看看kanlee最新的批评衍生品无套利定价的论文

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刚刚拿到的，感觉批评得很有道理，他说即使在无套利市场上，即使基础资产价格既定，即使基础资产价格是连续变化的，由于基础资产价格未来趋势不定，所以衍生品也无法无套利定价。大家看看？
对了，看了下，好像原论文中第(12)式有个小错，不过无关大局，修改一下，附在第二个附件中。

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关键词：套利定价 衍生品 无套利 NLE Lee 资产定价 衍生品定价

学习了 学习了

kanlee在sigma项上也加入了随机过程，这个应该说不是创见，Vasicek 就曾经引入过Ornstein–Uhlenbeck过程，用以修正资产回报率的运动过程。作者等于自己建了个修正模型，在slgma处加上了个omega项，表示风险对波动率的随机扰动，亦无不可。

说错误有点言过其实，凡建模必有抽象简化和局限，实际运用中，引入新的变量效果未必很明显，如多因子模型，可以再增加几条方程式表示sigma的随机过程，姑妄试之吧。

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c99ec320100sx21.html

kanlee在论文中写了几何分数布朗运动，因此他事实上阐述了Ornstein–Uhlenbeck过程的使用。他关键在于指出Ornstein–Uhlenbeck过程的修正，也应当是随机，而不是确定的。这表面上看来是一个小的改动，但事实上构造了一个不可复制或者对冲的风险，如果抛开数学形式，而看物理思维的话，跳跃就是很大的。因为作者在论文中已经指出，各种关于资产回报率的修正，并没有带来额外的风险，因为引入的这些修正都是确定性修正，所以对于风险对冲的挑战并没有根本性的变化。只有当这种修正本身也是随机性时，对风险对冲的挑战就有了质的变化，衍生品无法再进行无套利定价。值得一提的是，kanlee这种修改后的模型，仍然是无套利的，不像一般的几何分数布朗运动，事实上存在套利机会。
从物理的角度来说，kanlee证明了一件事情：既有的衍生品定价理论，是基于只存在一阶波动率的资产衍生品定价，这就好比泰勒展开必须是线性展开，因此才能线性复制或者对冲。而对于更广泛的二阶、三阶以上波动率存在资产衍生品是无法无套利定价的。同时kanlee还证明，现实中股票价格并非一阶波动率就可以展开，而是存在高阶波动率，因此基于一阶波动率展开的无套利定价不能应用于实际定价。
所以虽然kanlee仅仅是在几何分数布朗运动上引入了一个风险数，但其蕴含的物理思维，以及对我们今后这方面的工作推进和应用，影响还是会很大的。我觉得其实值得好好琢磨。对比以前kanlee指责BS的数学证明错误，虽然现在看来他可能犯了一点数学推理错误，但他的物理思维很清晰，而这篇论文，无疑就是他以前物理思维的数学化重新表述。我认为意义很不错。

phill 发表于 2011-6-6 15:12
kanlee在sigma项上也加入了随机过程，这个应该说不是创见，Vasicek 就曾经引入过Ornstein–Uhlenbeck过程，用以修正资产回报率的运动过程。作者等于自己建了个修正模型，在slgma处加上了个omega项，表示风险对波动率的随机扰动，亦无不可。

kanlee这个改变，跟引进多因子还是有本质区别。在现有理论上的多因子引进，其实是增加几个一阶线性因子，这不影响这些因子间的复制或者对冲难度。而kanlee的改变，是在因子的高阶波动风险上做文章，这破坏了一阶线性关系，因此引入再多的因子都是没有用的。这个改变看起来很小，但却是本质的改变。这也说明，物理思维也许更重要。如果没有在物理性质的根本改变，即使引入1000个因子，也并不能改变BS风险对冲的基本法则，量变并不能引起质变，只能增加工作量而已。但是物理性质如果变了，即使就是原有因子调整一下，就再也无法使用原来的法则。

phill 发表于 2011-6-6 15:18
说错误有点言过其实，凡建模必有抽象简化和局限，实际运用中，引入新的变量效果未必很明显，如多因子模型，可以再增加几条方程式表示sigma的随机过程，姑妄试之吧。

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c99ec320100sx21.html

作者回复：
程碧波2011-06-06 19:57:32

其实在论文中谈到几何分数布朗运动的时候，已经谈到了Ornstein–Uhlenbeck过程，明确说这些修正，是确定性修正。所以就这个形式来说，本论文也并未说是我的创见。我的工作在于，指出确定性修正不过是细枝末节的修改，因此不影响衍生品定价的基本规则。只有当修正是不确定时，资产价格的高阶风险才暴露出来，破坏了原来金融理论中资产价格只有一阶风险的线性关系，从而无法完成非线性风险的复制或对冲。这才是关键。

