机器人顾问的稳健资产配置

这意味着风险因素是相同的，可对接的2：协方差矩阵的主成分分析∑因子1 2 3资产1 36.16%2.44%5.72%-93.03%2 42.19% 25.48% -86.21% 11.76%3 44.74% 73.10% 46.52% 22.16%4 70.08% -63.26%19.25%26.76%特征值0.10%0.03%0.02%0.01%%累计63.80%18.72%10.65%6.83%，顺序相反。我们发现，投资组合优化最重要的风险因素是多头/空头投资组合，即第一项资产的空头和其他资产的多头。第二个最重要的风险因素是另一个多头/空头投资组合，即空头。我们只要求权重之和等于100%。机器人咨询的稳健资产配置表3：精度矩阵的特征分解IFactor 1 2 3 4资产1-93.03% 5.72% 2.44% 36.16%2 11.76% -86.21% 25.48% 42.19%3 22.16% 46.52% 73.10% 44.74%4 26.76% 19.25% -63.26%70.08%特征值93.06%59.65%33.94%9.96%%第二资产累计47.33%30.34%17.26%5.06%，第三资产多头。协方差矩阵的任何变化都会影响I的最大特征值和长/短风险因素。2.3哪些风险因素是重要的？之前的特征分解分析是说明稳定性问题的传统方法（Roncalli，2017）。然而，相应的套利因素很难解释，而且，它们不能完全帮助理解马科维茨机制，尤其是建立了低均值-方差投资组合。在本节中，我们使用史蒂文斯（1998）开发的方法，以便更好地描述潜在机制。我们已经看到解是x？(γ) = γΣ-1u. 如果我们假设资产收益率是独立的–C=In，我们会得到著名的结果：x？i（γ）=γuiσi最优权重与预期收益成正比，与资产收益的方差成反比。

在一般情况下–C 6=In，Stevens（1998）表明最优投资组合x？与线性回归相关：Ri，t=αi+β>iR(-i） t+εi，t（8），其中R(-i） t指定资产回报向量，不包括ithasset。通过注意Rithecoe系数的测定和εi，t的方差，我们得出：Σ-1.i、 i=σi（1- Ri）和：Σ-1.i、 j=-βi，jσi（1- Ri）=-βj，iσj1.- Rj公司我们推断：x？i（γ）=γΣ-1ui=γui- β> iu(-i） σi（1- Ri）在第63页，我们报告了表征质量和每个变量对∑的PCA因子的贡献。由于第二个风险因素I是第三个风险因素∑，我们推断第一个和第四个资产的贡献很小（分别为0.33%和3.71%）。这意味着：Ri，t=αi+Xj6=iβi，jRt，j+εi，机器人顾问的Trobast资产配置，其中u(-i） 是不包括ithasset的预期回报向量。因为我们有si=σi1.- 国际扶轮社αi=ui- β> iu(-i） ，我们得到：x？i（γ）=γαIs在一般情况下，最优权重与特质收益αIn成正比，与特质方差si成反比。我们注意到，βi表示复制资产i回报的最佳投资组合。这就是为什么它被称为资产i的对冲（或跟踪）投资组合。特殊回报α是指资产i的预期回报ui与预期回报β>iu之间的差异(-i） 其对冲投资组合。特质波动率Si是残差εi，t的标准偏差。它也等于跟踪误差ei的波动率，t=Ri，t-^Ri，twhere^Ri，这是对冲组合的回报。对冲投资组合概念是马科维茨优化的核心。事实上，马科维茨框架包括估计每项资产的对冲策略βi，以及形成两个投资组合：1。第一个投资组合y？最优资产组合是否假设资产不相关：y？i=γuiσi2。

