部分观测条件下公共债务的最优削减

结合（4.40），我们从（4.36）中发现supε∈(0,1-y）EhΛεi<∞, 从而简化随机变量族{∧ε，ε∈ (0, 1 - y） }在L中有界(Ohm, F、 P），Hence一致可积。第2步。我们考虑（4.32）右侧的第二个期望值，并设置Ξε：=Zτεe-ρtbXx，ytπytdt，我们的目的是证明随机变量族{ε，ε∈ (0, 1 -y） }在L中有界(Ohm, F、 P），因此一致可积。首先通过Jensen不等式和H¨older不等式，我们发现（4.41）Ehεi≤黑色Z∞e-ρtbXx，ytdt公司EZ∞e-ρtπytdt公司,对于somebK>0，与ε无关。由于假设4.2和采用（4.3）的标准估计（以及（g-g） Rtπysds<0）。此外，它与ε无关。对于第二种情况，通过Fubini-Tonelli定理将期望值和时间积分相互转换，并使用（4.39），我们得到了Z∞e-ρtπytdt公司≤(ρ + λ+ λ- 24θ），部分信息下的公共债务控制23由于假设4.2。因此，我们得出结论（参见（4.41））supε∈(0,1-y）EhΞ| i<∞, 从而完成了证明。前面的定理特别暗示了所谓的平滑特性，这是最优停止理论中众所周知的最优性原则。此外，根据基于（bX，π）的强马尔可夫性质的标准参数（见[40]第三章），从迄今为止收集的结果可以看出，耦合（v，d）解决了自由边界问题（4.42）L- ρv（x，y）=-C上的xh′（x），S上的v（x，y）=x，x=d（y），y时的vx（x，y）=1∈ （0，1），在x=d（y），y时，vy（x，y）=0∈ （0，1），带v∈ C（C）。理论4.8的一个重要结果如下。提案4.9。一个有y 7→ d（y）在[0，1]上连续。证据确定概率测量值(Ohm, F） 这样DBPDPFt=e-σt+σIt，t≥ 0

该测量值等于Ft上的P，定义位：=It- σt，根据Girsanov定理，后者是标准的H-布朗运动。通过改变测量值（例如，见[40]第四章第12节），则不难看出（4.7）中的v为v（x，y）：=x-bV（x，y），其中，对于任何（x，y）∈ O、 我们设置了（4.43）bV（x，y）：=supτ≥0bE（x，y）Zτe-(ρ-β） t+（g-g） RtπsdsbH（bXt，πt）dt,带BH（x，y）：=ρ-β-（g）-g） y型-h′（x）. 在上述（4.43）中，be（x，y）表示期望条件，即（bX，π）=（x，y）bP-a.s.Sin ce{（x，y）∈ O:v（x，y）≥ x} ={（x，y）∈ O:bV（x，y）≤ 0}，d（·）也是valuebV问题的最优停止边界。为了证明d（·）的连续性，我们现在的目标是将[41]中的定理10应用于问题（4.43）。请注意BVX≤ 自x 7起O上的0→ h（x）是严格凸的。此外，回忆θ=[（α- α） +（g-g） σ]，我们有x个bHθy（1-y）< 再次感谢h的严格凸性。此外，由于V=x时的Th eorem4.8中所示的C特性，BVI在边界上是连续的-bV；因此，水平平滑特性成立。因此，我们可以应用[41]中的定理10（注意到[41]中x是水平轴，y是垂直轴，而在我们的论文中，x是垂直轴，y是水平轴），并得出结论，d在任何点y都不能有第一类不连续性∈ 最后，d在y=1时也是连续的，因为它被命题4.5-（ii）保持连续。4.2. 问题的最优控制（P3）。在本节中，我们提供了最优债务削减政策的形式。

