网络上的价格设置

聚合游戏由Selten（1970）首次提出，Jensen（2010）在聚合游戏文献方面取得了最新进展；Martimort和Steel（2012）；和Acemoglu和Jensen（2013年），Nocke和Schutz（2018年）曾利用这一点对工业组织中的问题进行了新的阐释。一个经典的聚合博弈是acontest，本文基于Hinosar（2018）最近关于连续竞争的研究，将该方法扩展到网络和不对称成本。有关聚合游戏的文献综述，请参见Jensen（2017）。请注意，当玩家数量非常大时，这些游戏就变成了平均场游戏（参见Jovanovic andRosenthal（1988））。还有其他属于竞赛和网络文学交叉点的论文，包括研究网络竞赛的Franke和"Oztürk（2015）以及Matros和Rietzke（2018），以及研究网络传染的Goyalet等人（2019）。3模型3.1设置模型是静态的，研究单一最终产品的供应。最终产品有一个需求函数D（P），其中P是其价格。生产和供应过程需要M+n输入。我规范化输入的单位，以便每个输入的一个单位需要产生一个单位的输出。投入i由i公司生产，其产品具有恒定的边际成本Cian和价格Pi。价格是指模型中企业的单位收入减去支付给其他企业的款项后的价格。由于标准化，公司i的产品数量（即i的投入数量）等于D（P）。因此，我得到的结果是πi（p）=（pi- ci）D（P），其中P=（P，…，pm+n），最终货物的价格是所有净价的总和，P=pm+ni=1pi。我假设输入n+1中的m，n+m由价格接受者生产，他们将其价格视为固定价格。

此类公司可以在竞争激烈的行业中运营，也可以作为伯特朗的竞争对手竞争，在这种情况下，其价格等于该行业中第二廉价公司的边际成本。该公司也可以在受监管的行业中运营，其价格由监管机构设定。其余n家公司1，n是垄断者，他们战略性地设定价格，即最大化利润，预测最终产品的销售影响。为了完成模型的描述，我需要说明企业的价格如何影响其他垄断企业的行为，我通过引入影响网络来做到这一点。从形式上讲，影响网络由所有n个垄断者组成，作为定义影响的节点和边缘。边缘被描述为n×n邻接矩阵A，其中元素aij=1表示企业i影响企业j。也就是说，当企业j选择价格pj时，它会采用给定的价格PIA，并对其做出最佳响应。当然，我公司知道这一点，当选择PI时，它知道j会做出最佳反应。最后，如果i和j没有直接联系，即aij=aji=0，则两者都不对另一家公司的偏差作出反应。他们期望其他企业按照其均衡战略行事。为了方便起见，我假设对角线元素都是0。我将在下一小节中讨论影响网络的几个示例。让我在这里对模型发表三点看法。首先，价格接受者是非战略参与者，因此在不丧失一般性的情况下，我将其替换为单个参数c=Pn+mi=n+1pi。参数CCA可以解释为供应链的成本。I用C=C+Pni=1ci表示供应链的单位总成本。其次，该分析并不要求供应链上的每一家公司要么始终是价格接受者，要么始终是垄断者。

我在描述中使用的假设是，垄断者根据其局部最优条件进行行为，而价格制定者则根据给定的局部条件进行定价。当模型参数发生变化时，在某种情况下是垄断者的公司可能会成为价格接受者。第三，影响网络使游戏具有连续性。如果aij=1，则公司在公司j之前就已确定其价格。公司j随后观察到，计划可能会做出最佳反应。当然，我公司知道这一点，因此可以预测j公司的反应。我认为边际成本是恒定的，公司选择价格而不是更复杂的合同的假设是限制性的，可以放宽，但会导致更难处理的分析。对于纯战略子博弈的完美纳什均衡，参与者根据给定的其他参与者的一些选择，并最大化其利益，预测对其他参与者的选择和最终良好需求的影响。3.2影响网络示例我在本文中介绍的影响网络与供应链网络相关，但不同。典型的供应链网络规定了商品和服务的流动（物质流动），以及资金和信息的流动。这些流量的具体情况既不必要也不足以描述定价决策。对于定价决策，该模型需要指定每个垄断者在做出定价决策时知道什么，以及该决策预计如何影响其他企业的选择。换句话说，该模型需要规定价格的可观察性和企业的承诺力。

如上所述，我通过假设存在一个众所周知的网络来对此进行建模，这样每当从I到j有一条边时，j公司都会观察到它，因此在其优化问题中会考虑到它。首先考虑一个非常简单的案例，只有两家公司，F（最终产品生产商）和R（零售商）。然后有三种可能的网络，如图1所示。首先，案例（图1a）没有影响，因此企业独立设定价格，最终产品以P=pF+pR出售。在许多情况下，这可能是一个合理的假设。例如，如果两者都是与许多类似企业互动的大型企业。那么最终产品生产者F对特定零售商R的反应不是最好的，而是对均衡p的反应*代表零售商的Rof。类似地，零售商对特定生产者F的偏差反应最好，但对均衡价格p反应最好*Fof代表制片人。另一个很自然做出这种假设的例子是，两家公司分别向最终消费者销售完全互补的产品。同样，战略影响可能有很多原因。例如，生产商F对零售商R的下游影响（图1b）可能会出现在大型生产商和小型零售商之间，其中代表性零售商对F定价的反应最佳。大型生产商知道零售商对其定价的反应，因此会考虑代表性零售商的最佳反应方式。当然，影响可能会朝相反的方向发展（如图1c所示），原因也是一样的——大型零售商R知道小型生产商F最能应对其价格变化。

