市场分割和市场整合：中的多重稳态

我们注意到，在大的β极限下，在配位和碎片状态下得到的返回是相同的。这是因为对于任何一种市场选择模式，如果这些选择是决定性的，那么所有代理都保证能够进行交易。对于有限β，协调状态下的收益通常高于碎片状态。请注意，出现四种分散状态是因为在每个代理组中，有两种方法可以将两个代理分配到两个市场。对于N个代理，其中一个期望{（N/2）！/[（N/4）！]}这些国家。当配位态的数量保持在两个时，这个数字与N非常快地移动。图5：。四个交易者：买入和卖出角色概率的相图。协调发生在暗紫色（实线）线下方，碎片发生在粉红色线（带圆圈的实线）下方。当代理买卖偏好差异减小时，这些区域缩小（pB→ 0.5），类似于双人制的趋势（虚线）。橙色线下方存在“部分分散”的固定点，其中四家代理商中的一家对相反的市场有偏好。最后，正如在对两个代理系统的分析中，我们可以通过允许代理用一些群体相关概率p（g）B来假设买方的角色来概括结果。我们再次将这些概率视为群体之间的对称性，pB=1- p-1B=pB。然后，在amanner中修改代理人回报的确定性部分∑gm，直接类似于等式（9），可以确定对各种稳定状态存在的影响。图5显示了对称市场的结果（θ，θ-1） =（0.3，0.7）和对称群。

在只有两个代理的系统中，当交易者的购买偏好相似时（pB≈ 1/2）他们有更强烈的协调动机，导致β的协调阈值更高（为了更清晰的可视化，我们在y轴上使用1/β）。碎片阈值也存在相同的行为。我们在图5中还指出了存在另一种固定点的制度：部分分散状态。在这些州，只有一个代理人的市场偏好与其他三个参与者的市场偏好相反，因此只有一个代理人群体是分散的。这些状态可以从不稳定的碎片状态中获得足够高的β，碎片状态本身在碎片开始时与稳定的碎片状态成对出现。正如我们将在下面看到的，尽管在参数空间的有限区域内，部分碎片态也存在于较大的人口限制中。在这里的小系统中，它们是不稳定的。直觉上，这可能是由于交易数量较少：在一个部分分散的固定点的大β极限内，最多会有一个交易周期（进入一个市场的三个代理中只有两个能够进行交易），而分散和协调状态都会导致两次交易。四、 人口数量有限。有固定购买偏好的人群在研究有少量代理的系统时，我们已经遇到了一个丰富的现象：单一市场上代理的协调，两个市场之间的成对分裂，甚至一些混合状态，其中一组是分裂的，而另一组是在单一市场上专门进行插入。我们现在通过研究大种群极限下可能的稳态类型来补充和推广这些结果。我们从一个简单的环境开始，在这个群体中，所有代理都有相同的购买piB=pB的偏好，i。

人口同质性假设是一个很强的假设，但这些交易者仍然会在广泛的参数范围内经历分裂，而系统更容易分析。因此，这是分析由两个或两个以上具有不同购买偏好的群体组成的人群的有用前奏。为了描述这样一个最初同质的主体群体的稳态，我们遵循吸引力差异的分布(i=Ai- Ai）整个人群【27】。每个市场的状态m通过成功执行买入（B）和卖出（S）订单的可能性进入【27，37】：TBm=最小1，QSmQBmDmTSm=最小值1、QBmDmQSm.（10） 这里的因素QB，s是提交的买卖订单有效的概率，即在交易价格的右侧；附录A中给出了显式表达式。请注意，对于小型系统，我们将其简化为确定性订单价格，我们在此返回完整模型，其中投标、b和ASK、a是随机的，交易价格的计算如式3所示。（如第二节所述，我们选择高斯分布，禁止和询问~ N（ua，σa）和b~ N（ub，σb）；对于数值计算，我们设置ub-ua=1，σa=σb=1）马的供需比，定义为m市场的买家数量与卖家数量。对于smallr，吸引力差异分布根据福克-普朗克方程演变tP(|pB，Tγ）=- [米(|pB，Tγ）P(|pB，Tγ）]（11）+r[米(|pB，Tγ）P(|pB，Tγ）]，其中漂移和差异MBOT取决于代理人的购买偏好和四种交易概率Tγ。

（我们使用γ=（τ，m）作为订单类型τ=B，S和市场选择m的组合的通用标签。）漂移项是（关于计算hSγi的回报分布的详细信息，请参见附录a）m(|pB，Tγ）=Xm=-1Xτ∈{B，S}mpτTτmhSτmiσβ（m) -  , （12） 其中，总和覆盖市场m和订单类型τ，我们使用约定pS=1-pB。分歧术语isM的强度(|pB，Tγ）=+ （13） Xm公司=-1Xτ∈{B，S}hpτTτm（hSτmi- 2米hSτmi）iσβ（m) .福克-普朗克方程的稳态为（见E.g.[38]）：P(|pB，Tγ）∝M级(|pB，Tγ）exp-f级()r, （14） 其中f() = -2ZdM级(|pB，Dm）M(|pB，Dm）（15）在热力学中起着类似于自由能的作用。当f() 有一个最小值P() 将在该位置接近窄峰r→ 0和我们有一个未分段的状态。否则，f中的峰值和局部极小值一样多() 将出现，对应于一个支离破碎的状态：每个峰值代表一个遵循不同市场选择策略的代理子组。请注意，在福克-普朗克描述中，确定交易概率Tγ的市场订单参数dma必须从p() [27, 37]. 同样的自洽条件也需要保持在稳定状态。然而，最初我们将把顺序参数视为外源固定的。例如，如果我们的代理人在整个交易群体中只占很小的一部分，而后者决定了供需比，那么就会出现这种情况。r的碎片→ 0图6。

