动态能源管理

此外，满足所有设备约束条件：输电线路根据其容量传输功率，每个负载接收其所需功率，发电机提供正功率。1动态能源管理27净值1 33.6美元第1行2净值2 199.6美元第3行24.0美元第3代。1根。2负载1负载2-90-10-50-50 50-60图。1.8：三总线示例，带解决方案；绿色为区位边际价格，黄色为电力价格。我们发现，在第二台发电机附近的电力最便宜，而第二台发电机附近的电力并不接近任何负荷，而在第二台发电机附近的电力最贵。还要注意的是，尽管2号发电机的发电成本比1号发电机低，但输电线路的容量限制限制了生产。这导致该发电机的工资不高。（见表1.1。）另一方面，1号发电机的工资要高得多，这正是因为它靠近负荷1。除了发电机外，输电线路还通过输送电力来赚取费用。例如，第三条输电线路因将电力从发电成本较低的网3输送至有负荷但无发电的网2而获得了大量的费用。（可通过相邻网络的价格差乘以其上的功率流来计算付款。）因此，我们看到，两台发电机的发电费用由其支付，两台负荷的发电费用由其支付，三条输电线路的输电费用由其支付。收支平衡；它们的总和为零。

附录1.7.28 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt WytockDevice Payment（$）generator 1中给出了该示例的cvxpowercode-3024发电机2-1440负载1 1680负载2 19960线路1-8300线路2-96第3行-8780表1.1：三总线示例的设备付款。1.3动态最优功率流1.3.1动态网络模型在本节中，我们将§1.2的静态功率流模型推广到T个时间段的动态优化。每个终端不仅有一个功率流（与静态情况一样），而是一个功率计划，它是T功率流的集合，每个对应于T个时间段中的一个。每个设备都有一个成本函数，该函数将标量成本与其终端的功率调度相关联。网络在每个时间段无损地交换功率。如果终端设备流入网络的功率在每T个时间段总和为零，则功率守恒保持不变。如果这个条件成立，并且与终端电源相关的成本是有限的，那么我们说这些电源是可行的。1.3.1.1注释保留了静态情况下的大部分注释。然而，在dynamiccase中，功率流现在由矩阵p描述∈ RM×T。该矩阵的第m行描述了终端m的功率计划。第tth列描述了与时间段T相对应的所有终端的功率，即它是时间段T系统功率流的快照。矩阵pd=Bdp∈ RMd×t包含设备d终端的电源计划。设备d的成本函数为fd:RMd×T→ R∪ {∞}. 系统成本为设备成本之和，即f（p）=PDd=1fd（pd）。

功率守恒表示为矩阵方程Ap=0（即MT标量方程）。请注意，在单个时间段（T=1）的情况下，动态情况（以及所有相关的表示法）将简化为静态情况。1动态能量管理291.3.2最优功率流动态最优功率流问题是使f（p）最小化，受Ap=0，（1.15）和决策变量p的影响∈ RM×T，这是所有时间段内所有终端的功率流矢量。该问题由D设备的成本函数、邻接矩阵A和全局局部矩阵BD确定，对于D=1，D、 注意，如果T=1，（1.15）将减少到静态OPF问题（1.3）。1.3.2.1最优性条件如果成本函数f是凸的和可微的，那么价格又是功率约束守恒的大倍数。也就是说，功率流矩阵p？和价格矩阵λ∈ RN×皮重（1.15）最优当且仅当满足f（p？）=λ时，Ap？=0、注意f（p）是f相对于p元素的偏导数的M×T矩阵，这意味着第一个方程由M T标度方程组成。如§1.2.2.1所述，可以修改这些最优性条件，以处理凸的、不可微的成本函数（通过子函数）或非凸的、可微的成本函数（在这种情况下，它们是局部最优性的必要条件）。1.3.2.2解决动态最优功率流问题如果所有设备成本函数都是凸的，那么（1.15）是一个凸优化问题，可以使用标准算法精确解决，即使对于多个时间段的大型网络也是如此【5，§1.3】。如果设备成本函数不具有凸性，则通常很难找到（和证明）问题的全局解决方案。

然而，即使在这种情况下，有效的启发式算法（基于凸优化方法）通常也可以获得实际有用的（如果次优）功率流，即使对于大型问题实例也是如此。30尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克（Matt Wytock1.3.3 Prices and paymentsHere）我们探讨了动态区位边际价格的概念。扰动问题。如§1.2.3所述，这里我们考虑通过向每个网络中提取（少量）额外功率获得的扰动系统。然而，现在扰动是一个矩阵δ∈ RN×T，即扰动在终端和时间段内变化。受扰动的动态功率流问题使f（p）最小化，且受Ap+δ=0的影响。该问题的最优值，作为δ的函数，表示为F（δ）。价格。假设函数F在δ=0点可微分，则价格矩阵λ定义为λ=F（0）∈ RN×T。这意味着，如果在时间段T内将一个单位的功率提取到净n中，则问题（1.15）的最佳值预计将增加约λnt。那么，λ的任何元素都是给定时间段内agiven网络位置的边际电力成本。该矩阵的第n行是长度为T的向量，描述了T个时段内该净额的价格表。该矩阵的第tth列是长度为N的向量，描述了时间段t内所有网络的系统价格。价格矩阵λ也是拉格朗日乘子矩阵：与最优功率矩阵p？，满足最优性条件（1.3.2.1）。价格λnti是时间段t内净n的电价。如果时间段t持续h个时间单位，则λnth是该时间段内的电价。付款。在此，我们扩展了§1.2.3.3中的静态支付方案。

