最优解长期期望效用的敏感性分析

通过Φ（·）=Φ定义两个函数Φ、F和一个过程ˇXl-1(·), F（·，t；t）=Fl-1（·），t；T,ˇXt：=l（Xt），设Φ：=Φ，F：=FandˇX：=ˇX。积分以固定常数c开始，因此，如果χ6=c，初始值ˇX=Rχcσ（u）du也会受到扰动。我们要分析的函数v（X，t）可以表示为v（χ，t）=e-λTφ（χ）EQh（ˇXT）eRTF（ˇXs，s；T）dsi。使用It^o公式，很容易在Q-动力学下显示thˇXt=γ（ˇXt）dt+dBt，ˇX=l（χ），其中γ（·）：=κl-1（·），t；Tσl-1(·)-σ′l-1(·).让你成为一个开放的社区l（χ） 定义wη，（ˇx，T）：=等式hΦη（ˇxT）eRTFη（ˇxs，s；T）dsX=xifor（η，，X，T）∈ I×I×U×[0，∞) 所以v（χ，T）=e-λTφ（χ）~w，l（χ），T.在这种情况下，我们得到以下定理。证明类似于定理7.2。定理7.5。除B1–2外，假设（，x）7→ σ（x）是两次连续可微分的。假设定理7.1中的条件（i）和下列条件。（i） 偏导数 ˇxwη，（ˇx，T）在I×I×U上存在并在（η，，ˇx）中连续。此外，limT→∞T ˇxˇx=l（χ） w0,0（ˇx，T）=0。（二）偏导数ηИwη，（η，，T）在I×I×U上存在并在（η，，x）中连续。此外，limT→∞Tηη=0wη，0l（χ） ，T= 0.（iii）偏导数在I×I×U上，wη，（η，，）存在并在（η，，x）中连续→∞T=0w0，l（χ） ，T= 那么，wη，（x，T）（因此ln v（x，T））在I和=0w，（χ，T）==0w，l（χ），T==0l(χ) · ˇxˇx=l（χ） w0,0（ˇx，T）+ηη=0wη，0l（χ） ，T+=0w0，l（χ） ，T.

（7.5）最后，limT→∞T=0ln v（χ，T）=-λ=0.该定理有一个重要的含义，即误差项w的波动敏感性是误差项的初值敏感性、函数敏感性和漂移敏感性的总和。上述定理中的条件（ii）是关于函数扰动的灵敏度，这与定理7.1中的条件（ii）相对应。上述定理中的条件（iii）是关于与定理7.1中的条件（iii）相对应的漂移的灵敏度，可以在第7.2节中以相同的方式进行分析。在特例c=χ中，我们可以限制上述定理中的条件（i），因为初值不受扰动。此外，式（7.5）可以写成=0w，（χ，T）==0w，（T）=ηη=0wη，0（T）+=0w0，（T）。8结论在本文中，我们对因子模型给出的不完全市场中最优投资组合的长期预期效用进行了敏感性分析。主要目的是确定长期敏感性，即基本因素模型的微小变化对最佳预期效用的长期影响程度。我们计算了两种灵敏度；第一个是初始因素敏感性。对于因子过程的初始值χ=xO，我们研究了χsup∏∈XEP公司U（πT）第二类是漂移和波动敏感性。对于扰动参数，考虑S=的扰动资产价格S和具有扰动资产模型的可容许投资组合财富过程族X。对于长期敏感性，我们感兴趣的是=0sup∏∈XEPU（πT）为了实现这一点，我们采用了几种技术。将原效用最大化问题转化为对偶问题。

