最优解长期期望效用的敏感性分析

在这种情况下，对应于^P下资产价格动态的生成器由lφ（s）=φ′（s）+u给出- bs1- pφ′（s）- αθ（s）φ（s）和在e上可以表示-L为λ=b(√1.- p- 1)2(1 - p） ，φ（s）=e-像-Bs，其中=b(√1.- p- 1)(1 - p） ，B=-u(√1.- p- 1)(1 - p） 。定理1.1。在公式（1.5）中的O rnstein–Uhlenbeck模型下，公式（1.2）中的最佳预期效用的长期敏感性是有限的→∞sln公司U（s，T）= (1 - p） φ′（s）φ（s）=-(1 - p） （As+B），极限→∞TulnU（s，T）= -(1 - p）λu=0，极限→∞Tbln公司U（s，T）= -(1 - p）λb=-√1.- p- 1，限制→∞TlnU（s，T）= -(1 - p）λ=0.2模型设置当前纸张的模型设置如下：让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是二维布朗运动（W1，t，W2，t）t的正则路径空间≥0、过滤（Ft）t≥0是（W1，t，W2，t）t自然过滤的通常完成时间≥测量值P称为物理测量值。风险资产的动态由以下随机微分方程（SDE）给出：dSt=b（Xt）Stdt+（Xt）StdW1，t，S=1，（2.1）dXt=m（Xt）dt+σ（Xt）dW1，t+σ（Xt）dW2，t，X=χ，（2.2），这是定义随机因素模型的典型方法。过程S和X分别描述了资产价格及其基础因素过程。五个函数m、σ、σ、b、和实数χ满足以下假设。让(l, r） 在r中为的开放区间-∞ ≤ l < r≤ ∞.A 1。Letχ∈ (l, r） 设m，σ，σ是(l, r） 使得σ+σ>0。SDE（2.2）具有唯一炸药（即P[Xt∈ (l, r） 对于所有t≥ 0]=1）强解X.A 2。函数b，是连续的，且严格为正(l, r） 。在这些假设下，资产价格过程得到了很好的定义，可以写成asSt=eRt（b-） （Xs）ds+Rt（Xs）dW1，s.A 3。

对于每个固定时间T，在fts上存在一个概率测度，即贴现资产价格过程是[0，T]上的局部鞅。众所周知，这一假设相当于市场上没有套利，即没有免费午餐，风险消失（Delbaen和Schachermayer（1994））。在不丧失一般性的情况下，我们将假设短期利率为零，因此货币市场账户的价值始终为1。然后，风险的市场价格由θt=θ（Xt）=b（Xt）（Xt）给出。（2.3）投资者希望通过交易资产和货币市场账户，在终端时间T最大化其投资组合价值的预期效用。投资组合是一个S可积的可预测过程ψ。投资组合ψ的价值过程∏=ψ是∏t=π+ZtψudSu，0≤ t型≤ T、 我们用X表示初始财富∏等于1的非负值过程族，即X={∏ψ≥ 0：ψ是一个投资组合，∏ψ=1}。（2.4）假设投资者具有恒定的相对风险厌恶1- p>1，即对应于其参考值的效用函数为负幂型u（x）=xpp，p<0。对于给定的初始资本，投资者的目标是最大化终端财富的预期价值，即sup∏∈XEP公司U（πT）=品脱∏∈XEP公司πpT. （2.5）由于投资者偏好的同质性，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设初始资本等于1。3启发性论点和主要结果本论文的主要目的是研究两种类型的对S和X扰动的长期敏感性。一种是对因子过程（2.2）初值χ=xO的敏感性，χlnsup∏∈XEP【U（πT）】. （3.1）另一类涉及五个函数m、σ、σ、b、的敏感性。

设m，σ1，，σ2，，b，为带摄动参数的摄动函数（有关精确定义，请参见第7.1节）。用S表示由这些扰动函数诱导的扰动资产过程，并考虑由扰动资产过程S生成的等式（2.4）给出的财富过程族X。感兴趣的敏感性是关于-扰动，=0lnsup∏∈XEP【U（πT）】.备注3.1。我们注意到，式（2.1）中的假设S=1并不限制结果的一般性。事实上，在因子模型中，最优预期效用与股票价格的初始值无关，因为股票的动态尺度是线性的。这与第1.3节中完整市场案例的结果相反，因为漂移和波动函数也取决于股价。接下来，我们将介绍如何通过调查论证的专业步骤来推导长期初始因素敏感性的主要想法。

