最优解长期期望效用的敏感性分析

ThenYt=Yt；Tsatis fiesdyt=-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）Ytdt，Y=1，0≤ t型≤ T、 这是一个确定性的过程。下面是：；T=e-（k+q|∑+Bσ）t-qσ1-qRtβ（T-s） ds。通过直接计算，对于任何固定的w>1，很明显Limt→∞公式| YT；T | w=极限→∞e-w（k+q|∑u+Bσ）T-wqσ1-qRTβ（T-s） ds=0，因为k+quσu+Bσ>0，β（·）>0。我们现在考虑（iv）。通过使用公式（D.8），可以很容易地表明，存在正常数cand csuchfx（x，t；t）=qσ1- qB- β（T- t）x个+C- γ（T- t）B- β（T- t）≤ 总工程师-c（T-t） （| x |+1）。使用Yt；T≤ e-νtwhereν：=k+quσ+Bσ，对于任何m>1EQZT | fx（Xs，s；T）Ys；T | dsm级≤ cmTm公司-1e级-cmTZTe（c-ν） msEQ公司（| Xs |+1）米dsby Jensen的不平等。使用引理D.8，我们观察到，对于每一个m>1，期望EQ[（| Xs |+1）m]在s中一致有界≥ 0乘以正常数Cm。因此，EQZT | fx（Xs，s；T）Ys；T | dsm级≤cmCm（c- ν） mTm公司-1.e-νmT- e-cmT公司→ 0as T→ ∞. 最后，命题6.1中的条件（ii）、（i ii）、（iv）适用于任意v、w、m>1，并且（i）适用于某些u>1，因此我们得到了期望的结果。D、 3关于k、m、u、和ρ的灵敏度我们计算关于k扰动的Long项灵敏度。关于参数m、u、和ρ的灵敏度可以用类似的方式计算，因为所有这些参数都影响泛函φ、f和X的漂移，但不影响X的波动性，如XdXt的Q动力学中所示=公里数- Cσ-q（1- ρ)σ1 - qγ（T- t）-k+quρσ+Bσ+q（1- ρ)σ1 - qβ（T- t）Xt公司0的dt+σdbt≤ t型≤ TB1和B2中的五个函数为m（x）=（k+）（m- x） ，σ1，（x）=σ，σ2，（x）=σ，b（x）=ux，（x）=，很容易检查它们是否满足假设B1和B2。请注意=0ln v（χ，T）=kln v（χ，T）=kln v（χ，T），因此在本节的其余部分，我们使用金斯泰德|=0.引理D.11。设α>0，且l > 0

预期EQ中兴通讯-α（T-s） Xsdsl在T上一致有界于[0，∞).证据根据引理D.7，有正数c和r，与T无关，因此中兴通讯-α（T-s） Xsdsl≤ cEP公司中兴通讯-α（T-s） Xsdsrl!从引理D.5中，我们知道，epheδRTe-α（T-s） 对于非常小的δ>0，XSDSII在T中一致有界。选择n∈ N这样rl ≤ n、 使用不等式xnn！≤ 对于x>0，我们有δnn！EP公司中兴通讯-α（T-s） Xsdsrl≤δnn！EP公司中兴通讯-α（T-s） Xsdsn≤ EPHδRTe-α（T-s） Xsdsi。因此，EP中兴通讯-α（T-s） Xsdsrl在[0，∞), 这将给出所需的结果。提案D.12。对于等式（4.1）中的Kim–Omberg模型，关于参数k islimT的长期敏感性→∞Tkln v（χ，T）=-λk、 证明。为了证明这个等式，我们使用定理7.1。定理7.1中的条件（i）可以满足。我们首先在定理7.1中证明（iii），因为用于（iii）的一些技术也用于（ii）的证明。对于定理7.1中的条件（iii），我们应用定理7.3。可以很容易地检查到kκ（x，t；t）≤ c（| x |+1），对于与t、t和x无关的正常数c。通过选择足够大的c，我们可以实现^g（x，t；t）≤ c（| x |+1）适用于等式（7.4）中定义的^g。那么，在定理7.3中，（i）可以证明如下。由于X是测量值的OU过程，对于每一个T>0，可以选择一个正δ=δ（T），使得epheδRTXsdsiis有限。对于引理D.7中的正常数r，我们定义=δ2cr，然后定义新的RT^g（Xs，s；T）dsi≤ EQhecRT（| Xs |+1）dsi≤ c′EPhecrRT（| Xs |+1）dsi1/r≤ c′EPhe2crRT（Xs+1）dsi1/r=c′e2cTEPhe2crRTXsdsi1/r=c′e2cTEPheδRTXsdsi其中c′是引理D.7中的正常数。

