部分观测条件下公共债务的最优削减

后一个方程右侧的随机变量与n无关，并且由于（4.10）可积。此外，通过部分集成和执行标准估计，我们可以编写a.s.e-ρτnεbXx，yτnε-bXxn，ynτnε≤ |x个- xn |+Z∞e-ρsρ+|β+| g- g级|bXx，ys+bXx+δ，y-δsds，上面的最后一个积分与n无关，并且由于（4.10），它具有有限的期望值。然后，将极限取为n↑ ∞, 根据前面的估计调用支配收敛定理，并使用（x，y）7→ （bXx，yt，πyt）对于任何t都是a.s.连续的≥ 0我们发现（重新排名后）LIM infn↑∞v（xn，yn）≥ v（x，y）- ε.因此，通过ε的任意性，我们得出v在（x，y）处是下半连续的结论。自（x，y）∈ O也是任意的，那么v在O上是下半连续的。根据命题4.3-（iii），一个人认为停止区域是闭合的，而连续区域是开放的。此外，由于（4.10）和t 7的P（x，y）-a.s连续性→Rte公司-ρsbXs（h′（bXs））-(ρ - β- （g）- g） πs）ds，我们可以应用[34]附录D中的定理D.12，得出（bX，π）到s的第十个时间对于（4.4）是最优的；即，（4.12）τ（x，y）：=inft型≥ 0：（bXt，πt）∈ S, P（x，y）- a、 s.，（x，y）∈ O、 达到（4.4）中的上限（这里我们采用通常的惯例inf = ∞).此外，通过采用基于（bX，π）的s-trong-Markov性质的标准平均值（参见，例如，[40]，Ch.I，Sec.2，Thm.2.4），可以表明，P（x，y）-a.s.，过程s：=St公司t型≥0，承受：=e-ρtv（bXt，πt）+中兴通讯-ρsbXsh′bXt公司dt公司t型≥0是一个H-子鞅，并且停止的进程（St∧τt型≥0是H-鞅。后两个条件通常被称为值函数v的次调和特征。我们现在排除了空停止区域的可能性。引理4.4。（4.6）的停止区域不为空。证据我们通过矛盾论证，我们假设S=.

因此，对于任何（x，y）∈ O我们可以写x>v（x，y）=E（x，y）Z∞e-ρtbXth′（bXt）dt≥ KoxγE（1，y）Z∞e-ρtbXt公司γdt-Kρ，（4.13），其中不等式xh′（x）≥ 由于h的凸性，使用了h（x）和h上假定的增长条件（参见假设4.1）。现在，通过假设x足够大，我们得出了一个矛盾，因为γ>1。因此S 6=. 部分信息下的公共债务控制17提案4.5。对于任何y∈ （0，1）let（4.14）d（y）：=inf{x>0:v（x，y）≥ x} ，其中约定inf = +∞ 已使用。然后（i）（4.15）C={（x，y）∈ O:x<d（y）}和S={（x，y）∈ O:x≥ d（y）}；（ii）y 7→ d（y）增加并保持连续；（iii）存在0<x< x个< ∞ 对于任何y∈ [0，1]（h′）-1.ρ - β) ∨ x个≤ d（y）≤ x个.证据（i） 。为了证明（4.15）成立，必须证明如果（x，y）∈ S、 然后（x，y）∈ 任何x的S≥ x、 设τε：=τε（x，y）是v（x，y）的ε-最优停止时间。然后，利用bxx，yt=xxbXx，yt的偏差≥bXx，yta。s、 h′的单调性，我们可以从（4.7）0≥ v（x，y）- x个≥ EZτεe-ρtbXx，yth′型bXx，yt- (ρ - β- （g）- g） πyt）dt公司- ε≥xxE型Zτεe-ρtbXx，yth′型bXx，yt- (ρ - β- （g）- g） πyt）dt公司- ε(4.16)≥xx号v（x，y）- x个- ε = -ε.因此，通过ε的任意性，我们得出结论（x，y）∈ S也是如此，因此（4.14）中的d将（4.15）中的C和S分开。（二）。Let（x，y）∈ C、 自y 7起→ v（x，y）按命题4.3-（ii）递减，由此得出（x，y）∈ C代表任何y≥ y、 这反过来意味着y 7→ d（y）正在增加。y 7的单调性→ d（y），加上S是闭的，然后用标准参数给出所声称的左连续性。（iii）。设Θxt：=x exp(β-σ+（g-g） ）t+σIt, 并引入一维最优停止问题V（x） ：=in fτ≥0EZτe-ρtΘxth′（Θxt）dt+e-ρτΘxτ, x>0。（4.17）因为g-g<0，h′增大，πyt≤ 1 a.s。

