动态能源管理

这些矩阵具有简单形式（Bd）ij=（1（全局）端子j是设备d0的第i个（本地）端子，否则。我们将BDA称为全局局部矩阵，因为它将全局功率向量映射为本地设备终端功率。对于单个终端设备，bd是行向量eTk，其中ek是第k个标准单位向量，k是终端的全局排序索引。设备d的成本函数由fd：RMd给出→ R∪ {∞}. 设备d的成本为fd（pd）=fd（Bdp）。8尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克（Matt Wytockt）N个网络的标签为N=1，NNet n包含Mnterminals，我们用pn表示与n中的terminals对应的幂向量，在全局排序下排序。（因为每个终端出现在一个精确的网络中，我们有pnn=1Mn=M。）这里我们也滥用了符号：mdi是设备d的终端数量，而mn是网络n中的终端数量。符号p本身总是指全局功率向量。下标时有两种含义：pmis（全局）终端m上的（标量）功率流；pd是设备d的功率流矢量。设备d上（本地）终端i的功率流是（pd）i。每个网络中的终端可以用邻接矩阵A来描述∈RN×M，定义为asAnm=（1个端子M连接到网络n0，否则。A的每一列是对应于端子的单位向量；A的每一行对应于一个网络，由一个行向量组成，其中条目1和0表示哪些网络与其相邻。

我们假设每个网络至少有一个相邻的终端，所以每个单位向量都出现在A的列中，这意味着它是满秩的。数字（Ap）是网络n中终端功率的总和，因此n向量Ap给出了每个网络的总功率或净功率流。然后，网络的功率守恒可以表示为p=0，（1.1），这是n个等式。网络总成本，表示为f:RM→ R、 将powervector p映射到（标量）成本。它是网络中所有设备成本的总和：f（p）=DXd=1fd（pd）=DXd=1fd（Bdp）。（1.2）如果Ap=0且f（p）<∞. 如果可行，则称为“临时”，并且在所有可行的潮流中成本最小。1.2.1.5示例作为我们框架的一个示例，考虑图1.1所示的三总线网络。两台发电机和两个负载分别表示为单端设备，而连接三条母线的三条输电线路分别表示为两个终端设备，因此该网络具有D=7个设备和M=10个终端。这三个网络是这七个设备的连接点，在图中以圆圈表示。动态能量管理9设备终端表示为连接设备和网络的线（即边缘）。请注意，我们的框架将传输线（和其他电力传输设备）与其他设备（如发电机和负载）置于同等地位。在图中，我们用全球指数标记了终端电源。对于网络，我们有=1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 1 0 1.功率守恒条件Ap=0可以明确地写成asp+p+p+p=0，p+p+p=0，p+p+p=0（分别适用于网络1、2和3）。

第三个设备是line 1，具有全局localmatrixB=0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0.发电机通常产生功率，而不是消耗功率，因此我们预计发电机功率和pto为负值。同样，我们预计负载功率和pto为正值，因为负载通常消耗功率。如果line3是无损的，则p+p=0；如果3号线失去或耗散功率，则p+p（即失去或耗散的功率）为正。1.2.1.6发电机、负载和输电线路SOUR框架可以对一个非常通用的网络进行建模，其中的设备有两个以上的终端，以及可以发电或耗电的设备。但在这里，我们描述了一种常见的情况，其中设备分为三大类：负载是消耗功率的单终端设备，即具有正终端功率。发电机是单端发电设备，即具有负端功率。最后，传输线和功率转换设备是传输功率的两个终端设备，可能有耗散，即两个终端功率之和为非负。对于这样一个网络，节能使我们能够对总功率做出声明。每个网络的总功率为零，所以对所有网络求和，我们得出结论，所有终端功率之和为零。（此语句适用于任何网络。）现在，我们将终端划分为与发电机相关的终端、与负荷相关的终端和与输电线路相关的终端。将这三组的终端功率相加，我们得到发电机总功率、总负载功率以及输电线路中耗散或损耗的总功率。这三个幂加起来等于零。10 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytocknet 1 line 2 Net 2 Net 3 line 3 Gen。1根。2装载1装载2 PPPPPPPPPG1 G2Fig。1.1：左。三总线网络示例。正当

