最优解长期期望效用的敏感性分析

观察ZT（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs=ZT（Zs- 1)l（Xs，s；T）dBs+ZT(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs。上述步骤（b）和（c）意味着右侧的两个项收敛到ze r o as→ 0、步骤（II）。现在，我们证明公式（B.1）对于任何∈ 一、 固定∈ I并选择一个小的开放区间J，以便+J 一、 我们引入另一个变量来重写导数EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds=h类h=0EQ+hφη（X+hT）eRTfη（X+hs，s；T）ds.我们可以把h看作一个微扰参数。很容易证明扰动函数m+h，σ1，+h，σ2，+h，b+h，v+h具有扰动参数h∈ J满足这个命题的假设。例如，suph∈Jσ（x）·κ+h（x）h类≤ sup∈我σ（x）·κ（x）≤ ^g（x）。因此，通过将步骤（I）应用于扰动参数h，我们得到h类h=0EQ+hφη（X+hT）eRTfη（X+hs，s；T）ds= 等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs,哪里l（x，t；t）=σ（x）h类h=0κ+h（x，t；t）=σ（x）κ（x，t；t）。这给出了公式（B.1），用于任何∈ 一、 步骤（III）。我们证明了导数EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsI上的（η，）连续。使用与St ep（II）中相同的参数，可以显示（η，）=（0，0）处的连续性。我们知道EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT公司l（Xs，s；T）dBs- ZT(ll）（Xs，s；T）dsZT为方便起见，我们定义：=ZT公司l（Xs，s；T）dBs- ZT(ll）（Xs，s；T）dsZT；HT：=HT。（B.7）因此，我们想证明它为（η，）→ （0，0），等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsHT→ 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsHT.由于η上的1/φη和fη的一致有界性，Lebesgue支配的收敛定理m暗示了条件（iii）∈ Iφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds→φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsin Luasη→ 0、必须证明Ht收敛于HTin Lvas→ 0

这可以通过以下两个步骤实现。步骤（III）–（a）。我们证明了ZT(ll）（Xs，s；T）ds·ZT→ 0英寸Lvas→ 0.这是从公式ZT公司(ll）（Xs，s；T）ds·ZTv≤ 均衡器ZT^g（Xs，s；T）dsv·（ZT）v≤均衡器ZT^g（Xs，s；T）ds2伏1/2均衡器（ZT）2v1/2.期望EQRT^g（Xs，s；T）ds2von右侧sid e由条件（ii）和期望等式确定（ZT）v是由常数统一绑定在I上的EQexp（RTg（Xs）ds）我们使用相同的参数推导公式（B.5）。步骤（III）–（b）。我们证明ZTl（Xs，s；T）dBs·ZT→ZT公司l（Xs，s；T）dBsin Lvas→ 0、选择一个足够大的正数m，使m+1+v<1，mv是一个正整数，其中由条件（i i）给出。这足以说明→ 0ZTl（Xs，s；T）dBs→ZT公司l（Xs，s；T）dBsin Lv+（B.8）和ZT→ 1英寸Lmv。（B.9）等式（B.8）从条件（ii）中获得。式（B.9）来自式（B.4），且lim→0EQ[（Zt）i]=1表示0≤ 我≤ mv显示inEq。（B.6）。现在我们将注意力转移到定理7.3。证据如下。定理7.3的证明。根据命题B.1，必须表明→∞TEQ公司φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs= 通过H¨older不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Jensen不等式，我们知道φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs≤T^Γu（T）u均衡器ZT公司l（Xs，s；T）dBsvv≤c′T^Γu（T）u均衡器ZT公司l（Xs，s；T）dsvv≤c′T^Γu（T）u均衡器ZT^g（Xs，s；T）dsvv≤ Burkholder-Davis-Gundy不等式中正常数c′的c′^Γu（T）uh（T）vf。对于最后一个不等式，我们在定理7.3中使用d（ii）。作为l imT→∞h（T）=0且^Γu（T）在T中一致有界，我们得到了期望的结果。C关于定理7.1中条件（ii）的注释本节讨论了分析导数的方法ηwη，（x，T），这有助于检查定理7.1中的条件（ii）。

