最优解长期期望效用的敏感性分析

这就完成了证明。E、 2关于初始挥发分比例的敏感性E.7。在赫斯顿模型下，波动率初始值的长期敏感性为→∞χln v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）=-B、 证明。根据定理3.2，可以证明φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在x中连续可区分，并且xEQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=xi（E.6）收敛为零→ ∞. 为了证明这一点，我们采用6.1号提案。引理E.6证明了这个命题的条件（i）。对于（ii），观察φ′（XT）φ（XT）=-B是一个常数，因此对于任何v>1的情况，该条件基本成立。我们现在证明（iii）成立：对于任何w>1的情况，期望值EQ|YT；T | w | X=X在x上一致有界χ,3χ并收敛到零，即T→ ∞. 根据等式（E.4），过程Yt=Yt；Tsatis fiesdyt=-k+quσ+σB+qσ1- qβ（T- t）Ytdt+σ√XtYtdBt，0≤ t型≤ T、 根据It^o公式，我们得到x-tYt=x-e-（k+q|∑+σB）t+Rt((-km+σ）Xt-qσ1-qβ（T-s） ）距离2公里后≥ σ和β（·）≥ 0，右侧指数i中的被积函数为负。它遵循thatX-tYt公司≤ x个-e-（k+quσ+σB）t。然后对于任何w>1，等式| Yt | w=等式校正矩阵-tYt公司w≤ x个-我们-w（k+q|∑+σB）tEQhXwti。（E.7）为了得到（iii），我们考虑了XwT公司= 均衡器XwT公司X=X. 回想一下引理E.5中的过程U满足QXt公司≤UT所有0≤ t型≤ T= 因此，EQhXwTX=xi≤ EQhUwTX=xi。（E.8）另一方面，由于U是一个CIR过程，对于任何w>1，右侧i的期望在（x，T）上一致有界χ,3χ× [0, ∞). 公式（E.7）表明，期望公式| YT | wis在x上一致有界χ,3χ当T时收敛到零→ ∞.现在我们证明（iv）对于任何m>1都成立。很容易证明存在一个正常数c，使得| fx（x，t；t）|=qσ2（1- q）B- β（T- t）≤ 总工程师-β（T-t） 。为方便起见，我们定义了δ：=（k+quσ+σB）。

根据公式（E.7）和公式（E.8），可以得出公式| Yt；T | m≤ bmx公司-我-δmt，对于支配等式Xmt公司X=X在…上χ,3χ× [0, ∞). 通过Jense n不等式，我们得到ZT公司外汇（Xs，s；T）Ys；Tds公司m级≤cmbmx公司-mβ- δTm-1.e-δmT- e-βmT.对于每个T，右侧在x上一致有界（χ，3χ）≥ 0，并收敛到0作为T→ ∞ 对于每个x∈χ,3χ. 这证明了（iv）。最后，命题6.1中的条件（ii）、（iii）、（iv）对任意v、w、m>1和（i）hol ds f或某些u>1都成立，因此我们得到了所需的结果。E、 3关于k、m、u、和ρ的灵敏度我们计算关于参数k的灵敏度。关于参数m、u、和ρ的灵敏度可以用类似的方式计算。B1和B2中的五个函数为m（x）=（k+）（m- x） ，σ1，（x）=σ√x、 σ2，（x）=σ√x、 b（x）=ux，（x）=√X很容易检查它们是否满足假设B1和B2。请注意=0ln v（χ，T）=kln v（χ，T）=kln v（χ，T），因此在本节的其余部分，我们使用金斯泰德|=0.提案E.8。在赫斯顿模型下，对参数k的长期敏感性→∞Tkln v（χ，T）=-λk、 证明。为了证明这个等式，我们使用定理7.1。定理7.1中的条件（i）可以满足。我们首先在定理7.1中证明（iii），因为用于（iii）的一些技术也用于（ii）的证明。对于定理7.1中的条件（iii），我们应用定理7.3。可以很容易地检查到σ√x个kκ（x，t；t）≤ c√x个+√x个, 对于与t无关的正常数c，x>0，t和x>0。通过选择非常大的c，我们可以实现^g（x，t；t）≤ 式（7.4）中定义的^g的c（x+1/x）保持架。那么，在定理7.3中，（i）可以证明如下。回想引理E.5中的过程U和L。

