网络上的价格设置

关键的观察结果是，尽管方程（3）分别是pand P的高度非线性函数，但P=P+等于P=P的线性方程-p、 函数W（x）定义为x=W（x）eW（x）的解。因此，对于最终商品的固定价格P，如果表2与最终商品价格P一致，则很容易找到价格。I用f（P）表示，即f（P）=P=-D（P）D（P）=g（P），其中g（P）=1+e-P、 公司1知道，如果将价格设定为P，最终产品的价格将满足P=P+f（P）。因此，我们可以将表1的问题视为选择P来解决MaxP[P- f（P）]D（P）=> f（P）=P=P- f（P）=g（P）[1- f（P）]。因此，如果最终商品的均衡价格为P*, 那么，两个层的最佳行为要求P*= f（P*) + f（P*) = 2克（P*) - g（P*)g（P*). 这个方程是向前延伸求解的，同样的参数可以很容易地扩展到更多的玩家按顺序选择。在我们得到的特定表达式中，还有一种模式是角色化将利用的。即平衡条件isP*= 2克（P*) - g（P*)g（P*) = 2克（P*) + g（P*),其中g（P*) = g（P*) 和g（P*) = -g（P*)g（P*). 右侧的表达式由两个元素组成。第一，2g（P*) 捕捉到这样一个事实，即有两名球员各自最大限度地发挥自己的优势。第二个g（P*) 捕捉玩家1影响玩家2的事实。很容易验证，例如，如果我们消除这种影响，即两个垄断者同时选择价格，平衡条件将变为P*= 2克（P*).这种方法的主要优点是易于处理。

这种方法不需要在每个步骤中求解非线性方程，并将结果表达式插入到下一个最大化问题中，从而产生更复杂的非线性表达式，而是允许将所有必要的优化条件组合到一个必要条件中。在假设2和3下，得到的表达式有唯一的解，这为我们提供了一个内部平衡的唯一候选解。在相同的假设下，最优的有效条件也得到满足，因此它决定了唯一均衡。4.2示例：相互关联的决策第二个示例说明了在决策相互关联的网络情况下出现的新问题。例如，在图4所示的网络上，公司L和D做出独立决策，但由于他们的立场，他们对之前和之后发生的事情有不同的看法。公司D仅影响F，但L也影响T和C。类似地，D取给定的PRA，而L不观察PRA，因此必须对R的最优行为进行均衡猜测。因此，不再可能按顺序求解博弈。为了说明这个问题，请考虑图6所示的简单网络。让我们假设需求是线性D（P）=1- P，并且没有成本，也没有价格接受者。A=1 2 3 41 0 0 1 12 0 0 0 13 0 0 0 04 0 0 0 0图6：示例：具有互联决策的网络公司的策略分别为p*, p*, p*（p） ，和p*（p，p）。让我们首先考虑玩家4的问题，他观察到了pand，pand期望玩家3的平衡行为。因此，玩家4 SolvesMap≥0p[1- p- p- p*（p）- p]=> p*（p，p）=[1- p- p- p*（p） 】。而该条件为最佳响应函数p提供了条件*（p，p），我们还没有对其进行描述，因为它需要知道p*（p） 。