它是根据前一节研究的自由边界给出的。对于（4.14）中的d，在P（x，y）下引入非减量过程（4.44）νt=hx- inf0≤s≤t型dπse-(β-σ） s-σ为-（g）-g） Rsπudu我∨ 0，t≥ 0，带ν-= 0，然后是过程（4.45）νt： =中兴通讯-(β-σ） s-σ为-（g）-g） Rsπudududνs、 t型≥ 0, ν-= 注意，自从νt型≤ x a.s.适用于所有t≥ 0和t 7→ ν这是不减损的，从（4.45）可以看出是可以接受的。此外，t 7→ ν由于y 7的连续性，这是连续的（除了可能的初始ju mpat初始时间）→ d（y）和t 7→ It，t 7→ πt和t 7→Rtπsds。24 CALLEGARO，CECI，FERRA RITheorem 4.10。LeteV（x，y）：=Rxzv（z，y）dz，（x，y）∈ [0, ∞) × [0, 1]. 然后一个haseV=V开[0，∞) ×[0，1]和ν如（4.45）所示，对于问题（P3）来说是最佳的。证据回想一下（3.26）中的U=Uas，注意在我们的马尔可夫设置中，一个haszv（z，y）=U（z）。通过定理3.13的证明，证明了停止时间τ的右连续逆（z，y）=inf{t≥ 0 | bXz，yt≥ d（πyt）}（对于v（z，y）是最佳的，cf.（4.12））与ν（直到anull集）重合.然后，回顾（3.34）定理3.13，fix（x，y）∈ (0, ∞)×（0，1），取t≥ 0任意，注意（4.12），我们有P（z，y）-a.s。等价物τ（z，y）≤ t型<==>bXθ≥ 对于某些θ，d（πθ）∈ [0，t]<==>z≥ e-(β-σ)θ-σIθ-（g）-g） 某些θ的Rθπududud（πθ）∈ [0，t]<==>hx公司- inf0≤s≤t型d（πs）e-(β-σ） s-（g）-g） Rsπudu-σ为我∨ 0≥ x个- z<==>νt型≥ x个- z<==>τν+（z）≤ t、 因此，τν+（z） =τ（z，y）a.s.，和ν·是τ的右连续逆（·，y）。自ν起如定理证明3.13第2步所述，权利要求如下。

注意，问题（P3）公式中的Xx，y，ν方程，和（4.45），yieldXx，y，νt=e（β-σ） t+（g-g） Rtπysds+σItx个-νt型,关于（4.44），表明（4.46）0≤ Xx，y，νt型≤ d（πyt），t≥ 0，P- a、 此外，很容易看出我们可以表示νof（4.44）as（4.47）νt=sup0≤u≤t型Xx，y，0s- d（πys）X1，y，0s∨ 0,ν-= 前面的方程式允许我们对我们问题的最优债务管理政策发表一些评论。（i） 如果在初始时间，债务比率x的水平高于d（y），则立即降低振幅（x- d（y））是最佳的。（ii）在任何t≥ 0时，将债务比率水平保持在依赖于信念的上限d以下是最佳的。（iii）如果时间t的债务比率水平严重低于d（πt），则无需干预。政府应该进行干预，仅在债务比率试图上升到d（πt）以上的时间（随机）t减少债务。这些干预是最小的，即（Xx，y，ν, πy，ν) 解决了自由边界d处的斯科罗霍德反射问题。（iv）回想一下，债务上限d是政府认为经济正处于快速增长阶段的一个日益增长的函数。然后，关于之前对最优减债规则的描述，我们发现，政府越相信经济处于良好状态，规模空间就越大，最优减债政策应该越不严格。4.3. 问题（P3）值函数的正则性和相关HJB方程。结合迄今为止收集的结果，我们现在能够证明控制问题（P3）的值函数V是一个两次连续可微函数。

作为副产品，V是对应的g Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的经典解。根据定理4.10，我们知道V（x，y）=Rxzv（z，y）dz，对于所有（x，y）∈O：=[0，∞) × [0, 1].因此，感谢定理4.8和支配收敛定理，我们立即得到了以下结果。引理4.11。一个有那个V∈ C（O）∩ C（O）。此外，Vxx∈ C（O）和Vxy∈ C（O）。为了处理二阶导数Vy，我们遵循[14]中使用的思想。特别地，我们确定了V的二阶弱导数（回想一下，Vyis通过定理4.8继续s），并证明它是一个连续函数。这将在下一个命题中完成。部分信息下的公共债务控制25提案4.12。设θ：=[（α- α） +（g-g） σ]。我们有Vy∈ C（O）与vy（x，y）=-θy（1- y） h类β+（g- g） y型-σv（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）+ h类x个∧ d（y）+σx个∧ d（y）vx（x∧ d（y），y）i+λ- （λ+λ）yθy（1- y）Zx公司∧d（y）zvy（z，y）dz(4.48)-ρθy（1- y）Zx公司∧d（y）zv（z，y）dz.证据注意Vy（x，y）=Rxzvy（z，y）dz处的th，因此Vy（x，·）是定理4.8中所有x>0的连续函数（注意，根据（4.34）中的边界和乘法依赖项fbxz，y相对于z，zvy（z，y）在0处可积）。因此，其相对于y的弱导数是一个函数g∈ Lloc（O），以便任何测试功能∈ C∞c（（0，1））一个具有（4.49）ZVy（x，y）Д′（y）dy=-Zg（x，y）Д（y）dy。我们现在的目标是评估g，并表明它与（4.48）的右侧重合。表示为m（x），x>0，d（y），y的广义右连续逆∈ [0, 1]; 也就是说，m（x）：=inf{y∈ [0，1]：d（y）≥ x} 。