技术细节归入第6节。（i） 从效用最大化问题的对偶公式（Kramkov和Schachermayer（1999），细节将在第5.1节中进行调查），我们知道u（χ，T）：=sup∏∈XE[U（πT）]=pEP公司^YqT1.-p（3.2）对于一些非负超鞅Y和q：=- p/（1）- p） ；定义nev（χ，T）：=EP^YqT= EP公司^YqTX=χ.（ii）式（3.1）中的灵敏度为χlnsup∏∈XEP公司U（πT）= (1 - p）χln v（χ，T），因此有必要评估χln v（χ，T）。（iii）函数v满足HJB方程（详情见第5.1节）。（iv）函数v可以用遍历HJB方程的解p air（λ，φ）（见等式（5.8））来近似，即e-λTφ（χ）渐近等于v（χ，T），直到一个常数因子，即v（χ，T） e-λTφ（χ）（其中我们使用旋转fT gTto表示极限→∞FTGT对于两个正函数fTand GT收敛为一个正常数）。为了得出这个结果，我们依赖于（iii）中导出的v的HJB表示。（v） 通过对上述asymp totics进行偏导数，可以预期χln v（χ，T）φ′（χ）φ（χ）（3.3），这确实是本文的主要结果之一，在定理3.2中有详细说明。Park（2018）第3节提出了这种方法。（vi）为了使该渐近结果严格，需要控制误差项。这可以通过函数v的概率表示来实现，v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi，对于概率测度Q和连续函数f。定理5.1给出了精确结果，证明依赖于Hansen–Scheinkman分解对当前上下文的适应性。

因此，通过直接取偏导数，我们得到χln v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）+χln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。在合理条件下，误差项χln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsigoes为零，即T→ ∞ 我们得到了公式（3.3），即期望的结果。以下定理是关于初始因子灵敏度的主要结果。证据将在第6节给出。定理3.2。A ssume A1–10（在第2节和第5.1节中说明），此外，mapχ7→ 方程式φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=χiis连续可微，导数随着T收敛为零→ ∞. ThenlimT公司→∞χln v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）。（3.4）备注3.3。这一结果在精神上与Robertson和Xi ng的结果非常相似（Robertson和Xi ng，2015，公式（1.4）和T heorem2.11）。他们还讨论了式（3.4）中类型的渐近行为。然而，他们的方法以及所需的假设与当前的论文不同。对于论文的第二个主题，即对小扰动参数的敏感性，我们以同样的方式进行，并概述了论证的主要步骤；技术细节将在第7节中给出。（i’）–（iv’）对于每个，我们可以遵循关于初始因子的敏感性分析的应用程序。具体实施步骤（i）–（iv）如上所述，并相应地定义v（χ，T）和（λ，φ），我们得到v（χ，T） e-λTφ（χ）。（v’）通过对上述渐近进行偏导数，我们得到=0ln v（χ，T） -=0λ.

（3.5）（vi’）函数v（x，T）具有p rob ab bilistic表示v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。因此，通过取偏导数，它遵循t hatT=0ln v（χ，T）=-λ=0+T=0lnφ（χ）+T=0ln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。第二项变为零，为T→ ∞ 在合理条件下，误差项=0ln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsivanishes as T→ ∞, 因此，我们得到等式（3.5）。定理3.4。假设B1-2，定理7.1中的条件（i）–（iii），此外，映射7→ 等式hφ（XT）eRTf（Xs，s；T）DSII在0时可连续微分=0EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi收敛为零→ ∞. ThenlimT公司→∞T=0ln v（χ，T）=-λ=0.4个示例在严格实施草图程序之前，我们想在本节中说明哪些结果可以在特定示例中实际实现。通过推导Kim–Omberg m odelof随机超额收益率和H eston随机波动率模型的显式公式，证明了我们方法的威力。4.1 Kim-Omberg模型在Kim-Omberg模型（Kim和Omberg（1996））中，资产价格S和随机超额收益X满足度dst=uXtStdt+StdW1，t，S=1，dXt=k（m- Xt）dt+σdZt，X=χ（4.1），对于具有相关参数ρ的相关布朗运动Wand Z∈ (-1, 1). 这里，反转参数p eed k、挥发度、σ为正，返回u、平均反转水平m为实数。通过设置σ=ρσ，σ=p1，将其纳入标准模型- ρσ和W2，t=√1.-ρZt-ρ√1.-ρW1，tso thatdXt=k（m- Xt）dt+σdW1，t+σdW2，t，X=χ。风险的市场价格为θt：=uXt。定义α=k+quσ，α=σ+σ1- q、 α=km，α=qα+q（1- q） αu/。andB=α- αα，C=α（α- α） αα，对于q是指数函数的对偶指数，q=-p1级-p、 则递归特征对为λ=-αC+αC+σB，φ（x）=e-Bx公司-Cx。定理4.1。

