最优解长期期望效用的敏感性分析

对于等式（5.7）给出的函数^ξ，局部鞅E-qZ·θ（Xs）dW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是测度P下的真鞅。解对（λ，φ）描述了v（χ，T）对初始因子χ的长期行为，成熟度T为T→ ∞. 最优预期效用的长期增长率被定义为有限→∞Tln公司sup∏∈XEP公司U（πT）（5.11），可通过特征值λ来描述，因为-λ=极限→∞Tln v（χ，T）=1- plimT公司→∞Tln公司sup∏∈XEP公司U（πT）,由式（5.3）得出。遍历HJB方程（5.8）的最优控制是x的函数，因此我们用ξ表示*（x） 。很容易检查ξ*由ξ给出*（x） =-σ（x）φx（x）（1- q） φ（x）（5.12）和等式（5.8）变为-λφ（x）=σ（x）+σ（x）φxx+h（ξ*（x） ，x）φx+l（ξ*（x） ，x）φ。（5.13）长期增长率可计算为-λ=极限→∞Tln E^PheRTl（ξ*（Xs），Xs）dsi。5.2 Hansen–Scheinkman分解本节受Hansen and Scheinkman（2009）中Hansen–Scheinkman分解的启发，并适应当前环境。他们研究了将时间齐次马尔可夫过程的乘性泛函分解为特征值指数、特征函数和误差项的乘积。在本节中，我们将他们的方法调整为时间不均匀马尔可夫情况。回想式（5.9），V（χ，T）=E^Phe-q（1-q） RT公司θ（Xs）+^ξ（Xs，s；T）ds公司X=χi（5.14），X的^P-dyn amics isdXt=（m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）σ（Xt））dt+σ（X）d^W1，t+σ（Xt）d^W2，t对于0≤ t型≤ 和二维^P-布朗运动（^W1，T，^W2，T）。我们假设以下条件：A 8。对于公式（5.7）和ξ给出的函数^ξ*由式（5.12）给出，局部鞅EqZ·ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，st型0≤t型≤这是测度^P下的真鞅。定义一个新的测度▄PTon FTbyd▄PTd^PFT=EqZ·^ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，sT、 （5.15）为了简单起见，我们去掉了下标T，只写▄P。

X-isdXt的P-dyn-amics=m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- qξ*（Xt）σ（Xt）dt+σ（Xt）dW1，t+σ（Xt）dW2，twith二维^P-布朗运动dW1，tdW2，t=qξ*（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）dt公司+d^W1，td^W2，t.由式（5.14）可知，V（χ，T）=E^Phe-q（1-q） RT（θ（Xs）+ξ*2（Xs））dse-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsi=EPhe-q（1-q） RT（θ（Xs）+ξ*2（Xs））dse-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsd^PdPi。定义：=φ（Xt）φ（χ）eλt-q（1-q） Rt（θ（Xs）+ξ*2（Xs））ds；0≤ t型≤ T、 然后将It^o公式应用于M，并使用遍历HJB方程（5.13），可以检查mt=EZ·φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dW1，s+Z·φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dW2，st、 0个≤ t型≤ T、 因此是▄P-局部鞅。A 9。当解对（λ，φ）为A6时，~P-局部鞅（Mt）为0≤t型≤这是一个真正的鞅。我们使用这个随机变量MTA作为Radon–Nikod\'ym导数来定义一个新的测量值，即isdPdPFT=MT.（5.16）该度量依赖于T，但我们在符号中抑制了对T的依赖性，如前所述。Thenv（χ，T）=e-λTφ（χ）EPhMTφ（XT）E-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsd^PdPi=e-λTφ（χ）EPhφ（XT）e-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsd^PdPi。过程dW1、tdW2、t= -φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）！dt公司+dW1，tdW2，t是一个布朗运动，且X的P-dynamic为isdXt=m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- qξ*（Xt）σ（Xt）+φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）+σ（Xt）dt+σ（Xt）dW1，t+σ（Xt）dW2，t。我们现在执行另一个度量变化，以更易于管理的方式表示函数v（χ，t）。在这样做之前，我们以不同的方式表示氡–Nikod'ym导数^Pd'Pin，以便于计算：d^Pd'P=eqRTξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）d^W2，s+qRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））ds=eqRTξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，s-qRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））ds=eqRTξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，s-qRT（ξ*（Xs）-ξ（Xs，s；T））ds+qRT（ξ*（Xs）-ξ（Xs，s；T））φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）ds。我们需要一个额外的假设来证明这个论点是有效的：10。