然后，注意{（x，y）上的vy=0∈ O:x>d（y）}利用富比尼定理，我们可以写出vy（x，y）ν′（y）dy=ZZx公司∧d（y）zvy（z，y）dzИ′（y）dy=ZxzZm（z）vy（z，y）Д′（y）dydz（4.50）=Zxzhvy（z，1）Д（1）- vy（z，m（z））Д（m（z））-Zm（z）vy y（z，y）Д（y）dyidz=-Zxz公司Zm（z）vy y（z，y）Д（y）dydz，这里我们用vy（z，m（z））=0表示所有z∈ （0，x），x>0，以及Д（1）=0。通过引理4.6（参见（4.20）），对于任何y>m（z），对于任何z∈ （0，x）当x>0时，我们得到vy y（z，y）=θy（1- y） hρv（z，y）-λ- （λ+λ）yvy（z，y）- zh′（z）-σzvxx（z，y）-β+（g- g） y型zvx（z，y）i.（4.51）在（4.50）右侧的最后一个积分项中插入后一个表达式，使用againFubini定理和d，然后对x的导数进行积分，我们发现Zvy（x，y）Д′（y）dy=-Zxz公司Zm（z）vy y（z，y）Д（y）dydz=Zλ-（λ+λ）yθy（1- y）Zx公司∧d（y）zvy（z，y）dz^1（y）dy-Zρθy（1- y）Zx公司∧d（y）zv（z，y）dz^1（y）dy+Zhhx个∧ d（y）+β+（g- g） y型v（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）(4.52)+σx个∧ d（y）vx（x∧ d（y），y）-σv（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）iИ（y）θy（1- y） dy，26 CALLEGARO，CECI，FERRA Ri，我们也计算了h（0）=0。最后，设置（x，y）：=-θy（1- y） hh小时x个∧ d（y）+β+（g- g） y型-σv（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）+σx个∧ d（y）vx（x∧ d（y），y）i+λ- （λ+λ）yθy（1- y）Zx公司∧d（y）zvy（z，y）dz-ρθy（1- y）Zx公司∧d（y）zv（z，y）dz,我们看到（4.52）readsRVy（x，y）Д′（y）dy=-Rg（x，y）Д（y）dy，因此g与V相对于y的二次弱导数相同。注意，g是由d，V，vx，h的连续性和rx的连续性连续的∧d（y）zv（z，y）dz和RX∧由于（4.3）、（4.4）和（4.34），d（y）zvy（z，y）dz是有限的。因此，证明已完成。多亏了引理4.11和命题4.12，我们得到了V∈ C（O）∩ C（O）。作为这方面的一个副产品，在应用丁金公式的基础上，利用动态规划原理和标准方法，我们得到了下一个结果。提案4.13。回想一下（4.20）中定义的二阶微分算子。

