随机偏微分仿射实现的存在性

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英文标题：
《Existence of affine realizations for stochastic partial differential
  equations driven by L\\\'evy processes》
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作者：
Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The goal of this paper is to clarify when a semilinear stochastic partial differential equation driven by L\\\'evy processes admits an affine realization. Our results are accompanied by several examples arising in natural sciences and economics.
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中文摘要：
本文的目的是阐明由Levy过程驱动的半线性随机偏微分方程何时允许仿射实现。我们的结果伴随着自然科学和经济学中出现的几个例子。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Existence_of_affine_realizations_for_stochastic_partial_differential_equations_d.pdf (609.12 KB)

2022-6-24 06:33:44 上传

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关键词：存在性 偏微分 Differential Mathematical Applications

由L'Evyprocessestefan Tappeastract驱动的随机偏微分方程仿射实现的存在性。本文的目的是阐明由Lévy过程驱动的半线性随机偏微分方程何时可以实现。我们的结果伴随着自然科学和经济学中出现的几个例子。1、导言本文的目的是阐明形式为（drt=（Art+α（rt））dt+σ（rt）的半线性随机偏微分方程（SPDE）何时-)dXtr=h（1.1），根据[18]的精神，由Rm值Lévy过程X驱动（对于某些正整数∈ N） 允许一个有效的实现。净变现是特定类型的单位维度变现（FDR）。用H表示（1.1）的状态空间，它被假定为一个可分离的希尔伯特空间，FDR的思想是对于每个起始点H∈ H对于某些Rd值过程Y（其中d），我们可以将弱解r表示为（1.1）asr=Д（Y）（1.2∈ N是一个正整数）和一个确定性映射→ H、 这使得有限维SPDE（1.1）更易于处理。如果我们有形式（1.2）的表示，那么映射ν是不变子流形M的参数化。对于每个起点h，我们谈论一个有效的实现If∈ H我们可以用确定性曲线ψ：r将弱解r表示为（1.1）asr=ψ+Y（1.3）+→ H和在有限维子空间V中具有值的随机过程Y H、 在这种情况下，我们还说SPDE（1.1）有一个由V生成的a ffine实现，不变流形（Mt）t∈R+是一个函数空间Mt=ψ（t）+V的集合，也称为叶理。请注意，存在一个完整的实现使得有限维PDE（1.1）非常容易处理，因为这样我们就有了一个简单的不变量流形结构，这对于一般FDR来说可能更复杂。

令人惊讶的是，在许多情况下，我们可以从FDR：2010数学学科分类的存在中推断出一个有效实现的存在。60H15、91G80。关键词和短语。随机偏微分方程，a ffine实现，不变叶理，准指数波动率。我感谢Ozan Akdogan、Stefan Weber和两位匿名裁判的宝贵意见和建议。2 STEFAN TAPPEo如【11】所示，维纳过程驱动的Hjmm方程的FDR的存在意味着a ffne实现的存在。这里我们使用HJMM方程的名称，因为它是[13]中的Heath Jarrow Morton（HJM）模型，Musiela参数化如[4]所示如【24】所示，对于一般莱维过程驱动的SPDE（1.1），不变流形的曲率至少等于具有小跳跃的驱动源的数量。因此，如果SPDE（1.1）具有小跳跃的驱动Lévy过程，那么每个达到某个维度的FDR都必须是一个有效的实现。关于SPDE的不变流形和FDR有大量文献。文献[8]研究了给定有限维子流形的随机不变性，基于文献[15]中的支持定理，文献[16]研究了维纳过程驱动的单极子流形，文献[10]研究了维纳过程和泊松随机测度驱动的单极子流形，文献[24]研究了莱维过程驱动的单极子流形。文献中对维纳过程驱动的HJMM方程FDR的存在性进行了深入研究，我们参考了文献[3、2、11、12]和其中的参考文献，并参考了文献[1]。