然后，我们用HJB方程逼近对偶问题的解。最优期望效用的长期行为可以用相应遍历HJB方程的解对（λ，φ）来表征，我们证明了该解对决定了长期敏感性。对偶问题的解v可以分解为v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。我们将该表达式中的期望视为一个误差项，然后找到了该误差项可以忽略的充分条件。我们提供了几个市场模型的明确结果示例，如托卡斯蒂克超额收益的Kim–Omberg模型和赫斯顿随机波动率模型。确认Hyungbin Park由韩国政府（MSIT）资助的韩国国家研究基金会（NRF）资助（编号2018R1C1B5085491和2017R1A5A1015626）。参考文献J Backh o off和F J Silva。敏感性导致随机最优控制：拉格朗日观点。以赛姆。《控制、优化和变异演算》，23（1）：39–702017年。Julio Backho ff Veraguas和Francisco J Silva。不完全布朗市场模型中期望效用最大化的敏感性分析。《数学与金融经济学》，12（3）：387–4112018。安娜·巴托兹、马齐亚·德多诺和亚历山德罗·斯布埃尔兹。Kim和Omberg重访：du-ality应用程序蟑螂。《可能性和统计杂志》，2015年，2015年。FreddyDelbaen和WalterSchachermayer。资产定价基本定理的一般版本。MathematischeAnnalen，300（1）：463–5201994年。斯特芬·德里奇、安德烈亚斯·纽恩基尔奇和卢卡斯·斯普鲁奇。欧拉型方法，用于强逼近Cox–Ingersoll–Ross过程。《皇家学会学报A：数学、物理和工程科学》，468（2140）：1105–11152011。温德尔·H·弗莱明和威廉·M·麦克尼。

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梯度二次增长半线性方程解的大时间行为。《暹罗控制与优化杂志》，53（1）：185–212，2015年。遍历HJB方程的动机在本节中，我们推导了遍历HJB方程，并提供了A4–7的动机。这些假设源自动态编程原理。设M是所有渐进可测过程ξ的集合，使得rtξsds<∞ a、 每个t的s.然后V（x，t）=supY∈是的YqT公司= supξ∈墨菲-qRTθ（Xs）dW1，s-qRTθ（Xs）d s-qRTξsdW2，s-qRTξsdsi=supξ∈ME^Pheq（q-1） RT（θ（Xs）+ξs）dsiwered^PdPFT=E-qZ·θ（Xs）dW1，s- qZ·ξsdW2，sTde定义了一个由A7引起的鞅。X的^P-动力学isdXt=（m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- qξtσ（Xt））dt+σ（X）d^W1，t+σ（Xt）d^W2，t对于a^P-布朗运动（^W1，t，^W2，t）。我们将过程X视为状态变量，ξ视为控制变量。动态编程原理的标准参数表示，值functi onu（x，t）：=supξ∈ME^PXt=xheRTtl（ξs，Xs）dsisatis fiesut+（σ（x）+σ（x））uxx+supξ∈R{h（ξ，x）ux+l（ξ，x）u}=0，u（x，T）=1。（A.1）式（A.1）的最优控制由^ξ（x，t；t）=-σ（x）ux（x，t）（1- q） u（x，t）。考虑时间0的初始条件，v（x，t）=supξ是很方便的∈ME^PX=xheRtl（ξs，Xs）dsi。我们从马尔可夫性质yv（x，t）=supξ知道∈ME^PX=xheRtl（ξs，Xs）dsi=supξ∈ME^PXT-t=xheRTT-tl（ξs，Xs）dsi=u（x，T- t） 。函数v（x，t）满足度vt=（σ（x）+σ（x））vxx+supζ∈R{l（ζ，x）v+h（ζ，x）vx}，v（0，x）=1。（A.2）式（A.2）的最优控制由^ζ（x，t；t）=-σ（x）vx（x，t）（1- q） v（x，t），很明显^ξ（x，t；t）=^ζ（x，t- t；T）=-σ（x）vx（x，T- t） （1）- q） v（x，T- t） ，这激发了假设5和等式（5.7）。遍历HJB方程有助于获得增长率-λ和了解最优函数^ξ的行为。