附录和讨论的具体示例将基于以下命题。提案C.1。假设φη和fη在I上的η中连续可微。固定T>0并假设以下条件；（i） 存在一个函数g（·，·；T），使得rtg（Xs，s；T）ds<∞ a、 美国和ηfη（x，t；t）≤ g（x，t；t）表示所有η∈ 一、 x个∈ (l, r） 和0≤ t型≤ T、 （ii）存在一个随机变量GT，使得EQ[GuT]<∞ 对于某些u>1等φηηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds+φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTηfη（Xs，s；T）ds公司≤ GT适用于所有η∈ 一、 那么ηwη，（x，T）=等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds和ηwη，（x，T）在（η，）上是连续的。通过直接计算，可以得出ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds=φηηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds+φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsηZTfη（Xs，s；T）ds=φηηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds+φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTηfη（Xs，s；T）ds。条件（i）用于最后一个等式，以便使用莱布尼兹积分规则交换微分和积分。观测值η，（x，T）=等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT.根据（ii），莱布尼兹积分规则规定ηwη，（x，T）存在且ηwη，（x，T）=等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT.Ican的连续性可以证明如下。使用与命题B.1证明步骤（II）中相同的参数，可以显示原点（η，）=（0，0）处的连续性。选择一个非常大的偶数整数v和一个非常小的u>1，使1/u+1/v=1。定义ηT：=ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds; AT：=AT，我们声称等式[AηTZT]→ 等式[ATZT]as（η，）→ (0, 0). 使用不等式公式[AηTZT]- EQ[ATZT]≤公式[AηT（ZT- ZT）]+公式[（AηT- AT）ZT]≤（等式AηTu） 1/u（等式| ZT- ZT | v）1/v+（等式AηT- 在u） 1/u（EQ | ZT | v）1/v自| AηT |≤ GTand EQ[肠道]<∞, 这足以说明ZT→ ZTin Lvas→ 0

这通过公式（B.4）和lim→0EQ[（ZT）i]=1表示0≤ 我≤ v，如等式（B.6）所示。最后，Girsanov定理给出ηwη，（x，T）=等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT= 等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds.D金姆博格模型附录D讨论了第4.1节中提出的金姆博格模型的细节，并显示了本文主要部分所做的假设在此模型中得到了满足。众所周知，假设A1-3满足Kim-Omberg模型。我们将模型重新命名为inEq。（4.1）并调查相应的目标SV（t，t），^ξ，（λ，φ），ξ*, f、 κ，Q。式（5.5）中的函数l（ξ，x）和h（ξ，x）arel（ξ，x）=-q（1- q）ux+ξ, h（ξ，x）=km-k+q|∑x个- qσξ。HJB方程（5.4）在这种情况下读取vt=σvxx+supξ∈R{l（ξ，x）v+h（ξ，x）vx}=σvxx+公里数-k+q|∑x个vx公司-q（1- q） uxv+qσ2（1- q） v（x，0）=1的VxV。这里，我们使用上述HJB方程的上确界在ξ=-σ1 - qvxv。该HJB方程的解对应于方程（5.2）中的函数v（c.f.（Battauz et al.，2015，引理3）），可以表示为v（x，t）=e∧（t）-β（t）x-γ（t）x，其中系数求解以下微分方程组：β′（t）=-αβ（t）- 2αβ（t）+q（1- q） u，β（0）=0，γ′（t）=-（α+αβ（t））γ（t）+αβ（t），γ（0）=0，∧′（t）=αγ（t）- αγ（t）-σβ（t，∧（0）=0。（D.1）α=k+quσ，α=σ+σ1- q、 α=km，α=qα+q（1- q） αu/。因此，假设A4成立。第一个方程是标准Riccati方程，其解β（t）=q（1- q） （1- e-2αt）α+α+（α- α） e类-2αt.（D.2）给定β，等式（D.1）的第二个方程是一阶常微分方程，可以轻松求解。溶液为γ（t）=αu（t）Ztβ（s）u（s）ds，其中u（t）=eRt（α+αβ（s））ds。式（5.7）^ξ（x，t；t）=-σvx（T- t、 x）（1- q） v（T- t、 x）=σ1- qβ（T- t） x+γ（t- t）（D.3）获得。