此外，在[21，23]中使用驱动维纳过程和[22，19]中使用驱动莱维过程研究了HJM方程的存在性。本文的目的是澄清由LevyProcess驱动的一般SPDE（1.1）何时有一个有效的实现，这在文献中尚未得到处理。与上述文献[21、23、22、19]相比，我们使用了一个稍微不同的概念来实现一个新的认识：o我们要求每个起点h∈ H（1.1）的弱解r的形式为（1.3），而在上述论文中，这仅要求每个H∈ D（A），表示线性构造器A的域：D（A） H→ H出现在（1.1）中。o另一方面，我们的定义更加宽松，因为我们只要求不变叶理是C叶理，而在上述论文中，它们必须是C叶理。现在，让我们概述一下本文的主要结果。关于Lévy过程X和SPDE（1.1）参数（A，α，σ）的精确假设，参见第2节开头。我们定义了有限维子空间V 就以下术语达成一致。我们说，如果A（V）的子空间V是oA-半不变的∩ D（A）） V；oA-不变if V D（A）和A（V） 五、我们的第一个主要结果根据PDE（1.1）的参数（a，α，σ），为V生成的a ffine实现的存在提供了必要和充分的条件。我们将在第5.1.1节中提供证据。定理。假设子空间V是A-半不变的。然后，当且仅当满足以下三个条件时，SPDE（1.1）具有由V生成的一个有效实现：（1）V是a-不变的（或等效：V D（A））。（2） 每小时∈ H投影∏（o，V）α在H+V上是常数。（3） σk（H） V对于所有k=1。

，m.关于定理1.1，让我们注意以下两点：o子空间V是A-半不变的假设并不意味着A-半不变。实际上，我们将证明，我们总是可以将随机偏微分方程3的SPDE（1.1）仿射实现等效为（drt=（Brt+β（rt））dt+σ（rt-)dXtr=h，（1.4），使得子空间V是B-半不变的；参见下面的引理2.3和2.4在条件（2）中，我们用∏（o，V）α表示漂移α在第一个坐标U上的投影，根据一些直和分解H=U⊕ 希尔伯特空间的Vof。条件（2）不取决于H=U中出现的子空间U的选择⊕V，它来自下面的引理3.1。定理1.1具有以下直接后果：1.2。推论假设满足以下三个条件：（1）V是A-不变的。（2） α（H） 五、（3） σk（H） V对于所有k=1，m、 然后，SPDE（1.1）具有由V生成的a ffine实现。在应用中，人们通常对（1.1）型线性SPDE感兴趣，这意味着（1.1）中出现的漂移α是恒定的。我们将看到，对于线性偏微分，我们甚至可以跳过子空间V是A-半不变的假设，并获得第二个主要结果，我们也将在第5.1.3节中证明。定理。假设SPDE（1.1）是线性的。然后，当且仅当满足以下两个条件时，它才有一个由V生成的完整实现：（1）V是a-不变的。（2） σk（H） V对于所有k=1，m、 到目前为止，我们已经预先指定了一个有限维子空间V，并询问V生成的具体实现。

如果SPDE（1.1）是线性的，那么有两种方法可以在不预先指定子空间的情况下分析是否存在有效实现：o我们将给出一个结果（见下面的定理5.6），该结果表明，当且仅当波动率为准指数时，线性SPDE（1.1）才有有效实现。o另一种方法是确定所有有限维A-不变子空间，并应用定理1.3。这导致了一个广义特征值问题，我们将在第7节中通过几个例子加以说明。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了关于Lévy过程驱动的SPDE所需的预备知识，在第3节中，我们提供了关于Hilbert空间的直和分解所需的结果。在第4节中，我们给出了关于C叶理的结果，在第5节中，我们提供了关于存在一个新实现的主要结果的证明。在第6节中，我们将HJMM方程作为非线性SPDE的一个例子进行研究，在第7节中，我们给出了自然科学和经济学中出现的线性SPDE的几个例子。2、莱维过程驱动的SPDE在本节中，我们提供了莱维过程驱动的SPDE所需的预备知识。让(Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P）是满足通常条件的过滤概率空间。设X是某个正整数m的Rm值Lévy过程∈ N使其组件X，Xmare非平凡平方可积函数。设H为可分Hilbert空间，设a:D（a） H→ H be4 STEFAN利用H上C-半群的最小生成元。我们假设生成半群（St）t≥0为伪收缩；也就是说，存在一个常数β∈ R suchthatkStk公司≤ 所有t的eβt≥ 此外，设α：H→ H和σ：H→ Hmbe-Lipschitz连续映射。2.1. 评论

