网络上的价格设置

如第7.2节所述，它意味着线性gk（P）=βk（P-P）。因此Ii（A）=（P-P*)Bβi（A），其中Bi（A）β=Pnk=1βkeiAk-11是参与者i的Bonacich中心性度量。一般度量Ii（A）可以被认为是Bonacich中心性的推广，其中权重由需求函数和平衡内生确定，而不是具有指数衰减βk。线性需求d（P）=A-bP是功率需求β=1的特例。因此，影响度量Ii（A）简化为β=1的博纳希奇中心度度量，即每个影响水平的权重相等。然而，影响度量并不总是必须具有真实的中心性。让我再举两个例子来说明这一点。首先，假设D（P）=de√2（a-bP）/b。这是一个特定构造的需求函数，意味着g（P）=g（P）=q2（a- 因此g（P）=b，这意味着对于所有k>2的情况，gk（P）=0。利用这些权重，流动性度量简化为Ii（A）=q2（A- 英国石油公司*) + beiA1，即，仅取决于参与者i直接影响的参与者数量。也就是说，在这种情况下，影响力度量是度中心度的线性函数。例如，考虑logit需求D（P）=de-αP1+e-αP。正如我将在第7.3节中所示，它可能导致复杂的表达式，但当n足够大时，则g（P*) ≈α和gk（P*) ≈ k>1时为0。因此Ii（A）≈α. 这意味着，对于有足够多参与者的物流需求，网络结构不会影响单个企业的定价。相关的中心性度量大约是一个常数。表1总结了这些观察结果。请注意，Bonacich中心性的标准定义要求β<1，因为否则总和不会收敛，因此度量也不会很好地定义。由于此处的影响网络是循环的，因此允许任何β>0。

值β≥ 当D（P）=Dβ时出现1√一- bP，这是需求函数的一个非常自然的分类。流量Ii中的需求D（P）（A）等效网络中心度测量功率Dβ√一- 英国石油公司ab公司- P*Bβi（A）Bβi（A）=Bonacich中心度（带β）线性A- 英国石油公司ab公司- P*Bi（A）Bi（A）=β=1de的Bonacich中心度√2（a-bP）/bq2（a- 英国石油公司*) + bDi（A）Di（A）=eiA1=中央集权度de-αP1+e-αP→α近似恒定1：需求函数示例，其中流动性Ii（a）的度量简化为标准网络中心性度量之一7计算平衡。本小节I展示了如何使用平衡特征计算平衡，并研究一些特征更简单的最常见需求函数。7.1线性需求假设需求函数为线性D（P）=a- 英国石油公司。那么g（P）=-D（P）D（P）=P-P=g（P），P=Ab，因此对于所有k>1，gk+1（P）=-gk（P）g（P）=P- P公式（9）简单顶部*- C=nXk=1Ak-11gk（P*) = （P- P*)B（A），（14），其中B（A）=Pnk=1Ak-11是所有级别的影响数之和，即玩家数（1A1=n）加上边数加上两个边数，依此类推。方程（14）是一个线性方程，其解为平衡ricep*=C+P B（A）1+B（A）。（15） 正如我们预期的那样，成本的增加和需求的增加（尤其是P=abin）将提高均衡价格，但传递是不完美的。通过上文讨论的边缘化效应，增加企业数量或企业之间联系的数量会提高均衡价格。同样，我们可以计算单个企业的加价，p*i=ci+nXk=1eiAk-11gk（P*) = ci+Bi（A）1+B（A）（P- C） ，（16）式中，Bi（A）=Pnk=1eiAk-11是公司i影响的总和，即：。

