市场分割和市场整合：中的多重稳态

我们使用以下特定参数设置：o在这两个玩家中，玩家i=1总是购买，而玩家i=-1始终销售（pB=1，p-1B=0）。o投标/询价具有确定性，即b~ N（ub，0），a~N（ua，0），其差值固定为ub-ua=1。o每个市场的交易价格设定为[26]，πm=hai+θm（hbi- hai）。o我们假设市场偏差是对称的：（θ，θ-1) = (θ, 1 - θ） 式中θ∈ [0, 0.5].我们之前的工作【26，27】简化了投标和询价的确定性，使我们能够专注于市场选择的协调，并且不会在质量上改变系统的行为。然后，确定性订单价格也使交易价格具有确定性：πm=ua+θm（ub- ua）=ua+θm。我们可以将吸引力更新规则1总结为aim（n+1）=（1- r） 目标（n）+rSim（n），如果代理i在第n轮中未选择市场m，则Sim（n）=0。此广义分数完全由对手的市场选择决定：Sim（n）=δmi（n），mδm-i（n），m∑im，（4），其中m(-)i（n）表示（共同）参与者选择的市场(-)交易期间i n和∑im=（ub）- πm=1- θm，i=1πm- ua=θm，i=-1（5）根据市场和代理类型对相关非零分值进行编码。代理选择市场的logit分配（2），即N=2toPim（N）=1+exp(-βmi（n））=σβ（mi（n）），其中σβ（z）=[1+exp(-βz）]-1是逻辑乙状结肠。选择概率并不取决于这两个市场各自的吸引力，而只取决于它们的差异i=Ai- 艾岛-1、后者更新为i（n+1）=Ai（n+1）- 艾岛-1（n+1）=rSi（n）+（1- r） Ai（n）-rSi指数-1（n）+（1- r） 人工智能-1（n）.随机变量因此，i（n+1）取决于代理人在交易轮n、mi（n）和m中的选择-i（n），从依赖于i（n）和-i（n）。

这种情况简化了长内存限制r→ 0，其中吸引力差异变化非常缓慢，以平均随机波动。然后可以有效地替换δmi（n），1其期望值σβi（n）（对于-我和其他市场选择）的得分（4）。这给了i（n+1）=rhσβi（n）σβ-i（n）∑i- σβ-i（n）σβ--i（n）∑i-1i+（1- r）i（n），可进一步简化为：i（n+1）- i（n）r=-i（n）+hσβi（n）σβ-i（n）∑i- σβ-i（n）σβ--i（n）∑i-1i。如果我们切换到重新标度的时间t=nr，则l.h.s.上的最终差异将变为小r限制的导数，单位时间间隔对应于1/r的刻度周期：t型i（t）=- i（t）+hσβi（t）σβ-i（t）∑i- σβ-i（t）σβ--i（t）∑i-1i。简化这对微分方程的一个方便的变量变化是（t） =ξ（t）+ρ（t）和-1（t）=ξ（t）- ρ（t），经过一些代数运算和利用市场对称性，得出tξ（t）=-ξ（t）+sinh（βξ（t））cosh（βξ（t））+cosh（βρ（t）），（6）tρ（t）=-ρ（t）+1- 2θcosh（βξ（t））cosh（βξ（t））+cosh（βρ（t））。注意ξ=(+ -1） /2描述了两个代理的吸引力差异的平均值，而ρ=(- -1） /2捕获它们之间的偏差。为了理解动力学，我们首先考虑其执行点，需要满足ξ*=sinh（βξ*)cosh（βξ*) + cosh（βρ*), (7)ρ*=1.- 2θcosh（βξ*)cosh（βξ*) + cosh（βρ*).如果ξ*= 0，在这种情况下，ρ的方程*具有唯一的解决方案，其符号取决于1的符号- 2θ. 当市场1对买方有利时（θ<0.5），ρ*将是积极的。

