市场分割和市场整合：中的多重稳态

11); 在粉红色虚线处，首先出现了强烈的零散稳态。（a） 决定性人口（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）。深紫色线显示了协调的非碎片或弱碎片稳态的平均总体回报，粉红色线显示了强碎片态的类似情况。（b） 不确定人群（p（1）b，p（2）b）=（0.55，0.45）。深紫色线给出了部分碎片稳定状态（顶部协调，底部不协调）的平均种群回报，粉红色线给出了强碎片状态的类似结果。只要大多数人对单一市场有偏好，mented就表示。相比之下，强碎片化状态（粉红色）总是导致较低的平均人口回报。决定性和犹豫不决交易者群体所获得的回报差异，主要是因为犹豫不决的群体可以维持更多的交易，而不需要其他群体出现在市场上。这在低β的较高人口平均回报中尤为明显；在这一范围内，决定性的人群受到集团特定市场偏好的影响，这些偏好倾向于将交易者与不同市场分开，从而导致交易数量减少。此外，对于优柔寡断的群体来说，低β解的延续对于更广泛的强度选择范围来说是一种可行的稳态。灰黄线表示β区域，对于该区域，该固定点不再是真正的稳态，因为自由能在该固定点计算的有序参数下具有多重极小值。沿着这条线，优柔寡断的人口回归率不会像更具决定性的人口那样下降。在图的右侧面板中。

12我们注意到，在优柔寡断群体的转变过程中，出现了鞍结分岔，同时出现了四个新的（V，S）-解决方案（两对出现，回报相同）。顶部分支对应于协调部分碎片状态下的平均总体收益；对于较大的β值（超出所示范围），这些状态平稳过渡到弱碎片、配位状态。底部分支与未协调的部分碎片状态有关，这些状态合并为强碎片（S，S）状态以获得更大的β。有趣的是，当所有交易者随机选择时（即β=0），协调状态的高β极限下的平均总体回报也对应于平均总体回报。这是真的，因为在这两个限制条件下，每个市场上交易的代理的平均数量是相等的。有趣的是，这意味着，当引入学习时，对于低强度的选择，一个根据以前的历史做出决策的代理可能比随意玩游戏的管理者效果更差。这种影响仅在弱碎片态的大β极限下消失，但注意到在后一种情况下，一组的收入高于另一组。返回到强碎片状态，尽管有迹象表明，对于给定的β，这在长期不区分组的状态中是最好的（参见[27]中的图6），但就平均总体回报而言，这种状态优于随机交易者（β=0）。D、 动态我们现在要问的是，正如有限种群理论所预测的那样，多个稳定状态的存在对动力学有什么影响。我们以数值方式模拟了动态，对于有限N和学习率r>0，即有限记忆长度1/r。在之前的工作中，我们已经表明，该理论可以很好地预测有限种群的稳态特性（例如，参见[27]中的图4]）。

r的作用更为重要，因为它可以改变相界[27]。（从概念上讲，r→ 弱碎片状态和强碎片状态之间的0也会因r>0而丢失，并变为Acrosover。）图13：。相位边界的记忆长度依赖性。粉色线（带圆圈和虚线的实线）显示了碎片阈值，其中至少有一个稳态是碎片（弱或强）。深紫色线（深色实线和虚线）显示了存在多个稳态的区域边界。实线代表犹豫不决交易者（p（1）B，p（2）B）=（0.55，0.45），虚线代表决定性交易者（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）。对于足够小的r，即足够长的内存1/r，存在多个稳态。市场参数为（θ，θ-1) = (0.3, 0.7).在图13中，我们说明了迄今为止我们主要考虑的两个种群的两个关键相边界的r依赖性（决定性pB=0.8和不确定性pB=0.55）。我们注意到，两个种群的多重态区域都随着r的增加而缩小，而碎片线只是弱r依赖。这些线与图11中（β，pB）相图中相同颜色的线相关，图11中标记的灰线对应于→ 图13中（r，β）相图的0极限。总的来说，图13告诉我们，我们需要使用合理的小r，当pB=0.8时，一定要低于0.05，才能在数值模拟中看到多个稳态。