使用该优化器，假设A5满足（Battauz et al.，2015，Eq.（26））。现在，我们将尝试转移到遍历HJB方程（5.8）。直接计算表明φ（x）=e-Bx公司-Cx，系数b=α- αα，C=α（α- α） αα是遍历HJB方程（5.8）的解。很容易证明β（t）→ B、 γ（t）→ C和∧（t）t→ -λ为t→ ∞, 因此，假设a6成立。操作温度控制ξ*由ξ给出*（x） =-σφx（x）（1- q） φ（x）=σ1- qBx+C. （D.4）对于本节的其余部分，我们表明假设A7–A10是满足的。命题D.1。对于Kim–Omberg模型A7，也就是局部鞅E-qZ·XsdW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。回想一下dxt=k（m- Xt）dt+σdW1，t+σdW2，t，X=χ。使用Klebaner和Liptser（2014）中的概念，我们得到（x）=k（m- x） bt（x）=（σ，σ），σt（x）=-qux，-q^ξ（x，t；t）,所以kσt（x）k=qux+^ξ（x，t；t）,Lt（x）=2k（m- x） x+σ，Lt（x）=-2倍-公里数+k+q|∑x+qσ^ξ（x，t；t）+ σ.使用公式（D.3）和β（T- t） 和γ（t- t） 是t中的有界函数，在[0，t]上，一个c可以找到一个正r>χ=x，这kσt（x）k+Lt（x）+Lt（x）≤ r（1+x）。这意味着满足了Klebaner和Liptse r（2014）中定理8.1的假设，因此我们得到了期望的结果。现在，通过等式（5.10）和X isdXt=（km）的^P-dynamics很好地定义了度量值^P- （k+q|∑）Xt- qσ^ξ（Xt，t；t））dt+σd^W1，t+σd^W2，t.命题d.2。对于Kim–Omberg模型A8，也就是局部鞅EqZ·^ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，st型0≤t型≤这是测度^P.证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。

该证明类似于命题D.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km- （k+q|∑）x- qσ^ξ（x，t；t），bt（x）=（σ，σ），σt（x）=0，q（^ξ（x，t；t）- ξ*（十）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，通过等式（5.15）和X isdXt的P-dynamics可以很好地定义度量值P=公里数- （k+q|∑）Xt- qσξ*（Xt）dt+σdW1，t+σdW2，t=公里数-qσC1- q-k+quσ+qσB1- qXt公司dt+σdW1，t+σdW2，t，X=χ。提案D.3。对于Kim–Omberg模型，A9适用，即过程M=E-Z·（BXs+C）σdW1，s-Z·（BXs+C）σdW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。该证明类似于命题D.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-qσC1- q-k+quσ+qσB1- qx、 bt（x）=（σ，σ），σt（x）=-σ（Bx+C），-σ（Bx+C）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，通过公式（5.16）和X isdXt=km的P-dynamic很好地定义了度量值P-σ+σ1 - qC-k+q|∑+σ+σ1 - qBXt！dt+σdW1，t+σdW2，t，（D.5），这也是带有r e参数化的OU过程。提案D.4。对于Kim–Omberg模型A10，也就是局部鞅EqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是一个真正的鞅。证据为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。