对于所有t≥ 0和y∈ （0，1），不难看出v（x，y）≥ v（x） 对于任何（x，y）∈ O、 通过类似于证明（i）的论点，我们可以证明存在x例如{x∈ (0, ∞) : v（十）≥ x} ={x∈ (0, ∞) : x个≥ x个}. 事实上，通过像引理4.4的证明那样的论证，我们可以知道后一个集合不是空的。那么下面的内含物含有{x∈ (0, ∞) : x个≥ x个}  {（x，y）∈ O:v（x，y）≥ x} ={（x，y）∈ O:x≥ d（y）}，这反过来表明d（y）≤ x个对于所有y∈ (0, 1). 因此，d（y）≤ x个对于所有y∈ [0，1]，通过设置D（0+）：=石灰↓0d（y）按单调性，d（1）：=limy↑0d（y）左侧连续性。至于d的下限，请注意（4.9）意味着（4.18）d（y）≥ （h′）-1.ρ - β- （g）- g） y型=: ζ（y），y∈ （0，1），其中（h′）-1（·）是严格递增函数h′：[0，∞) 7.→ (0, ∞) （注意ρ-β-（g）-g） y型≥ 0，因为ρ>β，g-g<0，y>0）。自（h′）-1正在严格增加-（g）- g） y型≥ 0，我们可以从（4.18）得出结论，d（y）≥ （h′）-1.ρ - β） 对于每个y∈ [0, 1].此外，设置ψxt：=x exp{（β-σ） t＋σIt}并引入一维最优停止问题v（x） ：=in fτ≥0EZτe-ρtψxth′（ψxt）dt+e-ρτψxτ, x>0，（4.19）一个有v（x，y）≤ v（x） 对于任何（x，y）∈ O、 按照上面使用的参数，最后一个不等式意味着d（y）≥ x个对于所有y∈ [0，1]，其中x:= inf{x>0：v（十）≥ x}∈ (0, ∞). 18 CALLEGARO，CECI，FERRA RI4.1.2。自由边界的光滑拟合性质和连续性。我们现在的目标是进一步证明v和自由边界d的正则性。二阶线性椭圆微分算子L：=β+（g- g） y型x个x+σxx个+λ- （λ+λ）yy型+(α- α） +（g-g） σy（1-y）y、 （4.20）作用于任何功能f∈ C（O）是该过程的微型发生器（bX，π）。

过程的简并性（bX，π）上的n、（4.20）中系数的光滑性，以及v的ic表征上的亚危害，允许通过标准参数（参见，例如，[40]，第3章，第7.1节）和椭圆偏微分方程的经典正则性结果（参见，例如，[27]）证明上述结果。引理4.6。（4.4）的值函数v严格地属于C和S内部的C（即远离边界C/C）。此外，在C中，它唯一求解（4.21）L- ρ） v（x，y）=-xh′（x），L如（4.20）所示。我们通过证明（4.4）的值函数属于C（（0，∞)×(0, 1)).这将通过概率方法获得，该方法依赖于过程（bX，π）停止集S的规律性（在使用过程中）（参见[17]，其中该方法是在一般情况下最近开发的；f或其他示例参见[16]和[31]）。回想一下，S的边界点相对于（bX，π）if是正则的（参见定义2.9 p.249 in【33】）（4.22）bτ（xo，yo）：=inf{t>0：（bXxo，yot，πyot）∈ S} =0 a.S。（xo，yo）∈ C、 时间bτ（xo，yo）是（bXxo，yo，πyo）到S的第一次击中时间。请注意，对于每个有界Borel函数f:R7→ R有E（x，y）f（bXt，πt）= E（u，y）f（eUt，πt）,其中u：=ln（x）和Ut：=ln（bXt）是这样的dUt=β+（g- g） πt-σdt+σdIt。由于过程（U，π）的非泛型性及其系数的光滑性和边界性，我们得到（U，π）具有连续的跃迁密度bp（·，·，·；U，y），（U，y）∈ R×（0，1），使得对于任何t≥ 0和（u′，y′）∈ R×（0，1）（参见，例如，[1]）Mtexpn- λ（u）- u′）+（y- y′）到≥ bp（t，u′，y′；u，y）≥mtexpn- Λ（u）- u′）+（y- y′）至，（4.23），对于某些常数M>M>0和∧>λ>0。由此得出（u，y）7→ E（u，y）f（eUt，πt）是连续的，所以（U，π）是一个强Feller过程。