在Kim–Omberg模型中，假设参数满足yk+quρσ+Bσ>0。（4.2）然后，式（3.2）中的最佳预期效用的长期敏感性由IMT给出→∞χlnU（s，T）= -(1 - p） （Bχ+C），极限→∞Tkln公司U（s，T）= (1 - p） αmα-α+ ααC- (1 - p）m级-α(α+ α)αC+（1- p） σB2α，极限→∞T百万U（s，T）=αα(1 - p） kC公司- 2(1 - p） kC，极限→∞TulnU（s，T）= -pσα（ρα- kρα- uσα)αα-pσ（ρα- qρ- uσ）2αα，极限→∞TlnU（s，T）=pquσα（ρα- kρα- uσα）α+puσ（ρα- kρ- uσ）2αlimT→∞TρlnU（s，T）= -αpC（k）- α)uσα(α- α)+ρσ(1 - q） α-kuσα+ αpC（k）- α)uσα(α- α)+2ρσ(1 - q） α-kuσα+pσB（k）- α)uσα(α- α)+2ρσ(1 - q） α,限制→∞TσlnU（s，T）= αpu（ρα- kρ- uσ)α(α- α)-1.- pσ+pu（kρ+uσ）αC- αpu（ρα- kρ- uσ)α(α- α)-2(1 - p） σ+pu（kρ+uσ）αC-puσρα- kρ- uσα(α- α)B、 这些渐近结果的证明见附录D.4.2赫斯顿随机波动率模型中的赫斯顿模型（赫斯顿（1993）），资产价格S和随机方差过程X satisfydSt=uXtStdt+√XtStdW1，t，S=1，dXt=k（m- Xt）dt+σ√XtdZt，X=χ，对于相关参数ρ的相关布朗运动Wand Z∈ (-1, 1). 此处，逆转参数p eed k、平均逆转水平m、挥发度、σ为正，返回u为实数。假设felercondition 2km>σ，这确保X的零边界不可访问。通过设置σ=ρσ，σ=p1，将其纳入标准模型- ρσ和W2，t=√1.-ρZt-ρ√1.-ρW1，tso thatdXt=k（m- Xt）dt+σ√XtdW1，t+σ√XtdW2，t，X=χ。风险的市场价格为θt：=u√Xt。定义β：=k+quρσ，β：=qβ+q（1- qρ）uσ/，and b=（1- q） （β- β)(1 - qρ）σ。那么递归特征对是λ=kmB，φ（x）=e-Bx。定理4.2。在赫斯顿模型中，假设伐木条件2km>σ，k+quρσ>0。

（4.3）那么式（3.2）中的最佳预期效用的长期敏感性是有限的→∞χlnU（s，T）= -(1 - p） B，极限→∞Tkln公司U（s，T）= (1 - p） mB（kβ- 1） ，限制→∞T百万U（s，T）= -(1 - p） kB，限制→∞TulnU（s，T）=kmq（ρβ- kρ- uσ)(1 - qρ）σβ，极限→∞TlnU（s，T）=kmpuσB（ρβ- ρk- uσ)β(β- β） ，限制→∞TρlnU（s，T）= 九巴-pμσ（β- k） β（β- β） +2pρ1- qρ,限制→∞TσlnU（s，T）= 九巴2(1 - p） σ+pu（kρ+uσ- ρβ)β(β- β).这些渐近结果的证明见附录E备注4.3。式（4.2）和式（4.3）中的条件可确保过程X在与分析相关的度量下仍然是均值回复（详情在附录D和E中讨论）。该条件与这些模型中隐含波动率的长期分析中发现的条件类似，其中渐近区域取决于股票计量下的平均回归性质（参见，例如，（Forde和Jacquier，2011，Theorem2.1）和（Keller-Ressel，2011，第6.1节）。5效用最大化问题我们为第3节给出的启发式论证提供了数学背景。首先，我们讨论了效用最大化问题的对偶公式，并通过HJB方程的解对其进行了刻画。然后，我们引入了能描述长期问题的遍历HJB方程，并根据其特征对进行分析。最后，我们将Hansen–Scheinkmann分解推广到齐次马尔可夫过程中的时间泛函，为下面的敏感性分析奠定基础。在我们做出结论所需的精确假设的过程中。5.1对偶公式和HJB方程主要思想之一是采用K ramkov和Schachermayer（1999）中提出的效用最大化问题的du al公式。

