机器人顾问的稳健资产配置

这种选择的好处是，x步包括约束，并且可以显式计算，而z步需要计算函数Γ（x）：z（k+1）=arg min的近似运算符g（z）+Дx（k+1）- z+u（k）缩放双变量的更新为：u（k+1）=u（k）+x（k+1）- z（k+1）当p 6=1和Ohm 是一组更复杂的约束。第50–59页的附录A.7和A.8包含解决以下优化问题的所有信息：x？=arg minkAx公司- bk+%pkΓp（x- x） kpp+%kΓ（x- x） 堪萨斯州。t、 x个∈ Ohm哪里Ohm 可能是等式、不等式、有界和Lqnorm约束。3.6正则化因子的最佳选择要选择最佳正则化参数，我们首先必须确定一个优化准则。例如，%或%的最佳值通常通过交叉验证技术获得。遗漏交叉验证（LpOCV）或遗漏交叉验证（LOOCV）等穷举方法需要大量计算。这就是为什么最好使用非穷举方法，如k倍交叉验证或样本外测试。然而，在Tikhonov正则化的情况下，已知一个显式公式。事实上，选择%的广义交叉验证程序并不依赖于双变量或约束。对于Lpenalty，没有明确的公式，必须使用蛮力算法来确定%的最佳值。我们有x（k+1）=arg minf（x）+Дx+z（k）u（k）Robo-Advisors3.6.1交叉验证和新闻统计的稳健资产配置让我们考虑数据矩阵X=x> ，x> T型∈ RT×Kwhere xt∈ RK和响应因子Y=（Y，…，yT）∈ RTwhere yt∈ R、 由于Tikhonov正则化问题定义如下：^β=arg minkY- Xβk+%kΓβkwe具有：^β=S（%）X>y其中：S（%）=十> X+%ΓΓ>-因此，^β是%的函数。

因此，根本的想法是找到最佳值^%。为了准确估计模型的超参数并避免过度设置问题，交叉验证（CV）方法包括以下几个步骤：1。将样本数据划分为两个集，即训练集和测试（或验证）集；2、模型在培训集中进行了设置；3、在验证集上对模型进行了测试。为了减少可变性，使用数据样本的不同分区执行步骤2和3（步骤1）。根据Measureoffit，将验证结果进行组合，以估计模型的预测性能。然后选择超参数，以最大化该拟合优度度量。可以执行两种类型的CV：穷举和非穷举交叉验证。对于第一种类型，对模型进行了估计，并以所有可能的方式对模型进行了测试，以将原始样本划分为训练/测试集。这种类型的CV包括遗漏交叉验证（LpOCV）。在这种方法中，pobservations用于测试集，其余观察值用于训练集。这需要对模型进行培训和验证Tp时间，如果T很大，即使p=1，也可能非常昂贵。然而，在Tikhonov回归的情况下，已知误差平方和的显式表达式。此公式可能导致O（T）运算。因此，非穷举交叉验证在实践中可能是首选，如k倍CV、保持法、重复

我们重复这个过程k次，这样每个组只测试一次。k倍交叉验证误差通常计算为：Ecv=txj=1Xt∈Gk公司年初至今- x> tβ（k）其中t∈ gk表示KTH组的观察值，β（k）表示通过省略KTH组得到的β估计值。即使在简单的情况下，也不能保证函数ECVH是唯一的最小值。简单的网格搜索方法可能是最好的方法。留一交叉验证（LOOCV）程序对应于特殊情况p=1。Robo Advisors的稳健资产分配当k等于数据集的大小时，彻底的遗漏交叉验证（LOOCV）是一种特殊情况。LOOCV渐近等价于统计中常用的Akaike信息准则（AIC）（Stone，1977）。有趣的是，ForTikhonov回归，交叉验证误差ECVH是一个显式表达式，称为预测平方和（或压力）统计（Allen，1971&1974）。我们注意到Y-坦德X-T（T- 1） 向量和（T- 1） X K矩阵，省去对向量Y和矩阵X的观测。我们有：^β-t型=X>-tXt+%-1X>-泰-t LOOCV程序的显式表达式为：按（%）=TXt=1年初至今- x> t^β-t型=TXt=11.- x> tS（%）xt-2.年初至今- x> t^β=TXt=1[升（%）Y]t[升（%）]t，t！其中，L（%）是投影矩阵，定义为：L（%）=IT- XS（%）X>=IT- 十、十> X+%ΓΓ>-1X>如果S（%）是带矩阵，这是样条线模型的情况，由于Hutchinson De Hoogalgorithm（Hutchinson and De Hoog，1985），系数[L（%）]t，tand[L（%）Y]t可以在O（t）运算中计算。3.6.2中心数据的GCV作为选择标准广义交叉验证（GCV）方法是LOOCV的旋转不变版本（Craven和Wahba，1978）。