随着越来越慢的发展，我们在实践中选择了尽可能大的r值，同时在多个国家的制度中保持良好。在图14中，我们显示了在我们的标准市场参数（θ，θ）=（0.3，0.7）下，决定性交易人系统（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）的实际动力学的数值数据，这些数据来自于使用学习率和反向决策强度（r，1/β）=（0.05，0.16）的2000名交易员的群体的单次运行（模拟详细信息请参见[37]）。对于这些参数，图13的相位图预测了三种稳定状态的存在，两种弱碎片状态（大多数两组在同一市场协调，m=-1 orm=1）和强碎片状态（该状态在【27】中进行了研究，见图3；这是【27】中使用的较大r=0.1的唯一稳定状态）。作为两组药剂吸引分布形状的全局汇总统计，我们使用Bindercumulant[39]B=1-h类iP()3小时iP()并绘制出随时间变化的曲线图（见[27，37]中的进一步讨论）。远离强碎裂状态，这两个群的吸引子分布没有对称性，因此我们分别绘制了它们的粘合剂累积量。图14显示，系统迅速达到强烈碎片状态，粘合剂累积量接近理论预测值；微小的偏差可归因于有限的人口规模。然后，动力学从t的理论预测分支出来≈ 50，表明对于有限N，强碎裂状态仅为亚稳状态。该分离由一个代理组领导，并达到理论上预期的弱碎片状态之一≈ 500，如图14所示，根据相关粘合剂累积量和全部吸引子分布（b）的协议。我们在图中继续。

15（a）更详细地分析强碎片稳态的寿命。该图显示了在相同学习参数（r，1/β）=（0.05，0.15）下不同种群规模的粘合剂累积量时间序列，并显示寿命随系统规模的增加而增加（我们没有详细分析N依赖性；在所示范围内，它近似线性）。我们可以将其与吸引力差异的时间相关性进行比较 对于单个代理：图15（b）显示了该相关函数，从第一次达到强碎片状态的时间点开始测量。我们可以清楚地看到，单主体关联时间基本上与N无关，而强碎片状态的寿命随着系统大小N显著增长。结论是，强碎片化是大N群体的一种长寿状态，在这种状态下，单个主体通过失去其初始偏好的所有记忆有效地“平衡”。在图16中，我们转向强碎片状态寿命的r依赖性，显示了不同r值固定为1/β=0.15时，小系统N=200的粘合剂累积量。对于r的所有值，观察到快速初始收敛到强碎片状态。在这种状态下，粘结累积量取决于弱粒子r，正如前面所述[27]），反映了吸引力分布的其他依赖性。由decayFigure 14设置的强碎片状态的生存期。强碎片化状态的亚稳定性和向弱碎片化状态的过渡：使用（r，1/β）=（0.05，0.16）、购买偏好（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）和市场参数（θ，θ）=（0.3，0.7）的N=2000个代理的系统的动态演化。（a） 两个代理群体[买方（绿色）和卖方（橙色）]的两个吸引力分布的粘合剂累积量的演变。

虚线是对强碎片稳态（darkviolet，两组相等）和弱碎片态（两组分别为绿色和橙色）的理论预测。（b） 与t=500时的模拟数据（柱状图）相比，根据弱碎片稳态（实线）理论预测的吸引力分布。粘合剂累积量的值越低，则随R增加。这与图13的结果一致，图13表明，在R的某些β依赖阈值以上，强碎片状态是唯一的稳态，因此必须是稳定的，对应于有限的寿命。对于图16中的值β=1/0.15，理论预测该阈值为r≈ 0.055. 从数字上我们可以看出，强碎片态的寿命上限为tor=0.07，这可能是由于图中使用的相对较小的N=200的有限人口效应。我们在对决定性交易者系统动力学的数值模拟中也发现了与上述定性相同的特征，种群首先达到长寿命（对于大N）强碎片状态，最终衰变为部分碎片状态。这是我们的理论预测的多个稳态时的行为，即对于小r；对于较大的r（高于RC≈ 0.02，见图13）强碎片是唯一的稳定状态。从数量上讲，我们发现，在强碎片化是亚稳的情况下，其寿命明显长于决定性交易者，超过了最大r<rc的10个交易轮（t=20000）的最大模拟时间。我们最后对初始条件的作用进行了评论。在迄今为止的动力学模拟中，我们使用了(|pB）=δ(), 对应于代理人对其市场没有初始偏好的合理假设。

我们还探讨了吸引力差异的高斯初始分布，P(|pB）=N（u，σ）。当只有一个稳态时，我们发现，正如预期的那样，无论初始条件如何，都会达到该稳态。另一方面，当理论预测多个稳态时，初始条件确实很重要。我们观察到，无论标准偏差σ如何，只要平均初始吸引差u足够小，就会继续达到亚稳强碎片状态。随着|u|的增加，我们看到动力学“遗漏”了亚稳态的强碎片化状态，并迅速移动到完全弱碎片化或部分碎片化状态。这符合这样一种直觉，即这些国家打破了市场之间的对称性，因此，当人口已经开始对其中一个市场产生总体初始偏好时，这些国家就会受到青睐。六、 讨论与结论在本文中，我们的目的是研究在两个市场之间进行自适应选择的代理系统中协调和分段稳态的存在性。我们主要关注的是长内存限制，即向碎片化的过渡非常明显。我们首先研究了两名交易员，他们学习如何在市场上进行协调，并使平均回报最大化，即使其中一人的收入必然会减少。移动到一个四玩家系统，我们观察到除了协调之外，还有碎片。有趣的是，我们发现，尽管存在图15所示的情况，但协调和分散的状态导致高强度选择β的平均人口回报率相同。不同系统尺寸的强碎片态寿命N。（a） 粘合剂累积量时间序列（两个试剂组上的平均紧致度）以及N→ ∞ 对强碎裂态的理论预测（虚线），显示寿命随N的增加而增加。