因此，（bX，π）也是强Feller，因此我们可以得出结论，（4.22）成立当且仅当（见[18]，第32-40页）（4.24）τ（xn，yn）→ 0 a.s.每当C （xn，yn）n→ （xo，yo）∈ C、 其中τ如（4.12）所示。下一个位置显示（4.22）的有效性。提案4.7。中的边界点C是S相对于（bX，π）的正则表达式；也就是说，（4.22）保持不变。证据Let（xo，yo）∈ C、 并设置uo：=ln（xo）。如上所述，利用U，我们设置bσ（uo，yo）：=bτ（euo，yo），（uo，yo）∈ R×（0，1），我们根据过程（U，π）asbσ（uo，yo）：=inf{t>0:Uuo，yot等价地重写（4.22）≥ ln（d（πyo）}=0 a.s。（uo，yo）使得uo=ln（d（yo））。考虑到y 7→ ln（d（y））正在增加（从y 7开始→ d（y）是这样的），那么区域b：={（u，y）∈R×（0，1）：u≥ ln（d（y））}具有所谓的锥性质（见[33]，第250页）。特别是，在部分信息19下的公共债务控制，我们总是可以构造一个顶点位于（uo，yo）且孔径为0的圆锥体≤ φ ≤ π/2 s uch thatCo∩（R×（0，1））bS，以及任何to≥ 我们可以写出（4.25）P（bσ（uo，yo）≤ 收件人）≥ P（（Uuo，yoto，πyoto）∈ Co）。然后使用（4.23）一个搭扣（（Uuo，yoto，πyoto）∈ Co）=ZCobp（to，uo，yo；u，y）dudy≥ZComtoe公司-∧（（u-uo）+（y-yo））todudy=mZCoe-Λ（u′）+（y′）杜迪=：l > 0，（4.26），其中我们使用变量u′的变化：=（u- uo）/√toand y′：=（y- 哟）/√tomaps thecone Cointo自身。号码l 以上取决于uo、yo，但它独立于to。从（4.25）和（4.26）我们得到P（bσ（uo，yo）≤ 收件人）≥ l, 并允许↓ 我们得到P（bσ（uo，yo）=0）≥ l > 然而，{bσ（uo，yo）=0}∈ H、 根据Blumenthal的0-1定律，我们得到P（bσ（uo，yo）=0）=1，这就完成了P屋顶。定理4.8。一个有那个v∈ C（O）。证据由于引理4.6，值函数严格属于连续区域内的C，它是C∞严格在v=x的stoppin g区域内。

因此，只剩下证明v在C、 在下面，我们将证明：（i）函数w：=x（v- x） 对x有连续导数C（这显然意味着VxCross的连续性C） ；（ii）在整个C、 （i）VxCross的连续性C、 对于后续参数，请注意函数w=x（v- x） 允许表示（回忆（4.7））（4.27）w（x，y）=infτ≥0EZτe-ρtbX1，yth′型bXx，yt-ρ -β-（g）- g） πysds公司,记住，最佳停车时间τ对于v，如（4.12）中所述，也适用于w，因为v≥ x当且仅当ifw≥ 我们现在证明了wxis在C、 因此意味着VxCross的持续性C、 取（x，y）∈ C、 让ε>0等于x- ε > 0. 自x 7起→ w（x，y）在增加（由于h′的单调性），很明显（x-ε、 y）∈ C也是。用τ表示ε（x，y）：=τ（十）-ε、 y）W（x）的最佳停车时间-ε、 y），注意τε（x，y）是w（x，y）和τ的最佳值ε（x，y）→ τ（x，y）a.s.为了简化下面的阐述，我们写τε:= τε（x，y）和τ:= τ（x，y）。然后我们可以从（4.27）0开始写入≤w（x，y）- w（x）- ε、 y）ε≤εEZτεe-ρtbX1，yth′型bXx，yt- h′型bXx公司-ε、 年初至今dt公司= EZτεe-ρt（bX1，yt）h′\'bXξε，ytdt公司,对于某些ξε∈ （十）- ε、 在最后一步中，我们使用了中值定理，实际上是bxx，yt-bXx公司-ε、 yt=εbX1，yt。设置ε↓ 0，调用支配收敛定理（感谢ρ>γβ+σγ(γ -1)∨2β+ σ假设4.2），并使用∈ C（C）（自v起）∈ C（C）），然后我们从后者中发现（4.28）0≤wx（x，y）≤ EZτe-ρt（bX1，yt）h′\'bXx，ytdt公司.设now（xo，yo）是属于C