传统示意图。发电机总功率为负，负载总功率为正，输电线路中耗散的总功率为非负。因此，我们发现总发电量（以正数表示）正好平衡了总负荷加上输电线路的总功率损耗。1动态能量管理111.2.2最优功率流静态最优功率流问题包括找到在所有可行终端功率下使网络总成本最小化的终端功率：在Ap=0的情况下最小化f（p）。（1.3）决策变量为p∈ RM，所有终端功率的向量。该问题由D设备的成本函数FD、邻接矩阵A和全局局部矩阵Bd确定，对于D=1，D、 我们把这个问题称为静态OPF问题。我们会让p？表示最优功率流向量，我们指的是f（p？）作为潮流问题的最优成本（1.3）。如果所有设备成本函数都是凸的，则OPF问题是一个凸优化问题[5]。粗略地说，这意味着即使对于大型网络，也可以准确高效地解决此问题。1.2.2.1最优性条件如果所有设备成本函数都是凸的和可微的，那么终端功率向量p？∈ （1.3）的RMis最优当且仅当存在拉格朗日乘子向量λ∈ RN以便f（p？）=λ时，Ap？=0，（1.4）其中f（p？）f的梯度是p吗？[3]. 第二个方程是OPF问题的功率约束守恒（1.3）。对于给定的最优流矢量p？，存在满足（1.4）的唯一拉格朗日乘子向量λ。（这是因为矩阵A具有满秩。）拉格朗日乘子向量λ将在§1.2.3中再次出现，其中它将被解释为价格向量。上述一些假设（成本函数的凸性和差异性）可以放宽。

如果成本函数是凸的但不可微的，则可以通过将梯度替换为次梯度来直接扩展最优性条件（1.4）。（在这种情况下，拉格朗日乘子向量可能不是唯一的。）有关详细讨论，请参见【29，§28】。如果成本函数是可微的但不是凸的，则最优性的条件（1.4）是必要的，但不是充分的；见【3，第4章】。当成本函数既不是凸函数也不是可微函数时，可以使用广义（Clarke）导数来表示类似于（1.4）的最优性条件[9]。12尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克（Matt Wytock1.2.2）解决最优功率流问题当所有设备成本函数均为凸函数时，目标函数f为凸函数，而OPF问题为凸优化问题。可以使用标准算法精确（高效）地解决该问题；见【5】；所有这些方法还计算拉格朗日乘数λ以及最佳功率流p？。如果任何设备成本函数都不是凸的，则OPF问题是一个非凸优化问题。实际上，这意味着通常很难找到（1.3）的全局解决方案。然而，局部优化方法可以有效地找到满足最优性条件（1.4）的功率流和拉格朗日乘子向量。1.2.3价格和付款在本节中，我们描述了潮流优化的基本概念，即区位边际价格。这些价格导致了一个自然的支付方案。1.2.3.1扰动问题假设网络具有最佳功率流p？，我们想象从每个网络中提取额外的能量。我们用一个向量δ来表示这个扰动∈ 注册护士。当δn＞0时，从网络n中提取附加功率；δn<0表示向网络n注入额外功率。

考虑到这些附加功率流，功率守恒约束Ap=0变为Ap+δ=0。扰动最优功率流问题是在Ap+δ=0的条件下最小化f（p）。注意，当δ=0时，这将减少到最佳功率流问题。我们定义F:RN→ R∪ {∞}, 扰动最优成本函数，作为扰动最优潮流问题的最优成本，是δ的函数。粗略地说，F（δ）是通过优化所有网络功率流，并考虑网络功率扰动δ，得到的最小总网络成本。我们可以得到F（δ）=∞, 这意味着，在受干扰的注入和提取功率的情况下，网络没有可行的功率流。无扰网络的最优代价为F（0）。1动态能源管理131.2.3.2价格未受干扰网络的最佳成本变化为F（δ）-F（0）。现在假设F在0处是可微的（它不必是可微的；我们将在下面讨论）。对于小扰动，我们可以近似计算成本变化，asF（δ）- F（0）≈ F（0）Tδ=NXn=1Fδn（0）δn。这表明最优成本的近似变化是一个项的总和，每个项都与一个净相关，并与扰动功率δn成比例。我们将净n的位置边际价格（或仅价格）定义为Fδn（0）。净n的区位边际价格有一个简单的解释。Weimagine以最佳功率矢量p？运行的网络？。然后我们设想从净n中提取少量额外功率。考虑到额外功率扰动，我们现在重新优化所有功率流。

新的最优成本将（通常）从未受干扰的值略微上升，幅度非常接近我们的干扰时间的大小，即净n的区位边际价格。这是优化的一个基本结果，当f是凸且可微的，且f是可微的，我们有[30，28]λ=F（0）。（1.5）换句话说，OPF最优性条件（1.4）中的拉格朗日乘数正是区位边际价格的向量。在通常情况下，价格为正，这意味着当我们从电网中提取额外电力时，最优系统成本会增加；例如，至少一个发电机或其他电源供应商必须增加其功率输出，以提供额外的提取功率，因此其成本（通常）会增加。在某些病态的情况下，区位边际价格可能是有利的。这意味着，通过从网络中提取电力，我们可以降低系统的总成本。虽然这种情况在实践中可能发生，但我们认为这是网络设计或运行不佳的迹象。如果F在0处不可区分，仍然可以确定价格，但处理变得复杂，数学上也很复杂，因此我们不在这里包括它。当最优潮流问题是凸的时，系统成本函数F是凸的，价格由F在0处的次梯度给出；见【29，§28】。在这种情况下，价格不必是唯一的。当OPF问题是可微但非凸的时，（局部）最优性条件（1.4）中的向量λ可以解释为预测净扰动下局部最优成本的变化。14尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克（Matt Wytock1.2.3.3）付款地点边际价格为设备的自然付款方案提供了基础。