第二个投资组合z？对冲策略的最优组合是：：z？i=γβ>iu(-i） σi- siWe推断：x？i（γ）=γuiσi（1- Ri）-γβ>iu(-i） σi（1- Ri）=(1 - Ri）·γuiσi-σi- siσi（1- Ri）·γβ>iu(-i） σi- 硅= （1+ωi）φ-1uiσi- ωiφ-1β>iu(-i） σi- 硅= yi+ωi（y？i- zi） 式中：ωi=Ri1- Ri=σi- sisiTo考虑到相关性差异，最优投资组合x？是否添加到手册y？y？之间的长/短曝光？z呢？利用取决于对冲质量的杠杆。让我们考虑前面的例子。在表4中，我们报告了四种资产之间的线性回归，这是每种资产的对冲组合。我们观察到测定效率在33.5%到45.8%之间。Ri是Firstaset的最高值，因为它表现出最大的互相关。因此，它对多元化的贡献率最低，而第三项资产对多元化的贡献率最高。见第47页附录A.3。因为对冲策略是独立的，我们有varβ> 红外光谱(-i） t型= var（Ri，t）- var（εi，t）=σi- 硅。机器人咨询稳健的资产配置表4：四种资产（对冲组合）之间的线性相关性资产αiβiRi1 1.70%0.139 0.187 0.250 45.83%2 2.06%0.230 0.268 0.191 37.77%3 2.85%0.409 0.354 0.045 33.52%4 1.41%0.750 0.347 0.063 41.50%表5：对冲组合的风险/回报分析70%15.00%10.16%11.04%45.83%2 8.00%5.94%2.06%18.00%11.06%14.20%37.77%3 9.00%6.15%2.85%20.00%11.58%16.31%33.52%4 10.00%8.59%1.41%25.00%16.11%19.12%41.50%？iz？第九条？i1 84.62%80.22%132.48%36.00%2 60.68%63.67%125.09%26.39%3 50.43%58.02%118.19%27.67%4 70.94%41.26%85.40%9.94%，然后计算表5中对冲组合的风险/收益统计数据。

我们验证以下等式成立：ui=^ui+αi和σi=^σi+si。最后，我们得到了表6中给出的最优投资组合。γ设置为0.2578，以获得100%曝光。在本例中，最佳投资组合为：x？=36%，x？=26.39%，x？=27.67%和x？=9.94%. 不存在空头头寸，因为所有资产的α-αII均为正值，这意味着对冲组合无法产生比相应资产更好的预期回报。现在我们修改第三个和第四个资产之间的相关性，并设置ρ3,4=95%。这种高度相关性改变了线性回归的结果（见表7和表8）。事实上，资产3和4的确定系数大于90%，第四个hedgingportfolio的预期回报高于第四个资产。由于α是唯一的负α，最优投资组合在第四种资产上做空，在其他资产上做多（见表9）。另一个重要因素是Rion对权重ωi的影响。因此，ω和ω大于10，而ω和ω小于1。即使y之间的差异？土地z？对于资产3和4，杠杆效应是最小的，杠杆效应在很大程度上补偿了多头/空头效应，并解释了为什么最优投资组合对资产3和4的敞口较大。本段中的理论分析也强调了预期回报的重要性。

事实上，即使它们没有改变成分和风险分析，我们也有：ui=Eh^Ri，ti=Ehβ>iR(-i） ti=β>iu(-i） 和：σi=var^Ri，t= 风险值β> 红外光谱(-i） t型= σi机器人咨询稳健资产配置表7：四种资产之间的线性相关性（ρ3,4=95%）资产αiβiRi1 3.16%0.244-0.595 0.724 47.41%2 2.23% 0.443 0.470 -0.157 33.70%3 1.66% -0.174 0.076 0.795 91.34%4 -1.61% 0.292 -0.035 1.094 92.37%表8：对冲组合的风险/回报分析（ρ3,4=95%）资产ui^iαiσi^σi i i i i i i i i i i i i i i i i i i iσi i i i i i i i i i i i i i i i 7.84%3.16%15.00%10.33%10.88%47.41%2 8.00%5.77%2.23%18.00%10.45%14.66%33.70%3 9.00%7.34%1.66%20.00%19.11%5.89%91.34%4 10.00%11.61%-1.61%25.00%24.03%6.90%92.37%表9：最优投资组合（ρ3,4=95%）资产ωiy？iz？第九条？i1 90.16%60.73%70.30%52.10%2 50.82%48.20%103.08%20.31%3 1054.10%43.92%39.22%93.44%4 1211.48%31.23%39.25%-65.85%的对冲组合影响回报分析。附录C中提供了一个示例。第63页第1页。我们更改了第一项资产的预期回报，并将u=3%。在这种情况下，第一项资产的预期回报率大大低于相应对冲组合的预期回报率。与此同时，其他三大资产的阿尔法（alpha）急剧上升。这就是为什么Markowitz optimization增加了第三资产的配置，并在第一资产上做空。让我们把方程（8）写成如下：Ri，t- uiσi=Xj6=iβi，jRj，t- ujσj+ εi，t其中系数βi，j主要取决于相关矩阵C。我们有以下对应关系：αi=ui- σiXj6=iβi，jujσj和：βi，j=°βi，jσiσj此外，我们注意到：si=σi1.- 国际扶轮社和：Ri=e> 集成电路(-（一）C类(-（一）-1.C类(-i） ei公司其中C(-i） 是不包括ithasset的相关矩阵。我们获得以下影响：机器人顾问的稳健资产配置o预期回报的变化会影响对冲投资组合的ααiof。