在上述条件下，每小时∈ H SPDE（1.1）有唯一的弱解；也就是说，一个H值的cádlág适应过程r，唯一到可区分性，这样对于每个ξ∈ D（A*) 我们有hξ，rti=hξ，hi+Zt哈*ξ、 rsi+hξ，α（rs）ids+Zthξ，σ（rs-)idXs，t∈ R+，其中我们使用符号zthξ，σ（rs-)idXs：=mXk=1Zthξ，σk（rs-)idXks，t∈ 向量It^o积分的R+。我们请读者参考【18】了解更多详细信息。2.2. 定义。让B:D（B） H→ H是H上Csemigroup的最小生成元，设β：H→ H是Lipschitz连续映射。然后，如果对于每个h，则称（1.1）和（1.4）为等效∈ H r=H的弱溶液to（1.1）与r=H的弱溶液to（1.4）发生反应。设V H是有限维子空间。以下两个辅助结果表明，定理1.1中V是A-半不变的假设并不意味着限制。2.3. 引理。存在一个线性算子T∈ L（H）使得V是B-半不变的，其中线性算子B:D（B） H→ H由D（B）：=D（A）和B：=A+T给出。证据设H=U⊕V是Hilbert空间H与闭子空间U的直和分解。我们用∏U:H表示→ U和∏V:H→ V对应的投影。存在一个子空间 使V=（V∩ D（A））⊕ E、 让▄A∈ L（V，H）是由| A | V给出的线性算子∩D（A）=A | V∩D（A）和| A | E=0。我们定义线性算子T∈ L（H）作为T：=-∏UA∏V。然后，对于每个V∈ 五、∩D（A）我们有bv=Av- πUAv=πVAv∈ 五、 证明了V是B-半不变的。2.4. 引理。让T∈ L（H）是线性算子，让线性算子B:D（B）H→ H由D（B）：=D（A）和B：=A+T给出，并设β：H→ H由β给出：=α- T那么下面的陈述是正确的：（1）B是H上C-半群的生成元。（2）β是Lipschitz连续的。（3） SPDE（1.1）和（1.4）等效。证据

第一个陈述是【17，Thm.3.1.1】的结果，第二个陈述来自α和T的Lipschitz连续性。为了证明第三个语句，让h∈ H是任意的，设r是（1.4）的弱解，r=H*) = D（B*) 和B*= A.*+ T*, 对于每个ξ∈ D（B*)随机偏微分方程的仿射实现5we得到hξ，rti=hξ，hi+Zt血红蛋白*ξ、 rsi+hξ，β（rs）ids+Ztσ（rs-)dXs=hξ，hi+Zt哈*ξ+T*ξ、 rsi+hξ，α（rs）- T rsids+Ztσ（rs-)dXs=hξ，hi+Zt哈*ξ、 rsi+hξ，α（rs）ids+Ztσ（rs-)dXs，t∈ R+，表明R也是R=h的（1.1）的弱解。类似计算表明，R=h的（1.1）的弱解也是R=h的（1.4）的弱解。3、希尔伯特空间的直和分解在本节中，我们将提供关于希尔伯特空间直和分解的必要结果。特别地，我们将证明定理1.1中的条件（2）不依赖于分解的选择。下面，设H是Hilbert空间。3.1. 引理。让V H是有限维子空间，设E H是子集，设β：E→ H是映射。那么下面的陈述是等价的：（i）存在一个闭子空间U，使得H=U⊕ 对于H=U的每个闭子空间U，映射∏Uβ在E.（ii）上是常数⊕ V映射∏Uβ是康斯坦顿证明的。（一）=> （ii）：设▄U是任意闭子空间，使得H=▄U⊕ 五、假设存在u∈ U使得∏Uβ（h）=所有h的U∈ E、 存在一个▄u∈U和v∈ 因此，对于所有h，我们有β（h）=u+V+V∏Vβ（h∈ E、 因此∏Uβ（h）=U表示所有h∈ E、 表明∏Uβ在E.（ii）上是常数=> （i） ：选择U=V表示此含义⊥. 我们使用以下定义来表示定理1.1.3.2中的条件（2）。定义。