该证明类似于命题D.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-σ+σ1 - qC-k+q|∑+σ+σ1 - qBx、 bt（x）=（σ，σ），σt（x）=0，qξ*（十）-^ξ（x，t；t）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，测量值Q由公式（5.17）定义，X的Q动态为X isdXt=公里数- Cσ-qσ1- qγ（T- t）-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）Xt公司0的dt+σdBt（D.6）≤ t型≤ T式（5.21）中的函数f和κ为f（x，t；t）=-qσ2（1- q）B- β（T- t）x个+C- γ（T- t）（D.7）和κ（x，t；t）=km- Cσ-qσ1- qγ（T- t）-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）x、 D.1可积条件下面我们证明了可积条件，这将在下一节的分析中需要。引理D.5。设θ，σ为两个正常数，W为布朗运动。定义Zt=σe-θtRteθsdWsfor t≥ 0，这是SDEdZt=-θZtdt+σdWt，Z=0。对于任何α>0且δ<αθσ的情况，期望值E[EδE-αTRTeαsZsds]对于T一致有界≥ 0.证明。如果δ≤ 0，则有界性是平凡的，因为指数为负。假设0<δ<αθσ。利用变量u=eαs的变化，我们得到δe-αTZTeαsZsds=eαT- 1ZeαTδα（1- e-αT）Z（lnu）/αdu。从J ensen不等式可以得出eδe-αTRTeαsZsds≤eαT- 1ZeαTeδα（1-e-αT）Z（lnu）/αdu≤eαT- 1ZTαeαseδαZsds。随机变量zs正态分布，平均值为0，方差σ2θ（1- e-2θt）。因此，对于0<δ<αθσ，期望E[EδαZs]在0上有界≤ s<∞. 设C为正数，使得E[EδαZs]≤ C代表所有0≤ s<∞. 下面是e[eδe-αTRTeαsZsds]≤eαT- 1ZTαeαsE[eδαZs]ds≤CαeαT- 1ZTeαsds=C，这给出了所需的结果。我们引入速记ζt=ζ（Xt，t；t）=ξ*（Xt）-^ξ（Xt，t；t）避免一个非常重的表达式。

根据（D.5），X满意度DxT的P动态=ααα- αXtdt+σdW1，t+σdW2，t这是一个重新参数化的OU过程。引理D.6。对于任何δ<（1- q） ασσ（α+α）（α- α） ，期望EP[eδRTζ（Xs，s；T）ds]在T中一致有界≥ 0.证明。定义a：=α/α，过程W：=σW+σWso，过程X满足dxt=α（a- Xt）dt+σdWt，X=χ。此SDE的解为xt=χe-αt+a（1- e-αt）+Zt，其中Zt=σe-αtRteαsdWs。从式（D.3）和（D.4）可以看出，ζ（x，t；t）=ξ*（十）-^ξ（x，t；t）=σ1- q（B）- β（T- t） ）x+C- γ（T- t）很容易证明| B- β（t）|≤2α(α- α） α（α+α）e-2αt，| C- γ（t）|≤ 总工程师-2αt（D.8）对于某些正常数c。对于第二个不等式，我们观察到→∞γ（t）- 总工程师-2αt=极限→∞αRtβ（s）u（s）ds- Cu（t）u（t）e-2αt=极限→∞(α- Cα）（β（t）- B） （α+αβ（t）- 2α）e-2αand极限收敛到一个非零常数。这里，我们使用αB- C（α+αB）=0，L\'H^opital的rul e和等式（D.2）。然后ζ（x，t；t）≤ 总工程师-4α（T-t） x+（常数）e-4α（T-t） x+（常数）e-4α（T-t） 式中C：=2σα（α- α)(1 - q） α（α+α）。期望EP[eδRTζ（Xs，s；T）ds]的大时间行为仅取决于最高阶项ce-4α（T-t） Xt。使用thatXt≤ Zt+x+a，必须证明对于这样的δ-4αTRTe4αsZsdsis在T中一致有界≥ 引理D.5给出了这个期望在T中是一致有界的≥ 如果δc<4ασ，则为0，从而得出所需的结果。引理D.7。有正数c和r>1，因此对于任何T≥ 0和任何非负路径函数hEQ[h（X·∧T） ]≤ cEP[小时（X·∧T） ]我们强调，正常数c和r d不随时间T而变化≥ 0和非负函数h.证明。我们可以首先找到一个正δ，使得EPEδqRTζsds在T中一致有界≥ 0，使用引理D.6。