eiA1=1（“影响”自身）加上eiA1=影响的玩家数量加上从i开始的路径数量。按构造B（A）=Pni=1Bi（A）。考虑图4中描述的网络示例，对应的k-方程式（8）计算了11项。假设D（P）=1- P，并且没有成本，也没有价格接受者（C=0）。然后B（A）=6+6+1=13，因此*=B（A）1+B（A）=。同样，个别价格p*i=Bi（A）1+B（A）。例如，p*L=，p*T=p*F=p*C=，p*D=，和p*R=。特别是，观察p*L=p*R、 但由于不同的原因，公司直接影响三家公司，而R直接影响两家公司，间接影响一家公司。在线性需求的情况下，这两类影响的权重相等。7.2电力需求更一般的电力需求D（P）=Dβ的计算类似√一- 英国石油公司。Theng（P）=β（P- P）P=aband因此gk（P）=βk（P- P），因此方程（9）给出了最终商品的平衡价格P的相同表达式*=C+P Bβ（A）1+Bβ（A）（17），但现在Bβ（A）=Pnk=1βkAk-11，即不同级别的影响由1、β、β……加权。那么β可以解释为更多间接影响的衰减或贴现因子。同样，对于个别企业，p*i=ci+Bβi（A）1+Bβ（A）（P- C） ，（18）式中，Bβi（A）=Pnk=1βkeiAk-11，即再次通过因子βk对影响进行加权。再次考虑图4中的示例，C=0，需求函数D（P）=√β(1 - P）。特别是，如果D（P）=（1- P），然后β=因此B（A）=6+6+1=，所以P*=. 如上所述，由于直接影响的权重高于间接影响，因此L公司的价格（收益）高于R公司，p*L=>p*R=。这也是图8a中最坏情况和最佳情况的差异相对较小的原因。

另一方面，ifD（P）=√1.- P，然后β=2，这意味着P*=和p*L=<p*D=，因为现在间接影响的权重更高。这解释了图8b中的较大差异。7.3物流需求D（P）=de-αP1+e-αp，α>0。那么g（P）=αh1+e-αPi。让我们首先考虑前面小节中讨论的示例，以说明如何将特征化结果用于更复杂的需求函数。假设C=0，网络如图4所示。由于网络的深度为d（A）=3，我们需要计算函数sg（P）=g（P）=αh1+e-αPi，g（P）=-g（P）g（P）=αh1+e-α派-αP，g（P）=-g（P）g（P）=αh1+e-α派-αPh1+2e-αPi。请注意，β>0（否则需求不会减少），但它可以大于或小于1。事实上，当β=1时，需求函数是线性的，因此Bβ（A）=B（A）。nP公司*n- 图9：逻辑需求D（P）=e的均衡价格界限-P1+e-Pand C=0，取决于公司数量。平衡条件（9）的形式为P*= 6g（P*) + 6g（P*) + g（P*), 这是一个很好的数值求解方法。例如，当α=1时，我们得到*= 6+13e-P*+ 9e-2P级*+ 2e类-3P*,这意味着P*≈ 6.0313和个别价格p*L≈ 1.0096，p*T=p*F=p*C≈ 1.0024，p*D≈1.0048和p*R≈ 1.0096.数值结果表明，在逻辑需求的情况下，均衡行为具有更特殊的性质。也就是说，所有价格仅略高于1。检查上述gk（P）函数可以揭示原因。即术语e-αP*收敛为零，为P*增加。因此，对于足够大的P*, 重量g（P*) 收敛到常数α，而权重gk（P*) 对于k>1，收敛到零。因此，如果均衡价格*足够大，几乎完全由玩家数量决定。这个观测被形式化为下面的引理1。引理1（与Logit需求的近似平衡）。