局部鞅EqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是一个真正的鞅。我们现在通过DQDP=E定义一个新的测量值QqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，sT、 （5.17）该度量值Q依赖于T，但我们在符号中抑制了对T的依赖，如前所述。Thenv（χ，T）=e-λTφ（χ）EPhφ（XT）e-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dseqRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dsdQdPi=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）e-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dseqRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dsi=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）e-q（1-q） RT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））dsi。（5.18）对于最后一个等式，我们使用公式（5.12）。X-isdXt的Q-动力学=m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）σ（Xt）+φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）+σ（Xt）dt+σ（Xt）dB1，t+σ（Xt）dB2，t（5.19），其中dB1、tdB2、t=^ξ（Xt，t；t）- ξ*（Xt）dt公司+dW1、tdW2、t是一个Q-布朗运动。总之，我们可以用一种更简单的方式来表示函数v（χ，T）和X的动力学。以下理论源自等式（5.18）和等式（5.19）。定理5.1。A示例A1-10。然后函数v（χ，T）可以分解为v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi（5.20）和X isdXt=κ（XT，T；T）dt+σ（XT）dB1，T+σ（XT）dB2，T，0的Q动力学≤ t型≤ T、 其中f（x，T；T）=-q（1- q）ξ*（十）-^ξ（x，t；t）κ（x，t；t）=m（x）- qθ（x）σ（x）- q^ξ（x，t；t）σ（x）+φ′（x）φ（x）σ（x）+σ（x）. （5.21）备注5.2。理解上述定理的一种方法是考虑交换图(Ohm, F、 ^P）(Ohm, F、 Q）非遍历HJB（x漂移中的最优控制^ξ（x，t；t））(Ohm, F、 P）(Ohm, F、 P）遍历HJB（最优控制ξ）*（x） 在x）dPd^PMT=dPdPdQdPTo的漂移中，为了能够用遍历HJB特征对来表示对偶值函数，我们首先要切换到一个度量^Punder，其基本扩散因子过程x的漂移与时间t和时间范围t无关。

在这个测度下，相应的HJB方程是遍历的，我们可以根据Hansen–Scheinkman意义上的关联特征对重写乘法泛函（即使乘法泛函中的函数依赖于时间范围T）。之后，我们可以切换回原始的、依赖于成熟度的漂移过程。只要所有度量变化都已明确，即相应的Radon–Nikod'ym导数为真鞅（见A8和A10），即可执行该程序，这意味着原始最优控制^ξ“离遍历”最优控制ξ并不太远*.函数v（χ，T）的长期渐近行为由v（χ，T）给出 e-λTφ（χ），因此，在式（5.20）中的分解中，期望eqhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）d可以理解为一个误差项。我们对长期敏感性的推导主要依赖于对该误差项的估计。6初始因子敏感性分析本节研究最优预期效用对初始因子χ=X的敏感性。使用公式（5.3）的双重公式，公式（3.1）中的初始值敏感性可表示为χlnsup∏∈XEP公司U（πT）= (1 - p）χln v（χ，T），因此我们对灵敏度感兴趣对于大时间T，χln v（χ，T）。OREM 3.2中描述了大时间T的灵敏度，其中指出χlnv（χ，T）渐近等于φ′（χ）φ（χ）。证据如下。定理3.2的证明。函数φ可通过A6连续区分。从式（5.20）中，应用链ru-le，我们得到v（χ，t）和χv（χ，T）v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）+χEQφ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds.假设第二项的提名者为零，A6和Eq。（5.20）给出了收敛到一个正常数的分离器。

这就完成了证明。为了利用定理3.2和5.1，我们必须提供映射χ7→均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds是连续可微的，其导数在T时收敛到零→ ∞. 为了表示SDE（2.2）的解X对初始值X的依赖性，我们写Xx。假设几乎所有ω∈ Ohm 地图x 7→ Xxtis连续可微分和衍生过程（Yt）0≤t型≤T： =(Xxt型x） 0个≤t型≤T、 这被称为波动过程，满足度DYT=κx（Xt，T；T）Ytdt+σ′（Xt）YtdB1，T+σ′（Xt）YtdB2，T，Y=1。（6.1）作为一种特殊情况，如果k（·，t；t）的导数在x和t中是连续的，对于固定的t，σ和σ与有界导数是连续可微的（详情请参见（Protter，2005，定理V.39））。提案6.1。除A1–10外，假设几乎所有ω∈ Ohm 地图x 7→ Xxtis持续差异，第一个变化过程（Yt）0≤t型≤Tsatis fies公式（6.1）和f是连续可区分的。假设存在χ的开放邻域Iχ和正常数u，v，w，其中u+v+w=1，满足以下条件。（i） 作为两个变量（x，T）的函数，期望值Γu（x，T）=EQhφu（XT）euRTf（Xs，s；T）dsX=xi在Iχ×（0）上一致有界，∞).（ii）作为两个变量（x，T）的函数φ′（XT）φ（XT）vis一致有界于Iχ×（0，∞).（iii）作为两个变量（x，T）的函数，期望公式| YT；对于每个T，T | wis在Iχ上唯一有界，并在T时收敛到零→ ∞ 对于每个x∈ Iχ。（iv）预期EQZT | fx（Xs，s；T）Ys；T | dsm级对于每个T，在Iχ上一致有界，并在T时收敛到零→ ∞ 对于每个x∈ Iχ。这里，m=uu-1，即u+m=1。然后地图x 7→ 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在Iχ上x连续可微，且xEQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在T时趋近于零→ ∞.证据