选择r>1和r>1，使δ=r（r- 1） ，并通过r+r+r=1定义r>1。式[h（X·∧T） ]=EPhh（X·∧T） eqRTζsdW2，s-qRTζsdsi≤EP[小时（X·∧T） ]r以弗所-1） qRTζsdsirEPherqRTζsdW2，s-rqRTζsdsir、 最后一项是正局部鞅，因此期望值小于或等于1。它遵循等式[h（X·∧T） ]≤EP[小时（X·∧T） ]rEP【eδqRTζsds】r第二项EP[eδqRTζsds]统一有界于T≥ 选择δ取0。这将得到所需的结果。引理D.8。对于任何δ>0的情况，期望值eq|XT |δ在（x，T）上（χ）一致有界- 1, χ + 1) × [0, ∞).证据根据引理D.7，有正数c和r>1，因此对于任何T≥ 0 andEQ|XT |δ≤ cEP公司|XT | rδ1/r.右侧在（x，T）上（χ）一致有界- 1, χ + 1) × [0, ∞) 因为X是measureP下的OU过程。引理D.9。存在一个数u>1和χ的开邻域Iχ，使得Γu（x，T）：=EQhφu（XT）euRTf（Xs，s；T）dsiis一致有界于Iχ×[0，∞).证据由于函数f是非正函数，如等式（D.7）中所示，因此必须表明存在一个大于1的数字，使得EQhφu（XT）i=EQhφu（XT）X=xi在（X，T）上一致有界（χ- 1, χ + 1) × [0, ∞). 定义βQ（t）：=k+Q|∑+Bσ+Qσ1- qβ（t），γq（t）：=km- Cσ-qσ1- qγ（t），那么X isdXt的q动力学=γQ（T- t）- βQ（T- t） Xt公司dt+σdBt，X=xf或0≤ t型≤ T

求解此SDE，如下所示：XT=xe-RTβQ（T-s） ds+e-RTβQ（T-u） duZTγQ（T- s） eRsβQ（T-u） duds+σe-RTβQ（T-u） duZTeRsβQ（T-u） dudBs。rand om变量XT以平均值MT=xe的形式正常分布-RTβQ（T-s） ds+e-RTβQ（T-s） dsZTγQ（T- s） eRsβQ（T-u） duds=xe-RTβQ（s）ds+ZTγQ（s）e-RsβQ（u）dudsand variancevT=σe-2RTβQ（T-u） duZTeRsβQ（T-u） duds=σZTe-2RsβQ（u）duds。此外，很容易检查极限e xist，即m∞:= 限制→∞mT=Z∞γQ（s）e-RsβQ（u）duds，v∞:= 限制→∞vT=σZ∞e-2RsβQ（u）duds。XTis（2πvT）1/2e的Q密度函数-（十）-mT）vT，thusEQhφu（XT）i=EQheuBXT+uCXTi=（2πvT）1/2Z∞-∞euBz+uCz-（z）-mT）vTdz。（D.9）观察βQ（t）≥ k+q|∑+Bσ。我们有≤ v∞= σZ∞e-2RsβQ（u）duds≤ σZ∞e-2（k+q|∑+Bσ）sds=σ2（k+q|∑+Bσ）。式（D.9）中的积分满足Z∞-∞euBz+uCz-（z）-mT）vTdz≤Z∞-∞euBz+uCz-σ（k+q||∑+Bσ）（z-mT）dz。（D.10）利用条件k+qμσ+Bσ>0，可以选择一个小的u>1，使得右侧在（x，T）上均匀有界（χ- 1, χ + 1) × [0, ∞).D、 2关于初始挥发度的敏感性本节的目的是证明以下命题，从而得出定理4.1的第一个陈述。提案D.10。对于等式（4.1）中的Kim–Omberg模型，波动率初始值的长期敏感性为→∞χln v（χ，T）=-Bχ- C、 证明。根据定理3.2，可以证明φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在x中连续可区分，并且xEQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在T时趋近于零→ ∞. 为了证明这一点，我们采用6.1号提案。引理D.9证明了这个命题的条件（i）。对于（ii），我们确定任何v>1。引理D.8得出如下等式φ′（XT）φ（XT）v=等式| BXT+C | vis一致有界于（x，T）on（χ- 1, χ + 1) × [0, ∞). 为了显示（iii），我们计算了给定等式（D.6）的X的第一个变化过程Y。