最优解长期期望效用的敏感性分析

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英文标题：
《A sensitivity analysis of the long-term expected utility of optimal
  portfolios》
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作者：
Hyungbin Park and Stephan Sturm
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper discusses the sensitivity of the long-term expected utility of optimal portfolios for an investor with constant relative risk aversion. Under an incomplete market given by a factor model, we consider the utility maximization problem with long-time horizon. The main purpose is to find the long-term sensitivity, that is, the extent how much the optimal expected utility is affected in the long run for small changes of the underlying factor model. The factor model induces a specific eigenpair of an operator, and this eigenpair does not only characterize the long-term behavior of the optimal expected utility but also provides an explicit representation of the expected utility on a finite time horizon. We conclude that this eigenpair therefore determines the long-term sensitivity. As examples, explicit results for several market models such as the Kim--Omberg model for stochastic excess returns and the Heston stochastic volatility model are presented.
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中文摘要：
本文讨论了相对风险厌恶度为常数的投资者最优投资组合的长期预期效用的敏感性。在因子模型给出的不完全市场下，我们考虑了具有长时间范围的效用最大化问题。主要目的是找出长期敏感性，即基本因子模型的微小变化对最优预期效用的长期影响程度。因子模型导出了一个算子的特定特征对，该特征对不仅描述了最优期望效用的长期行为，而且还提供了有限时间范围内期望效用的显式表示。因此，我们得出结论，该特征对决定了长期灵敏度。作为例子，给出了几个市场模型的明确结果，如随机超额收益的Kim-Omberg模型和Heston随机波动率模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：敏感性分析 期望效用 敏感性 最优解 Mathematical

永滨公园最佳投资组合长期预期效用的敏感性分析*Stephan Sturm+2019年6月11日摘要本文讨论了具有恒定相对风险厌恶的投资者最优投资组合的长期预期效用的敏感性。在因子模型给出的不完全市场下，我们考虑了具有长时间范围的效用最大化问题。主要目的是确定长期敏感性，即基本因素模型的微小变化对长期最佳预期效用的影响程度。因子模型归纳了一个算子的特定特征对，该特征对不仅描述了最优预期效用的长期行为，还提供了有限时间范围内预期效用的明确表示。我们的结论是，该特征对因此决定了长期敏感性。作为示例，给出了几种市场模型的明确结果，如随机超额收益的Kim–Omberg模型和Heston随机波动率模型。2010年数学学科分类：91G10、93E20、49L20、60J60JEL分类：G11、C61关键词：投资组合优化、敏感性分析、光谱分析、遍历Hamilton–Jacobi–Bellman方程、Hansen–Scheinkman分解1简介寻找最佳投资策略是数学金融中的一个重要课题。有几种方法可以公式化最优投资问题，常用的公式之一是使用效用函数。代理人通过在市场上交易资产来最大化对公用事业单位的期望。

本文还讨论了最优期望效用的表达式，即sup∏∈XEP公司U（πT）（1.1）对于X，可容许投资组合的财富过程族。这个问题的分析取决于市场的完整性/不完整性。完整的市场案例相对容易找到最佳预期效用（见第1.3节），而不完整的市场案例更为复杂，需要先进的技术。本文研究一个用因子模型建模的不完全市场。此类因素在定量金融文献中被广泛使用。在下文中，我们首先概述了本文的主题，回顾了相关文献，并给出了一维扩散模型给出的相对简单的完整市场案例。1.1概述本文的主要目的是对长期最优预期效用进行敏感性分析。我们考虑两种敏感性。第一个因素是对初始因素的敏感性，例如，如果因子过程对波动率的演变进行建模，则当前即期波动率。对于因子过程的初始值χ=xO，我们研究了χsup∏∈XEP公司U（πT）对于大T，第二个是漂移或波动函数变化的敏感性，例如均值回复波动过程的回复速度、均值回复水平和波动率波动率。设为摄动参数*通讯作者。韩国首尔国立大学数学科学与RIMS系，1，Gwanak ro，Gwanak gu，首尔共和国。电子邮件：hyungbin@snu.ac.kr, hyungbin2015@gmail.com+美国马萨诸塞州伍斯特市研究所路100号伍斯特理工学院数学科学系。电子邮件：ssturm@wpi.eduand考虑S=S的扰动资产价格S。