即使这不是它的主要目的，这种方法也会用平均值t来代替系数[L（%）]t-1跟踪L（%）：GCV（%）=TtraceL（%）TXt=1年初至今- x> t^β（20） 我们推断GCV准则取决于L（%）和平方SPTT的剩余和=1年初至今- x> t^β. 我们记得H（%）=它- L（%）是帽子矩阵。值【H（%）】t称为杠杆值（Craven和Wahba，1978），并确定预测值^yt=x>t^β受yt影响的数量。我们还知道迹线L（%）=T- K、 根据伍德伯里公式，我们得到：L（%）=它- 十、十> X+%ΓΓ>-1X>=IT+X%ΓΓ>-1X>-1第59页附录A.9给出了相关说明。Woodbury矩阵恒等式为：（A+BCD）-1=A-1.- A.-1B级C-1+DA-1B级-1DA-1 Robo AdvisorsLet的可靠资产分配λt对称实矩阵X的特征值ΓΓ>-1X>。我们有：trace L（%）=TXt=11+λt%-1此公式允许跟踪值-对于%的每个值，计算2L（%）。与压力统计一样，通过最小化等式（20）给出的GCV函数，可以获得%的最佳值。4机器人咨询的应用在构建战略资产配置（SAA）、趋势跟踪战略或更普遍的均值方差多元化投资组合时，前面的技术对于投资组合优化特别有意义。根据方法的不同，他们可以分散或集中投资组合。通过混合不同的方法，我们还可以获得一些选定股票的多元化配置。在这种情况下，组合正则化和组合稀疏性结合在一起。在实施战术资产定位（TAA）时，也可以使用前面的技术。在这种情况下，相对于基准或当前投资组合，以相对的方式施加正则化和稀疏性。

在本节中，我们将展示在基于automatedallocation引擎构建机器人顾问时为什么需要这些技术。4.1机器人咨询和投资组合优化的秘诀投资组合优化是一个简单的数学问题的想法是错误的。这是一个需要人工干预的过程，可能需要相当长的时间才能找到解决方案。这种人为干预与数值算法几乎没有共同之处。事实上，定量人士知道，投资组合优化的秘诀在于炼金术，即确定正确的约束条件，以获得一个可接受的有意义的解决方案。让我们考虑一下几乎每年都由机构投资者进行的传统战略资产配置活动。我们假设SAA团队已经产生了两个输入：预期回报的向量u和资产回报的协方差∑。我们可以认为，这项艰巨的工作已经完成，计算SAA PortfolioW只需几秒钟，因为我们只需运行Markowitz优化。实际上，解决一个马科维茨优化问题通常会产生一个糟糕的解决方案，而且效率不高。这就是为什么Quants将使用基于此优化程序的迭代过程：x？（k） =arg minx>∑x- γx>u（21）s.t。>x=10 6 x 6 1x∈ Ohm（k） 在哪里Ohm（0）=RN，k为阶跃。他们将首先解决具有长约束的传统Markowitz问题，并将找到初始解决方案x？(0). 然后，他们将分析该解决方案并确定一组新的约束条件Ohm（1） 这可能会产生一个更可接受的解决方案。“可接受的解决方案”的概念尚不清楚，但它意味着首席投资官可以接受的解决方案。一旦Ohm（1） 确定后，Quants将运行优化问题（21）并获得新的解决方案x？(1).

