机器人顾问的稳健资产配置

矢量轴是初始解。Tikhonov正则化矩阵Γ迫使解关于半范数x 7收敛到x→ kΓxk其中Tikhonov正则化参数%表示正则化的强度。Robo AdvisorsRemark 3在投资组合优化中，可以将xcan视为参考投资组合。例如，它可以是一个基准，一个启发式投资组合或上一时期的投资组合。然后，可以使用Lpenalty术语来控制新投资组合与参考投资组合之间的偏差、跟踪误差或投资组合周转率。备注4之前的方法由Jorion（19881992）在资产管理中引入，他考虑了基于Sharpe（1963）开发的单因素模型的Bayes-Stein估计量。使用上述符号，我们有以下对应关系：Γ=11>和x=0。在第48页的附录A.4中，我们表明最优解是线性系统解的x坐标：A> A+%Γ>ΓA>Axλ=A> b+%Γ>Γxb（11） 其中λ是与约束Ax=b相关的拉格朗日系数向量。TheOLS回归对应于Γ=0，而岭回归是在Γ=In时获得的。对于λ=0和%=0，OLS解仅为x？=A+B此处A+=A> A-1A>是A的Moore-Penrose伪逆矩阵。对于λ=0且%>0，正则化解变为x？=A#b#其中A#可解释为A+的Tikhonov正则化：A#=A> A+%以上-我们还注意到，如果矩阵Γ是可逆的，那么A>A+%Γ>Γ是可逆的。的确，如果A> A+%以上x=0，我们有：0=x>A> A+%以上x=kAxk+%kΓxk>%kΓxk这确保了矩阵A>A+%k>Γ为正定义的性质。

这一思想可以使用A的谱分解进行扩展，这自然会导致矩阵在谱滤波器上的正则化。3.3.2与协方差收缩方法的关系让我们考虑正则化马科维茨问题：x？=arg minx>∑x- γx>u+R（x）s.t.1>x=1，其中R（x）是正则化函数。如果我们考虑Tikhonov公式（10），我们有以下对应关系：A>A=σ，A>b=γu。我们推断，当没有目标投资组合（x=0）时，矩阵A+上的正则化可以写为协方差矩阵∑上的正则化：∑（%）=∑+%。事实上，经验协方差矩阵∑是∑的无偏估计量，但其收敛速度非常慢。例如，它可以是等权（EW）投资组合或等风险贡献（ERC）投资组合（Roncalli，2013）。我们得到了形式为Az=b的线性系统，其中a是对称的2×2块矩阵。（1,1）块取决于矩阵，而（2,1）块取决于矩阵A。机器人咨询的稳健资产配置，尤其是当n较大时。我们还知道，基于因子模型的估值器^Φ收敛更快，但它是有偏差的。Ledoit和Wolf（2003）提出将两个估计量∑和Φ结合起来，以获得更有效的估计量。设∑（α）=α∑+（1- α） ^Φ是这个新的估计量。Ledoit和Wolf通过最小化二次损失的预期值来估计α的最佳值：α？=arg min E[L（α）]，其中损失函数等于：L（α）=α^Σ + (1 - α)^Φ - Σ在一个比例因子内，我们有以下对应关系：%=1.- α?α?Γ=chol^Φ，其中chol M是矩阵M的上Cholesky因子。因此，Ledoit-Wolfrestriction技术是Tikhonov正则化的特例。