在本文中，我将这些影响视为已知的，并简单地假设，由于外部原因，一些公司比其他公司拥有更多的承诺力。F R（a）无影响F R（b）下游F R（c）上游图1：示例：三种可能的两人网络。让我用另外三个例子来说明影响网络。图2描述了具有下游到上游影响的零售链示例。在这个例子中，虽然我没有排除混合策略均衡的可能性，但我表明，总是存在性别歧视者独特的纯策略均衡，因此关注它是很自然的。有一个强大的零售商R，他可以承诺在批发商价格PW的顶部添加加价，这样最终商品的价格将为P=PW+pr。批发商W接受给定的价格并承诺其加价PW，这样当经销商的价格为PD时，然后批发价格是PW=PD+PW，因此最终的好价格是P=PD+PW+pR。然后分销商D根据给定的加价PW和Pra设置其加价PD。最后，最终产品生产者F设定价格pF，考虑到最终消费者将支付P=pF+pD+pW+pR。F D W RA=F D W RF 0 0 0 0 D 1 0 0 0 W 1 1 0 R 1 1 0图2：示例：具有下游到上游影响的零售链。影响也可能朝相反的方向发展。图3给出了一个生产链的示例。在这个例子中，有一个小生产者F生产最终产品，并使用三种投入品，由中间产品生产者I、I和I生产。企业F根据其投入品PI、PI和PIA的价格，选择最终产品的价格，PF=P。中间产品生产商使用两种原材料作为投入品，分别由兰德R公司生产。在本例中，我公司在选择PItakes PRas和PRas时给出。重要的是，由于公司和我都没有使用这些投入，他们不知道兰特RB的实际价格，但他们可以做出均衡推测。

因此，虽然企业在考虑均衡价格的同时*在他们的优化问题中，他们无法应对PRi中的潜在偏差，而公司和F可以应对这些偏差。可以方便地将价格重新定义为净价，扣除转移到其他公司的费用，即pR=pR，pR=pR，pI=pI，pI=pI- 公共关系- pR，pI=pI，pF=P- 圆周率- 圆周率- 圆周率- 公共关系- pR，所以pipi=P。RRIIFA公司=RRIIFR0 0 0 0 1 0 1R0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1I0 0 0 0 0 0 0 1F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0图3：示例：具有上游到下游影响的生产链。没有理由假设所有的影响都以相同的方向流动，或者网络是一棵树。图4给出了另一个示例，其中三家公司使用相同的材料L（劳动力），即T（运输）、F（最终产品生产商）和C（通信）。这三家公司独立制定价格，但F额外考虑了D（经销商）和R（零售商）的加价。LTFCD RA=L T F C D RL 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0图4：示例：一个小生产者和一个普通原材料生产者的网络3.3规律性假设我做出三个技术假设，这三个假设足以证明平衡的存在性和唯一性。这些假设在大多数应用中都很自然，可以简化分析，但也可以放宽。第一个假设规定了网络的类别。假设1。网络A是非循环的和可传递的。假设网络是非循环的是很自然的。如果公司j接受给定的PIA，那么这意味着公司i不能接受给定的PJA。对于两个以上参与者的循环也是如此。

注：当aij=aji=0且网络无需连接时，假设允许i和j公司进行独立选择。及物性要求，如果i影响j，j影响k，那么i也直接影响k，即k取给定的pjand和pia。在上面的例子中，这是一种自然分类。放松及物性假设将增加向游戏发送信号的可能性。例如，假设在图4所描述的网络中，从R到F没有边缘。那么F公司知道PRA将被添加到价格中，但不知道其价值。然而，由于F知道Pd，D知道pR，因此Pd价格可能会显示一些关于pR的信息。传递性假设排除了此类信号可能性，因此显著简化了分析。第二个规则性假设对需求函数进行了标准限制。需求函数D（P）是一个光滑且严格递减的函数。它要么有一个需求为零的有限饱和点P，要么以足够快的速度收敛到零，从而很好地定义了利润最大化问题。假设2。需求函数D：[0，P）→ R+在[0，P]中连续可微且严格递减，其中P∈ R+可以是有限的，也可以是有限的。此外，它满足极限条件limP→∞P D（P）=0。第三个也是最后一个规律性假设确保需求函数D（P）表现良好，因此可以使用一阶条件找到每个企业的最优值。文献中通常会做出一个规律性假设，即D是可微的，而其结果是单峰的。特别是在理论工作中，需求是周期性：@i，I使所有I=···=aik-1ik=aiki=1。等效地，An=0。及物性：如果aij=ajk=1，那么aik=1。