我们回顾（见等式（2.5））效用最大化的首要问题issup∏∈XEP公司U（πT）这个原始问题与下列对偶公式有关，这是一个极小化问题∈是的V（YT）= infY公司∈是的-YqT/q, （5.1）其中q=-p1级-pis p和V（y）的共轭指数=-yqq是效用函数U的对偶共轭。这里，Y是Y=1的非负半鞅Y族，使得乘积（XtYt）t≥0是任何X的超级马丁格尔∈ 十、 用^Y表示Y中的最优元素（Kramkov和Schachermayer（1999）中的定理2.2保证了该最优值的存在）和def（χ，T）：=EP^YqT= EP公司^YqTX=χ. （5.2）我们强调，h ereχ是因子过程的初始值。请注意，函数v不是实际的双值函数，而是它的常数倍数。这源于对对偶初始条件的规范化，这可以归功于幂函数yq的同质性。根据Larsen et al.（2018）中的公式（4.10），我们知道∏∈XE公司U（πT）=pv1-p（χ，T）（5.3），使式（5.11）中最优预期效用的长期增长率为→∞Tln公司sup∏∈XEP公司U（πT）= (1 - p） 限制→∞Tln v（χ，T）。在某些条件下，我们可以将函数v描述为HJB方程vt的解=σ（x）+σ（x）vxx+supξ∈Rl（ξ，x）v+h（ξ，x）vx, v（x，0）=1（5.4），其中l（ξ，x）：=-q（1- q）θ（x）+ξh（ξ，x）：=m（x）- qθ（x）σ（x）- qξσ（x）。（5.5）此外，最佳元素^Y∈ 式（5.1）的Y可表示为^Yt=e-Rtθ（Xs）dW1，s-Rtθ（Xs）ds-Rt^ξ（Xs，s；T）dW2，s-Rt^ξ（Xs，s；T）ds，0≤ t型≤ T、 （5.6）式中θ（Xt）：=b（Xt）（Xt）是风险的市场价格，^ξ（x，T；T）：=-σ（x）vx（x，T- t） （1）- q） v（x，T- t） （5.7）是HJB方程（5.4）的最优控制。

在适当的条件下，函数v可以用以下方程的解对（λ，φ）近似-λφ（x）=σ（x）+σ（x）φxx+supξ∈Rl（ξ，x）φ+h（ξ，x）φx（5.8），称为遍历HJB方程。值得注意的是，实数λ和函数φ可视为算子的特征值和特征函数-L其中Lφ=σ（x）+σ（x）φxx+supξ∈Rl（ξ，x）φ+h（ξ，x）φx.我们将在附录A中审查这些论点的动机和推导。我们对函数v和最优元素^Y的结构作出以下假设∈ 没有进一步的细节。有关有效条件和更详细的讨论，请参阅（Knispel，2012，第10-12页），（Hern’andez Hern’andez and Schied，2006，第4节）和（Kaise and Sheu，2009，第3节和第5节）。A 4。（5.2）给出的函数v（x，t）在x中可连续两次微分，在t中可连续一次微分，满足PDE（5.4）。A 5。式（5.1）的优化器^Y由式（5.6）给出。A 6。存在一个实数λ和一个满足式（5.8）的连续二次可微正函数φ，使得v（x，t）e-λtφ（x）→ C作为t→ ∞对于不依赖于x的正常数C，我们可以用更简单的方法表示函数v。根据式（5.2）、式（5.6）和A5，V（χ，T）：=EP^YqT= EP公司e-qRTθ（Xs）dW1，s-qRTθ（Xs）ds-qRT^ξ（Xs，s；T）dW2，s-qRT^ξ（Xs，s；T）ds= E^Pe-q（1-q） RT（θ（Xs）+^ξ（Xs，s；T））ds（5.9）其中^P是对FTD定义的asd^PdP=E的度量-qZ·θ（Xs）dW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，sT（5.10），根据下文所述的A 7。X的^P-dyn amics isdXt=（m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）σ（Xt））dt+σ（X）d^W1，t+σ（Xt）d^W2，t对于a^P-布朗运动（^W1，t，^W2，t）。A 7。