用扰动资产模型S表示可容许投资组合的财富过程族。第6节和第7.1节讨论了S和X的确切含义。对于长期敏感性，我们感兴趣的是=0sup∏∈XEPU（πT）为了实现这一点，我们结合了几种技术：对偶应用程序roach（Kramkov和Schachermayer（1999））、动态规划原理、遍历Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程（Knispel（2012））、Hansen–Scheinkman分解（Hansen和Scheinkman（2009）、Qin和Linetsky（2016））和长期现金流敏感性结果（Park（2018））。（1.1）灵敏度的渐近行为可用遍历HJB方程的解对（λ，φ）来表征。定理5.1提供了有限时间范围内最优预期效用的精确表示，即带有乘法误差项的渐近参数（λ，φ）。除了作为推导敏感度结果的主要工具外，我们认为该结果本身很有意义，可能用于进一步分析。第3节将给出结果的精确公式，并详细讨论如何将上述技术结合起来以实现这些结果。为了明确本文的目的，并将手头的问题与类似的问题区分开来，让我们将我们研究的公式精确化：我们将问题考虑得有限→∞T=0lnsup∏∈XEPU（πT）对于相对风险厌恶度大于1的常数投资者，即效用函数U（x）=xpp，p<0。具体而言，我们在对数尺度上计算导数的归一化不对称行为。这与优化长期增长率的问题不同，长期增长率是在对数尺度上对标准化的最优增长率进行优化，然后分析其敏感性。

虽然这两个问题都具有经济意义，但我们在本论文中重点关注第一类敏感性。1.2相关文献许多作者研究了最优长期投资问题：Fleming和McEneaney（1995）通过将其重新表述为有限时间范围内的风险敏感控制问题，解决了具有恒定相对风险厌恶的投资者的预期效用长期增长的优化问题。Guasoni和Robertson（2012）开发了一种方法d，以在不完全市场的一般扩散模型中为具有powerutility的投资者明确推导出最优投资组合。Liu和Muhle Karbe（2013）解释了如何使用随机控制和凸对偶计算最优投资组合。特别强调了导致特别容易处理结果的长期渐近性。Robertson和Xing（2015）研究了具有二次梯度的半线性Cauchy问题解的大时间行为。他们的分析直接应用于风险敏感控制和长期投资组合选择。固定时间范围内最优投资的敏感性分析也吸引了许多作者：Kramkov和S^irbu（2006）就初始资本或投资组合约束的微小变化对最优预期效用进行了敏感性分析。Larsen和71zitkovi\'c（2007）研究了在小扰动下完全和不完全市场中效用最大化的稳定性。它们确定了参数过程空间和解决方案空间上的拓扑结构，在此空间下效用最大化是一个连续的操作。Backhoff和Silva（2017）对一些参数化随机最优控制问题进行了一阶灵敏度分析。

他们的主要工具是随机庞特里亚金原理弱形式的伴随态与状态方程相关的拉格朗日乘子之间的一一对应。Larsen等人（2018年）研究了电力投资者价值函数的一阶近似值，其二阶误差在不完全金融市场的框架下进行了量化。Mostovyi和S^irbu（2017）研究了连续半鞅市场中最优预期效用对风险市场价格微小变化的敏感性。对于一般效用函数，他们推导出价值函数的二阶展开式、终端财富的一阶近似值，并构建交易策略。Mostovyi（2018）针对不完全市场模型中的数值小扰动，对预期效用最大化问题进行了敏感性分析，其中，在适当的数值下，股价过程由asigma有界半鞅驱动。作者还建立了价值函数的二阶展开式和最终财富的Firstorder近似。Monin和Zariphopoulou（2014）探讨了“希腊投资组合”，该组合衡量投资者的最佳财富对累积超额股票回报、时间和其他市场参数变化的敏感性。

BackhoffeVeraguas和Silva（2018）研究了正p owertype效用函数的不完全塞缪尔森模型中最终财富效用最大化问题的模型参数敏感性问题，通过将最大化问题重新表述为弱紧集的凸分析支持函数。本文与u pon Park（2018）密切相关，并构建了u pon Park（2018），他研究了预期的长期敏感性-αRtθ（Su）duif对于基本随机过程S的扰动。在完全市场中，我们可以使用他的论文的结果，因为最优预期效用可以用这种形式的期望来表示，如第1.3节所示。然而，在不完全市场中，最优预期效用不能用上述形式表达，因此人们不能依赖于他的结果。我们必须在当前的论文中使用更先进和复杂的技术来处理不完全市场模型的情况。本论文的结构如下。在第1节的其余部分中，我们将讨论作为热身的完整市场模型的情况。第2 p节提供了模型的建立，并具体说明了市场模型和优化问题。本文的主要思想是在第3节中使用启发式论证提出的。在第4节中，我们展示了两个示例：Kim–Omberg模型和Heston模型。第5节讨论了效用最大化问题的对偶公式和Hansen–Scheinkman分解，以提供以下严格结果：第6节研究了与初始因子相关的敏感性，第7节研究了与漂移和波动性相关的敏感性。第8节总结了本文的结果。