像±1= ±ρ*, 这可以解释为一种状态，在这种状态下，买方和卖方了解哪个市场对他们有利，从而对相反的市场有偏好。(是积极的意思，即买方玩家1更喜欢市场1，这对买方有利。）正如我们将很快看到的，这种解决方案仅在代理人的市场选择动态很大程度上是随机的低强度选择情况下才稳定。随着β的增加，出现不稳定性的直觉是，如果代理商完全遵循其对相反市场的吸引力，他们将永远无法进行交易。溶液的稳定性（ξ*= 0, ρ*) 可以通过将动力学方程（6）线性化来研究，从而得出稳定性准则β1+cosh（βρ*)≤ 1.以原始变量表示i、 解决方案1.*+ -1.*= 只要β1+cosh（β(1.*- -1.*)/2)≤ 1.（8） 这种稳定性条件与参考文献[34]中的条件完全相同，因为我们遵循的学习动力学本质上是相同的，只是在确定性回报的细节上有所不同。我们在图1中说明，对于满足稳定性标准（8）的低强度选择，到目前为止讨论的固定点是唯一的一个。β较高时，违反了标准，出现了两个新的稳定固定点。在这里，代理商的吸引力差异是相同的，即他们更喜欢去同一个市场。即使市场1青睐买家，而市场-1有利于卖方。图1：。两个交易者动态：流动图（6）（a）选择强度β=2，具有唯一的固定点，其中主体在很大程度上随机决定；（b）β=6，具有两个新的固定点，指示协调状态出现的位置。

对于使用的市场偏差，θ=0.3，出现配位状态的临界选择强度为βc=4.16。乍一看，似乎令人费解的是，对于高强度的选择，其中一位代理人决定不那么执着地选择他将获得较低分数的市场。然而，这种行为模式实际上最大限度地增加了交易的数量。在低β区，所有四对市场选择的可能性都相同：（m，m-1) ∈{(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1.-1） }但只有第一个和最后一个允许交易。另一方面，在高β区，当两个代理都坚持选择相同的市场时，他们总是可以进行交易，尽管其中一个交易方的回报总是较低。对于图1中使用的市场参数，（θ，θ-1） =（0.3，0.7），得分较低的代理将获得0.3分，而另一个代理将获得0.7分。这必须与低β下的平均收益进行比较，通过对四个市场选择对进行平均，可以看出低β下的平均收益为（θ+θ-1) =. 因此，很明显，两个代理人在协调制度下的收入都高于随机选择。我们可以通过从大量随机选择的代理区域开始，跟踪当β增加时首先违反稳定性条件（8）的区域，找到代理将协调的参数θ和β域（图2（a））。正如在人口众多的情况下[27]，我们观察到βC随着市场差异或偏见的增加而增加。因此，协调所需的市场之间的对称性打破并不是由市场之间的差异驱动的。事实上，对于具有两个相同市场（θ=0.5）的系统，协调阈值是最低的。有人可以通过这样的说法来解释这一点：代理商最乐意在这一限制内的某个市场进行协调，因为他们都不需要满足于更低的价格。

Weshow此设置的平均回报率-一对交易员在两个无偏市场之间进行选择-如图2（b）中的β函数所示。一个观察到低β的预期平均得分为1/4；随着β的增加，代理人有效地认识到，在单一市场上进行协调可以实现更多的交易，从而获得更高的平均回报。图2：。两个交易者：（θ，β）相图和收益。（a） 不同选择强度和市场偏差（β和θ）的协调和犹豫不决区域。（b） 在两个公平市场θ=0.5的系统中，不同β的回报率。（c） ：市场偏差θ=0.3时不同β的回报。在临界βc=4.16时，两种试剂在配位状态下的平均回报率高于在低β固定点（黄色虚线）下的平均回报率，但其中一种试剂的回报率需要更低。在图2的面板（c）中，我们展示了两个有偏市场（θ=0.3）的类似结果。我们绘制了个体代理人在一个市场协调状态下的报酬和平均值，并将其与随机低β状态下的报酬进行比较。作为参考，我们还绘制了后者在较大β（不稳定）处的延续图。值得注意的是，在这一分支上，回报率随着β的增加而减少：代理商对相反市场的偏好越高，他们在同一市场上的会面次数就越少。这导致在越来越多的交易回合中，双方都获得了零回报，拖累了平均回报。相比之下，在协同状态下，平均回报随着β的增加而增加，即随着代理做出越来越明确的选择。有趣的是，图2（c）显示，平均回报率的增加伴随着各个代理回报率之间的差异越来越大。