对于（a）犹豫不决的人群（pB=0.5）和（b）不果断的买家人群（pB=0.8），作为市场偏差函数的临界选择强度。在图6中，我们展示了选择强度的treshold值如何取决于市场偏差（θ，θ-1） 对于不同的代理人群体，一个“犹豫不决”（pB=0.5），另一个由“果断”的买家组成（pB=0.8）；对于该计算，我们按照（19）中所述的自洽程序将顺序参数设置为其“内生”值。我们发现，对于每一对市场偏见，都有一个明确的门槛β值，即碎片化。当代理商在买卖方面犹豫不决时，当市场完全相同或对称偏袒时，出现分裂的地区最大。另一方面，对于果断的买家（pB=0.8），当市场相同时，细分门槛最低。Pb的中间值提供了这两种情况之间的平滑插值。为了更深入地了解分段状态的性质，我们在图7中显示了当面临两个无偏或两个对称偏倚市场之间的选择时，pB=0.8的交易者的稳态分布。为了了解r的趋势，我们展示了每种情况下r的两个不同值的分布。正如（14）所预期的那样，峰值宽度随着≈√r随着r的减小，但在图7（b）中，我们看到相对峰值高度也取决于r。事实上，如果峰值位于吸引力差异处和然后可以将峰值高度比写入asP(|pB，Tγ）P(|pB，Tγ）=M(|pB，Tγ）M(|pB，Tγ）exp-f级() - f级()r. （16） 图7：。决定性买家的稳态吸引差异分布（pB=0.8）。

我们比较了（a）两个无偏市场（θ，θ）在β=20时的稳态-1） =（0.5，0.5）和（b）两个对称偏压市场（θ，θ-1） =（0.3，0.7），对于r=0.1（深紫色虚线）和0.05（粉红色实线）。这些分布分别是强碎片和弱碎片：在右侧，较低峰值的相对高度随着r的减小而减小。该比率在r中保持不变→ 仅在以下情况下为0() = f级(), （17） 我们称这种情况为强碎片化，因为它甚至在r→ 0限制。这是图7（a）中的情况。另一方面，如果两个峰的自由能不相等，则其中一个峰仍有两个峰值P() 对于任何非零r，但一个峰值的高度随着r变为零而减小（以1/r的指数形式）。我们将这种行为（如图7（b）所示）称为弱（W）碎片，因为对于低r，较低的峰值可能变得不可观察的小；严格限制r→ 0，分布P() 再次变为单峰。定义的强弱区别实际上仅适用于本R→ 0限制；在非零r时，它成为分裂状态之间的交叉，其中涌现的子群的大小大致相等（强）或非常不同（弱）。在弱分散状态下，大多数交易发生在单一市场上（随着r的减少，交易量越来越大），我们将这种状态与市场整合联系起来，因此在我们的设置中，分散与整合的问题变成了强分散与弱分散的问题。现在，我们有了一种找到稳态并对其进行分类的方法，我们回到市场秩序参数的空间，并研究碎片化发生的位置。在图8中，我们显示了弱（彩色区域）和强（这些区域内的实线）碎片状态出现的位置，选择的固定强度β=8.5。

对于三种不同的市场设置，我们再次比较了犹豫不决（pB=0.5）和果断买家（pB=0.8）。我们注意到，对于犹豫不决的买家来说，弱碎片化区域包含了非常广泛的市场条件（订单参数SDM），但当代理商有更强的购买偏好时，市场条件会显著萎缩。从对市场结构的依赖性来看，一个明显的特征是，对于两个无偏市场（如（c）所示），需求与供给的比率相等（D=D-1line）为这两种类型的代理生成强碎片。这是有道理的，因为市场的设置θ=θ是相同的-1在当前的市场条件下，具有相反市场偏好的代理群体很容易共存。对于那些以相同概率充当买方或卖方的犹豫不决的代理人来说，当市场的供求比正好相反（D=1/D）时，也会出现同样的情况-1） 因此，他们将获得相同的平均回报。随着市场偏差的增加（图8，（a）和（b）），两个无偏差市场的情况变化非常平稳，但请注意，对于决定性买家（顶行），两条交叉的强碎片线分离为两条单独的线（（b）顶），其中一条最终消失在范围之外。市场订单参数。到目前为止，我们已经研究了由外部设定的市场条件（供需比）驱动的碎片化行为。现在，我们回到最初设定的模型，其中只有我们描述的自适应代理在这两个市场上进行交易。这就引出了一个问题：人口的内生性会为其分裂创造必要的市场条件吗？对于具有同质购买偏好的交易者，这个问题可以相对直接地回答。