接下来，他们将计算X的特征值ΓΓ>-1X>可在O中完成T操作。Robo Advisors的稳健资产配置分析此新解决方案并确定一组新的约束条件Ohm（2） 这可能会产生一个更可接受的解决方案。他们将多次迭代此过程。因此，这个迭代过程可以用序列P表示，定义如下：P=nx？(0), Ohm（1） ，x？(1), Ohm（2） ，x？(2), Ohm（3） ，x？(3), . . .使用此工具，我们可以评估量化并得出一些结论：o好的量化是指能够在有限的步骤中“关闭”此序列的人。o坏数量是指产生一个有限序列的人，并且不能结束该过程Quant QI比Quant Qif更有效：卡片P（Q）<卡片P（Q）让我们用一个例子来说明前面的过程。我们考虑九大类：（1）美国10年期债券，（2）欧洲10年期债券，（3）投资级债券，（4）高收益债券，（5）美国股票，（6）欧元股票，（7）日本股票，（8）新兴市场股票和（9）商品。在表12和表13中，我们指出了用于计算最优分配的统计数据。目标是为大约7%的事前波动找到最佳配置。表12：预期收益和风险（单位%）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）ui4.2 3.8 5.3 10.4 9.2 8.6 5.3 11.0 8.8σi5.0 5.0 7.0 10.0 15.0 15.0 18.0 30.0表13：资产收益相关矩阵（单位%）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（1）100（2）80 100（3）60 40 100（4）-20-20 50 100(5) -10-20 30 60 100(6) -20-10 20 60 90 100(7) -20-20 20 50 70 60 100(8) -20-20 30 60 70 70 70 100（9）0 0 10 20 20 30 30 100使用这些图表，我们获得初始分配x？（0）如表14所示。最优投资组合仅投资于四种资产类别。美国10Y债券的配置为28%，而高收益债券的配置为70%。

很明显，这个portfolioThis示例摘自Roncalli（2013）第287页。权重和风险/回报统计数据以%表示。机器人顾问的稳健资产配置不能成为SAA政策。这就是为什么Quant会添加一些约束，以获得更好的解决方案。我们可以规定一个资产类别的权重不能超过25%。使用此新约束集Ohm（1） ，我们获得投资组合x？（1） 这比投资组合x更集中？(0). 美国10年期债券和高收益债券的配置达到25%的上限。该投资组合目前投资于欧元10年期债券（15.90%）、美国股票（10.70%）和电子股票（21.27%）。这种解决方案的缺点可能是在股票上的分配太少。这就是为什么Quant将添加另一个约束，以获得大于40%的equityallocation。在第三次迭代中，我们得到了投资组合x？(3). 如果我们假设SAA对欧洲机构投资者来说已经完成，那么这种解决方案是不可接受的，因为它包含许多美国资产，而欧洲资产太少。这就是Quant将添加两个新约束的原因。他可以要求在欧洲10年期债券中的配置大于在美国10年期债券中的配置，并且在欧洲股票中的配置大于在美国股票中的配置。通过使用这组新的约束Ohm（4） ，我们得到以下解决方案：美国10年期债券的权重为12.13%，欧元10年期债券的权重为22.13%，IG债券的权重为15.00%，等等。同样，这种解决方案可能不可接受，因为在日本股票中没有配置。因此，《定量报告》可能会规定，该资产类别至少有5%的投资。