我们的模型中可能会出现这些支付差异，因为代理人不知道对方球员的回报，只根据自己的得分做出决定。借用largesystem limit（27）的术语，我们将称该代理为高回报驱动的代理，另一个是数量驱动的代理。值得注意的是，在图2（c）中，存在一个β范围，其中量驱动型代理的平均回报率不仅低于回报导向型代理的平均回报率，而且低于两个代理在（不稳定）不协调状态下可能实现的假设回报率；随着市场变得更加偏袒，这一趋势开始恶化。直觉上，回报驱动型玩家对他可以赚更多钱的市场有着强烈的偏好。其他经纪人偶尔会尝试其他市场，但通常不会在那里交易。由于这会导致零回报，他更倾向于坚持协调选择，这会带来低回报，但至少是非零回报。迄今为止研究的两个代理系统可以映射到两个参与者博弈：市场无偏时的对称纯协调博弈，以及市场对称有偏时的性别之战。对于这些博弈，我们知道这两个配位状态对应于纯纳什均衡，参见例[35]。在对称纯协调博弈中，这两个都是无嫉妒的（即，两个代理人的收入相同），但在两性之战中并非如此——这与我们看到的无偏见和有偏见市场之间的差异是一致的，而灰平衡对应于β→ ∞ 协调状态的限制。也存在混合纳什均衡。这些对应于β的延续→ ∞ 对称纯协调博弈的非协调状态，但不是其他。

通过修改学习规则，可以获得与纳什均衡的完全对应关系，从而保持对未选择市场的吸引力不变。这可以被解释为“好斗的游戏”，并在[36]中进行了更详细的讨论。上述结果可以推广到没有严格的买方和卖方规则，而是以一定概率决定购买的交易者。Weassume对称购买偏好，pB=1-p-1B=pB。为了进行交易，代理商现在需要在同一市场上，并且需要提交相反的（买卖）订单。由于购买偏好固定，这只会将∑im从（5）更改为∑im=piB（1- p-iB）（1- θm）+（1- piB）p-iBθm.（9）要看到这一点，请注意代理i收到买方付款f 1- θm当他扮演买方角色（与Prob piB一起），而对方扮演卖方角色时；（s） healso还将收到相反配置中的卖方付款。重复上述计算，然后发现固定点条件（7）都获得了pBB+（1）的系数- pB），而稳定性条件如图3所示。两个交易者：协调阈值作为θ和pB的函数）。请注意，所有系统参数的阈值都是有限的，并且随着代理变得更相似，即当PB0减小到0.5时，阈值会增加。tion（8）乘以相同的系数。图3显示了由此产生的协调关键βC的轮廓。我们注意到，协调阈值随着PB1/2的接近而增加：没有强烈购买/出售偏好的代理需要更高的选择强度才能从协调状态中受益。这是有道理的，因为pB接近1/2的代理从协调ata市场中获得的收益较低：因为他们需要承担买方和卖方的角色，同一市场的交易只会以一定的概率发生，特别是pB+（1- pB）在我们的设置中，pB接近一半→ 1/2.B