P问题（P3）的值函数V是HJB方程的经典解L- ρV（x，y）+h（x），1- Vx（x，y）= 0，（x，y）∈ O、 对于任意y，边界条件V（0，y）=0∈ [0, 1].承认Claudia Ceci的研究得到了“意大利国家材料研究所”（INd-AM）的“Gruppo Nazionale per l\'Analisi Matematica，LAPROBILIT\'a e le loro Applicazioni”（GNAMPA）的部分支持。乔治·法拉利感谢德国研究基金会（DFG）通过1283合作研究中心提供的财政支持。我们要感谢卢西亚诺·坎皮、蒂齐亚诺·德·安格利斯、保拉·曼努奇、法比奥·帕罗内托、帕沃·萨尔米宁和沃尔夫冈·隆加尔迪埃进行了有益的讨论。附录A.过滤结果命题3.5的证明。由于创新过程（I，I）（见（3.3））和随机测度m（dt，dq）（见（3.6）和（3.8））是H自适应的，那么∨ 金融机构∨ Fm公司 H、 一般来说，后一个结论可能是严格的。现在让我们考虑指数F鞅解（A.1）dLt=-Ltnβ（Zt）σdWt+α（ηt，Zt）dBto，t≥ 0，并定义概率度量Q(Ohm, F） ，相当于Ft上的P，以及dqdpFt=Lt，t≥ 注意，假设（3.1）确保L确实是F鞅。根据Girsanov定理，过程（A.2）fWt：=Wt+Ztβ（Zs）σds，eBt：=Bt+Ztα（ηs，Zs）ds，t≥ 0是（Q，F）-独立的布朗运动。我们现在证明FfW∨2月∨Fm=H。另一方面，包括FfW∨2月∨Fm公司 H源于fw和b被证明是H适应的，因为它们可以写成（A.3）fWt=It+Ztπs（β）σds，eBt：=It+Ztπs（α（ηs，·））ds，t≥ 0.部分信息下的公共债务控制27为了证明相反，让我们观察到，在概率测度Q下，过程X和η求解以下随机微分方程dxt=XtσdfWt，X=X>0，（A.4）dηt=σ（ηt）dfWt+σ（ηt）债务+ZRqm（dt，dq），η=Q∈ 一、 分别为。显然Xis FfW已适应。

回顾（3.16），可以迭代构造方程（A.4）的解。更准确地说，t型∈ [0，T），过程ηsolvesdηT=σ（ηT）dfWt+σ（ηT）债务，η=q∈ 一、 在两个连续跳跃时间之间的任何时间，即t∈ [总氮，总氮+1），n≥ 1，一个hasdηt=σ（ηt）dfWt+σ（ηt）债务，ηTn=ηTn-+ ζn.根据假设2.1，该序列随机微分方程在任何区间[Tn，Tn+1]上都有唯一的强解，这反过来又给出了唯一的强解η到（a.4）。此外，η被证明是FfW∨ 2月∨ 调频调整。然后，通过应用文献[30]中的推论III.4.3.1，我们得到了每个（Q，H）-局部鞅fM都包含分解fmt=fM+ZteДsdfWs+ZteψsdeBs+ZtZRew（s，Q）mπ（dt，dq），其中eД和ψ是H适应过程，ew是由R索引的H可预测过程，因此对于所有t≥ 0ZteДsds<∞,中兴通讯ψsds<∞,ZtZR | ew（s，q）| mp，H（dt，dq）<∞ Q- a、 设M为a（P，H）-局部鞅，thenfM：=MeL-1是a（Q，H）-局部马丁盖尔，其中ELT：=E[Lt | Ht]=dQdPHt，t≥ 0.考虑到（A.3），我们有thateL solvesdeLt=-英语教学πt（β）σdIt+πt（α（ηt，·））dIt,eL=1，通过将乘积公式应用于M=fMeL，我们很容易得到thatdMt=fMt-deLt+eLtdfMt+dhfMc，eLcit=（eLte^1t- Mtπt（β）σ）dIt+（eLteψt- Mtπt（α（ηt，·）））dIt+ZRew（t，q）eLtmπ（dt，dq）。综上所述，我们只需设置Дt：=eLteДt-Mtπt（β）σ，ψt：=eLteψt- Mtπt（α（ηt，·）），w（t，q）：=ew（t，q）eLt。理论证明3.6。为了推导由πt=（πt（i）求解的滤波方程；我∈ S） t型≥0，我们采用创新方法（例如，参见[4]第四章）。