自Q【Lt】≤ Xt公司≤ UT所有0≤ t型≤T]=1，我们有eqeRT^g（Xs，s；T）ds≤ 均衡器ecRT（Xs+1/Xs）ds≤ 均衡器ecRT（美国+1/Ls）ds≤均衡器e2cRTUsds均衡器e2cRT1/LSD.由于U是一个CIR过程，对于给定的T≥ 0可以发现>0，以便e2cRTUsds是有限的。此外，由于L也是一个满足Feller条件的CIR过程，应用Park（2018）中的命题D.2，可以发现e2cRT1/LSD是有限的。这在定理7.3中给出了（i）。现在我们用v=2证明定理7.3中的（ii）。必须证明存在一个正常数C，对于所有T≥ 0EQZT公司Xs+Xsds公司≤ 计算机断层扫描。使用引理E.5中的过程U和L，观察等式ZT公司Xs+Xsds公司≤ 均衡器ZT公司美国+Lsds公司=ZTEQ公司我们+ 均衡器L-1秒ds。由于U和L是满足Feller条件的CIR过程，因此存在一个正常数csuch，对于所有s≥ 0EQ我们+ 均衡器L-1秒≤ c、 这将得到所需的结果。对于定理7.3中的（iii），我们观察到v=2和=1EQZT^gv+（Xs，s；T）ds≤ c3/2ZTEQXs+Xs3/2ds公司≤ c′ZTEQU3/2s+ 均衡器L-3/2秒ds。由于U是一个CIR过程，众所周知U3/2s在s上一致有界于[0，∞). 另外，对于一个CIR过程L满足F条件，我们有SUP0≤s≤TEQ公司L-3/2秒< ∞根据Dereich et al.（2011）中的公式（3.1）。这在定理7.3中给出了（iii）。对于定理7.3中的（iv），我们想证明当u=2时，在[0]上ionEQh^φu（XT）euRT^f（Xs，s；t）dsiis一致有界的经验t，∞). 我们使用符号B（k）强调k对常数B的依赖性。从等式（E.5）中，我们知道，对于2<u<2+σB（k+quσ）的uw，期望等式[euB（k）XT]在T上一致有界于[0，∞). 自从地图k 7→ B（k）是连续的，u>1，如果必要，通过选择较小的间隔I，它遵循t hatsup∈IB（k+）≤uB（k）。那么^φ（x）=inf∈Ie-B（k+）x≥ e-uB（k）x.（E.9）Thusekh^φ（XT）eRT^f（Xs，s；T）dsi≤ 方程式φ（XT）i≤ 均衡器euB（k）XT, （E.10）对于第一个不平等，我们使用了^f≤ 0

因为右手边在[0]上的T上是统一有界的，∞), 我们得到了期望的结果。现在我们已经在定理m 7.3中给出了所有条件，因此定理7.1中的条件（iii）成立。对于定理7.1中的条件（ii），我们首先计算φ和f中变量k的偏导数，而不是X=（Xt）t中的偏导数≥精确地说，我们使用符号φ（x；k）和f（x，t；t；k）来强调k的依赖性。我们要分析wη，（χ，t）=EQhφ（xt；k+η）eRTf（xs，s；t；k+η）dsi，其中Q-xtsatis方程的动力学（E.4），k被k+代替。平等ηEQhφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）dsi=等式ηlφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds在（η，）上的偏导数的连续性由命题C.1得到，其中g（x，t；t）和g给出如下。观察到fk（x，t；t；k）=-qσ1- q（B）- β（T- t） （）Bk-βk（T- t）x、 我们使用符号β（T-t；k） 强调k.对于给定的小开放区间I的依赖性，因为B（k+η），Bk（k+η）在ηonI和β（T）中是连续的- t；k+η），βk（T- t；k+η）在I×[0，t]上的（η，t）中是连续的，可以找到一个正常数b，比如所有（η，t）∈I×[0，T]fη（x，t；t；k+η）≤ bx=：g（t，x；t）表示x>0。利用这个函数g，命题C.1中的条件（i）可以很容易地满足。对于命题C.1中的条件（ii），选择一个正常数B，例如对于所有η∈我Bη（k+η）≤ b、 使用公式（E.9）中的函数^φ，我们定义：=bXT^φ（XT）+^φ（XT）ZTbXsds。然后为所有（η，t）∈I×[0，T]得出φ（XT；k+η）φη（XT；k+η）+φ（XT；k+η）ZTfη（Xs，s；T；k+η）ds公司≤ GT使用^φ（x）=infη∈Iφ（x；k+η）和φη（x；k+η）=Bη（k+η）xφ（x；k+η）≤ 当x>0时，bxφ（x；k+η）。我们要求EQG3/2T< ∞, 这适用于命题C.1中的条件（ii）。