类似地，Candelon et al.（2012）提出的DoubleRestriction方法通过设置Γ=Inandx6=0.3.3.3屋脊正则化获得。屋脊正则化由Γ=In定义。我们推断平均方差目标函数为：f（x）=x>∑x- γx>u+%kx- xk公司∝x> （∑+%英寸）x- x> （γu+%x）=x>∑（%）x- γx>u（%），其中∑（%）=中的∑+%，u（%）=u+%γx。让x？（γ；%，x）是岭优化问题的无约束解：x？（γ；%，x）=arg minx>∑x- γx>u+%kx- 我们有：x？（γ；%，x）=γ∑（%）-1u（%）=γ（∑+%英寸）-1.u+%γx=在+%范围内∑-1.-1（x？（γ；u）+x？（；x））x在哪里？(γ; u) = γΣ-1u是马科维茨溶液。我们推断正则化解是两个投资组合的平均值：马科维茨投资组合x？（γ；u）和最佳组合这不是一个问题，因为γ不是一个固定参数，但经过校准以解决σ问题或u问题。Robo Advisorsx的稳健资产配置？（；x）当预期收益向量等于x且风险/收益权衡参数为%。Bruder等人（2013）也表明：x？（γ；%，x）=ω（%）x？（γ；u）+（In- ω（%））x其中权重矩阵ω（%）等于在+%范围内∑-1.-1、我方确认：lim%→∞ω（%）=0在没有任何约束的情况下，当没有目标投资组合时，岭正则化会降低Markowitz投资组合的杠杆作用。当我们规定投资组合是完全投资的（1>x=1），这等于规定目标投资组合是同等权重的投资组合。我们考虑一个例子，其中投资领域由4项资产组成。预期回报率分别为u=4%、u=5%、u=9%和u=10%，而波动率分别为σ=15%、σ=18%、σ=20%和σ=25%。correlationmatrix如下所示：C=1.000.70 1.000.10 0.10 1.00-0.20-0.20-0.70 1.00我们假设γ=0.25，投资组合已全部投资。

我们规定targetportfolio xis等于（40%、30%、20%、10%）。图1显示了与惩罚因子%相关的最佳权重。我们验证了当%增加时，优化的投资组合收敛到目标投资组合。当没有目标投资组合时，它会收敛到加权相等的投资组合（见图2）。这一结果归因于资本预算约束。实际上，如果我们不施加约束Pni=1xi=1，则脊线组合将收敛到零解x？=我们还注意到，权重的路径不一定是单调的（增加或减少）。例如，当%较小时，secondasset的权重减小，当%较大时，权重增大。我们注意到脊正则化完全影响协方差矩阵。实际上，收缩波动率等于顶部σi+%，而收缩相关矩阵由：[C（%）]i定义，j=ρi，jσiσjq（σi+%）σj+%因此lim%→∞C（%）=英寸。因为波动性∞, 岭正则化可以看作是输入协方差矩阵∑和单位矩阵∑（α）=α∑+（1）之间的收缩协方差方法- α） 在标记5中，脊正则化的一种变体是将Γ定义为对角矩阵。

例如，如果Γ=diag∑，正则化相关矩阵满足：[C（%）]i，j=ρi，j1+%，在图3中，我们报告了参数%对相关值的影响。Robo Advisor稳健资产配置图1：具有目标投资组合的屋脊正则化10-410-310-210-1100101-30-15015304560图2：没有目标投资组合的屋脊正则化10-410-310-210-1100101-30-15015304560 Robo Advisor稳健资产配置图3：参数%对相关性的影响（对角屋脊正则化）-100-75-50-25 50 75100-100-75-50-252550751003.4光谱滤波光谱滤波是一种基于矩阵a奇异值分解（SVD）的通用方法。脊线正则化和去噪技术可视为SVD方法的特例。3.4.1一般滤波器我们考虑矩阵Aby的奇异值分解，假设秩A=r：A=USV>其中矩阵u∈ Rn×r，V∈ Rn×r，s=（s，…，sr）∈ Rrand S=诊断满足>U=V>V=Irand sk>sk+1>0。Acan的Moore-Penrose伪逆定义为：A+=V S-1U>其中S-1=诊断s+. 让我们表示smax（A）=A的最大奇异值。由于小特征值增加了不稳定性，可以应用滤波将特征值保持在0。A过滤器G（s；%）=（G（s；%），G（sr；%））是一个向量值函数，其中k次G（sk；%）：]0，smax（a）]→ 满意度：lim%→0G（sk；%）=所有%>0和sk的sk∈ ]0，smax（A）]。参数%控制A+正则化的大小：A+（%）=V diag（G（s；%））U>在经验模型的情况下，我们有∈ 机器人咨询系统的鲁棒资产分配因此，我们验证了收敛性：lim%→0A+（%）=A+此方法可以扩展以正则化矩阵A>A。一方面，如果A为全秩，我们可以近似Q=A>Aby A>A+（%）-1.