等效地，A≥ A、 与典型的信令模型相比，这里的私有信息是关于其他参与者的选择（尤其是偏差），而不是一些潜在的不确定性。通常被认为是线性的。然而，在实证文献中，逻辑需求更为常见。在这里，我对需求函数进行了一个假设，该假设与标准的正则性假设相一致，并且涵盖了线性和logit需求函数。设网络深度d（A）为A中最长路径的长度。例如，图4中深度d（A）=3（从路径R→ D→ F）。此外，让我们定义一个函数g（P）=-D（P）D（P），（1），这是表示需求函数的一种方便的替代方法。注意g（P）=Pε（P），其中ε（P）=-dD（P）dPPD（P）是需求弹性。然后，我对需求函数的形状做出以下假设。假设3。g（P）是严格递减的，且P中的d（A）-次单调∈ （0，P），即对于所有k=1，d（A），衍生KG（P）DPK存在和(-1） kdkg（P）dPk≥ 0表示所有P∈ （0，P）。为了解释这个条件，让我们看看标准垄断定价问题maxPπ（P）=maxP（P-C） D（P）。然后是P的最优性的一阶必要条件*是π（P*) = D（P*) + （P*- C） D（P*) = 0=> P*- C=g（P*), （2） 这说明了g（P）表示法的便利性。此外，最优性的一个有效条件是π（P*) ≤ 0或相当于2[D（P*)]≥ D（P*)D（P*). 注意，这方面的有效条件是[D（P*)]≥ D（P*)D（P*), 相当于-g（P*) ≥0

因此，在标准垄断问题中，g（P）的单调性保证了垄断利润具有唯一的最大值，可以使用一阶方法找到。对于一般网络，条件更强，它还保证最佳响应和最佳响应的最佳响应表现良好，因此一阶方法是有效的。如垄断示例所示，该条件是有效的，并且不是必需的，但它很容易检查，并且适用于许多应用。下面的命题提供了一个形式化的陈述，通过证明对于D（P）上的许多典型函数形式假设，函数g（P）是完全单调的，即对于任意大的D∈ N、 因此，假设3适用于所有网络。命题1（许多需求函数暗示完全单调g（P））。下面的每一个需求函数都暗示了任意d的d次单调g（P）∈ N： 1。线性需求D（P）=a- a、b>0的bP=> g（P）=P- P，其中P=ab>0.2。电力需求D（P）=Dβ√一- d、β、a、b>0的血压=> g（P）=β（P- P）。3、逻辑需求D（P）=de-αP1+e-αp，d，α>0=> g（P）=αh1+e-αPi。指数需求D（P）=a-beαp，a>b>0，α>0=> g（P）=αhP e-αP- 1i。请注意，对于所有四个函数，假设2显然也满足。线性和功率需求函数具有饱和点P，logit需求满足limP→∞P D（P）=D跛行→∞αeαP=0，指数需求具有饱和点P=αlogab。形式上，d（A）是最小的d，因此Ad=0.4特征在本节中，我首先讨论两个示例，说明非线性和网络结构带来的复杂性。我用这些例子来说明我用于平衡表征的技术。

本文的主要结果是表征定理，它将该方法形式化。4.1示例：非线性需求第一个示例说明了当决策是连续的时，使用非线性需求函数所产生的复杂性。让我们考虑逻辑需求D（P）=e-P1+e-P、 图5显示了无成本生产和两个按顺序选择价格的垄断企业。也就是说，第一个表1选择价格p，表2考虑了价格p，当选择价格p时，最终产品的价格为p=p+p。图5：示例：两个连续垄断。在这个博弈中，找到均衡的标准方法是反向归纳法。首先，通过求解maxppD（p+p），找到表2的最佳响应函数。最优性条件是：πdp=D（p+p）+pD（p+p）=0<==> ep（1- p） =e-p、 （3）解决此问题，给出最佳响应函数p*（p） =1+W（e-（p+1）），其中W（·）是Lambert W函数。替换p*（p） 对于表1中的优化问题，给定一个极限概率（p+p*（p） （）=> 1+e-（p+1）-W（e）-（p+1））=p1+-e-（p+1）W（e）-（p+1））e-（p+1）+W（e）-（p+1））！。（4） 通过数值求解得到p*≈ 1.2088，因此p*≈ 1.0994和P*≈ 2.3082. 然而，最优性条件（4）没有解析解。这意味着，当网络比本文研究的网络更复杂时，标准方法会失败。不能使用反向归纳法，因为计算最佳响应函数并将其替换为其他企业的最大化问题是不可行的。问题是可处理性，因为最优性条件是非线性的，解决它们会导致复杂的表达式。按顺序替换最佳答案会加剧这些复杂性。这一问题的解决方案来自Hinosar（2018），他提出通过反向最佳响应函数来描述以下参与者的行为。