从小型市场到大型市场

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英文标题：
《From small markets to big markets》
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作者：
Laurence Carassus and Miklos Rasonyi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study the most famous example of a large financial market: the Arbitrage Pricing Model, where investors can trade in a one-period setting with countably many assets admitting a factor structure. We consider the problem of maximising expected utility in this setting. Besides establishing the existence of optimizers under weaker assumptions than previous papers, we go on studying the relationship between optimal investments in finite market segments and those in the whole market. We show that certain natural (but nontrivial) continuity rules hold: maximal satisfaction, reservation prices and (convex combinations of) optimizers computed in small markets converge to their respective counterparts in the big market.
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中文摘要：
我们研究了一个大型金融市场最著名的例子：套利定价模型，在该模型中，投资者可以在一个周期内进行交易，其中有可数目的资产接受因子结构。我们考虑在这种情况下期望效用最大化的问题。除了在比以前的论文更弱的假设下建立优化器的存在性之外，我们还继续研究有限市场细分中的最优投资与整个市场中的最优投资之间的关系。我们证明了某些自然（但非平凡）连续性规则是成立的：在小市场中计算的最大满意度、保留价格和（凸组合）优化器在大市场中收敛到各自对应的优化器。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-6-24 08:57:26 上传

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关键词：establishing Quantitative relationship satisfaction Optimization

从小市场到大市场*Mikl\'os R\'asonyi+2020年10月6日摘要我们研究了一个大型金融市场最著名的例子：随机定价模型，在该模型中，投资者可以在一个周期内进行交易，可数的多个资产承认一个因素结构。我们考虑在这种情况下最大化预期效用的问题。除了在较前几篇论文较弱的假设下确定优化器的存在外，我们还继续研究有限细分市场的最优投资与整个市场的最优投资之间的关系。我们证明了某些自然（但非平凡）连续性规则是成立的：在小市场中计算的最大满意度、保留价格和（凸组合）优化器在大市场中收敛到各自对应的优化器。关键词：套利定价理论、大市场、预期效用最大化。MSC分类：初级93E20、91 B70、91B16；次级91G10，46B09.1介绍套利定价理论（APT）由【20】提出，目的是从备选假设中得出资本资产定价模型的结论（见【15，22】）。这些引人注目的结论对经验工作有着巨大的影响，但它们在某种程度上掩盖了[20]中提出的极具创造性的模型。数学金融随后提出了拥有数不清资产的市场的概念，大型金融市场理论于[10]建立，并在[11、13、14、12、5]中进一步发展，仅举几例。

为了通用性，在绝大多数相关论文中都假设了连续阅读，这再次盖过了文献[20]的原始背景。尽管大型金融市场的套利理论在连续时间内得到了令人满意的研究，但其他关键话题——如效用最大化或超级复制——只得出了可疑的结论*莱昂纳德·德芬奇·普罗莱大学研究中心，法国巴黎爱芬斯和LMR，法国兰斯香槟阿登大学，2011年。电子邮件：laurence。carassus@devinci.fr+匈牙利布达佩斯阿尔弗雷恩伊数学学院。电子邮件：rasonyi@renyi.mta.huunsettled问题。上述参考中考虑了很多资产的投资组合，缺少了涉及可能所有资产的战略的自然定义。广义d投资组合被引入（见[7、5、16]）具有众多资产的投资组合的合理限制。然而，他们缺乏明确的经济解释。在APT中（目前仅在该模型中）[18]引入了一个简单的概念，即我们将在本文中使用的所有资产中的投资组合。在[4]中，我们证明了假设所有小市场都没有套利，并且在可积性条件下，对于大量资产所述的无套利条件也是成立的。在同一篇文章中，作者得到了未定权益追加使用成本的对偶表示。在本文中，我们研究了w孔r e al线上效用函数的最优解的存在性（正实轴情况在[4]中处理），并放宽了[18，19]中施加的一些相当严格的条件。