玩家3解决了一个类似的问题，但没有观察到，并期望pto为p*（p，p*)最大值≥0p[1- p- p*- p- p*（p，p*)] => p*（p） =[1- p- p*- p*（p，p*（p） ）]。同样，显式计算这个最佳响应函数需要知道p*（p，p），但也是参与者2的均衡价格，即p*. 为了方便地计算最佳响应函数（即相互独立），我们首先需要通过插入p*到玩家4的最优性条件。这给了usp*（p） =p*（p，p*) =[1 - p- p*] => p*（p，p）=[1- p] +p*-p、 注意，pand pwe现在描述的价格仍然不是真正的最佳响应函数，因为它们取决于均衡价格p*, 这一点尚待确定。为此，我们需要解决参与者2的问题，他们希望参与者1选择均衡价格p*最大值≥0p[1- p*- p- p*（p*) - p*（p*, p） 】。采用一阶条件并在p=p时进行评估*给出一个条件[2- 2p级*- 5便士*] = 0。（5）最后，玩家1解决了一个类似的问题，取p*固定，即maxp≥0p[1- p- p*- p*（p）- p*（p，p*)] .再次，采用一阶条件并在p=p时进行评估*给出[1- 2p级*- p*] = 0。（6）解方程组方程（5）和（6）得到p*=, p*=. 将这些值插入到上面导出的函数中，可以得到最佳响应函数p*（p）=-总图p*（p，p）=-p-p、 我们还可以计算均衡价格sp*（p*) = p*（p*, p*) =. 因此，最终产品的均衡价格为P*=.如示例所示，找到平衡策略需要同时求解方程组组合和找到最佳响应函数。网络中的每一条传统边缘都可以创建一个新的复杂性层。反向最佳响应方法解决了这个问题，如下所示。考虑表4的优化问题。对于给定的（p，p），选择最优p。

我们可以将其优化问题重新考虑为选择最终好的价格P=P+P+P*（p） +p它想要诱导的。我们可以重写它的最大化问题asmaxP[P- p- p- p*（p） ]D（p）=> D（P）+[P- p- p- p*（p） ]D（p）=0，可重写为p- p- p- p*（p） =-D（P）D（P）=g（P）=1- P这是最优性的必要条件，但由于问题是二次的，很容易看出它也是有效的。此表达式隐式给出了最佳响应函数p*（p，p）。但更直接地说，左边的表达式是最优的P，这与最终的好价格P和表4的最优行为一致。让我们用f（P）=1来表示它- P表3的问题是类似的，f（P）=1- P现在，考虑一下表2。不要选择pit，可以再次考虑选择最终好的价格P。由于只有表4观察到了它的选择（因此选择p=f（p）作为对期望p的响应），表2的问题可以写成asmaxP[p-p*-p*（p*)-f（P）]D（P）=> [1-f（P）]D（P）+[P-p*-p*（p*)-f（P）]D（P）=0，这给了我们一个条件f（P）=P- p*- p*（p*) - f（P）=2（1- P）。表1的类比计算得出f（P）=3（1- P）。现在，均衡价格P*最终产品必须与个人选择一致。因此我们得到一个条件p*=Xi=1fi（P*) = 7(1 - P*).解这个方程得到P*=和个人价格p*= 3(1 - P*) =, p*=,和p*= p*=.请注意，对于非线性需求函数，可以很容易地应用相同的计算，其中一些g（P）=-D（P）D（P）。这将给我们一个平衡条件p*=Xi=1fi（P*) = 4g（P*) + 3g（P*),式中，g（P）=g（P）和g（P）=-g（P）g（P）。这也是我们在上一个示例中看到的相同模式，因为玩家的数量是4，边的数量是3。

在线性需求的情况下，g（P）=g（P）=1- 因此g（P）=1- P此示例说明了反向最佳响应方法的优势。由于该方法将所有必要条件结合在一起，相互关联的决策问题会自动缓解。4.3特征如上例所示，定义函数g、…、，gn，它捕获需求函数的相关属性。它们以递归方式定义为g（P）=g（P）=-D（P）D（P）和gk+1（P）=-gk（P）g（P）。（7） 正如关于垄断利润最大化的讨论和举例所示，g（P）捕捉到利润函数的标准凹度，而g（P）捕捉到当一家公司观察另一家公司的价格时的直接阻碍效应。功能g，GN在描述高阶沮丧效应时也扮演着类似的角色。还要注意，邻接矩阵A提供了一种方便的方法来跟踪直接和间接影响的数量。将邻接矩阵与1的列向量A1相乘，得到一个向量，该向量包含每个游戏者输出的边数（即列上的和）。类似地，1A1是网络上的边总数，即直接影响的总数。将邻接矩阵自身相乘，即A=AA，得到一个描述两条边路径的矩阵，即元素ai，jis，用一个中间步骤表示从i到j的路径数。类似地，矩阵描述了从每个i到每个j的所有k步路径的数量。