将（4.28）中的限值取为（x，y）→ （xo，yo），通过支配收敛定理和命题4.7，我们得到0≤ lim inf（x，y）→（xo，yo）∈Cwx（x，y）≤ lim sup（x，y）→（xo，yo）∈Cwx（x，y）≤ 0，从而证明wxis在C、 这立即意味着VxCross的连续性C、 回顾v=x（w+1）。20 CALLEGARO、CECI、FERRA RI（ii）vyacross的连续性C、 再次拍摄（x，y）∈ C、 设ε>0，使得y+ε<1。自7年以来→ v（x，y）在减小（参见命题4.3-（ii）），很明显（x，y+ε）∈ C也是。用τ表示ε（x，y）：=τ（x，y+ε）v（x，y+ε）的最佳停止时间，注意τε（x，y）次优于v（x，y）和dτ（x，y+ε）→ τ（x，y）a.s.asε↓ 为了简化符号，我们在下面写τε代替τε（x，y）。根据命题4.3-（ii）和（4.7），我们可以写出0≥v（x，y+ε）- v（x，y）ε≥εEZτεe-ρtbXx，y+εthh′bXx，y+εt-ρ - β- πy+εt（g- g）idt公司-εEZτεe-ρtbXx，ythh′bXx，yt-ρ - β- πyt（g- g）idt公司=εEZτεe-ρthbXx，y+εth′bXx，y+εt-bXx，yth′bXx，ytidt公司-Zτεe-ρt（ρ-β)bXx，y+εt-bXx，ytdt公司!+εEZτεe-ρt（g- g）bXx，y+εtπy+εt-bXx，ytπytdt公司.现在，加减E[Rτεe-ρtbXx，y+εth′（bXx，yt）dt]和（g- g） E[Rτεe-ρtbXx，y+εtπytdt]在后者的右侧，并回忆一下（g- g） <0，thatbXx，yt≥ 每t 0 a.s≥ 0，以及（πy+εt- πyt）≥ 每t 0 a.s≥ 0

然后，在重新排列项并应用积分中值定理（对于某些Lεt∈ （bXx，y+εt，bXx，yt）a.s.），我们从上面的方程中得到0≥v（x，y+ε）- v（x，y）ε≥εEZτεe-ρtbXx，y+εthh′bXx，y+εt- h′型bXx，ytidt公司+εEZτεe-ρtbXx，y+εt-bXx，ythh′型bXx，yt-ρ - β- πyt（g-g）idt公司-ε| g- g | EZτεe-ρtbXx，y+εtπy+εt- πytdt公司(4.29)≥εEZτεe-ρtbXx，y+εt-bXx，ytbXx，y+εth′\'Lεt+ h′型bXx，ytdt公司-ε| g- g | EZτεe-ρtbXx，y+εtπy+εt- πytdt公司.在上一个等式中，我们使用了ρ- β- πyt（g- g）≥ 0，因为根据假设4.2ρ>β，所以g- g<0，且bxx，y+εt≤bXx，yt。立即确定πyt：=ε（πy+εt- πyt），t≥ 注意，通过使用（4.2）中的第二个等式，我们可以πyt=-(λ+ λ)πytdt+πyt1.- πy+εt- πyth（g- g） σdIt+（α- α） dIti，t>0，带πy=1。借助It^o公式，可以很容易地显示（4.30）πyt=expn-（λ+λ）t-θZt1.-πy+εs-πysds+Zt1.-πy+εs-πysh（g- g） σdIs+（α-α） dIsio，带θ：=（g）-g） σ+（α- α), 求解之前的随机微分方程。此外，通过（4.3）和simp le代数，（4.31）εbXx，y+εt-bXx，yt=bXx，yteε（g-g） Rt公司πysds- 1ε!.部分信息21下的公共债务控制采用以下定义：πytand（4.31）in（4.29），并使用thatbXx，y+εt≤bXx，yt，一个文件0≥v（x，y+ε）- v（x，y）ε≥ EZτεe-ρtbXx，yteε（g-g） Rt公司πysds- 1ε··bXx，yth′\'Lεt+ h′型bXx，ytdt公司-|g级- g | EZτεe-ρtbXx，ytπytdt.（4.32）我们现在的目标是将限值取为ε↓ 0英寸（4.32）。为此，请注意πyt→ Zyta。s、 对于allt≥ 0，作为ε↓ 0，其中，根据[42]第V.7章中的定理39，（Zyt）t≥0是g解决方案上的唯一str to（4.33）dZyt=-（λ+λ）Zytdt+Zyt（1- 2πys）（g）- g） σdIt+（α-α） dIt公司, t>0，Zy=1。