启发式地，取v（t，x）=e-λtφ（x）在式（5.4）中，我们有-λφ（x）=（σ（x）+σ（x））φxx+supζ∈R{l（ζ，x）φ+h（ζ，x）φx}。这是一种特征值/特征函数问题。未知是一对（λ，φ），解对通常不是唯一的。A6假设此遍历HJB方程的特定解对（λ，φ）近似于方程（5.2）中定义的函数v，这也是原始HJB方程（5.4）的解。许多作者讨论了这一假设的充分条件。请参阅Knisp el（2012）中的假设4.1和Flem ing and d Mceney（1995）中的定理3.3。B定理7.3的证明定理7.3的证明依赖于以下命题，其证明相当冗长乏味。我们回顾了inEq中定义的函数^φ、^f和^g。(7.4). 该命题的证明类似于Park（2018）中命题A.1的pro，但为了完整性，我们在此提供证明。提案B.1。除B1–2外，假设^φ（·）>0，^f（·，t；t）<∞, ^g（·，t；t）<∞ κ是连续微分的，f在I上是连续的。固定T>0，并假设以下条件。（i） 存在一个大于0的实数，即x，s；T）dsiis定义。（二）存在实数v≥ 2和大于0的su ch thatEQZT^gv+（Xs，s；T）dsis定义。（iii）函数^Γu（T）：=等式^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）ds当u=vv时为有限值-1，即u+v=1，对于（ii）中的v。然后，对于给定的（χ，T），偏导数wη，（χ，T）存在且wη，（χ，T）=EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs（B.1）其中l（x，t；t）：=σ（x）κ（x，t；t）。此外，对于给定的（χ，T），导数在（η，）上是连续的。证据由于这个命题的证明相当复杂，我们分为几个步骤。

我们表示l（x，t；t）：=l（x，t；t）。（一） 我们证明了公式（B.1）的=0，即，=0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs（B.2）这种平等性将通过以下4个子步骤来证明。（a） 首先，我们展示=0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= lim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs.s；T）dsZTZsl（Xs，s；T）dBs对于函数l和下面定义的正鞅Z。（b） 我们证明了积分(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））DBS在Lvas中归零→ 0。（c）证明了积分Rt（Zs- 1)l（Xs，s；T）dbs在Lvas中归零→ 0。（d）我们证明了步骤（b）和（c）implylim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs= 0，给出等式（B.2）。（I I）使用步骤（I）的结果，我们证明了任意的公式（B.1）∈ 一、 （I II）我们证明了导数在I上是连续的，这可以通过显示Ht收敛于HTin Lvas得到→ 0，式（B.7）中定义了H和H。我们首先执行以下子步骤s.（a），显示ZT(ll）（Xs，s；T）ds·ZT→ 0英寸Lvas→ 0.（b）我们证明ZTl（Xs，s；T）dBs·ZT→ZT公司l（Xs，s；T）dBsin Lvas→ 0、步骤（I）–（a）。我们首先将公式（B.1）表示为=0。定义函数l（x，t；t）由l（x，t；t）=κ（x，t；t）-κ（x，t；t）σ（x）如果6=0，σ（x）=0κ（x，t；t）i f=0，因此κ（x，t；t）=κ（x，t；t）+l（x，t；t）σ（x）。从定义l（x，t；t），很明显l（x，t；t）=l（x，t；t）=l（x，t；t）。根据中值定理，我们得到|l（x，t；t）|≤ ^g（x，t；t）。对于||≤ /2，定义：=dQdQ=EZ·l（Xt，t；t）dBtT、 那么这个局部鞅过程（ZT）0≤t型≤这是一个鞅，因为Novikov条件被条件（i）满足。