它不会改变对冲组合的组成βiof或权重ωi；o波动率σi的变化会影响对冲组合的风险敞口βi。它不会改变权重ωi，但会修改alphas的值。因此，投资组合的构成发生了变化；o相关性ρi，j的变化影响所有参数（αi、βi和wi）。我们还注意到，相关性是用于计算测定系数Ri的唯一参数。因此，相关性是理解马科维茨模型中杠杆效应的关键参数。事实上，它们同时影响跟踪误差波动率Si和权重ωi。波动率σi的主要影响与跟踪误差有关，因为Si是σi的一个递增函数。高波动率σ会对分配yi和zi产生负面影响。3正则化理论Michaud（1989）在一本非常著名的出版物《马科维茨优化之谜：优化是最优的吗？》中考虑了稳定性问题。在他的著作中，Michaud明确区分了数学优化和金融优化。例如，如果我们考虑两种在风险和回报方面高度相似的资产，基金经理很可能会将长期敞口分散到这两种资产上，而马科维茨则会在这两种资产之间进行套利。学者们提出了几种方法，以使马科维茨的解决方案更加可靠。已经探索了两个主要方向。第一个涉及协方差矩阵的正则化。如等式（7）所示，由于特征向量的大小，问题是病态的。因此，一种解决方案是改变∑的特征值。例如，直接方法包括删除LowesteigenValue（Laloux等人，1999）。

间接方法混合不同的协方差矩阵，以获得更稳健的估计量，称为收缩法（Ledoit and Wolf，2003）。第二个方向涉及优化问题的正则化（例如添加Lpenalty）或解决方案的稀疏性（例如添加Lpenalty）。最简单的方法是添加一些权重约束。例如，我们可以规定权重总和等于1，权重为正等。另一种方法是通过添加一些惩罚来修改目标函数，如岭或套索规范。3.1添加约束让我们以以下方式指定马科维茨问题：minx>∑xs。t。>x=1x>u>u？x个∈ Ohm哪里Ohm 是权重约束集。这是第3页所述u-问题（2）的一种变体。我们考虑两个优化的投资组合：o第一个是无约束的投资组合x？（u，∑）带Ohm = 注册号：第二个是受约束的投资组合▄x（u，∑），添加了一些约束。Robo AdvisorsJagannathan和Ma（2003）的稳健资产配置假设资产i的权重在下界x之间-i和上限x+i：Ohm =x个∈ 注册护士：x-i6 xi≤ x+i它们表明，约束最优投资组合是无约束问题的解：~x（u，∑）=x？~u,~Σ使用：~u = u~Σ = Σ + (λ+- λ-) 1>+ 1 (λ+- λ-)>式中λ-λ+是与上下限相关的拉格朗日系数向量。引入权重约束相当于使用另一个协方差矩阵∑，或收缩协方差矩阵。更一般地说，如果我们引入线性不等式约束：Ohm = {x∈ 我们得到了类似的结果。协方差矩阵收缩如下：∧∑=∑-C> λ1>+1λ>C式中，λ是与约束Cx>d相关的拉格朗日系数向量。我们再次考虑第5页上给出的示例。

如果我们计算globalminimum变量，那么解x？等于65.57%、29.06%、13.61%和-8.24%. 让我们假设投资组合经理对这个优化的投资组合不满意，并决定施加一些约束。例如，他可以决定投资组合必须至少包含所有资产的10%。为了实现一定程度的多元化，他还可以设定40%的上限。使用这些约束x-i=10%，x+i=40%，溶液变为40.00%，31.18%，18.82%和10.00%。借助于Jagannathan Maframework，我们可以计算收缩协方差矩阵，并推导收缩波动率σi和相关矩阵C，如表10所示。要获得这种新的解决方案，必须增加（隐含）第一种资产的波动性，减少（隐含）第四种资产的波动性。关于相关性，我们还注意到它们发生了变化。在表11中，我们报告了目标函数为预期回报率9%时的结果。在这种情况下，我们注意到引入约束等同于引入关于第一项资产的一些观点。事实上，这使我们能够施加更好的夏普比率，并降低与第二资产的相关性。表10:GMV portfolioAsset x的Jagannathan Ma收缩率？ixiσiC1 65.57%40.00%16.80%100.00%2 29.06%31.18%18.00%54.10%100.00%3 13.61%18.82%20.00%53.16%50.00%100.00%4-8.24%10.00%22.96%53.07%42.61%32.90%100.00%收缩协方差矩阵不一定是正定义的（Roncalli，2013）。我们有λ-= 48.89个基点，λ+=28.58个基点。