逻辑需求D（P）=de-α1+e-αP，最终产品P的价格*和个人价格p*i满足以下条件1。P*> C+nα和p*i> 所有i的ci+α，2。P*= C+nα+O海因和p*i=ci+α+O海因对于所有i，引理1意味着当n足够大时，P*≈ C+nα和每个p*我≈ ci+α。这是一个极限结果，但正如我们从上面的示例中看到的，n=6的近似值似乎已经相当精确了。图9说明了收敛是indeedfast的。这表明，虽然对于少数玩家，下限（同时决策）和上限（连续决策）之间存在差异，但差异迅速缩小，在5-10名玩家中可以忽略不计。特别是，该图说明了NHP*- C-nαi≈ 0适用于任何有10名或更多玩家的网络。式中，f（n）=O（g（n））表示lim supn→∞f（x）g（x）< ∞.8讨论本文刻画了网络上一类一般定价博弈的均衡行为。在正则性假设下，存在一个唯一的平衡点，即使在任意需求函数和复杂网络的情况下，该平衡点也很难计算。对于最常见的需求函数，如线性、幂和logit需求，我提供了更简单的表征结果。关键的扭曲是多重边缘化，这导致效率和联合利润最大化的加价过高。边缘化问题随着企业数量的增加而增加，但战略互动加剧了这一问题。公司设置过高的加价，不仅因为他们没有将对consumersurplus和其他公司利润的负面影响内部化，还因为他们从阻止其他公司设置高加价中获益。该结果定义了一个自然的流动性衡量指标，该指标根据企业的加价和利润对企业进行排名。如果企业影响更多或更多的企业，则企业的流动性更高。

在某些特殊情况下，流动性度量简化为中心性的标准度量。我举了一些例子，其中它采取了博纳希奇中心性、度中心性的形式，或者独立于网络结构。虽然结果在网络结构和需求函数方面相当普遍，但在其他维度上存在着显著的简化假设。首先，估算恒定边际成本，这简化了特征描述，但对分析而言并不重要。其次，我以一种极端的方式对竞争进行了建模——企业是非集市者还是价格接受者。从某种意义上说，这涵盖了一些中间案例，在这些案例中，企业可能在一定范围内是垄断企业，但当价格过高时，它们就会成为价格接受者。但研究其他形式的不完全竞争、重复互动、讨价还价以及比公布价格更复杂的合同结构，无疑是一件有趣的事情。本文从供应单一最终产品的供应链网络的价格设置角度对分析进行了描述。还有其他应用程序符合相同的数学模型。一个明显的例子是，多个垄断者销售完美互补产品。更一般地说，该模型适用于多个参与者选择行动的情况，因此他们的报酬与他们自己的行动呈线性关系，边际收益是总行动的递减函数，这些行动是（高阶）战略替代品。例如，私人提供公共物品和竞赛满足这一一般描述。最后，结果具有重大的政策影响，我目前尚未讨论。在下文中，我将描述两个简单的示例，以突出两个重要的政策含义。首先，在分析并购时，监管机构必须考虑影响网络的影响。

其次，在贸易政策中，任何关税的小幅增加通常都会伤害所有参与者，但更多的流动性企业受到的伤害最大。此外，在考虑贸易政策的非边际变化时，有必要考虑对整个网络的影响。8.1示例：合并为了强调合并政策如何受到影响网络变化的影响，请考虑以下五家垄断企业的示例。公司1生产的原材料是两个中间产品生产商（公司2和3）的投入。然后，最终产品生产商第4家使用第1、2和3家公司的投入生产最终产品，并通过零售商第5家公司将其出售给最终消费者。材料流如图10a所示。然而，重要的是要明确企业如何相互影响。假设表2和表4受到表1的影响。公司3独立于公司1和影响公司4进行选择。最后，公司5独立于其他公司进行选择。图10b对此进行了说明。为了使示例更具体，假设没有成本，需求函数为D（P）=（1- P），这允许我们使用第7.2节中的明确公式。假设现在企业1和2想要合并，从而形成一个新的供应链，如图10e所示。竞争主管部门是否应批准合并？决策者可能会考虑以下几个重要方面。首先，它如何影响竞争？通过假设，我们正在分析具有固定需求函数和垄断输入提供者的单一产品的生产，因此竞争仍然受到影响。第二，它是否会导致成本降低或协同效应？同样，我们假设没有成本，因此这仍然没有影响。第三，减少了一个企业，这减少了边缘化问题。