从理论和计算的角度来看，弄清有限市场和整个市场的投资之间的关系至关重要。在我们的设置中，预计在有限市场中的价值函数与在大型市场中的价值函数一样具有表现性。考虑到不同的价格，这些也应随着资产数量的增加而趋同。虽然这些事实是直观的，但迄今为止还没有正式的证明。我们在下面的定理3.9和推论3.11中证明了这些因素。我们还证明了金融市场中最优投资组合的某些凸组合具有渐近性能，并且是总体最优组合。文献[2，3]给出了超边缘和均值方差套期保值的渐近结果。在效用最大化的背景下，第一个这样的结果是[18]中的第5.3条，其中表明在有限的市场中存在一系列的战略，其价值收敛于最佳价值。然而，该文件假设，资产价格变化可能会带来任意大的负值和正值，这是一个相当强的要求。在当前工作更宽松的条件下，我们还证明了此类序列的存在，此外，它们可以被选择为有限市场优化器的平均值，见下面的定理3.9。第2节介绍了模型并回顾了[4]中的一些有用结果。第3节包含主要贡献：效用最大化的存在性和从小市场到大市场的矛盾。2大型市场模型(Ohm, F、 P）是概率空间。我们考虑一个两阶段套利定价模型。对于任何i≥ 1，将资产收益率i设为i=(R)βi（εi- bi），1≤ 我≤ m；Ri=mXj=1βji（εj- bj）+βi（εi- bi），i>m，其中（εi）i≥1是随机变量和（(R)βi）i≥1、（bi）i≥1，（βji）i>m，1≤j≤玛丽·康斯坦斯。

我们参考【10、17、19】，以进一步讨论该模型。假设2.1。（εi）i≥1是平方可积的独立随机变量，满足E（εi）=0，Eεi= 1，我≥ 1、我们考虑使用潜在大量资产和财产的策略l:=（（hi）i≥1，你好∈ R、 我≥ 1.∞Xi=1hi<∞)这是一个具有| | h范数的希尔伯特空间||l:=聚丙烯∞i=1高。让我(Ohm, F、 P）：={X：Ohm → R、 E | X |<∞} （从现在起用L（P）表示），这也是一个希尔伯特空间，其范数为| | X | | L：=pE（| X |）。对于h∈ l,letΦ（h）：=P∞i=1hiεi，其中Φ（h）的有限和必须理解为有限序列es（Pni=1hiεi）n的L（P）限值≥那么Φ是等距l至L（P）。假设2.2。我们有kbkl< ∞.根据假设2.2，我们有（见[4]中的（5）），即∞Xi=1hi（εi- bi）！≤ （1+kbkl)khk公司l< ∞, （1） 我们可以再次考虑有限和hh，ε- bi：=P∞i=1hi（εi- bi）。注意e（| hh，ε- bi |）≤qE（hh，ε- bi）≤q1+kbklkhk公司l.时间1的（自融资）值，可从x开始，使用策略h获得l有很多资产由vx给出，h：=x+hh，ε- bi。假设2.3。就我而言≥ 1，P（εi>bi）>0，P（εi<bi）>0。修复N≥ 1、利用文献[4]中的引理3.4，在假设2.1和2.3下，存在一些αN∈ （0，1）使得对于每（h，…，hN）∈ RNsatisfyingPNi=1hi=1我们有pnxi=1hi（εi- bi）<-αN！>αN.（2）该条件是在具有N个随机源的任何“小型市场”上所谓的定量无套利条件，众所周知，该条件与资产为R的实体市场的等价市场测度的存在是等价的，RN（见[6]和[8]）。然而，我们需要整个市场鞅测度的存在性，甚至需要鞅密度的充分可积性。我们说EMM2是真正的ifM：=Q~ P、 dQdP∈ L（P），等式（εi）=bi，我≥ 1.6= .