金融学的这个问题，其实在西方经济学中是普遍存在的，西方经济学极度依赖于函数的一阶线性展开，然后进行计算。但是实际上现实中的数据更多的是高阶展开，使用一阶展开的方法来计算是错误的。然而西方经济学却试图用一阶展开来覆盖几乎所有被研究对象。

所以在我的论文中，也并没有在乎高阶风险发生在具体哪个项，而是指出，只要风险发生在高阶项，衍生品无套利定价就是错误的。这显然是指出一个领域，而非指出在sigma上哪个项非要如何变动。所以您恐怕不要轻视数学形式上的轻微改变，而要重视背后的物理图景改变。

明白这意思，即使传统的BSM下，gamma(就是你们所谓的高阶项)、vega等项也是不能同时对冲的，这倒不是什么新问题。
Heston(1993)就做了这样的工作，引入了sigma的随机过程。
那么，想继续请教，在他的这个模型下，方程有无显式解？若无如何求解？ omega怎样估计？

作者回复： 程碧波 2011-06-07 07:01:30
方程是否有解，根本还是要看其解析含义，也可以说物理含义。不能说数值解能够超越方程本身的缺陷。在这个资产分布的衍生品定价方程中，由于二阶风险不能对冲，因此衍生品和基础资产之间不能构成复制或者对冲关系，其资产组合必然存在风险。一旦资产组合存在风险，衍生品的价格就不能再以基础资产价格为唯一自变量，资产组合风险自身产生的系统风险也将对衍生品的价格产生影响，而系统风险还要取决于整个市场资产组合与衍生品资产组合间协方差的这个外生变量，因此这就转化为风险均衡定价，而不再是无套利定价。很显然，具有风险的资产组合，不可能再产生无风险利率，因此BS中资产组合与无风险利率的关系将不复存在。所以，在高阶风险存在的情况下，衍生品只可以使用风险均衡定价，不可以使用无套利定价，在无套利定价下既无法构成无风险利率关系，对冲方程无法写出，也就谈不上求解，更谈不上求数值解。

恩还是引kanlee的话吧：程碧波2011-06-07
在传统的BSM下，gamma等项的风险是可以对冲的。不能对冲的部分，因为趋于无穷小，所以忽略，也等价于对冲。我说的对冲，不是说对冲某整个项，而是说对冲这个项的风险。
所以，高阶风险有价值，有两个条件：1、它发生在高阶；2、它不可忽略。这是问题的关键。
您所列举的heston等人的工作，的确具有很大的迷惑性。这也是要想突破西方理论封锁很困难的原因之一。如果您不仔细深入研究他们的理论，您会看到他们论文的题目就立刻气馁：原来别人已经做过了啊，我就别做了吧。
您看heston等人的确在sigma引入了随机数，但注意，这并非是在高阶引入随机数。因为他们在sigma中引入的随机数是dz形式进入的，其仍然是微小量，这个随机sigma与股票价格那个随机dw作用，高阶项已经无穷小，等价于没有。所以表面上看他们在sigma中也引入了随机数，但事实上却巧妙地避开了高阶风险，但是却足以欺骗一般研究者，以为他们研究了高阶风险，从而放弃对这个领域的研究。
我们知道，当我们谈论股票价格的连续性时，我们谈的是其价格数值的连续性，但绝不是说股票的高阶风险也要连续——显然，我们是认可股票的波动幅度是可以任意变化的，无需一定要如何波动。但是，现有的研究者在sigma中引入随机数时，由于dz的引入，事实上是假定股票的波动幅度也必须连续。这就很荒唐了。
事实上无论发生在哪项，只要我们引入方程的是dz这样的微小量，只要没有发生除法关系，则这些量之间必然是线性的，无法产生高阶风险。因为dz的二次以上的高阶都趋于零。
所以，一旦我们允许股票价格的波动幅度任意变动——当然也就包括波动幅度可以跳跃——注意，并非股票价格跳跃，此时股票价格仍然是连续的——高阶风险就无法复制或对冲了。

phill 发表于 2011-6-7 01:27
明白这意思，即使传统的BSM下，gamma(就是你们所谓的高阶项)、vega等项也是不能同时对冲的，这倒不是什么新问题。
Heston(1993)就做了这样的工作，引入了sigma的随机过程。
那么，想继续请教，在他的这个模型下，方程有无显式解？若无如何求解？ omega怎样估计？