如果引力差的稳态分布为P(|pB，Tγ），那么整个人口在市场m上买卖的份额为：NBm=pBZdP(|pB，Tγ）σβ（m) ,NSm=（1- pB）ZdP(|pB，Tγ）σβ（m) . （18） 因此，供需比实际上并不取决于市场偏好分布M=NBmNSm=pB1- pB（19），完全由pB决定。在图8中的市场秩序参数空间中，这组内生市场条件用一个黑点标记。我们发现，在足够高的β值下，当市场无偏倚或对称偏倚时，优柔寡断的买家群体会强烈分裂，我们可以检查这些结果是否独立于图中使用的特定市场偏倚。另一方面，只有在市场平等的情况下，果断的买家才会强烈分裂（图中仅显示θ=0.5，但该陈述适用于一般θ）。否则，会出现弱分化，尽管–见图8（顶部（c））–当市场与图8中使用的aβ非常不同时。有了这些见解，值得重新查看图6。它表明了所有市场偏差的分割阈值βc的存在，我们还记得，该阈值定义为P() First获得两个峰值。从以上所见，我们现在了解到，对于大多数市场偏差组合，稳态图8。单一人口：市场秩序参数空间中的稳态类型（D，D-1） 对于β=8.5。顶部显示的是决定性买家的数量（pB=0.8），底部显示的是（a）对称偏态市场（θ，θ）的犹豫不决人口（pB=0.5）-1） =（0.3，0.7），（b）一个无偏和一个有偏市场（θ，θ-1） =（0.5，0.7）和（c）两个无偏市场（θ，θ-1) = (0.5, 0.5). 彩色区域表示存在弱碎片状态的位置（对于r→ 0).

这些区域内的实线表示强烈的碎片状态。βcis以上的一种为弱片段。例外情况是图6中的暗线，表示相等（θ=θ-1） 或对称偏置（θ=1- θ-1） 市场。五、 两组人群到目前为止，在我们对具有购买偏好pB的同质交易者群体的大规模限制的分析中，我们展示了对于任何给定的一对市场订单参数（D，D-1） 我们可以确定人口的稳定状态。我们确定了三种可能的稳态类型：未碎裂（U）、弱碎裂（W）和强碎裂（S）。现在，我们将调查归纳为由具有不同购买偏好的群体组成的代理人群体。我们演示了两组大小相同的情况下的方法，但原则是通用的，可以扩展到更多的组或不同的组大小。我们表示由两个群和一对字母（X，X’）组成的种群的稳态。这里X，X\'∈ {U，W，S}表示每组的稳态类型，产生九种不同类型的种群稳态。我们现在可以在市场订单参数空间（D，D-1） ，不同状态类型的域，如图8所示。我们可以直接使用该图来读取具有购买偏好的两组人群（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.5）在β=8.5时的稳态。例如，当市场订单参数为（D，D-1） =（5，5）（所有图表的右上角），当市场对称有偏或有偏/无偏（图8左和中）时，两组人口的稳态为（U，W），当两个市场均无偏（右图）时，稳态为（S，S）。

这种简单的分析可以扩展到任何数量的组，因为对于外部固定的市场订单参数，组是独立的。然而，我们的主要兴趣在于内生市场条件的情况，在这种情况下，我们建模的代理捕获了整个交易群体，从而定义了他们自己的市场秩序参数。在这种情况下，我们需要自洽地找到稳态。我们之前已经描述了一个实现这一点的过程，对于非零（nonzeror）[27]：从一些初始市场订单参数（D，D）开始-1） 计算稳态和更新（D，D-1） 迭代，最终收敛到一组自洽的序参数。在这里，我们的目标是获得所有可能稳态的完整图像，与初始条件无关。为此，我们从迭代法的市场订单参数更新方程开始。这些只是市场订单参数的定义（方程式18,19），扩展到两组：Dm=N（1）Bm+N（2）BmN（1）Sm+N（2）Sm=p（1）BRdσβ（m)P(|p（1）B，Tγ）+p（2）BRdσβ（m)P(|p（2）B，Tγ）（1- p（1）B）路σβ（m)P(|p（1）B，Tγ）+（1- p（2）B）路σβ（m)P(|p（2）B，Tγ）。（20） 现在，我们可以在市场秩序参数空间中确定D=D和D的两个轨迹-1=D-1，这意味着其中一个订单参数已经是自一致的。这些轨迹的交集（两条线，对于我们的两个市场的情况）给了我们所有这些自洽的市场秩序参数集。区分弱碎裂和强碎裂极限r→ 0应该被带走。为了避免数值问题，我们在这里使用一个小的非零r来确定吸引力差异分布P(|p（g）B，Tγ），从中可以计算出dMARE。在接下来的大部分内容中，我们关注对称市场设置（θ=1-θ-1） 对称购买偏好（p（1）B=1-p（2）B=pB）。