另一方面，直接计算会导致Q=a>a=V SV>。因此，我们可以正则化Q=A>Aby：Q（%）=V diags（%）五> 其中，s（%）是一个向量，可能等于G（s；%）+G（s；%）+，或G（s） s、 %）+或G（s；%）+s、 同样，我们有收敛性：lim%→0Q（%）=A>如果我们考虑问题：x？=arg minkAx公司- 黑色。t、 Ax=B正常方程为：A> AA>Axλ=A> bb型（12） 然后，光谱滤波等效于用以下一组正态方程替换线性系统（12）：V诊断s（%）五> A>Axλ=U诊断G（s；%）+五> bb！（13） 3.4.2 Tikhonov正则化的应用为了确定Tikhonov问题的谱正则化，矩阵a和Γ必须能够以一致的方式进行分解：a=USV>和：Γ=W SV>直接计算得出：a>a+%Γ>Γ=VS+%S五> 我们推断，频谱滤波器G（s；%）的k阶定义为：G（s1，k；%）=s1，ks1，k+%s2，Krobast机器人咨询资产配置使用之前的符号，我们得到：%Γ>Γ=A>A+%Γ>Γ- A> A=V诊断s（%）V>- V诊断 s） V>=V诊断s（%）- s五> 其中s=ss、 在这种情况下，最优投资组合x？是线性系统解的x坐标：V诊断s（%）五> A>Axλ=A> b+V诊断s（%）- s五> xb公司（14） 我们注意到，只有右奇异向量出现在等式（14）中。岭正则化可以看作是一种特殊的滤波器。更一般地，当AandΓ具有相同的rightsingular向量时，Tikhonov正则化可以用滤波器表示。在图4中，我们报告了岭正则化的谱滤波器。

频谱滤波方法包括另一种流行的方法，即去噪方法（Laloux等人，1999）：G（s1，k；%）=1{| s1，k |>%}·s+1，kWe注意，删除奇异值相当于应用硬阈值方法，而岭正则化是一种平滑方法。3.4.3稳定性条件的改善矩阵A的条件数κ（A）总结了以稳定方式执行优化时的困难程度。更具体地说，它测量向量b上的错误改变线性方程Ax=b的解的程度。我们有：κ（A）=A+· kAkIt遵循κA+= κ（A），我们的性质κ（A）>1。当κ（A）较低时，问题在数值上稳定且易于求解。越接近1，稳定性越好。用L∞norm，我们得到：κ（A）=maxk | sk | mink | sk |（15），其中sk是A的奇异值。使用滤波器G（s；%），我们得到：κA+（%）=mink | G（sk；%）| maxk | G（sk；%）|（16）对于%>0的固定值，所有之前的过滤器都满足以下两个特性：1。G（sk；%）~ s-1K适用于sk→ ∞;2.G（sk；%）从[0]的上方开始有界+∞).因此，如果我们比较方程（15）和（16），分母本质上没有改变，而分子则减少了。因此，光谱滤波降低了A的条件数，因为这些技术减少了奇异值的色散。对于Γ=0，我们有Gs1，k；%= s+1，k。对于Γ=In（岭正则化），谱滤波器G（s；%）的k阶定义为：Gs1，k；%=s1，ks1，k+%从无界函数到有界函数。机器人咨询稳健资产配置图4：频谱滤波（岭正则化和去噪方法）-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5-1.5-1-0.50.511.53.5混合惩罚欧几里德正则化是自然的，因为问题（3）中出现了LNOM。获得了显式公式，可以立即实现。