这在第7.3条中给出了（i）。对于定理7.3中的（ii），我们观察到对于任何v≥ 2EQZT^g（Xs，s；T）dsv/2≤ cvEQ公司ZT（| Xs |+1）dsv/2≤ cvTv/2EQTZT（| Xs |+1）dsv/2!≤ cvTv/2EQhTZT（| Xs |+1）vdsi= cvTv/2-1.ZTEQ[（| Xs |+1）v]ds.通过引理D.8，期望EQ[（| Xs |+1）v]在s中一致有一个正常数，例如c。然后ZT^g（Xs，s；T）dsv/2≤ cvTv/2-1.ZTEQ[（| Xs |+1）v]ds≤ cvCTv/2。由于常数c和c不依赖于T，我们得到了期望的结果。对于定理7.3中的（iii），我们观察到对于=1EQZT^gv+（Xs，s；T）ds≤ cv+1ZTEQh（| Xs |+1）v+1id，右侧为每个T≥ 0，因为期望EQ（| Xs |+1）v+1是由引理D.8统一限定的。对于（iv）定理7.3，我们想证明对于1/u+1/v=1的u，期望eqh^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）dsiis在[0]上一致有界于T，∞). 然而，请注意，我们证明了定理7.3中的（ii）和（i ii）对任意v都成立≥ 因此，足以证明存在这样的u>1。我们使用符号B（k）和C（k）分别强调k对常数B和C的依赖性。从式（D.9）和式（D.10）中，我们知道，对于小u>1，期望eqheub（k）XT+uC（k）XTi（D.11）在T上一致有界于[0，∞). 这两张地图是k 7→ B（k）和k 7→ C（k）是连续的，u+1>1，如果需要，通过选择一个较小的间期I，它遵循sup∈IB（k+）≤u+1B（k），sup∈IC（k+）≤u+1C（k）。那么^φ（x）=inf∈Ie-B（k+）x-C（k+）x≥ e-u+1B（k）x-u+1C（k）x.（D.12）定义u：=2uu+1>1，（D.13）然后我们有eqh^φ^u（XT）e^uRT^f（Xs，s；T）dsi≤ EQh^φ^u（XT）i≤ EQheuB（k）XT+uC（k）XTi（D.14），其中对于第一个不等式，我们使用了^f≤ 因为右手边在[0]上的T上是统一有界的，∞), 我们得到了期望的结果。

现在我们已经展示了定理7.3中的所有条件，因此定理7.1中的条件（iii）成立。对于定理7.1中的条件（ii），我们首先计算φ和f中变量k的偏导数，而不是X=（Xt）t中的偏导数≥精确地说，我们使用符号φ（x；k）和f（x，t；t；k）来强调k的依赖性。我们要分析wη，（χ，t）=EQhφ（xt；k+η）eRTf（xs，s；t；k+η）dsi，其中Q-xtsatis的动力学方程（D.6），k被k+代替。平等ηEQhφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）dsi=等式ηφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds在（η，）上的偏导数的连续性由命题C.1得到，其中g（x，t；t）和g给出如下。观察到fk（x，t；t；k）=-qσ1- qB- β（T- t）x个+C- γ（T- t）Bk-βk（T- t）x个+Ck-γk（T- t）.我们使用符号β（T- t；k） ，γ（T- t；k） 强调k的依赖性。对于给定的小开放区间I，sin ce B（k+η），C（k+η），Bk（k+η），Ck（k+η）在I和dβ（T）上的η是连续的- t；k+η），γ（T- t；k+η），βk（T- t；k+η），γk（T- t；k+η）在（η，t）onI×[0，t]中是连续的，可以找到一个正常数b，例如所有（η，t）的正常数b∈ I×[0，T]fη（x，t；t；k+η）≤ b（x+1）=：g（t，x；t）。利用该函数g，命题C.1中的条件（i）三次满足。