四个交易者：分割的开始上文研究的两人制已经表现出一种有趣的集体现象——在市场上进行协调，以实现更多的交易，有时甚至对单个代理人进行计量。谈到碎片化，在其他方面，同质代理不会学习采用不同的策略，我们可以预期类似影响的最小系统大小为N=4。我们首先研究了两个完全相同的买家和两个完全相同的卖家，为了简单起见，我们选择了具有确定性买卖行为（piB=0或1）的代理。一个有四个代理的系统足够小，因此我们仍然可以很容易地写下市场吸引力演变的确定性方程，但足够大，以使碎片状态的第一个信号出现，因为代理可以在市场中分裂。我们再次考虑对称有偏市场，θ=1-θ-1= θ. 与之前一样，每个代理的市场选择行为由其市场吸引力差异决定g、 i.这里索引g表示代理组图4。四个代理（两个买家和两个卖家）：相图和回报。（a） 相图显示了作为选择强度β和市场偏差θ函数的稳态。暗紫色、实线右侧存在配位稳态，粉红色实线右侧存在带标记的碎片稳态。（b） 针对所有代理选择强度β的回报，以及针对回报和数量驱动代理的回报；市场偏差为（θ，θ-1) = (0.3, 0.7). 虚线显示协调状态，实线显示分段状态。

黄线显示了非协调稳定状态下的平均回报，继续（虚线）进入高β的不稳定区域。（买家或卖家），而我在每组中标记代理。对于小r，吸引力差异再次遵循确定性时间演化方程，该方程可通过遵循前一小节中的推理推导得出。唯一的区别在于所选市场的回报Sg，im（n）的计算，现在取决于所有其他参与者的选择：Sg，im（n）=δmg，i（n），mn∑gmδmg，-i（n），mδm-g、 1（n），m+δm-g、，-1（n），m+ ∑gm1.- δmg，-i（n），mδm-g、 1（n），m+δm-g、，-1（n），m- δm-g、 1（n），mδm-g、，-1（n），mo、 在上面的表达式中，∑gm表示收益的决定性部分，它仅取决于chosenmarket m和代理类型g，类似于等式（9）中的双人情况。Kroneckerδ-符号确保其他代理在同一市场m存在。该符号描述了相同类型的两个代理进入单一市场m的情况；如果在同一市场上没有相反类型的代理商，那么回报为零，∑gm如果有两个，∑gm/2如果只有一个（因为我们选择的代理商，那么只有1/2的概率被允许交易）。另一方面，当同一类型的第二个玩家不在同一市场时，如果存在至少一个相反组的玩家，则该玩家将获得全额回报。这由第二个术语描述。r的确定性方程→ 0然后使用表单t型g、 i（t）=-g、 i（t）+Xm=-1mSg，im（t），其中Sg，im（t）具有沿时间窗口平均收益的含义，因此，Sg，im（n）中的Kronecker Delta被替换为其预期值，与两个参与者的导数完全相同。

我们对这些方程进行了数值求解，发现对于低强度和中等强度的选择β，其行为类似于n=2，表明随着β的增加，从单个非协调固定点过渡到两个协调固定点；在整个范围内，每个集团内的代理商都具有相同的市场吸引力。N=4系统的新特点是，当β进一步增加时，会出现四个新的稳定状态。我们称之为“碎片化”，因为每组代理人现在“碎片化”为两个具有不同且本质上相反的市场偏好的个体。然后，两个市场由一对交易员组成，每组一人。支离破碎的固定点以稳定/不稳定对出现，为了β不稳定的足够高的值，支离破碎的已执行点变得部分支离破碎，例如，只有一个组跨市场拆分，而另一个组专门针对一个市场。由于这些固定点不稳定，我们在图4中未显示该过渡线。在图4中，我们显示了作为市场偏差θ函数的两条关键β线（协调和分割阈值），对于上述四个具有严格买卖角色的参与者的场景。协调线非常接近两名球员的协调线，这是为了进行比较。配位线和碎裂线都遵循相同的趋势，β中的阈值随着θ偏离0.5而增加。图4的右侧面板显示了不同选择强度β的返回线：虚线对应于协调状态，而实线是碎片状态下的平均值。请注意，坐标状态下的回报差异是在代理组之间，一组中的所有代理要么回报驱动，要么数量驱动。另一方面，在分散状态下，每组中有一个回报驱动和一个数量驱动的代理。