那么，如果允许我们在极限为ε时调用支配收敛定理↓ 0在（4.32）中，我们将获得0≥vy（x，y）≥ （g）- g） E类Zτe-ρtbXx，ytZtZysds公司bXx，yth′\'bXx，yt+ h′型bXx，ytdt公司- |g级- g | EZτe-ρtbXx，ytZytdt,（4.34）回顾v∈ C（C）。因此，让（xo，yo）是属于C、 将（4.34）中的限值取为（x，y）→ （xo，yo），通过支配收敛定理，并借助于Proposition4.7，我们得到了0≥ lim sup（x，y）→（xo，yo）∈Cvy（x，y）≥ lim inf（x，y）→（xo，yo）∈Cvy（x，y）≥ 0，从而证明vyis在C、 为了完成证明，只需证明当极限为ε时，支配收敛定理确实可以应用↓ 0英寸（4.32）。这就是我们将在以下两个技术步骤中展示的内容。第1步。证明在取ε时可以调用支配收敛定理↓ 0在（4.32）右侧的第一个期望值中，我们设置∧ε：=Zτεe-ρtbXx，yteε（g-g） Rt公司πysds- 1εbXx，yth′\'Lεt+ h′型bXx，yt我们证明了随机变量族{∧ε，ε∈ (0, 1-y） }在L中有界(Ohm, F、 P），Hence一致可积。注意，根据假设4.1-（ii）和Lεt≤bXx，yta。s、 ，其中一个有a.s。

对于任何t≥ 0bXx，ythbXx，yth′\'Lεt+ h′型bXx，yt我≤黑色1 +bXx，ytγ∨2.,对于一些常数k>0（与ε无关），因此通过Jensen不等式Λε≤bKρZ∞ρe-ρt1.- eε（g-g） Rt公司πysdsε1 +bXx，yt2γ∨4.dt。然后，接受期望并应用H¨older不等式Λε我≤ K′EZ∞e-ρt1.-eε（g-g） Rt公司πysdsεdt公司EZ∞e-ρt1 +bXx，yt4γ∨8.dt公司,（4.35）对于一些其他常数K′>0，与ε无关，下面的常数将从直线到直线变化。标准不等式1-e-x个≤ x、 x=ε（g-g） Rt公司πysds≥ 0，允许我们从（4.35）继续并写入Λε我≤ K′EZ∞e-ρtZt公司πysdsdt公司EZ∞e-ρt1 +bXx，yt4(γ∨2)dt公司.（4.36）22 CALLEGARO、CECI、FERRA RIWe现在分别处理（4.36）中的两个期望值。首先，请注意Jensen\'sinequality（4.37）Zt公司πysds=tZtt公司πysds≤ 坦桑尼亚先令πysds。其次，由于(πy），我们可以调用Fub-ini-Tonelli定理，也可以使用（4.37），obtainEZ∞e-ρtZt公司πysdsdt公司≤ EZ∞e-ρttZt公司πysds公司dt公司=ρZ∞e-ρsρs+3ρs+6ρs+6呃πysID。（4.38）我们现在的目标是评估上面最后一个积分中的期望值。为此，请注意，通过将It^o公式应用于过程ξyt：=(πyt），并使用（4.30），对于任何t>0dξyt=ξyt-(λ+ λ) + 12θ(1 -πy+εt-πyt）dt+4ξyt（1-πy+εt-πyt）（g）- g） σdIs+（α-α） dIs公司,ξy=1和θ=（g）-g） σ+（α- α). 因为（1- πy+εt- πyt）≤ 2 a.s.适用于所有t≥ 0，ξyt=e-（λ+λ）t+12θRt（1-πy+εt-πyt）dsMyt，其中（Myt）t≥0是指数鞅，很容易看出（4.39）E(πyt）≤ e-（λ+λ）t+24θt，t≥ 使用（4.38）中的后一个估计，结合假设4.2，我们推断（4.40）supε∈(0,1-y）EZ∞e-ρtZt公司πysdsdt公司< ∞.对于（4.36）中的第二个预期，假设4.2和d标准估计采用（4.3）（以及（g-g） Rtπysds<0）保证它是有限的。此外，它与ε无关。