对于命题C.1中的条件（ii），选择两个正常数Cs，如所有η∈我Bη（k+η）≤ bCη（k+η）≤ c、 使用公式（D.12）中的函数^φ，我们定义：=^φ（XT）bXT+c | XT|+φ（XT）ZTb（Xs+1）ds。然后为所有（η，t）∈I×[0，T]得出φ（XT；k+η）φη（XT；k+η）+φ（XT；k+η）ZTfη（Xs，s；T；k+η）ds公司≤ GT使用^φ（x）=infη∈Iφ（x；k+η）和φη（x；k+η）=x个Bη（k+η）+xCη（k+η）φ（x；k+η）≤bx+c | x|φ（x；k+η）。从等式（D.11）和^φ（x）中回忆u>1≥ e-u+1B（k）x-u+1C（k）x和^u=2uu+1>1，在等式（D.13）中。我们要求EQ[肠道]<∞ 对于u=3u+12（u+1）>1，这意味着命题C.1中的条件（ii）。设^v为^u/u+^v=1，则新的^φu（XT）bXT+c | XT|用户界面≤EQh^φ^u（XT）iu/^uEQhbXT+c | XT|u^vi1/v.右侧的两个期望值由等式（D.14）和引理D.8确定。以类似的方式，我们有eq^φu（XT）bZT（Xs+1）dsu≤EQh^φ^u（XT）iu/^uEQhbZT（Xs+1）dsu^vi1/v≤ Tu公司-^vEQh^φ^u（XT）iu/^uEQhbu^vZT（Xs+1）u^vdsi1/v≤ Tu公司-^vEQh^φ^u（XT）iu/^ubu^vZTEQ公司（Xs+1）u^vds公司1/v。由于等式[（Xs+1）u^v]在[0]上均匀有界于s，∞) 比亚迪。8，右侧是固定的。因此，EQ【GuT】<∞.收敛极限→∞Tηη=0EQhφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）dsi=0可以如下所示。

η满足的偏导数ηη=0φ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds≤ eBXT+CXT+RTf（Xs，s；T；k）dsXT公司Bk+XTCk+ eBXT+CXT+RTf（Xs，s；T；k）dsZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds≤ eBXT+CXTXT公司Bk+XTCk+ eBXT+CXTZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds.根据三角形不等式和H¨older线质量，对于uin公式（D.11），满足1/u+1/v=1，则公式如下ηη=0φ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds≤EQeuBXT+uCXT1/u均衡器XT公司Bk+XTCkv1/v+EQeuBXT+uCXT1/u均衡器ZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）dsv1/v.通过选择u，期望EQeuBXT+ucxt在T中一致有界。期望EQ | XTBk+XTCk | vis在T中也由引理D.8唯一地有界。现在，我们展示了期望EQ | RTfη|η=0（Xs，s；T；k+η）d s | vis一致有界于T。通过直接计算，可以选择正常数c和d，它们与s和T无关，但与k有关，因此fηη=0（x，s；T；k+η）≤ 判定元件-c（T-s） （x+1）。使用变量u=ecs的变化，观察EqhZTecs（Xs+1）dsvi=等式ZecTc（X（ln u）/c+1）duvi=（ecT- 1） vcvEQh发射型计算机断层扫描仪- 1ZecT（X（ln u）/c+1）du不及物动词≤（ecT）- 1） vcvEQhecT公司- 1ZecT（X（ln u）/c+1）vdui=（ecT- 1） 五-1cvZecTEQhX（ln u）/c+1vidu。（D.15）通过引理D.8，有一个正常数C，使得等式[（X（lnu）/C+1）v]≤ C代表所有u≥ 因此，等式ZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）dsv≤ dve公司-cvTEQh公司ZTecs（Xs+1）ds不及物动词≤ dve公司-cvT（ecT- 1） 五-1cvZecTEQhX（ln u）/c+1vidu公司≤ dve公司-cvT（ecT- 1） 五-1cvZecTC du≤Cdvcv，（D.16），给出所需结果。D、 4σ敏感性我们评估σ扰动的长期敏感性。D.13号提案。根据等式（4.1）中的Kim–Omberg模型，与参数σislimT相关的长期敏感性→∞Tσln v（χ，T）=-λσ.证据