附录中给出了证明和详细计算。1.3完整市场作为一个热身，本节讨论了完整市场中最佳预期效用的长期敏感性，如下所示：Park（2018）。他调查了预期的长期敏感性-αRtθ（Su）对实数α、连续函数θ和隐含资产过程s。我们表明，完整市场中的最佳预期效用可以表示为这种形式的预期，因此Park（2018）的结果直接适用。我们考虑以下市场模型：风险资产（如股票）的价格S满足DST=b（St）dt+（St）dWt，S=S，具有b和连续函数，正，因此此SDE具有唯一的非爆炸性强解。这里，过程W是物理概率测度P下的布朗运动。在不丧失一般性的情况下，我们假设短期利率为零，因此风险的市场价格为θt：=θ（St）=b（St）（St）。具有恒定相对风险厌恶的投资者1- p、 p<0，旨在最大化终端的预期功率效用（χ，T）：=sup∏∈XEP公司U（πT）=品脱∏∈XEP公司πpT. （1.2）根据电力效用的同质性，我们可以在不损失一般性的情况下假设初始资本。

让P*是uniquerisk中性度量，用LT表示FT上的Radon–Nikod'ym导数，即LT=dP*数据处理FT.众所周知，最佳投资组合价值为∏T=cT（U′）-1（LT），其中cTis是由预算约束t1=EP确定的常数*^∏T= cTEP*（U′）-1（LT）= cTEP*hL1/（p）-1） Ti。因此，最优预期效用为isEPU（^∏T）= EP公司UcTU\'-1（LT）=pcpTEPLp/（p）-1） T型=政治公众人物Lp/（p）-1） T型EP公司*L1/（p）-1） T型p=政治公众人物*L1/（p）-1） T型EP公司*L1/（p）-1） T型p=政治公众人物*L1/（p）-1） T型1.-p、 这一预期可以用风险的市场价格来表示，因为氡-尼科德ym衍生工具LTisLt=e-RtθsdWs-Rtθsds=e-RtθsdW*s+Rtθsds，0≤ t型≤ T、 带W*t： =重量+Rtθsds a P*-布朗运动。如果我们从P中定义一个度量值^P*使用Girsanov kernel1-pθt，thenEPU^∏T=政治公众人物*L1/（p）-1） T型1.-p=政治公众人物*he1-pRTθsdW*s+2（p-1） RTθsdsi1-p=p·E^Phep2（1-p） RTθsdsi1-p=pE^Phe-αRTθsdsi1-pwithα：=-p2（1-p） 。S isdSt的P-dyn amics=b（St）+p（St）θ（St）1- pdt+（St）d^Wt（1.3），其中^W是一个^P-布朗运动。因此，最优预期效用的敏感性分析归结为V（s，T）：=E^Phe的敏感性分析-s=s的αRTθ（Su）dui（1.4），可使用Hansen和Scheinkman（2009）和Park（2018）的结果进行下垫过程（1.3）。从Hansen–Scheinkman分解中，可以找到定价算子PT的特征值和特征函数（λ，φ）（称为递归特征对），由PTφ（s）=e定义-λTφ（s），其中ptφ（s）=E^Phe-αRTθ（Su）duφ（ST）S=si。它们描述了v（s，T）的长期行为。具体而言，在某些假设下，limitlimT→∞v（s，T）e-λTφ（s）存在，且与s无关。

对于长期初始值敏感性，可以显示Limt→∞sln v（s，T）=φ′（s）φ（s）。由此可以得出预期效用的实际敏感性sln公司U（s，T）=sln公司-pv1-p（s，T）= (1 - p）sln v（s，T）。对于p参数对漂移和波动的敏感性，设为漂移或波动中的扰动p参数，并用v（s，T）表示等式（1.4）中的相应期望。使用递归特征对族（λ，φ）>0，可以证明limt→∞T=0ln v（s，T）=-λ=0，通过乘以1，可以推断出实际预期效用的敏感性- p、 我们强调，本节中的主要论点不能适用于不完全市场。我们的推理依赖于这样一个事实：在完全市场情况下，对偶优化问题是在单一风险中性度量上提出的，因此有一个平凡的解。这不能推广到描述一个不完整市场的因素差异模型，在这个不完整市场中，我们在许多风险中性指标上存在优化问题。在本节的其余部分中，我们将研究上述完整市场的一个示例。我们研究了当标的资产遵循Ornstein-Uhlenbeck过程时，最优预期效用的长期敏感性。在将商品建模为黄金、白银和石油时，经常会出现这种情况。假设资产遵循DST=（u- bSt）dt+dWt，S=S，（1.5），在实物计量下，短期利率为零。那么，风险的市场价格是θ（St）：=u- bSt，在物理度量和风险中性度量下连接两个布朗运动，viadW*t=dWt+θ（St）dt。我们想分析等式（1.4）中给出的值函数v（s，T）。