动态能源管理

例如，如果连接到网络n的单个终端设备d使用（递减、可逆）需求函数pd=Dd（λn），则λn=d-1d（pd）=-fd（pd），我们可以取为costfunctionfd（pd）=-ZpdD公司-1d（u）du，它是凸的。上述关于单终端设备的讨论使用了适当的语言，当设备表示负载时，即具有正终端功率，并且FDI通常在减小。虽然方程式仍然成立，但当设备代表发电机时，即终端功率为负且通常在减小时，语言会发生变化。1.2.4设备示例我们列出了几个实际设备示例。除非另有说明，此处讨论的所有成本函数都是凸函数。我们还讨论了设备约束；这意味着不满足设备约束的功率流会导致该设备的固定成本。1动态能量管理171.2.4.1发电机发电机是一种产生功率的单端设备，即其终端功率PdSaties pd≤ 0、我们解释-pdas生成的（非负）功率。设备成本fd（pd）是发电成本-pd，以及-fd（pd）是在功率pd下运行时的边际功率成本。一般发电机成本函数的形式为fd（pd）=（φd(-pd）pmin≤ -pd公司≤ 最大pmax∞ 否则，（1.9），其中Pmin和Pmax是发电机功率的最小和最大可能值，φd（u）是发电功率u的成本，这是凸的，通常是增加的。凸性意味着发电的边际成本不会随着发电量的增加而减少。当发电成本增加时，这意味着发电商“更倾向于”生产较低的电力。利润最大化原则将净价格λdt与发电机功率pd联系起来。什么时候-p在pmi和pmax之间，我们有λd=-fd（p？d）=φd(-pd） ，即净价是发电机的（非负）边际成本。

什么时候？d=pmin，我们必须有λd≤ φd（pmin）。什么时候p？d=pmax，我们必须有λd≥ φd（pmax）。由于φdis凸，φdis不减，因此φd（pmin）和φd（pmax）分别是发电机的最小和最大边际成本。粗略地说，当价格低于最小边际成本时，发电机以最小功率运行，当价格高于最大边际成本时，发电机以最大功率运行；当价格介于两者之间时，发电机的边际成本与净价匹配。常规二次发生器。发电机的简单模型使用发电成本函数φd（pd）=αpd+βpd+γ，（1.10），其中α、β和γ是参数。对于凸性，我们需要α≥ 0.（我们通常也有β。）≤ 0.）恒定成本项γ的值对发电机的最佳功率没有影响。18 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt WytockFixed发电机。固定发电机产生功率；这是pmin=pmax=p fix的通用发电机的一个例子。（函数φ仅针对u=p fix定义，其值对最佳功率没有影响，因此我们可以将其设为零。）固定发电机对相邻净价格没有任何限制。可再生能源发电机。可再生发电机可以提供介于0和pavail之间的任何功率，并且可以免费提供，其中pavail≥ 0是可用于发电的功率。它也是通用生成器的一个实例，pmin=0，pmax=pavail，φ（u）=0。利润最大化原则告诉我们，如果相邻的净价为正，则pd=pavail；如果相邻的净价为负，则PD=0。换言之，如果净价为正，可再生能源发电机以其全部可用功率运行（在最佳状态下），如果净价为负，则关闭。

如果发电机的功率介于0和pavail之间，则相邻价格为零。1.2.4.2负载SA负载是一种消耗功率的单终端设备，即pd≥ 0、将fd（pd）作为消耗功率pd的运行成本。我们可以解释-fd（pd）作为用电负荷pd的效用。这种成本通常在下降，即负载“更愿意”消耗更多的电力。边际效用是-fd（pd）。fd的凸性与效用的凹性相同，意味着负荷的边际效用不随耗电量的增加而增加。一般负荷成本函数的形式为fd（pd）=（φd（pd）pmin≤ pd公司≤ 最大pmax∞ 否则，（1.11），其中Pmin和Pmax是负载功率的最小和最大可能值，φd（u）是消耗功率u的成本，这是凸的，通常是递减的。利润最大化原则将净价格λdt与负荷功率pd联系起来。什么时候p？在pmi和pmax之间，我们有λd=-fd（p？d）=-φd（p？d），1动态能量管理19i。e、 ，净价是负荷的边际效用（通常为非负）。什么时候p？d=pmin，我们必须有λd≥ -φd（pmin）。什么时候p？d=pmax，我们必须有λd≤ -φd（pmax）。因为φdis凸，φdis不减，所以-φd（pmin）和-φd（pmax）分别是负荷的最小和最大边际效用。粗略地说，当价格高于最大边际效用时，负荷以最小功率运行；当价格低于最小边际成本时，负荷以最大功率运行。固定负载。固定负载消耗固定量p fix>0的功率；i、 例如，设备功率pd满足pd=p fix。这是Pmin=pmax=p fix的一般负载的一个实例。fd（p fix）的值不影响功率，因此我们可以将其设为零。功耗装置。功耗设备没有运行成本，可以消耗（耗散）任何非负功率。