在这个证明中，我们将使用两个众所周知的事实：（i）对于每个F-鞅m，H上的投影是一个H-鞅；也就是说，^mt:=E[mt|Ht]，t≥ 0，是H-鞅；（ii）对于任何F-逐步可测可积过程ψ，我们有ZtψsdsHt公司-中兴通讯ψsHs公司Ds是一个H鞅。28 CALLEGARO，CECI，FERRA Rit创新方法的第一步在于编写过程1{Zt=i}，i∈ S、 作为半鞅。用状态过程Z的马尔可夫产生器表示，我们得到了lzfi（j）=Xk∈Sλkifk（j），i，j∈ S、 其中fk（j）=1{j=k}。因此，对于任何i∈ S、 我们可以写{Zt=i}=fi（Zt）=fi（Z）+ZtLZfi（Zs）ds+mt（i），其中（mt（i））t≥0是F-鞅。通过取关于Ht的条件期望，并使用上述（i）和（ii），我们得到（A.5）πt（i）=yi+ZtXk∈SλkiπS（k）ds+Mt（i），其中M（i）是零的H-鞅null。命题3.5确保了过程ψ（i）和Д（i）的存在，它们是H可预测的，wi是H可预测的，并由R索引，这样（A.6）Mt（i）=Ztψs（i）dIs+ZtДs（i）dIs+ZtZRwi（s，q）mπ（ds，dq），e[Rtνs（i）ds]<∞, E[Rtψs（i）ds]<∞ 和E[RtRR | wi（s，q）| mp，H（dt，dq）]<∞, t型≥ 要得到方程（3.14），只需证明ψs（i）=πs（i）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）o，Дs（i）=πs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）owi（s，q）=wπi（s，q）- πs- （i） wπigiven in（3.15）。遵循文献[11]中定理3.1的证明，我们可以通过施加以下等式来推导过程ψ（i），Д（i）的结构我∈ S、 E[fi（Zt）fWt | Ht]=πt（i）fWt，E[fi（Zt）eBt | Ht]=πt（i）eBt，其中fw和b是（A.2）中定义的H-布朗运动。为了推导wi的表达式，我们考虑一个形式为Γt=RtRRγ（s，q）m（ds，dq）的有界过程Γ，γH-可预测过程由R索引。由于Γ是H-适应的，等式（a.7）我∈ S、 E[fi（Zt）t | Ht]=πt（i）方法。

通过应用乘积规则（考虑到Z和N之间没有公共跳跃），我们得到（fi（Zt）Γt）=fi（Zt- )dΓt+Γt- dfi（Zt）=Γt- LZfi（Zt）dt+ZRfi（Zt- )γ（t，q）mp，F（dt，dq）+MFt，其中mp，F（dt，dq）是（3.12）中给出的m（dt，dq）的F-对偶可预测投影，MFis anF鞅。通过对Ht的投影，并用MHan H-鞅表示，我们得到了（A.8）dE[fi（Zt）t | Ht]=Γtπt（LZfi）dt+λN（i）πt-（i） γ（t，c（ηt-, i） ）1{c（ηt-,i） 6=0}dt+MHt。另一方面，乘积法则和（A.5）和（A.6）屈服强度d（πt（i）Γt）=πt- （i） dΓt+Γt- dπt（i）+dhπ（i），Γit=Γtπt（LZfi）dt+Γt- dMt（i）+ZRγ（t，q）wi（t，q）m（dt，dq）。回顾mp，H（dt，dq）是（3.11）中给出的m（dt，dq）的H-对偶可预测投影，我们发现（A.9）d（πt（i）Γt）=Γtπt（LZfi）dt+ZRγ（t，q）wi（t，q）mp，H（dt，dq）+MHt，其中，MHt也是H-鞅。公共债务控制在部分信息29收集方程（A.7）、（A.8）和（A.9）下，我们得到了A.e.t的That≥ 0λN（i）πt- （i） γ（t，c（ηt- , i） ）1{c（ηt-,i） 6=0}=QXj=1πt- （j） λN（j）γ（t，c（ηt- , j） ）1{c（ηt-,j） 6=0}（πt- （i） +wi（t，c（ηt- , j） ））。现在选择γ（t，q）的形式γ（t，q）=CtA（q）1t≤Tn，C，任意有界，H-可预测，正过程和da∈ B（R）。观察Γ自| t |起有界≤Rt公司∧TnCsdNs≤ Dn，Da为正常数。那么以下等式适用于{t≤ Tn} ∈ B（R），ZAνt（i，dq）=ZA（πt- （i） +wi（t，q））νt（dq），其中我们设置了νt（i，dq）：=λN（i）πt- （i） 1{c（ηt-,i） 6=0}δc（ηt-,i） （dq），νt（dq）：=QXi=1νt（i，dq）。因此，在{t≤ Tn}，wπi（t，q）=wi（t，q）- πt- （i） =dνt（i，dq）νt（dq），我∈ S、 最后，由于计数过程N是非爆炸的，因此Tn↑ ∞ a、 s代表n↑ ∞, 这个结果是（3.15）。命题证明3.10。根据命题3.7，方程（3.14）和（3.21）等价于连续跳跃时间之间递归方程的系统，即t∈ [总氮，总氮+1），n=0，1。