首先，我们观察到xEQ公司φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds= 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTfx（Xs，s；T）Ysds-φ′（XT）φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsYT保持不变，导数是x的连续函数。可以通过互换导数和期望值来获得此等式，这是从等式φ（XT）′eRTf（Xs，s；T）dsYT+φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTfx（Xs，s；T）Ysds≤均衡器φ′（Xt）φ（Xt）eRTf（Xs，s；T）dsYT+ 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTfx（Xs，s；T）Ysds≤Γu（x，T）u均衡器φ′（Xt）φ（Xt）vv（EQ | YT | w）w+Γu（x，T）u均衡器ZT | fx（Xs，s；T）Ys | dsm级Iχ上的mis一致界为（I）-（iv）。此外，同样的不等式给出了导数随着T变为零→ ∞.7漂移和波动的敏感性分析本节研究漂移和波动扰动的敏感性。本节中的论点类似于Park（2018）。7.1参数扰动我们提供了漂移和波动函数扰动的精确含义。B 1。设m，σ1，，σ2，，b，为变量（，x）中的连续函数∈ 对于0的邻域I，I×R使得它们在I上连续可微，m=m，σ1,0=σ，σ2,0=σ，b=b，σ=。B 2。对于每个∈ 一、 函数m、σ1、、σ2、、b、满足A1-10。域(l过程X的A1中的，re）可能取决于，A6中的常数C也可能取决于。根据这些假设，我们可以构建以下对象。设X为SDEdXt=m（Xt）dt+σ1，（Xt）dW1，t+σ2，（Xt）dW2，t，X=χ与摄动参数的解。初始值χ不受干扰。我们用X表示扰动市场模型中允许投资组合的财富过程族。定义ev（χ，T）：=EP（^YT）q= EP公司（^YT）qX=χ其中，^Y是扰动市场中对偶问题的优化器。我们对灵敏度感兴趣=0lnsup∏∈XEPU（πT）对于长时间T。

从式（5.3）中的对偶公式中，我们知道可以通过评估=0ln v（χ，T）。通过使用指数度量，我们可以将这种灵敏度转换为类似于公式（5.20）的简单形式。Thenv（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi（7.1）和X isdXT=κ（T，XT；T）dt+σ1，XT）dB1，T+σ2，T，0的动力学≤ t型≤ t对于二维Q-布朗运动（B1，t，B2，t）t≥这里，函数f和κ定义为f（x，t；t）：=-q（1- q）ξ*（x）-^ξ（x，t；t）κ（x，t；t）：=m（x）- qθ（x）σ1，（x）- q^ξ（x，t；t）σ2，（x）+φ′（x）φ（x）σ1，（x）+σ2，（x）式中θ，^ξ，ξ*、φ是分别在方程式（2.3）、方程式（5.7）、方程式（5.12）和A6中为受扰动市场定义的函数。我们使用素数表示对x的导数。对于灵敏度分析，我们假设以下正则性条件。我们想要分离潜在扩散过程的扰动效应和应用于其的泛函。因此，我们定义了新的η，（χ，T）：=EQhφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsiso，v（χ，T）=e-λTφ（χ）w，（χ，T）。我们把这个函数称为误差项。定理7.1。除B1–2外，我们还假设以下条件：（i）两个函数7→ λ和7→ φ（χ）在I.（ii）偏导数上连续可微ηwη，（χ，T）存在并在I上连续。此外，limT→∞Tηη=0wη，0（χ，T）=0。（三）偏导数wη，（χ，T）存在并在I上连续。此外，limT→∞T=0w0，（χ，T）=0。那么扰动函数lnv（χ，T）在=0和T时是可微的=0ln v（χ，T）（7.2）=-λ=0+=0φ（χ）Tφ（χ）+=0EQφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsT当量φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds+=0EQφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsT当量φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds.此外，limT→∞T=0ln v（χ，T）=-λ=0. （7.3）证明。