然后我们就有了那个eqφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT.从equalityZt- 1=ZTZsl（Xs，s；T）dbs由公式推导得出，如下所示=0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds==0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT= lim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT- 1= lim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs.s；T）dsZTZsl（Xs，s；T）dBs. （B.3）步骤（I）–（B）。我们证明了积分(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））DBS在Lvas中归零→ 由Burkholder-Davis-GundyInquality和Jensen-ine质量，EQZT公司(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBsv≤ cvEQ公司ZT公司(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dsv/2≤ cvTv-1EQZT|l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T）| vds对于Burkholder-Davis-Gundy不等式中的一些正恒量cv。因为|l-l|v≤ 2伏|l| v+|l|v≤ 2v+1^gv且条件（ii）成立，我们可以应用Lebesgue支配的收敛定理，这意味着ztl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T）DBS在Lvas中收敛到零→ 0、步骤（I）–（c）。我们现在显示zt（Zs- 1) l（Xs，s；T）dbs在Lvas中收敛到零→ 0.选择一个足够大的正数m，使m+1+v<1，并且mv是一个正整数，其中由条件（i i）给出。记住v≥ 2、接下来是ZT（Zs- 1) l（Xs，s；T）dBsv≤ cvEQ公司ZT | Zs- 1||l|（Xs，s；T）dsv/2≤ cvTv-1EQZT | Zs- 1 | v|l| v（Xs，s；T）ds≤ cvTv-1.EQZT | Zs- 1 | mvdsm级EQZT公司|l| v+（Xs，s；T）ds 11+v≤ cvTv-1.EQZT | Zs- 1 | mvdsm级EQZT^gv+（Xs，s；T）ds 11+v.第二项由条件（ii）确定。现在，我们证明第一个期望收敛为零→ 0、考虑（Zt- 1） mv=mvXi=0mvi公司(-1） 中压-i（Zt）i。

（B.4）没有足够的证据表明EQRT（Zt）idt收敛于t as→ 0表示i=1，2，···，mv，因为eEqzt（Zs- 1） mvds=mvXi=0mvi公司(-1） 中压-iEQZT（Zs）idt-→ TmvXi=0mvi公司(-1） 中压-i=0。为了证明这一点，我们将Lebesgue支配的收敛定理应用于EQRT（Zt）idt=RTEQ（Zt）idt：我们证明了（Zt）i小和0的Is一致有界≤ t型≤ T和该等式（Zt）i当固定t的变为零时，收敛到1。观察等式（Zt）i= EQexpiZt公司l（Xs）dBs-iZt公司|l|（Xs）ds= EQexpiZt公司l（Xs）dBs- iZt公司|l|（Xs）ds· 经验值i（i- 1/2）Zt|l|（Xs）ds≤EQexp2iZtl（Xs）dBs- 2iZt|l|（Xs）ds·EQexpi（2i- 1） Zt|l|（Xs）ds≤EQexpi（2i- 1） Zt|l|（Xs）ds≤EQexpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds≤EQexpZT^g（Xs）ds, （B.5）这是由假设（i）确定的。这里，对于第二个不等式，我们使用正的局部鞅exp2iZtl（Xs）dBs- 2iZt|l|（Xs）ds0≤t型≤这是一个超级马丁格尔。因此，对于小和0≤ t型≤ T、 术语EQ（Zt）i很好地由（EQexp）限定RT^g（Xs）ds）.现在我们证明（Zt）i当固定t的变为零时，收敛到1。我们将把Lebesgue支配的收敛定理应用到xpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds当归零时。使用等式（B.5）中的最后一个不等式，这由exp控制Zt^g（Xs）ds,他们的期望是有限的，因此我们知道eqexpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds归零时收敛到1。1=等式i nf→0（Zt）ii≤ l im inf→0EQ（Zt）i≤ lim sup→0EQ（Zt）i≤ lim→0EQexpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds= 1.（B.6）这会得到所需的结果。步骤（I）–（d）。从公式（B.3）中，为了显示公式（B.2），需要对thatlim进行验证→0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs= 根据条件（iii），^u（t）=等式^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）ds对于1/u+1/v=1的u，通过H¨older不等式，它足以显示zt（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs→ 0英寸Lvas→ 0