使用that4/3+=1，得出等式h^φ3/2（XT）bXT公司3/2i≤方程式φ（XT）i3/4EQhbXT公司我1/4.右侧的第一个期望值由公式（E.10）确定。对于第二个期望值，观察等式[XT]≤ 引理E.5中过程的等式【UT】。如果U是一个CIR过程，则期望等式是有限的。同样地，我们有^φ3/2（XT）BZTXSD3/2≤方程式φ（XT）i3/4均衡器BZTXSD1/4≤ b3/2T3/2方程式φ（XT）i3/4均衡器TZTXSD1/4≤ b3/2T5/4方程式φ（XT）i3/4EQhZTXsdsi1/4≤ b3/2T5/4方程式φ（XT）i3/4ZTEQ[Xs]ds1/4.自等式[Xs]≤ 公式[Us]和公式[Us]上的期望值一致有界于[0，T]上的s，右侧是有限的。因此，等式[G3/2T]<∞.收敛极限→∞Tηη=0EQhφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）dsi=0可以如下所示。使用f≤ 0，关于η满足度的偏导数ηη=0φ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds≤ eBXT+RTf（Xs，s；T；k）dsXT公司Bk+ eBXT+RTf（Xs，s；T；k）d sZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds≤ eBXT公司XT公司Bk+ eBXT公司ZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds.根据三角形不等式和等式中的Cauchy–Schwarz，它遵循以下等式ηη=0φ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds≤EQe2BXT1/2均衡器XT公司Bk1/2+EQe2BXT1/2均衡器ZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds1/2.根据公式（E.10），期望值EQe2BXTis统一有界于[0，∞). 很容易显示公式| XTBk |在[0，∞). 现在，我们在预期等式中显示thRT公司fη|η=0（Xs，s；T；k+η）ds在T上一致有界。通过直接t计算，可以选择与s和t无关但与k相关的正常数c和d，从而fηη=0（x，s；T；k+η）≤ 判定元件-c（T-s） x.通过等式（D.15）和等式（D.16）中变量u=ecsas的相同变化，我们得到了等式ZTde公司-c（T-s） Xsds在T上一致有界于[0，∞).

这就得到了期望的结果。E、 4关于σ的敏感性在本节中，我们计算关于σ的长期敏感性。提案E.9。在赫斯顿模型下，对参数σ的长期敏感性为→∞Tσln v（χ，T）=-λσ.证据我们分析了分解v（χ，T）=e中出现的期望项EQ[φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds]-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsiby，使用第7.3节中规定的方法。要应用定理7.5，请考虑Lamperti变换l（x） ：=Zxσ√ydy=σ√x、 流程ˇx由ˇXt定义：=l（Xt）=σ√Xt，t≥ 0，satisˉXt=γ（ˉXt，t；t）dt+dBt，ˉX=σ√χ、 其中漂移函数为γ（ˇx，t；t）：=-k+quρσ+σB+q（1- ρ)σ1 - qβ（T- t）ˇx+2kmσ-ˇx.defineΦ（ˇx；σ）：=e-σBˇx，F（ˇx，t；t；σ）：=-q（1- ρ） σˇx8（1- q）B- β（T- t）,和▄w（ˇx，T；σ）：=EQhΦ（ˇXT；σ）eRTF（ˇXs，s；T；σ）dsˇX=ˇxiso thatEQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=χi=~wσ√χ、 T；σ.我们想分析σОw（σ√χ、 T；σ). 扰动参数σ仅出现在函数Φ和Fas以及漂移项和ˇX的初始值中，而不出现在ˇX的波动项中。很容易检查映射（ˇX，σ）7→ 通过使用公式（E.1），w（ˇx，T；σ）是连续可微分的。使用链式法则，我们有σОwσ√χ、 T；σ= -√χσ w ˇxσ√χ、 T；σ+ wσσ√χ、 T；σ.在右侧的第一个派生词中，ob serve thatlimT→∞T w ˇxσ√χ、 T；σ= 0因为我们已经证明了式（E.6）中的导数收敛为T→ ∞. 对于二阶导数，可以证明limt→∞T wσσ√χ、 T；σ= 0使用与命题E.8中相同的方法，因为σ-扰动只发生在ˇX中的漂移项中。这给出了期望的结果。