在分解中，v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi，我们使用第7.3节中的方法分析期望项EQ[φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds]。考虑Lamperti变换l（x） =Zxχσdu=x- χσ.和定义文字：=l（Xt）=Xt- χσ以及asF（ˇx）=-qσ2（1- q）B- β（T- t）（σˇx+χ）+C- γ（T- t）,Φ（ˇx）=e-Bσˇx-（Bχ+C）σˇx-Bχ-Cχ。然后，X满足SDEd下一步=σ公里数- Cσ-qσ1- qγ（T- t）-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）ˇXt+χσdt+dBt。我们要分析σEQhΦ（ˇXT）eRTF（ˇXs，s；T）dsi。扰动参数σ仅涉及函数项和drif t项ˇX，而不涉及波动项ˇX。因此，我们可以使用命题D.12中使用的相同方法来显示→∞TσEQhΦ（ˇXT）eRTF（ˇXs，s；T）dsi=0。这将得到所需的结果。E赫斯顿模型本附录研究了第4.2节中所述的赫斯顿模型，并显示了本文主要部分中所做的假设在此模型中得到了满足。众所周知，假设A1-3符合赫斯顿模型。我们首先找到HJB方程和遍历HJB方程。式（5.5）中的函数l和h为l（ξ，x）：=-q（1- q）ux+ξh（ξ，x）：=km-k+q|∑x个- qξσ√x、 相应的HJB方程（5.4）为vt=σxvxx+supξ∈R(-q（1- q）ux+ξ五+公里数-k+q|∑x个- qξσ√x个vx）=σxvxx-q（1- q） 第十五条+公里数-k+q|∑x个vx+qσx2（1- q） v（x，0）=1的VxV。这里，我们使用上述HJB方程的上确界在ξ=-σ√x（1- q） vx（x，t）v（x，t）。HJB方程的解为v（x，t）=e-γ（t）-β（t）x，β（t）=q（1- q） sinh（βt/2）βcosh（βt/2）+βsinh（βt/2），γ（t）=kmZtB（s）ds，（E.1），其中β：=k+q，β：=sβ+q（（1- q） σ+σ）u。因此，假设A4成立。最优控制^ξ为^ξ（x，t；t）=σ1- qβ（T- t）√x（E.2）使用此运算计时器，假设A5已满足。现在，我们将注意力转移到遍历HJB方程（5.8）。

通过直接计算，我们可以看到遍历HJBequation的解-λφ=σxφxx-q（1- q） uxφ+公里数- （quσ+k）xφx+qσx2（1- q） φxφ由φ（x）=e给出-BxB=β- βσ+σ1-q、 很容易证明β（t）→ B和γ（t）t→ -λ为t→ ∞, 因此，假设A6成立。遍历最优控制ξ*isξ*（x） =σ1- qB√x、 对于本节的其余部分，我们表明假设A7–A10是满足的。命题E.1。对于Heston模型A7，也就是局部鞅E-qZ·pXsdW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。回想一下dxt=k（m- Xt）dt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t，X=χ。使用Klebaner和Liptser（2014）中的概念，我们得到（x）=k（m- x） ，bt（x）=σ√x、 σ√x个,σt（x）=-q√x，-q^ξ（x，t；t）,所以kσt（x）k=qux+^ξ（x，t；t）,Lt（x）=2k（m- x） x+σx，Lt（x）=2x公里数-k+q|∑x个- qσ^ξ（x，t；t）√x个+ σx。使用公式（E.2）中的^ξ表达式，可以找到一个正r>χ=x，即σt（x）k+Lt（x）+Lt（x）≤ r1+x.这意味着满足了Klebaner和Liptse r（2014）中定理8.1的假设，因此我们得到了期望的结果。现在，通过等式（5.10）和X isdXt的^P-dynamics可以很好地定义测度^P=公里数-k+q|∑Xt公司- qσ^ξ（Xt，t；t）pXtdt+σpXtd^W1，t+σpXtd^W2，t，X=χ。提案E.2。对于Heston模型A8成立，即局部鞅EqZ·^ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，st型0≤t型≤这是测度^P.证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。