对于每个终端i（在全球订购中），我们（通过其关联设备）关联的付款等于其功率乘以关联的净价。我们将每个设备中终端的这些付款相加，以获得设备d将进行的付款Pd。将λ定义为包含设备d终端的网络上的价格向量，即λd=BdATλ。（这些价格在设备d的本地终端订单中给出。）设备d的付款是其终端的功率流乘以相应的位置边际价格，即Pd=λTdp？d、 对于单个终端设备，这将减少到按照位置边际价格（即λd）给出的费率支付功耗（即p？d）。发电机通常会有p？d<0，如上所述，我们通常有λd>0，因此付款是负数，即是发电机的收入。对于双终端设备，付款是与两个终端中的每一个相关联的两个付款的总和。对于传输线或其他电力传输或转换设备，我们通常有一个终端电源正极（电源进入设备的地方）和一个终端电源负极（电源输送的地方）。当相邻价格为正值时，该设备将收到所输送电力的付款，并支付其进入的电力。设备支付的费用通常小于向设备支付的费用，因此它通常会产生收入，这可以被视为对输送电力的补偿。净n下的所有付款总额为λn乘以净功率之和。但后者是零，因为节能，所以连接到网络的设备的所有支付总额是零。因此，设备支付可以被视为在网络上进行的货币交换；就像网队的力量被保留一样，支付也是如此。

我们可以想象netsas处理设备之间的权力转移，以及按照其位置边际价格给出的速率进行的金钱转移（即支付）。图1.2说明了这一想法，其中暗线表示电力流量，虚线表示付款，即资金流量。两者都是保存的ata网络。在此示例中，设备1是向作为负载的设备2和3供电的发电机。每个负荷按当地边际价格支付电力费用；这两次付款的总和就是给发电机的收入。由于每个网络的所有付款之和为零，因此网络中所有设备的所有付款之和为零。（这也可以直接看到：所有设备付款的总和是λTAp？，我们的Ap=0。）这意味着1动态能量管理15net 1设备1设备2设备32-5.-30图。1.2：具有3个端子的网络。深色箭头显示功率流（值标记为黄色），虚线箭头显示三个devicepayments（设备付款）（值标记为蓝色）。净价以绿色显示。支付方案是设备之间在网络上进行的货币交换。1.2.3.4利润最大化根据上述支付方案，设备d按照设备价格向量λd给出的费率为电力公司终端支付费用。如果我们将设备成本函数FD解释为成本（与终端支付的单位相同），则设备的净收入或利润为-λTdpd- fd（pd）。我们可以将第一项视为与终端生产或消耗的电力相关的收入；第二项是操作设备的成本。当FDI不同时，当fd（pd）+λd=0。（1.6）这是（1.4）中的第一个方程式（当以p？进行评估时）。我们得出结论，在给定区位边际价格λ的情况下，最优功率向量p？最大化每个设备的个人利益。

（这假设装置d是一个价格接受者，即它最大限度地发挥其效益，同时忽略其终端功率流对相邻电网边际电价的间接影响。违反这一假设可能会导致偏离最优状态；见【23，Ch.8】和【33，§6.3】。）当FD是凸的但不可区分时，可以建立相同的利润最大化原则。在这种情况下，任何最佳设备功率PD都会使性能最大化-λTdpd-fd（pd）。（但在这种情况下，这并不能唯一确定设备的最佳功率。）16尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克诺特（Matt WytockNote）（1.6）将相邻网络的电力价格与设备消耗的（最佳）电力联系起来。对于具有不同FD和最佳功率p的单终端设备？d、 我们看到相邻的净价必须是λd=-fd（p？d）。这是设备的需求函数。当FD可逆时，我们得到P？d=（fd）-1(-λd），（1.7），这可以解释为消耗或生产多少功率的处方，作为相邻价格的函数。对于具有不同fd和最佳功率p的多终端设备？d、 相邻网络的价格向量λdat为λd=-fd（p？d），是设备的（多终端）需求函数。当设备梯度函数可逆时，其逆函数将（负）相邻净价格映射到设备产生或供应的电力中。pd=(fd）-1(-λd）。（1.8）（在不可微分的凸成本函数的情况下，此处使用次梯度映射，并设定需求函数的值。）需求函数或其逆函数（1.7）和（1.8）可用于推导设备的合适成本函数。