当我们取k=0时，Ais是一个身份矩阵，它可以被解释为0步路径（很明显，玩家i通过跟随0边可以到达的唯一玩家是玩家i自己）。因此，Ak1是一个向量，其元素是来自playeri的k步路径数，可以直接计算为eiAk1，其中EI是列向量，其中ith元素为1，其他元素为零。类似地，1Ak1是网络中所有k步路径的数目。下面的表达式对图4所描述的网络进行了这些计算，该网络有六个玩家、六条边和一条双边路径（R→ D→ F）。A1 A1 A1 AL 1 3 0 0 t 1 0 0 0 f 1 0 0 c 1 0 0 d 1 1 0 r 1 2 1 0 ak-11 6 6 1 0. （8） 有了这个符号，我现在可以陈述这篇文章的主要结果，即描述定理，它表明存在唯一平衡，并显示了如何使用我们讨论的组件来描述它。定理1。有一个独特的均衡，最终的好价格P*解决方案是否处于顶部*- C=nXk=1Ak-11gk（P*), （9） 个别价格为p*i=ci+Pnk=1eiAk-11gk（P*) 对于所有i.附录A中的证明建立在上述观点的基础上。几句话很有条理。唯一性很容易确定。假设3意味着eachgk（P）是弱递减的（这在附录A的引理2中正式显示）。因此，等式（9）的右侧在减小，而左侧在严格增大。与反向最佳响应函数的联系也很清楚，因为个别价格由p*i=ci+fi（P*).5多重边缘化问题让我首先通过与已知基准案例的比较来解释平衡条件方程（9）。首先，当所有公司都是价格接受者时，网络是空的，因此（9）的右侧为零。

因此，正如预期的那样，平衡条件为P*= C、 即最终产品的价格等于最终产品的边际成本。标准论点暗示这也是福利最大化的解决方案。其次，假设存在一个单一的垄断者，即n=1，a=[0]。因此，在（9）的右侧有一个值为g（P）的元素*). 我们可以重写条件asP*- 人物配对关系*=g（P*)P*=ε（P*), （10） 这是标准的逆弹性法则：加价（勒纳指数）等于逆弹性。通常存在垄断扭曲，因为垄断者没有将对消费者剩余的影响内部化，最终产品的价格均衡价格较高，均衡数量低于社会最优值。这也是联合利润最大化的结果。第三，考虑n>1个同时做出决策的垄断企业。也就是说，网络有n个节点，但没有边。与单个垄断者类似，我们可以重写平衡条件asP*- 人物配对关系*= 1Ag（P*)P*=nε（P*)>ε（P*). （11） 总的加价现在严格高于单一垄断企业的情况。这是一个标准的多重边缘化问题——企业不仅没有内部化对消费者剩余的影响，也没有内部化对其他企业的影响。因此，这种扭曲甚至比单一垄断者的情况更大，这意味着与单一垄断者相比，总利润和社会福利都有所减少。本文研究的新案例涉及多个垄断者和一些影响因素。即n>0，A 6=0。在这种情况下，可以将条件写入asP*- 人物配对关系*=nε（P*)+nXk=2Ak-1gk（P*)P*>nε（P*). （12） 总的加价和失真甚至比n个独立的垄断者更高。这方面的直觉很简单：假设存在一条边，因此i影响j。