该证明类似于命题E.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-k+q|∑x个- qσ^ξ（x，t；t）√x、 bt（x）=σ√x、 σ√x个,σt（x）=0，q^ξ（x，t；t）- ξ*（十）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，通过等式（5.15）和X isdXt的P-dynamics可以很好地定义度量值P=公里数-k+q|∑Xt公司- qσξ*（Xt）pXtdt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t，X=χ。提案E.3。对于Heston模型，A9适用，即过程M=E-Z·∑BpXsdW1，s-Z·∑BpXsdW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的鞅。为了证明这是一个真实鞅，我们使用了Klebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。该证明类似于命题E.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-k+q|∑x个- qσξ*（十）√x、 bt（x）=σ√x、 σ√x个σt（x）=-σB√x，-σB√x个,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，等式（5.16）和X isdXt的P-dynamics很好地定义了度量值P=公里数-k+q|∑+σBXt公司- qσξ*（Xt）pXtdt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t=km-k+q|∑+σ+σ1 - qBXt！dt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t这也是具有重新参数化的CIR过程。提案E.4。对于Heston A10型，即本地m artingaleEqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是一个真正的鞅。证据为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。该证明类似于命题E.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-k+q|∑+σ+σ1 - qBx、 bt（x）=σ√x、 σ√x个,σt（x）=0，qξ*（十）-^ξ（x，t；t）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，测量值Q由公式（5.17）定义。

式（5.21）中的函数f和κ为f（x，t；t）=-qσx2（1- q）B- β（T- t）（E.3）和κ（x，t；t）=km-k+q|∑+σBx个- qσ^ξ（x，t；t）√x=公里-k+quσ+σB+qσ1- qβ（T- t）x、 最后，x isdXt=κ（Xt，t；t）dt+σpXtdB1，t+σpXtdB2，t，0≤ t型≤ T、 （E.4）E.1可积条件在下面我们证明了可积条件，这将在下一节的分析中需要。引理E.5。在测度Q下，考虑两个过程U和L，它们被定义为SDEsdUt的解=公里数- ^1UUtdt+σpUtdBt，U=x，dLt=公里数- ^1LLtdt+σpLtdBt，L=x，其中νU：=k+quσ+σB，且νL：=k+quσ+（σ+σ1-q） B.然后书信电报≤ Xt公司≤ UT所有0≤ t型≤ T= 1.证明。在测度Q下，过程X满足dxt=公里数-νU+qσ1- qβ（T- t）Xt公司dt+σpXtdBt，≤ t型≤ T、 使用0<β（·）<B，我们得到km- ^1Lx≤ 公里数-νU+qσ1- qβ（T- t）x个≤ 公里数- ^1Ux。Karatzas和Shreve（1998）givesQ中的命题5.2.18书信电报≤ Xt公司≤ UT所有0≤ t型≤ T= 引理E.6。存在一个大于1的数u和一个χ的开放邻域Iχ，使得Γu（x，T）：=EQhφu（XT）euRTf（Xs，s；T）dsX=xi一致有界于Iχ×[0，∞).证据由于函数f是非正的，正如人们在等式（E.3）中所看到的，因此必须证明存在一个u>1的数字，使得EQhφu（XT）i=EQhφu（XT）X=xi在（X，T）上一致有界于（χ，3χ）×[0，∞). 将引理E.5中的过程U重新称为满足QXt公司≤ UT所有0≤ t型≤ T= 1.然后，对于u>1EQhφu（XT），i=EQ[euBXT | X=X]≤ EQ[euBUT | U=x]。由于U是一个CIR过程，已知矩母函数isEQ[euBUT，| U=x]=hThT公司- 乌兰巴托2kmσexpuBe公司-^1Uttxht- 乌兰巴托式中，HT=2ДUσ（1- e-^1UT）。使用k+q||∑+σB=ДU，观察2b+2kσ+2q|∑=2ДUσ<hT。从这个表达式中，很容易检查1<u<2+σBk+q|∑, （E.5）期望EQ[euBUT | U=x]在（x，T）上一致有界χ,3χ× [0, ∞).