这是通用负载的一个实例，pmin=0，pmax=∞, 对于pd≥ 0，fd（pd）=0。可削减负荷。可限功率负载具有期望或目标功耗水平pdes和最小允许功耗pmin。如果其耗电量小于预期值，则会对不足部分进行罚款，价格λcurt>0。成本为fd（pd）=（λcurt（pdes- pd）pmin≤ pd公司≤ PDE∞ 否则可削减负荷也是通用负荷的一个实例。如果相邻净价小于λcurt，我们有p？d=PDE，即不存在短缺。如果相邻净价大于λcurt，则负荷消耗其最小可能功率pmin。如果相邻净价为λcurt，可限功率设备可以消耗pmi和pde之间的任何功率。20尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克（Matt Wytock1.2.4.3）电网TIES电网TIES是一种表示与外部电网连接的单端设备。当pd≥ 0，我们将其解释为向电网注入电力。当pd<0时，我们解释-pdas从电网中提取的电力。可以以λbuy的价格从电网购买电力，并以λsell的价格向电网出售电力。我们假设无套利非负价格，即λ买入≥ λ出售≥ 0

从我们的系统优化器的角度来看，并网成本是从电网购买（或出售）的电力成本，即fd（pd）=最大{-λbuypd，-λsellpd}。（回想一下-PDI是我们从电网中获取的电力，因此我们在-pd>0，当-pd<0，即pd>0。）任何与pd<0（即，来自电网的电力流）的电网连接相邻的网络的价格为λbuy；当pd>0（即，电力流入电网）时，其价格为λsell。当pd=0时，相邻的净价不确定，但必须介于买入价和卖出价之间。作为基本网格连接设备的变体，我们可以在-pd，代表我们可以出售或购买的最大功率，-pmax，销售≤ -pd公司≤ -pmax，买入，其中pmax，卖出≥ 0和pmax，购买≥ 0分别是我们可以出售和购买的最大功率。1.2.4.4输电线路和转换器在我们考虑输电线路、电力转换器、变压器和其他两个终端设备之间传输电力时，通常对电力流量的限制被编码到成本函数中。Wedenote带有编号下标的设备的不同终端上的功率流，例如pand p。（即，下标1和2在本地设备终端排序中。）我们将p+pas解释为设备消耗或耗散的净功率，通常为非负。如果p>0且pis为负，则电源在端子1进入设备，在端子2退出设备，反之亦然，当p<0且p>0时。输电线路。理想的无损传输线（或功率转换器）的成本为零，前提是满足功率守恒约束tp+p=01动态能量管理21，其中将功率流减少到设备的两个终端。

（请注意，这种理想的功率转换器与双端网络相同。）此外，我们可以强制执行功率限制≤ p≤ pmax。（这与要求相同-最大pmax≤ p≤ -pmin.）由此产生的成本函数（有或没有功率限制）是凸的。当pmin=-pmax，传输线或转换器是对称的，即如果我们交换pand p，其成本函数是相同的。如果不是这样，设备是定向的或定向的；粗略地说，它的终端不能互换。对于限制无效的无损传输线，即pmin<p<pmax，相邻两个网络的价格必须相同。当两个相邻网络的价格不相同时，TransmissionOnline会在其限制下运行，功率流入较低定价网络的设备，然后流出至较高定价网络。在这种情况下，设备有助于输送电力。例如，λ<λ，我们有p？=Pmax和p？=-pmax，设备赚取收入pmax（λ- λ).具有二次成本的无损传输线。我们可以在α>0的情况下为无损传输线增加成本αp。当最优功率流问题得到解决时，这种（凸面）成本阻止了设备上的大功率流。仅此目标项不能模拟输电线路中的二次损耗，这将导致p+p>0；虽然它阻止了输电线路中的功率流动，但它没有考虑输电过程中的功率损失。对于这种输电线路，利润最大化原则意味着电力从价格较高的终端流向价格较低的终端，流量与两个终端之间的价格差异成比例。二次损耗输电线路。我们考虑一条功率损耗为α（（p-p） /2）参数α>0，极限|（p-p） /2 |≤ pmax。

（该损耗模型可以解释为电阻损耗的近似值。）该模型具有约束tsp+p=αp- p,p- p≤ pmax。（1.12）满足上述条件的一组功率和P为图1.3所示的暗线。请注意，此集合（以及设备成本函数）为22 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytocknot凸面。曲线的端点位于点sp=αpmax/2+pmax，p=αpmax/2- pmax，andp=αpmax/2- pmax，p=αpmax/2+pmax。保持凸性的一种方法是用其凸度来近似该集，由约束αpmax描述≥ p+p≥ αp- p.在这种近似下，可行幂的集合是图1.3中的阴影区域。这一地区的电力流，但不在暗线上，与艺术上的电力浪费相对应。如果IGHBORING网的最优价格为正，则该近似值是可证明精确的（即功率流（p，p）位于暗线上）。在实践中，我们预计这种情况在大多数情况下都适用。0P10P2图。1.3：有损传输线的可行功率流集及其凸松弛。1个动态能量管理23恒定效率转换器。我们认为端子1是转换器的输入端，端子2是转换器的输出端（正向模式）。正向转换效率由η给出∈ （0，1），反向转换效率由￠η给出∈ (0, 1). 该设备的特点是P=最大值{-ηp，-（1/￠η）p}，pmin≤ p≤ pmax，这里是pmax≥ 0是转换器的最大输入功率；-pmin公司≥ 0是可从转换器中提取的最大功率。对于p≥ 0（正向转换模式），转换损失为p+p=（1-η） p，证明η的解释为正向效率。

