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通过注意Dw=diag（w），协方差矩阵的表达式变为：^∑=TXt=1wtRtR>t- ^^u>=TXt=1wtRtR>t-TXt=1wtRt！TXt=1wtRt！>=R> DwR公司- R> wR> w>= R>数据仓库- ww>机器人顾问的资产配置备选形式为：^∑=TXt=1wt（Rt- ^u）（Rt- ^u)>=R- 1^u>>数据仓库R- 1^u>=R- 1w>R>数据仓库R- 1w>R= R>C> TDwCT公司R此处CT=IT- 1w>是（加权）定心矩阵。在均布重量Swt=1/T的情况下，CTis等于-T> 。我们观察到它是对称且幂等的。我们得出：∑=TR>CTR。A、 3条件正态分布和线性回归之间的关系让我们考虑定义如下的高斯随机向量：XY型~ Nuxuy,∑xx∑xy∑yx∑yy给定X=X的Y的条件分布是多元正态分布：Y | X=X~ Nuy | x，∑yy | x式中：uy | x=E[y | x=x]=uy+∑yx∑-1xx（x- ux）和：∑yy | x=σ[Y | x=x]=∑yy- ∑yx∑-1xx∑xy由此得出Y=uY | x+U，其中U是一个中心高斯随机变量，方差=∑yy | x。我们认识到Y在x上的线性回归：Y=uY+∑yx∑-1xx（x- ux）+U=uy- ∑yx∑-1xxux+ ∑yx∑-1xx+U=α+β>x+U，其中α=uy- ∑yx∑-1xxux和β=∑yx∑-1xx。此外，我们有：R=1-var（U）var（Y）=1-s∑yy=∑yx∑-1xx∑xy∑yy我们验证：C>TDwCT=信息技术- 1w>>数据仓库信息技术- 1w>= 数据仓库- w1>Dw- Dw1w>+w1>Dw1w>=Dw- ww>因为Dw1=w和1>Dw1=1。Robo AdvisorsRemark 7在随机向量（X，Y）的相关矩阵为常数的情况下–C=Cn+1（ρ），Maillard等人（2010）证明：-1xx=ρ11>- （（n- 1） ρ+1）In（n- 1) ρ- （n）- 2) ρ - 1我们推断：β=∑-1xx∑xy=σxσy C-1xxx，y=σxσyρ11>- （（n- 1） ρ+1）In（n- 1) ρ- （n）- 2) ρ - 1.ρ1和：βi=ρ（ρ- 1） （n）- 1) ρ- （n）- 2) ρ - 1·∑yσxi其中σyandσX是随机向量y和X的标准偏差。确定系数为：R=∑yx∑-1xx∑xy∑yy=nρnρ- (ρ - 1） 在双资产情况下，我们得到了著名的结果：R=ρ。

当资产数量非常大时，确定系数等于一致相关性：limn→∞R=如果ρ<0ρ，如果ρ>0A，则为1。4 Tikhonov正则化我们考虑以下优化问题：x？=arg minkAx公司- bk+%kΓ（x- x） k（27）s.t.Ax=B此处A∈ RT×n，b∈ RT×1，%>0，Γ∈ Rn×n，A∈ Rm×n，b∈ Rm×1和d∈ Rm×1。我们假设AHA是全等级的。Tikhonov矩阵Γ使解具有理想的性质，而%表示正则化的强度。xis是初始解决方案。在投资组合优化的情况下，可以是启发式投资组合（如EW投资组合）或当前分配，以控制营业额（Scherer，2007）。拉格朗日函数等于：L（x，λ）=kAx- bk+%kΓ（x- x） k+λ>（Ax- b） 梯度计算得出：xL（x，λ）=A>（Ax- b） +%Γ>Γ（x- x） +A>λ机器人咨询的稳健资产配置xL（x，λ）=0，Ax=b，最优投资组合x？是线性系统的x坐标解：A> A+%Γ>ΓA>Axλ=A> b+%Γ>Γxb（28）该线性系统给出了原始变量和对偶变量。A、 5 Lp-L调节的极限解，如%固定和%趋于+∞, 问题（18）的形式极限为：x？=arg最小kΓ（x- x） 堪萨斯州。t、 Ax=基本%已固定，%P终止于+∞, 问题（18）的形式极限为：x？=arg最小kΓp（x- x） KPP。t、 Ax=bIf%和%两者都倾向于+∞, 问题（18）的形式限制取决于制度%p/%。A、 6增广QP算法二次规划（QP）问题是一个具有二次目标函数和线性约束的优化问题：x？=arg minx>Ax- x> b（29）s.t.Ax>b通过不等式约束，我们可以轻松地管理等式约束和边界。