经过几次额外迭代后，表14中最后一列给出了解决方案。表14：迭代试错法解决方案步骤k#0#1#2#3#4···············································································.00 5.00美国股票（5）0.00 10.70 20.86 25.00 10.00 10.00欧元股票（6）0.00 0.00 3.16 5.00 20.00 20.00日本股票（7）0.000.00 0.00 0.00 0.00 5.00新兴市场股票（8）1.17 21.27 15.98 10.00 10.00 8.00商品（9）0.79 2.13 0.00 3.64 0.73 2.00u（x）8.63 7.77 7.41 7.12 6.99 6.57σ（x）7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 6.84SR（x | r）80.49 68.08 63.03 58.93 57.00 52.17我们注意到之前的迭代过程满足以下要求：Ohm（k+1） Ohm（k） ···  Ohm(2) Ohm（1） 其基本思想是确定一个日益受限的投资领域。例如，我们验证了有效边界是有序的，并且它们越来越受到约束（见图9）。备注6定量可使用问题（21）的变体。当他们还负责生成u和∑时，他们还可以考虑具有以下优化问题的迭代过程：x？（k） =arg minx>∑（k）x- γx>u（k）在这种情况下，序列P定义如下：P=nx？(0), Ohm（1） ，∑（1），u（1），x？(1), Ohm（2） ，∑（2），u（2），x？(2), . . .机器人顾问的Orobast资产配置图9：投资组合优化的秘诀是什么？4 6 8 10 1245678910很明显，确定最佳投资组合的迭代过程与自动化和算法驱动的机器人顾问相冲突。首先，这不是机器人顾问的意图，除非我们将机器人顾问的概念简化为数字应用程序或数据可视化工具，这意味着分配决策是在机器人顾问之外做出的。

其次，roboadvisor应该能够在工业规模上管理许多投资组合。如果我们考虑基于三个投资组合（防御型、平衡型和动态型）的传统生活方式，这三个投资组合在每个月底重新平衡，很明显，机器人顾问可以每月手动加载。同样，这种方法与roboadvisory概念不符。事实上，机器人顾问声称，通过考虑投资者的限制因素和更细粒度，他们可以更好地满足投资者的期望。随着以目标为基础的财富管理投资的出现，情况尤其如此：“很久以前，通过引入共同基金和最近推出的交易所交易基金，投资管理领域已经实现了大规模生产，但目前正在进行一场新的工业革命，这场革命涉及大规模定制，这是一种生产和分销技术，将允许个人投资者获得可扩展且成本高效的基于目标的投资形式解决方案”（Martellini，2016年，第5页）。最后，迭代过程无助于改善科学规划中的投资组合管理。事实上，这是一种视而不见的做法，因为很难解释投资组合的表现。我们不知道它是来自预期回报步骤（或主动赌注）还是投资组合优化步骤。在机器人咨询中，这两个步骤必须易于识别和区分。实际上，投资组合优化引擎是roboadvisor的一部分，而预期回报可能在robo advisor之外设计。通常情况下是这样的，因为它们可以由最终投资者自己强加，可以从一个第三方分销商变为另一个，一些投资者希望引入以下趋势：为机器人咨询模式（Robo Advisorspatterns）进行稳健的资产配置。

与优化方法相反，预期回报的引擎不一定由生产机器人顾问的工程师决定。这就是为什么这两个步骤必须完全不同。4.2优化问题的公式我们注意到x参考投资组合和x当前投资组合。下一阶段的优化组合是这个综合优化程序的解决方案：x？t+1=arg最小值f（x）+]%Γ（x- x）+~%Γ（x- x）+ （22）+%kΓ（x- xt）k+%kΓ（x- xt）ks。t。>x=10 6 x 6 1x∈ Ohm哪里Ohm 是一组预先确定的约束。该问题考虑了参考投资组合和当前投资组合的土地增值功能。关于f（x），我们可以使用马科维茨函数：f（x）=x>∑x- γx>u然而，考虑与参考组合相关的跟踪误差函数肯定更好：f（x）=（x- x）>∑（x- x）- γ（x- x）>u=x>∑x- γx>u+γ∑x+ CWC是一个不依赖于变量x的常数。问题（22）的目的是多方面的：1。第一个目标自然是优化传统的风险/回报交易。2、第二个目标是控制参考投资组合x和新优化投资组合x之间的主动下注？t+1在不同级别：（a）第一层是通过使用TE目标函数代替MVO目标函数来瞄准跟踪误差；（b） 第二层是Lpenalty %Γ（x- x）这有助于理顺与战略分配相关的实际分配。这一层意味着收缩协方差矩阵∑；（c） 第三层是Lpenalty %Γ（x- x）这有助于分散投资组合x的相关赌注；3.