装置d在T个时间段内收到总额为text=1λTd，tpd，t1的动态能源管理31的付款，其中λdis是装置d附近nets的价格表矩阵，即λd=BdATλ。请注意，我们对每个时间段的付款进行合计。对于t=1，…，序列（λTd，tpd，t），T是付款计划或现金流。在动态情况下，付款在每个时间段和每个净额进行结算，即在每个时间段内，在单个净额上进行的所有付款均为零。（这是由于每个时间段、每个网络的功率都是守恒的。）1.3.4利润最大化根据上述支付方案，设备d的利润为-TXt=1λTd，tpd，t- fd（pd），如果fd是可区分的，则这将在pdif上最大化fd（pd）+λd=0。在所有设备中，这正是（1.3.2.1）的第一个最优性条件。换言之，如果相邻的净价格固定，最优功率流向量还可以最大化该设备终端功率计划中的单个设备性能。因此，可以通过最大化每个设备的性能来实现网络优化，但需要注意一些事项。（例如，参见最近的工作【24】。）1.3.5动态设备示例我们列出了动态设备及其成本函数的几个示例。每当我们在设备定义中列出设备约束时，我们的意思是，如果违反约束，则成本函数是有限的。（如果我们描述一个只有约束的设备，我们的意思是，如果满足约束，其成本为零，否则为零。）1.3.5.1静态设备所有静态设备，如§1.2.4中的示例，可概括为动态设备。设fd，t（pd，t）为t时设备的（静态）成本。其动态成本为所有单周期成本的总和32 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockfd（pd）=TXt=1fd，t（pd，t）。在这种情况下，我们说设备成本是可分的。

如果所有设备成本都具有此属性，则动态OPF问题本身会分解为静态OPF问题；在不同的时间段内，不存在将权力流动联系在一起的约束或客观条件。静态但时变的设备可用于建模，例如，可再生能源的时变可用性或时变固定负载。平滑的。动态设备目标的最简单通用示例可能是不可分离的，涉及成本术语或功率流量从一个时间段到下一个时间段的变化约束。我们通常将其称为平滑度惩罚，通常将其添加到其他可分离的设备成本函数中。平滑度惩罚的形式为-1Xt=0φ（pd，t+1- pd，t），其中φ是凸函数。（初始值pd，0是一个特定常数。）φ的可能选择为二次型（φ（x）=kxk=PMdi=1xi）、绝对值或`（φ（x）=kxk=PMdi=1 | xi |），或区间约束函数，φramp（x）=（0-rdown公司≤ x个≤ rup∞ 否则，将强制执行终端功率从一个周期到下一个周期的最大变化。（这些被称为发电机的爬坡率限制。）有关Moothing的更多详细信息，请参见【5，§6.3.2】。1.3.5.2动态发电机常规发电机。将静态模型扩展为动态模型的一个示例是常规生成器。（见§1.2.4.1。）将成本函数扩展为tofd（pd）=（PTt=1αpd，t+βpd，tpmin≤ -pd，t≤ pmax，t=1，T∞ 否则（1.16）1动态能量管理33，其中标量参数α、β、pmin和pmax与§1.2.4.1中的相同。（这些模型参数也可能在T时间段内发生变化。）如上所述，我们还可以添加平滑惩罚或渐变速率限制。固定式发电机。一些发电机无法控制，即它们产生固定的功率计划p fix∈ RT.设备约束为-pd=p fix，t=1。

T可再生能源发电机。可再生发电机可以控制，其最大功率输出取决于太阳、风或其他电源的可用性。也就是说，在每个时间段t，一台可再生发电机可以产生高达pavail，t≥ 0功率单位。设备约束是-pd，t≤ pavail，t.1.3.5.3动态载荷固定载荷。每个周期消耗固定功率的传统负载可以用简单的约束Pd来描述，t=（p fix）t，t=1，T、 其中，p轴为长度为T的固定功率表。可延迟负荷。可延迟负荷在给定的时间窗口内需要一定量的能量，但该能量的传递时间是可变的。例如，电动汽车必须在下次计划使用前充电，但充电时间表是灵活的。如果时间间隔内所需的能量为Edef≥ 0，则可延迟负载满足文本=shpd，t=Edef，其中时间段s和e限定了设备可以使用电源的时间窗口的开始和结束时间段，h是时间段之间经过的时间。我们还需要34尼古拉斯·莫勒、恩佐·布塞蒂、斯蒂芬·博伊德和马特·怀托克≤ pd，t≤ pmax时间段t=s，e、 其中Pmax是设备可以接受的最大功率。此外，对于时间段t=1，…，我们有pd，t=0，s- 1和t=e+1，T热负荷。在这里，我们对温度控制系统进行建模，例如建筑物的HVAC（加热、通风和空调）系统、服务器场的冷却系统或工业冰箱。该系统具有温度θt时间周期t和热容c。