结合这些论点，传统观点认为，合并在社会上是可取的。4 5（a）合并前实质性流动4 5（b）合并前影响1+24 5（c）场景a实质性流动1+24 5（d）场景a影响1+24 5（e）场景b实质性流动1+24 5（f）场景b影响图10：示例：企业1和2的合并场景。使用第7.2节的结果计算最终商品的合并前价格*≈ 0.5897. 表2给出了相应的利润、消费者剩余（CS）和社会福利（SW=CS+Piπi）。让我们将其与最简单的合并后场景（我们称之为场景A，见图10d）进行比较，其中新合并的1+2企业仅对4企业产生影响。那么最终产品的新价格是PA≈ 0.5294.由于边缘化的减少，这显然对社会福利和总福利都有好处。事实上，表2显示，合并后1情景产生了较高的消费者盈余、总利润、社会福利和所有非合并企业。但合并公司1和2的合并利润从0.0073降至0.0072。原因是，尽管总利润有所增加，但两家公司的影响之和随着合并而增加。流动性的这种下降足以使他们不希望进行这种合并。

在他们请求合并许可的情况下，这可能不是考虑的正确方案。方案P*ππ*iπ*+ π*π*π*π*CS SW（1）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.58970.0167 0.0073 0.0036 0.0029 0.0029 0.0023 0.0190方案A 0.5294 0.0260 0.0072 0.0072 0.0058 0.0046 0.0306方案B 0.5461 0.0232 0.0075 0.0060 0.0048 0.0048 0.0039 0.0270（2）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.8447 0.0705 0.0341 0.0170 0.0097 0.0097 0.0056 0.0761方案B 0.8363 0.0749 0.0337 0.0192 0.0110 0 0.0110 0 0.0063 0.0812（3）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.9231 0.1348 0.0699 0.0350 0.0150 0.0150 0.0064 0.1412塞纳里奥B 0.9288 0.1281 0.0713 0.0306 0.0131 0.0131 0.0056 0.1337（4）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.5283 0.0123 0.0053 0.0026 0.0022 0.0022 0.0018 0.0142方案A 0.4681 0.0199 0.0054 0.0054 0.0045 0.0038 0.0237表2：合并方案示例：面板1：方案B是与合并前情况相比的帕累托改进。方案A在社会上是可取的，但公司1和2会选择不合并。小组2：情景B在社会上仍然是可取的，但不会自动发生。专题3：情景B在社会上不受欢迎，但会出现。小组4：即使方案B也是帕累托改进。或者，假设在合并后，新的1+2公司变得更具影响力，因此它也可以影响3公司的决策，如图10f所示。在这种情况下，最终产品的均衡价格为PB≈ 0.5461，仍然低于合并前的价格，因此本次合并在社会上是可取的。

此外，合并企业的联合利润现在为0.0075，这大于合并前利润的总和。如表2所示，事实上，与合并前的消费者盈余、所有企业的利润（包括非合并）和社会福利相比，这种情况是一种严格的帕累托改进。原因是，额外的影响（一个直接影响和一个间接影响）允许新的1+2公司获得更大的盈余份额，这使得合并对他们来说是可取的。请注意，这些结论取决于网络结构的细节以及需求函数。在方案B中，与合并前的情况相比，直接影响少了一个，数量相同，间接影响多了一个。它在社会上是否可取取决于不同影响水平上的权重。特殊需求函数D（P）=（1- P）是重量以β=的速率下降的电力需求。也就是说，间接影响的边际化程度低于直接影响，因此，合并在社会上仍然是可取的。同样，表1和表2的接合流动性取决于权重。表2中的面板2说明了当需求函数为D（P）=（1）时- P），即β=，这使得间接权重更重要，那么结论就会改变。合并在社会上仍然是可取的，但现在新的1+2公司没有足够的影响力使合并成为可取的。表2中的面板3显示，如果D（P）=（1-P），因此β=>1，因此间接影响的权重大于直接影响，因此这种合并不再是社会所期望的。然而，在这种情况下，新公司的影响力如此之大，以至于他们更愿意合并。