（3） 不幸的是，假设2.1、2.2和2.3不足以确保EMM2成立（见[17]中的命题4]）。因此，我们还制定了以下技术条件。假设2.4。我们有那个SUPI≥1E级|εi|< ∞. （4） 引理2.5。根据假设2.1、2.3和2.4，假设2.2<==> EMM2。（5）证明。这是[17]中的推论1。下面的引理2.6断言，上述定量无套利条件在大型市场中也适用。引理2.6。假设假设2.1、2.2、2.3和2.4成立。然后存在一些α>0，这样对于所有h∈ l令人满意的khkl= 1P（hh，εi<-α) > α.证据这就是[4]中的3.14号提案。备注2.7。如果Q∈ 管理信息系统，以便dQ/dP∈ 如果假设2.2保持不变，则等于V0，小时= 所有h为0∈ l, 见【4】的备注3.4。下面的引理2.8将用于定理3.8和3.9，以显示一致可积性。引理2.8。假设假设2.1和2.2成立，supi≥1E |εi |γ<∞ 对于某些γ≥ 那么有一个常数Cγ，对于所有h∈ lE | hh，ε- bi |γ≤ Cγkhkγl（1+kbkγl).证据这是引理3.10，在【4】中。备注2.9。设0<λ<γ，c>0。固定h∈ l, khk公司l≤ c、 利用假设2.4，Holder不等式和引理2.8，我们得到了ny a∈ F、 E（| Vx，h |λA）≤ 2λ-1 | x |λP（A）+2λ-1E（| hh，ε- bi |λA）≤ 2λ-1 | x |λP（A）+2λ-1（E（| hh，ε- bi（γ））λ/γ（P（A））1/q≤ 2λ-1 | x |λP（A）+2λ-1cλ（Cγ（1+kbkγl))λ/γ（P（A））1/q，其中q是γ/λ的共轭。因此，假设2.4的一个重要结果是，对于任何c>0和0<λ<3{| Vx，h |λ，h∈ l, khk公司l≤ c} 是统一整数。最后，我们回顾了功能分析的一个重要概念。对于每个范数有界序列ξn，Banach空间B具有Banach-Saks性质∈ B、 n个∈ N、 存在子序列nk，k∈ 使相应的算术平均值ξN+…+ξnk-1k收敛于B的范数。

文献[1]证明了lpt空间具有这个性质。在本文中，我们将把这个结果应用于希尔伯特空间l.3效用最大化通过凹增效用函数U来模拟经济主体的偏好是标准的（见【21】）→ R是一个凹的严格递增可微函数，而对于某些x∈ RU（x）=0，U′（x）=1。（6） 对于索赔G∈ 土地x∈ R、 我们定义（U、G、x）：=h类∈ l, 欧盟-（Vx，h- G） <+∞.从初始财富x开始，在交付持续索赔G时，确定最终日期的预期效用上限∈ R、 byu（G，x）：=suph∈A（U，G，x）EU（Vx，h- G） 。（7） 定理3.8和3.9中需要以下假设。假设3.1。存在so me常量C∈ (0, ∞), C∈ R+和β>1，因此对于所有x≤ x | U（x）|≥ C | x |β- C、 假设3.2。存在so me常量C∈ (0, ∞), C∈ R+和γ≥ max（β，2），使得对于所有x∈ 俄罗斯-（十）≤ C | x |γ+Candsupi≥1E[|εi |γ]<∞. （8） 假设3.3。我们有G≥ 0 a.s.且满足| E（U（x- G） ）|<+∞,对于所有x∈ R、 备注3.4。只要G是非负的、可测量的和有界的，就满足假设3.3。定义（x）：=-δ[（x+1）-δ- 1] 1{x>0}-β[(1 - x） β- 1] 1{x≤0}对于某些β≥ 2和δ>0。那么U是凹的，严格递增的，连续可微的，它满足假设3.1和3.2≥1E级|εi |β< ∞. 请注意，假设2.4意味着（8）当2≤ β ≤ 3、备注3.5。设U为凹形，严格递增且可区分，满足假设3.1、3.2和3.3。那么（6）实际上对U没有任何限制。实际上，由于U不能是常数，所以存在x∈ R使得U′（x）>0。定义neV（x）：=U（x）U′（x）-U（x）U′（x），明显满足（6）。此外，| V（x）|≥CU′（x）| x |β-CU′（x）-|U（x）| U′（x），x≤ 十五-（十）≤CU′（x）| x |γ+CU′（x）+U+（x）U′（x），x∈ R | E（V（x- G） ）|≤|E（U（x- G） ）| U′（x）+| U（x）| U′（x）<∞.因此，假设3.1、3.2和3.3适用于V。