对于p≤ 0（反向转换模式，表示p≥ 0），损失为p+p=（1）- η）p。这组约束条件（以及成本函数）不是凸的，但我们可以形成凸松弛（类似于有损在线传输的情况），在这种情况下，该松弛由三角形区域描述。如果相邻净值处的价格为正值，则近似值为精确值。1.2.4.5复合设备单个网络上多个设备的互连本身可以建模为单个复合设备。我们用一个复合设备来说明这一点，该设备由两个单端设备组成，连接到一个有三个终端的网络，其中一个是外部的，构成复合设备的单端。（参见图1.4。）在这个例子中，我们有复合设备成本函数fd（pd）=min▄p+▄p=pdf（▄p）+f（▄p）。（1.13）（函数fd是函数fand f的精确卷积；参见【29，§5】。）这种复合设备可以连接到任何网络，当设备被由两个设备和额外网络组成的子网络取代时，最佳功率流将与最佳功率流相匹配。复合成本函数（1.13）很容易解释：给定进入复合设备的外部功率流Pd，它以最小化两个内部设备成本之和的方式分解为功率和p（根据网络要求）。如果两个组件设备成本函数是凸的，则组合设备成本函数（1.13）是凸的。复合设备也可以由其他更复杂的设备网络形成，并且可以公开多个外部终端。在这种情况下，复合设备成本函数是两个内部设备和一个外部终端的简单情况下不均匀卷积（1.13）的简单推广。

这种复合设备保持凸性：由具有凸成本函数的设备形成的任何复合设备24 NicholasMoehle、EnzoBusseti、StephenBoyd和MattWytockDevice也具有凸成本函数。复合设备可以简化建模。例如，风电场、solararray、本地存储和将其连接到更大电网的传输线可以建模为一个设备。我们还注意到，没有必要分析计算用于建模系统的复合设备功能。相反，我们只介绍内部成本函数的总和，以及表示内部功率流的其他变量，以及与内部网络相关的约束。（这与凸优化建模系统CVX【14、15】和CVXPY【11】中用于表示凸函数组成的技术相同。）FFPDFDPP图。1.4：复合装置可以由两个或多个其他装置形成。1.2.5网络示例1.2.5.1两个设备示例我们考虑发电机和负载连接到单个网络的情况，如图1.5所示。对于这种网络拓扑，静态OPF问题（1.3）是最小化fgen（p）+fload（p），使p+p=0。（1.14）假设成本函数在p？处是不同的？，最优性条件为1动态能量管理25发电机负荷ppfig。1.5：一个网络，一台发电机和一个负载连接到一个网络。fgen（p？）=λ、 弗洛德（p？）=λ、 p？+p？=我们将λ解释为价格，fgen（p？）和弗洛德（p？）分别作为发电机和负荷的边际成本。我们可以通过消除pusing p=-p、 功率p通常为正，与负载消耗的功率相对应，与发电机产生的功率相同，-p、 然后，OPF问题是选择pto最小负载（p）+fgen(-p） 。

图1.6显示了这两个函数及其总和。p2costfgen(-p2）fload（p2）fgen(-p2）+fload（p2）图1.6：§1.2.5.1示例中的发电机、负荷和总成本函数。最优性条件为fload（p）=fgen(-p） =λ。我们可以将其解释为发电机供电曲线和负荷需求曲线的交叉。这如图1.7所示，最佳点由点fgen（p？）处的供需函数的横截面给出=弗洛德(-p？=λ.26 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockp2λf0gen(-p2）F0负荷（p2）（p2，λ）图1.7：发电机和负荷成本函数的导数是供需曲线。这些曲线的交点是点（p？，λ）。1.2.5.2三总线示例我们返回图1.1所示的三总线示例。电力单位为兆瓦，隐含时间为一小时，付款单位为美元。这两个生成器具有二次成本函数。第一个参数为α=0.02$/（MW），β=30$/（MW），pmin=0，pmax=1000 MW。第二个参数为α=0.2$/（MW），β=0$/（MW），pmin=0，pmax=100 MW。两种荷载均为固定荷载；第一个用电量p fix=50 MW，第二个用电量p fix=100 MW。这三条传输线是无损的，传输极限分别为pmax=50 MW、pmax=10 MW和pmax=50 MW。后果OPF问题的解决方案如图1.8所示，每台设备的费用如表1.1所示。端子旁边显示的黄色数字表示最佳功率流p？。网络旁边的绿色数字表示最优价格λ。首先请注意，流入各线的功率之和为零，表明该功率满足功率守恒，即条件（1.1）。