1/β=0.15，其他参数如图14所示。（b） 单主体吸引差异的自相关函数C（t）=h(i（τ）- (τ))(i（τ+t）- （τ+t））i：单agent自相关时间本质上是N独立的。图16：。在选择的固定强度1/β=0.15时，不同学习率r的粘合剂累积量时间序列。所有参数如图14所示，除了较小的总体尺寸en=200和r，如图所示。强碎片态的寿命随着r的增加而增加，当该状态是唯一的稳态解时，最终成为有限的。两种不同类型代理（买方和卖方）的差异。在协调状态下，其中一种代理类型的收入总是较低，而在分散状态下，两种类型的平均收入相同，但每组中的一个代理满意度较低。因此，在分散状态下，平均回报率不会区分不同类型的代理。然后，我们介绍了一种在具有长记忆的大种群极限下确定稳态类型和数目的一般方法。这可以在我们的设置中完成，每个市场只有一个订单参数。在对外源决定的序参数进行初步分析后，我们发现在一般情况下，自洽准则决定了稳态下的序参数。通过分析一个类似于自由能的量，我们可以判断一个种群（或其一个群体）是否支离破碎，这种支离破碎是强还是弱。对于小型系统，我们已经注意到代理的购买偏好pB是一个重要的系统参数。它不仅影响到pB上选择β的临界强度，而且影响到N≥ 4它还从质量上影响稳定状态的性质。

对于N→ ∞极限，我们在（β，pB）图中发现了丰富的稳态，尽管我们的市场和交易者模型的性质很简单。其中包括：市场共存——两个市场都吸引两种类型的交易员，以及市场/交易员专业化（W，W）（对于中度犹豫不决的交易员而言，是不协调的弱分散状态）；单一市场支配地位（W，W）（协调的弱分散状态）；市场差异（U，U）（例如低β）；一般市场与专业市场（例如（美国），其中一个市场吸引了两组代理商，而另一个市场可以被视为只针对一组代理商）。有趣的是，所有这些不同的稳态都不会对代理施加任何异质性（与其他地方的假设相反[23]），即使市场具有相同的属性（与[2，18]中表达的观点相反），分裂也是首选状态。为了更广泛地解释我们关于碎片化流行率的结果，我们可以借鉴Cheung等人的工作[40]，他们利用行为博弈论的证据表明，β值在游戏中是一致的，但在信息量更大的环境中会增加。作者还认为，与R非常相似的参数会增加系统中信息的可信度。考虑到图13所示的结果，对于大r和大β，唯一的稳定状态是分裂状态，这表明信息量更大的环境，或信息更可靠的环境，例如，由于长时间尺度的稳定性，可能会自然导致分裂状态。

图11也清楚地显示了这种严重分散状态的普遍性，这表明这种状态存在于所有群体中，这些群体分别对称地倾向于购买和出售。我们的理论中有一个非常重要的预测，即部分分散状态的存在，其中一组代理（例如，有购买偏好的代理）分散，而另一组代理（代理更倾向于出售）不分散。我们看到，在phasediagram中，这种状态出现的区域对于犹豫不决的交易者来说随着N的增加而增加，而对于果断的交易者来说则缩小（比较图5中的N=4和图11中的N→ ∞).我们还研究了在各种稳态下代理所获得的平均人口回报。对于庞大的人口，我们看到，协调的弱势群体稳定状态导致了最高的人口平均回报，即使一个代理群体在该状态下的收入较低。我们还注意到，这种稳态本质上代表了单一市场的协调，当r→ 0，则大β的平均报酬与随机药物相同（β=0）。这是因为在单个市场上进行协调，就像随机市场选择一样，会导致单个市场上相同数量的买家和卖家，从而导致相同数量的成功交易和平均回报。有趣的是，这表明弱学习（有限β）会导致较低的回报，例如，对于代理而言，不选择严格最佳的交易场所（就回报而言）可能比随机猜测更糟糕。