其他拉格朗日系数等于零。机器人咨询的稳健资产配置表11:Jagannathan Ma MVO投资组合的收缩率（u？=9%）资产x？ixiσiC1 3.30%10.00%12.06%100.00%2 23.44%15.00%18.00%43.87%100.00%3 43.21%40.00%20.59%49.20%51.79%100.00%4 30.05%35.00%25.00%61.43%50.00%41.18%100.00%备注2马科维茨优化固有的约束。事实上，平均方差优化给出的原始解通常不令人满意。这就是为什么量子需要花费大量时间添加和测试约束。战略资产配置尤其如此，每年的战略资产配置非常耗时。然而，添加约束会引入负责优化的量化人员的个人观点。此外，每次分配问题发生变化时，都必须重复这种反复试验的过程。因此，马科维茨优化更多的是手工解决方案，而不是工业解决方案。这就是为什么机器人顾问不能“按原样”使用它，因为其大规模生产/定制方法与人工干预不兼容。3.2添加基准让我们现在考虑一个由投资组合b表示的基准。投资组合x与其基准b之间的跟踪误差是投资组合回报与基准回报之间的差异：et=Rt（x）- Rt（b）=（x- b） >Rt，其中Rt=（Rt，1，…，Rt，n）是资产回报的向量。预期超额收益为：u（x | b）=E[et]=（x- b） >u，而跟踪误差的波动率为：σ（x | b）=σ（et）=q（x- b） >∑（x- b） 投资者的目标是在跟踪误差波动率受限的情况下，最大化预期跟踪误差。像马科维茨问题一样，我们把这个σ-问题转化为γ-问题：x？（γ） =参数最小值（x- b） >∑（x- （b）- γx>u（x | b）s.t。

x个∈ Ohm目标函数为：f（x）=（x- b） >∑（x- （b）- γ（x- b） >u=x>∑x- x> （γu+∑b）+b> ∑b+γb>u机器人顾问的稳健资产配置我们推断：x？（γ） =x>∑x- γx>us.t.x∈ Ohm式中，u=u+γ∑b。设ubbe为隐含预期回报向量，以便基准b为最佳投资组合。因为我们有b=γ∑-1ub，优化问题变成：x？（γ） =arg minx>∑x- ξx>u+ubs、 t.x公司∈ Ohm式中ξ=2γ。引入基准约束相当于将预期收益正规化。3.3 Tikhonov和ridge正则化之前，我们已经看到了一种正则化协方差矩阵的方法和一种正则化预期收益向量的方法。现在，我们转向一个框架，该框架规范了马科维茨优化问题的两个输入参数，而不仅仅是协方差矩阵或预期收益向量。虽然前两种方法对财务优化更为具体，但以下方法已在PDE和后来的统计学中开发。这就是我们考虑以下一般优化问题的原因：x？=arg minkAx公司- bk（9）s.t。我们认识到一个标准的二次规划问题。问题（1）–（6）可以很容易地写成问题（9）。例如，γ问题（3）是通过A>A=σandA>b=γu得到的，而我们有b=0，A=u>和b=u？对于u-问题。如果我们倾向于使用经验模型（6），我们指定A=W1/2R=D1/2wCTR和b=γW-1/2w=γC> TD1/2w-1瓦。我们注意到，由于Tikhonov问题的A.3.3.1公式的规定，Lnorm是自然的。为了规范马科维茨优化问题，我们可以添加一个惩罚项。例如，最著名的方法是Tikhonov正则化。一般问题可以写为：x？=arg minkAx公司- bk+%kΓ（x- x） k（10）s.t.Ax=b其中%>0是一个正数，Γ∈ Rn×n，A∈ Rm×nand b∈ Rm×1。