定义IbyV上的函数V（，，，）：=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi=e-λTφ（χ）w，（χ，T），然后v（χ，T）=v（，，，）。链式法则给出了ln v（χ，T）在=0时的可微性，并允许我们写出等式（7.2）中的导数。因为等式（φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds）收敛到一个正常数，即T→ ∞ 作者：A6 andEq。（7.1），我们从条件（i）–（iii）和公式（7.2）中获得公式（7.3）。让我们更详细地讨论上述定理7.1中的条件（i）–（iii）。许多有财务意义的模型满足条件（i）。条件（ii）很容易检查，因为qhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi的连续差异性是一个标准的差异和整合问题。附录C中给出了一个更容易检查的条件，该条件足以暗示条件（ii），并用于计算第4节中的示例。条件（i）和（ii）可以逐案检查，因此我们不深入了解公式（7.2）的前三项。然而，由于条件（iii）涉及基础过程X和度量Q中的扰动，因此条件（iii）未得到解决，这两个过程和度量Q的分析并非微不足道。我们将提供一个充分条件，使条件（iii）在定理7.3和7.5中成立。对于这些参数敏感性的分析，以下X的Q-动力学表达式是有用的。让σ（·）：=qσ1，σ（·）+σ2，σ（·），σ（·）：=σ（·），并定义一个新过程B=（Bt）t≥0bydBt=σ1，（Xt）σ（Xt）dB1，t+σ2，（Xt）σ（Xt）dB2，t，B=0，那么B是一个Q-布朗运动，正如利维的特征所示。然后可以将X的Q-动力学写为dxt=κ（Xt，t；t）dt+σ（Xt）dBt。备注7.2。

如果我们考虑优化长期增长率所产生的预期效用的敏感性问题，即。，=0inf∏∈XlimT→∞Tln公司EP公司U（πT）,实际上，第7节中的所有结果都是正确的，只是假设较少。根据第5.1节末尾的讨论，在这种情况下，最佳值可以使用公式（5.14）中的函数v表示，只有ξ*式（5.12）中给出，而不是^ξ。在这种情况下，我们已经处于遍历状态，不需要对度量进行额外的更改。因此，需要假设A1–A7以及每个的A9∈ I其中，二维布朗运动▄W替换为^W。详见Fleming等人（2002）。7.2因子过程的漂移扰动在本节中，我们对m、b、的扰动进行了敏感性分析，但假设波动率函数σ1、=σ、σ2、=σ不受扰动。在测度Q下，扰动过程X的形式为dxt=κ（Xt，t；t）dt+σ（Xt）dBtso，即只扰动漂移项。我们的目标是分析wη，（χ，T）=在该漂移扰动下，EQhφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsi。假设κ在on I中连续可微，定义^φ（·）：=inf∈Iφ（·）（7.4）^f（·，t；t）：=辅助∈If（·，t；t）^g（·，t；t）：=sup∈我σ（x）κ（·，t；t）.我们考虑以下有界性假设；^φ（·）>0，^f（·，t；t）<∞ 和^g（·，t；t）<∞. 如果域位于(lB2中的，re）不依赖于，那么这三个函数总是满足这些有界条件，如果必要的话，可以用较小的间隔替换区间。定理7。3、除B1–2外，假设^φ（·）>0，^f（·，t；t）<∞, ^g（·，t；t）<∞ κ是连续可微的，f在I上是连续的。

假设以下条件。（i） 对于每个T≥ 0时，存在一个实数=（T）>0，使得eqheRT^g（Xs，s；T）dsiis有限。（ii）存在实数v≥ 2和带limT的函数h→∞h（T）=0，因此对于所有T>0EQZT^g（Xs，s；T）dsv/2≤ Tvh（T）。（iii）对于每个T≥ 0，有一个实数>0，使得ZT^gv+（Xs，s；T）ds是有限的。（iv）函数^Γu（T）：=方程h^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）dsiis一致有界于T≥ 0，其中u=vv-1，即u+v=1，对于（ii）中的v。然后，对于给定的（χ，T），偏导数wη，（χ，T）=EQhφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsi存在，并且在I上（η，）连续。此外，对于给定的χ，T=0w0，（χ，T）=T=0EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi→ 0作为T→ ∞.上述定理的证明类似于Park（2018）中命题A.1的证明，但为了完整性，我们在附录B中提供了证明。备注7.4。可以通过用局部Lipschitz连续性替换κ的连续可微性并定义^g（·，t；t）：=sup来放松上述定理中关于κ的连续可微性的假设∈我κ（x，t；t）- κ（x，t；t）σ（x）.由于这会引入一些繁琐的附加符号，因此我们在本论文中不讨论这一点。7.3因子过程的波动性扰动本节讨论因子过程的波动性扰动。考虑B1-2和扰动过程dxt=κ（Xt，t；t）dt+σ（Xt）dBt，X=χ。与前一节相反，我们考虑了因子过程波动性的额外扰动。由于这是一个数学上更难的问题，我们将需要更强的条件。本节的主要工具是Lamperti变换。我们假设（，x）7→ σ（x）是两次连续可微的。修复任何c∈ （r，l) 和定义l（·）：=Z·cσ（Z）dz，l(·) := l(·).当σ为正时，函数l是可逆的。