如果引入Lpenalization，优化程序将变为：(*) =x> Ax- x> b+%kΓ（x- x） k=x>Ax- x> b+%x>Γx- %x> Γx+%x>Γx我们推断正则化程序可以被转换成一个QP问题：x？=arg minx>A（%）x- x> b（%）（30）s.t.Ax>b其中A（%）=A+%和b（%）=b+%x。现在让我们介绍一个Lpenalization。我们有：x？=参数最小值f（x）s.t.Ax>b其中：f（x）=x>Ax- x> b+%kΓ（x- x） kAn等式约束Ax=bis相当于两个不等式约束Ax>带Ax 6 b。相同的结果适用于边界x-6 x 6 x+，可写为x>x-和-x>-x+。Robo AdvisorsandΓ的稳健资产分配是一个具有非负项的矩阵。如果我们使用以下形式的分解：x=x+δ+- δ-（31）带δ-=δ-, . . . , δ-n, δ+=δ+, . . . , δ+n, δ-i> 0且δ+i>0，我们推断：kΓ（x- x） k级=Γδ+- δ-= 1>Γδ++ δ-目标函数变为：f（x）=x>Ax- x> b+1>Γδ++1>Γδ-设y=（x，δ-, δ+）是未知变量的向量。我们得到了一个维数为3×n:y？=arg miny>是- y> b（32）s.t.▄Ay>▄b此处：▄A=A0 00 0 00 0 0和：▄b=b-Γ>-Γ>我们可以将方程（31）写成如下：Inx+Inδ-- 在δ+=x中，因为δ+>0和δ-> 0，我们推断：~A=A0 0英寸-在里面-在里面-InIn0 In0 0 In和：▄b=bx公司-x个A、 7 ADMM算法。7.1乘法器的双上升原理和方法交替方向乘法器法（ADMM）是Gabay和Mercier（1976）提出的一种算法，用于解决以下问题：{x？，z？}=arg min f（x）+g（z）（33）s.t.Ax+Bz=cWe遵循Boyd et al.（2011）关于ADMM的标准陈述。机器人咨询的稳健资产配置，其中∈ Rp×n，B∈ Rp×m，c∈ Rp和函数f:Rn→ R∪ {+∞} 和g:Rm→R∪ {+∞} 是真闭凸函数。增广拉格朗日函数的表达式为：LД（x，z，λ）=f（x）+g（z）+λ>（Ax+Bz- c） +^1kAx+Bz- ck其中Д>0。

ADMM算法使用目标函数可分离的特性，并由以下迭代组成：x（k+1）=arg min LДx、 z（k），λ（k）= 参数最小值f（x）+λ（k）>Ax+Bz（k）- c+φAx+Bz（k）- c和：z（k+1）=arg min LДx（k+1），z，λ（k）= 参数最小值g（z）+λ（k）>Ax（k+1）+Bz- c+φAx（k+1）+Bz- c然后，双变量λ的更新为：λ（k+1）=λ（k）+ДAx（k+1）+Bz（k+1）- c我们重复迭代直到收敛。Boyd等人（2011）注意到，前面的算法可以简化。让r=Ax+Bz- c是（原始）残差。通过组合线性项和二次项，我们得到：λ>r+Дr=Дkr+uk-^1kukwhere u=Д-1λ是缩放双变量。然后，我们可以将拉格朗日函数（33）写成如下：LД（x，z，u）=f（x）+g（z）+ДkAx+Bz- c+英国-2Дkλk（34）由于最后一项是常数，我们推断x和z更新变为：x（k+1）=arg min LДx、 z（k），u（k）= 参数最小值f（x）+ДAx+Bz（k）- c+u（k）（35）和：z（k+1）=arg min LДx（k+1），z，u（k）= 参数最小值g（z）+ДAx（k+1）+Bz- c+u（k）（36）对于缩放双变量u（k），我们有：u（k+1）=u（k）+r（k+1）=u（k）+Ax（k+1）+Bz（k+1）- c（37）机器人咨询的稳健资产配置，其中r（k+1）=Ax（k+1）+Bz（k+1）- c是迭代k+1时的原始残差。Boyd等人（2011年）还定义了变量s（k+1）=ДA>Bz（k+1）- z（k）并将s（k+1）称为迭代k+1的双剩余。该算法得益于双重上升原理和乘法器方法。与后者不同的是，x和z更新是以交替方式执行的。