引入了其他正则化技术来对最优解x？施加其他约束？。由于Lnorm的单位球不是一致凸的，可以通过L.3.5.1 LpRegulation的Linstead来获得稀疏解，而不是Tikhonov正则化，可以考虑LpRegulation:x？=arg minkAx公司- bk+p%pkΓp（x- x） kpp（17）s.t.Ax=bwhere x∈ RN是一个目标投资组合，p>0。对于p>1，函数Γp（x）=kΓp（x- x） KPPI是严格凸的，其梯度是ipschitz连续的。实际上，梯度等于pΓ>psign（p（x- x） （）|Γp（x- x） | p-1，其中函数符号（x）和| x |按组件取值。对于p=1，函数Γ（x）是凸的，下半连续的，但在x=x时可能不可区分。其次梯度的显式表达式可以用近端操作符表示。对于p∈]0,1[，函数Γp（x）不是凸的，问题（17）也不是凸的。p>1的惩罚用于正则化，而p 6 1的惩罚用于稀疏性。p=1的情况最有趣，因为它对应于拉索回归（Tibshirani，1996）. 在这种情况下，与约束>x=1相关的%的大值迫使最优投资组合只有多头头寸（Brodie et al.，2009）。Robo Advisors的稳健资产配置图5：带目标组合的套索正则化0.5 1 1.5 2 2 2.5-30-15015304560图6：不带目标组合的套索正则化0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-30-15015304560 Robo Advisors的稳健资产配置我们考虑第17页给出的示例。我们使用带有Γ=In的L（或套索）惩罚。图5显示了与惩罚因子%相关的最佳权重。与ridgeapproach一样，当参数%增加时，优化的投资组合会收敛到最优投资组合。

当没有目标投资组合时，我们观察到ridge和lasso方法之间的极限投资组合差异。当岭投资组合收敛于等权重投资组合时，套索投资组合收敛于仅长均值方差优化投资组合（图6）。如果我们比较图1和图5，我们注意到调节因子的大小不同。我们还观察到，路径是不同的。对于脊线方法，路径是平滑和连续的，而对于套索方法，路径更像是分段线性函数。我们验证了Lpenalty生成了稀疏的优化Portfolio。这在没有目标投资组合的情况下是显而易见的，因为权重可能等于零。当存在目标投资组合时，稀疏性涉及优化投资组合x之间的赌注？和目标投资组合x。在这种情况下，相对（而非绝对）权重等于零。这两种方法之间的另一个不同之处是，套索方法产生了一条与岭方法相反的单调路径（递减或递增）。3.5.2升- l规则化我们也可以考虑混合惩罚：x？=arg minkAx公司- bk+%pkΓp（x- x） kpp+%kΓ（x- x） k（18）s.t.Ax=BW，其中p 6=2。在p=1的情况下，我们得到：x？=arg minkAx公司- bk+%kΓ（x- x） k+%kΓ（x- x） k（19）s.t.Ax=b这种正则化称为弹性网（Hastie et al.，2009）。这是投资组合优化中最常见的混合惩罚（Roncalli，2013）。我们再次考虑第17页给出的示例。我们使用带有Γ=Γ=In的套索脊惩罚。结果如图7和图8所示。我们注意到，在收敛方面存在很大差异。事实上，我们记得，当我们设定一个目标投资组合时，套索法和岭法会收敛到同一个投资组合，但当没有目标投资组合时，会收敛到两个不同的投资组合。

当混合这两个标准时，由于投资组合管理中的%和%的大小，限额投资组合通常是岭投资组合（见第49页附录A.5）。这个结果是正确的，因为我们在中施加了Γ=Γ=。3.5.3解决混合惩罚问题问题（18）和（19）比传统的二次规划问题更复杂。对于L- l正则化问题，如果我们假设Γ是具有非负项的amatrix，我们可以使用修改的QP解算器。基本思想是按以下方式写入Γ（x）：Γ（x）=1>Γδ-+ 1> Γδ+其中δ-= 最大值（0，x- x） δ+=最大值（0，x- x） 。因此，我们通过增加未知变量的向量来获得一个标准QP问题。因此，优化通常是这样的（Bruder et al.，2013；Roncalli，2013）。综合介绍见第49页附录A.6。机器人咨询稳健资产配置图7：具有目标投资组合的混合正则化-200020240-21-40100230-21-4020040260-21-40200402-21-40图8：无目标投资组合的混合正则化-2000220-21-400100220-21-40400260-21-4030040250-21-40针对y=（x，δ）执行的机器人咨询稳健资产配置-, δ+，不再是关于x。在其他情况下，当我们考虑p 6=2的LP罚金或当Γ是具有一些负项的矩阵时，一般方法是使用ADMM算法，如附录a所述。第50页第7页。例如，问题（19）可以写成：{x？，z？}=参数最小值f（x）+g（z）s.t.x- z=0，其中：f（x）=kAx- bk+%kΓ（x- x） k+1Ohm（x） 和：g（z）=%k（x）=%k（x- x） K此处Ohm = {x∈ Rn:Ax=b}。