任何（x，y）∈ O、 由于π为正，g- 根据假设4.2，g<0，ρ>β，从（4.3）可以看出（4.5）lim inf↑∞e-ρtbXt=0 P（x，y）-a、 这意味着公约（参见（3.27））e-ρτbXτ=0，在{τ=∞}.很明显，一个人有v≥ 0，因为Bx为正，h在R+上增加。此外，v≤ 因此，我们可以将连续区域和停止区域定义为（4.6）C：{（x，y）∈ O:v（x，y）<x}，S：={（x，y）∈ O:v（x，y）=x}。请注意，通过部分积分术语e-ρτbXτ，取期望值，并利用该期望值，对于任何停止时间τ，都有E[RτE-ρsbXsdIs]=0（因为假设4.2ρ>β+σ），我们可以等效地重写（4.4）asv（x，y）：=x+infτ≥0E（x，y）Zτe-ρtbXth′（bXt）- (ρ - β- （g）- g） πt）dt公司,（4.7）对于任何（x，y）∈ O、 从（4.7）可以看出（4.8）{（x，y）∈ O:h′（x）- (ρ - β- （g）-g） y）<0} C、 这意味着（4.9）S {（x，y）∈ O:h′（x）- (ρ - β- （g）- g） y）≥ 此外，由于ρ满足假设4.2和0≤ πt≤ 任何（x，y）为1∈ O、 一个有（4.10）E（x，y）Z∞e-ρtbXth′型bXt公司+ ρ+|β+| g- g | dt< ∞,和随机变量族Zτe-ρtbXth′（bXt）- (ρ - β- （g）- g） πt）dt，τH- 停车时间因此在er P（x，y）上是H-一致可积的。下一个命题给出了v的初步性质。提案4.3。

以下保留：（i）x 7→ v（x，y）对于任何y都是增加的∈ (0, 1);（ii）y 7→ v（x，y）对于任何x都是递减的∈ (0, ∞);（iii）（x，y）7→ v（x，y）在O证明中是连续的。我们分别证明每项索赔。（i） 。召回（4.4）。通过h和（4.3）的严格凸性和单调性，可以得出x 7→bJ（x，y）（τ）在任何H停止时间τ和任何y∈ (0, 1). 因此，这一主张得到了证实。（二）。这是因为y 7→对于任何停止时间τ和anyx，bJ（x，y）（τ）都在减小∈ (0, ∞). 实际上，映射y 7→bXx，ytis a.s.对于任何t≥ 0（因为y 7→ πytisa。s、 通过山田和渡边的比较定理增加-参见，例如，【33】第5.2章中的命题2.18和g- g<0）和x 7→ xh′（x）在增加。16卡莱加罗、塞西、法拉利（iii）。Sin ce（x，y）7→ （bXx，yt，πyt）对于任何t都是a.s.连续的≥ 0，不难验证（x，y）7→对于任何给定的τ，bJ（x，y）（τ）是连续的≥ 因此，v是上半连续的。我们现在证明它也是下半连续的。Let（x，y）∈ O和let（xn，yn）n O是收敛到（x，y）的任意序列。在不损失一般性的情况下，我们可以采用（xn，yn）∈ （十）- δ、 x+δ）×（y- δ、 y+δ），对于合适的δ>0。假设τnε：=τnε（xn，yn）是v（xn，yn）的ε-最优值，而不是v（x，y）的次优值，那么我们可以写出v（x，y）- v（xn，yn）≤ EZτnεe-ρtbXx，yth′bXx，yt-bXxn，ynth′bXxn，yntdt公司（4.11）+Ehe-ρτnεbXx，yτnε-bXxn，ynτnεi+ε。现在注意a.s.Zτnεe-ρtbXx，yth′bXx，yt-bXxn，ynh′型bXxn，yntdt公司≤Z∞e-ρtbXx，yth′bXx，yt+bXx+δ，y-δth′型bXx+δ，y-δtdt，我们使用的是x 7→bXx，yis增加，y 7→bXx、yis递减和x 7→ xh′（x）为正且在增加。