该系统与其环境进行热交换，环境温度θamb恒定，热容有限。系统与环境之间的热导率为u>0。我们首先考虑冷却系统的情况，如冰箱或空调，其（冷却）性能系数η。系统在时间t使用的功率为pd，t。温度随时间变化，根据θt+1=θt+（u/c）（θamb- θt）- （η/c）pd，t。第二项是流入或流出环境的热流，第三项是来自冷却装置的热流。温度必须保持在一定的θmin范围内≤ θt≤ θmax，t=1，T、 功耗必须满足限制0≤ pd，t≤ pmax，t=1，T、 上述模型可用于描述η<0时的供暖系统。特别是对于电加热器，-η是效率，介于0和1之间。对于热泵，-η是性能的（加热）系数，通常超过1。其他可能的扩展包括时变环境温度和热动力学的高阶模型。1.3.5.4存储设备我们考虑单端存储设备，包括电池、超级电容器、飞轮、气动存储或抽水蓄能。我们不考虑这些技术的具体细节，而是开发一个接近其主要特征的简单模型。1动态能量管理35理想的储能装置。我们首先为理想的储能装置建模，然后专门研究更复杂的模型。让Et∈ R+是时间段t结束时设备的内能。（这是一个内部设备变量，其值完全由功率计划pd指定）。内能满足度+1=（1- α） Et+hpd，t，t=0，T- 1，其中α是（每周期）泄漏率，0<α≤ 1，h是时段之间的elapsedtime。

第一个时间段开始时的能量为E=Einit，其中Einitis给出。我们有最小和最大能量约束最小≤ Et公司≤ Emax，t=1，T、 其中Emin和Emaxa是最小和最大能量限制。此外，我们对充电和放电速率有限制：pmin≤ pd公司≤ pmax。我们可以对存储设备中的能量施加限制，例如，ET=Emax，即在最后一段时间内充满。利润最大化原则允许我们将理想的无损存储设备（即α=0）在不同时间段的价格联系起来，该设备不会达到其能量上限或下限。相邻网络不同时期的价格必须相同。（如果没有，存储设备可以通过在价格低的时候充电一点，在价格高的时候释放同样的能量来增加其利润。这类似于不在其限制范围内运行的无损传输在线，强制其两个网络的价格相等。传输线在两个网络上定价；存储设备在两个时间段内定价。Charge/排放成本。许多存储设备（如电池）会随着使用而退化。可以添加充电/放电惩罚，以避免过度使用设备（或模拟摊销或维护成本）。除了上述约束外，我们还提出了成本βTXt=1 | pd，t |，（1.17），其中β是一个正常数，并且我们隐式地将向量E视为向量pd的函数。对于资本成本为C的电池，在ncyc（充电和放电）循环的估计寿命内，合理的选择36 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockforβ是β=Ch2ncyc（Emax- Emin）。转换损失。在许多情况下，充电或放电时会损失能量。这可以通过添加有损传输线来建模。

（见§1.2.4.4。）理想存储设备与其网络之间的关系，如图1.9所示。理想的存储。有损传输。有损电池组。1.9：具有转换损耗的电池可以建模为由理想存储单元和有损耗传输线组成的复合设备。1.3.6家庭能源示例我们考虑一个有四个设备的家庭网络：常规发电机、固定负载、可延迟负载和储能设备。如图1.10所示，它们都连接到单个网络。我们在一整天内对其进行操作，将其分为1280个时间段，每个时间段为1分钟。发电机存储延迟负载图。1.10：家庭能源示例的网络拓扑。1动态能量管理37发电机成本函数由（1.10）给出，α=0.0003$/（kW），β=0$/（kW），pmin=0 kW，pmax=6 kW。（理想）储能装置的放电和充电速率为pmin=-2 kW，pmax=2 kW，最小和最大容量Emin=0，Emax=5 kWh，且初始不充电。可延迟负载的最大功率pmax=5kW，并且必须在8:00和20:00之间接收Edef=30 kWh的能量。不可控负荷具有随时间变化的电力需求曲线，如图1.11所示，以及问题解决方案。后果图1.11显示了最佳功率和价格表，以及存储设备的内部能量。我们发现，存储设备和可延迟负载在一段时间内平滑了电力需求，从而降低了总发电成本（与没有存储设备的相同系统相比，或与另一个固定负载而不是延迟负载相比）。