然后，除了我之前的贸易公司外，现在提高价格将降低j公司的盈利能力，j公司将通过降低价格来应对。因此，与同时决策相比，PI更高，PJ更低。最终产品的价格如何，这取决于计划和pj的总和？如果INPJ的降幅如此之大，以致于总价格不会上涨，那么pi将不是最优的，因为企业i的利润是（pi-ci）D（P），即在计划中增加而在计划中减少P，因此我想进一步提高价格。因此，在均衡状态下，最终产品的价格应该上涨。我将这一观察结果形式化并概括为推论1。色系来自方程式（9）和GK函数的非负性。推论1（严重的多重边缘化问题）。假设有两个网络A和B，即1。1Ak公司-11≥ 10万-11适用于所有k∈ {1，…，n}和2。1Ak公司-11>1Bk-11对于至少一个k，则A的社会福利和总福利都低于B。结果表明，多重边缘化问题随着战略影响而增加，但没有给出其程度。为了说明这种影响可能是严重的，让我举一些数字例子。首先，假设需求是线性的，D（P）=1-P，没有成本，也没有价格接受者。然后，标准计算意味着总福利最大化，一个垄断者会选择价格，这将导致体重下降。因此，任何网络的自重损失都是最少和最多的。图7说明了最佳情况下（同时决策）和最坏情况下（连续决策）的自重损失之间的差异。即使在最好的情况下（带三角形的蓝线），多重边缘化问题也可能严重，并且在n中不断增加。

然而，对于任何n来说，战略互动的扭曲程度（用圆圈画红线）都要高得多，体重下降很快就会完全破坏社会福利。这一比较表明，战略影响放大了任何n.nDW的多重边缘化问题。图7：示例：在最佳情况（同时决策）和最坏情况（连续决策）之间，模型中线性需求的自重损失比较。与战略影响相比，企业数量有多重要取决于需求函数的形状。图8对此进行了说明，它与更一般的电力需求函数D（P）=β进行了相同的比较√1.- P当β<1时，则相对较高的权重被赋予更直接的影响。事实上，图8a表明，当β=时，最佳情况和最坏情况下的体重下降没有多大差别。另一方面，当β>1时，间接影响越大，权重越大。图8b对此进行了说明，其中两种情况之间的差异很大。nDW L（a）β=nDW L（b）β=10图8：示例：自重损失与功率需求的比较D（P）=β√1.- p在影响力的最佳情况（同时决策）和最坏情况（连续决策）之间6.1衡量影响力的指标网络上的所有垄断企业都有一定的市场影响力，因此获得了严格的正利润。但一些企业的影响力比其他企业更大。哪些以及这如何依赖于网络？答案直接来自于《理论1》中的人物描述。为了简洁起见，让我表示ii（A）=nXk=1eiAk-11gk（P*), （13） 这是一个标量的和eiAk-11按gk加权（P*). 请注意，eiA1=1，eiA1是参与者i影响的数量，eiA1是从i开始的两条边路径的数量，依此类推。

因此，Ii（A）可以解释为参与者i的流动性度量。确定最终商品P的均衡价格*, 个别加价为p*我-ci=Ii（A），因此πi（p*) = （p*我-ci）D（P*) = Ii（A）D（P*). 因此，Ii（A）充分了解影响i公司行动和回报的网络细节。推论2提供了一个正式的陈述。一般DW L（P*) =卢比*[D（P）- D（P*)]数据处理下一节将更详细地讨论电力需求函数的计算和β的影响。推论2（Ii（A）总结了影响）。Ii（P*) > Ij（P*) 当且仅当πi（p*) >πj（p*) 和pi- ci>p*j- cj。流动性Ii（A）的衡量取决于网络结构和需求函数。在某些情况下，我们可以说得更多。特别是，如果IH公司在所有层面上的影响力大于j公司，即eiAk-11≥ ejAk公司-11对于所有k，至少对一个k，然后Ii（A）严格规定最低质量≥ Ij（A），不考虑重量gk（P*).当gk（P*) > 0表示k，以便eiAk-11>ejAk-11、例如，当i影响j时，则为eiAk-11≥ ejAk公司-对于任何需求函数，至少k=1，so Ii（A）>Ij（A）的不等式是严格的。6.2与网络中心性指标的联系上述流动性指标让人想起了经典的中心性指标，因为它捕捉到了相同的效果：一个参与者如果影响到更多的参与者或更多的流动性参与者，则更具流动性。不同之处在于，虽然经典的中心度指标仅使用网络特征定义，但此处定义的流动性指标具有内生权重，由需求函数、成本等模型参数以及最终产品的价格确定。在某些特殊情况下，这种联系甚至更紧密。考虑功率需求D（P）=Dβ的情况√一- 英国石油公司。