让V H是有限维子空间，设E H为asubset，设β：E→ H是映射。我们说∏（o，V）β在Eif上是常数，如果存在一个闭子空间U，那么H=U⊕ V和映射∏Uβ在E.3.3中是恒定的。评论根据引理3.1，定义3.2不取决于子空间U的选择。4、不变叶理在本节中，我们将给出关于C叶理的所需结果。一般数学框架见第2节。让V H为有限维子空间。在本节中，我们假设V是A-半不变的。根据引理2.3和2.4，这并不意味着限制。4.1. 定义。让k∈ Nbe非负整数。A系列（Mt）t∈子TSMT的R+ H、 t型∈ 如果存在映射ψ，则R+称为V生成的Ck叶理∈ Ck（R+；H），使得所有t的mt=ψ（t）+V∈ R+。在这种情况下，映射ψ被称为叶理（Mt）t的参数化∈R+。6 STEFAN Tapper对于以下内容，让（Mt）t∈R+是由V生成的C叶理。这是叶理不变性的形式定义。4.2. 定义。叶理（Mt）t∈对于所有t，对于SPDE（1.1）iff，R+称为不变量∈ R+和h∈ Mtwe有ro∈ Mt+o直到消失集，其中r表示（1.1）的弱解，r=h。为了准备下一个结果的符号，我们定义了联合M：=St∈R+Mt。此外，我们确定了直和分解H=U⊕ hilbert空间H的V与闭子空间U，表示为∏U:H→ U和∏V:H→ V相应的投影。4.3. 定理。以下陈述是等效的：（i）叶理（Mt）t∈对于SPDE（1.1），R+不变。（ii）满足以下条件：V为A-不变（或等效：V D（A）），（4.1）∏Uα在Mt上是常数，对于每个t∈ R+，（4.2）σk（M） 五、 k=1。

，m，（4.3）和弱解ψ：R+→ H到H值PDE（dψ（t）dt=Aψ（t）+∏Uα（ψ（t））ψ（0）=U，（4.4），其中U∈ U表示唯一元素，使得M∩ U={U}，是叶理（Mt）t的参数化∈R+。在提供证据之前，我们准备了一个辅助结果。4.4. 引理。假设条件（4.1）–（4.3）已满，并设ψ：R+→ Hbe PDE的弱溶液（4.4）。那么，不管怎样∈ R+和所有v∈ 以下陈述是正确的：（1）SDE（dYt=（AYt+πVα（ψ（t+t）+Yt））dt+σ（ψ（t+t）+Yt-)dXtY=v（4.5）具有唯一的v值强解。（2） 过程r：=ψ（t+o）+Y是r=h的SPDE（1.1）的弱解，其中h：=ψ（t）+v.Proof。第一项声明来自（4.1）和（4.3）。为了证明第二个陈述，让ξ∈ D（A*) 要专横。然后，通过（4.4）和（4.2），我们得到hξ，ψ（t+t）i=hξ，ψ（t）i+hξ，ψ（t+t）- ψ（t）i=hξ，ψ（t）i+Zt+tt哈*ξ、 ψ（s）i+hξ，∏Uα（ψ（s））ds=hξ，ψ（t）i+Zt哈*ξ、 ψ（t+s）i+hξ，∏Uα（ψ（t+s）+Ys）ds，t∈ R+。A随机集A Ohm如果集合{ω，×R+称为消失∈ Ohm : （ω，t）∈ A代表一些t∈ R+}是一个P-空集，参见[14，1.1.10]。随机偏微分方程的仿射实现7此外，通过（4.5），我们有hξ，Yti=hξ，vi+Zt哈*ξ、 Ysi+hξ，∏Vα（ψ（t+s）+Ys）ids+Zthξ，σ（ψ（t+s）+Ys-)idXs，t∈ R+。因此，我们得出athξ，rti=hξ，hi+Zt哈*ξ、 rsi+hξ，α（rs）ids+Zthξ，σ（rs-)idXs，t∈ R+，表明R是（1.1）的弱解，R=h。定理4.3的证明。（一）=> （ii）：设d：=尺寸V，设φ：R+→ 叶理参数化（Mt）∈R+。根据[21，引理2.10]，存在ζ，ζd∈ D（A*) 和同构T:Rd→ V使T-1=hζ，oi，其中我们使用符号hζ，hi：=（hζ，hi，…）。