可以将下面的定理3.8、3.9和定理3.11应用于V，然后也可以推导出U的这些模拟结果。下面的引理将用于定理3.8和3.9的证明。引理3.6。假设假设2.2成立，假设G≥ 0 a.s.然后所有y∈ R和h∈ lU+（y+hh，ε- bi公司- G）≤ |x |+| y+hh，ε- bi |。（9） 证明。随着U的增加、凹进和可区分，回忆起（6），我们得到了所有y∈ R、 U（y）≤ U（最大（x，y））≤ U（x）+最大值（y- x、 0）U′（x）≤ 最大值（y- x、 0）≤ |y- x |≤ |y |+| x |。让h∈ l, 我们得到u+（y+hh，ε- bi公司- G）≤ U+（y+hh，ε- bi）≤ U+（y+hh，ε- bi）1y+hh，ε-bi公司≥x+U+（x）1y+hh，ε-bi<x=U（y+hh，ε- bi）1y+hh，ε-bi公司≥x个≤ |x |+| y+hh，ε- bi |。引理3.7断言（7）的最优解必须是有界的。引理3.7。假设假设2.1、2.2、2.3、2.4、3.1和3.3成立。让x∈ R、 存在一些常数Mx，G>0，如果h∈ lsatis fieskhk公司l> Mx，g然后0策略的性能优于h，即EU（x- G） >EU（x+hh，ε- bi公司- G） 。证据让x∈ R和h∈ l. 从Le mma 2.6中回忆α>0。作为b∈ l, 存在一些nα≥ 1以便圆周率≥nα+1bi1/2≤ α/2. Leth：=（h，…，hnα，0，…）和b=：（b，…，bnα，0，…）h：=（0，…，0，hnα+1，…）和b=：（0，…，0，bnα+1，…）。从具有nα资产（se e（2））的市场中的无套利条件来看，存在αnα，使得P（A）>αnα，其中A：={Pnαi=1hi（εi- bi）<-αnαkhkl}.设B：=nPi≥nα+1hiεi≤ -αkhklothen P（B）>α（回忆引理2.6）。Ashe（εi）i≥1是独立的，我们得到P（A∩ B） =P（A）P（B）>αnα。OnA公司∩ B、 hh，ε- bi=hh，ε- bi+hh，ε- bi公司≤ -αnαkhkl- αkhkl- hh，bi≤ -αnαkhkl- αkhkl+ kbk公司lkhk公司l≤ -αnαkhkl- αkhkl+ α/2khkl≤ -α（khkl+ khk公司l),其中α=inf（αnα，α/2）。因此P（hh，ε- bi<-α（khkl+ khk公司l)) > αnα。假设khkl+ khk公司l≥ 最大值x个-xα，| x |α.

然后应用引理3。假设3.1，我们得到了tEU（Vx，h- G）≤ EU（x+hh，ε- bi）≤ EU（x+hh，ε- bi）1hh，ε-bi公司<-α（khkl+khk公司l)+EU+（x+hh，ε- bi）1hh，ε-bi公司≥-α（khkl+khk公司l)≤ U（x-α（khkl+ khk公司l))αnαα+| x |+E | x+hh，ε- bi+hh，ε- bi公司|≤ U（x-α（khkl+ khk公司l))αnαα+| x |+| x |+k hklq1+kbkl+khk公司lq1+kbkl≤-Cα（khkl+ khk公司l) - x个β+Cαnαα+| x |+| x |+（khkl+ khk公司l)q1+kbkl≤-Cαβ（khkl+ khk公司l)β+Cαnαα+| x |+| x |（khkl+ khk公司l)q1+kbkl.因为U（x- α（khkl+ khk公司l)) ≤ U（x）=0和α（khkl+ khk公司l) - x个β≥α（khkl+ khk公司l) - |x个|β=α（khkl+ khk公司l) - |x个|β≥αβ（khkl+ khk公司l)β.假设（khkl+ khk公司l)q1+kbkl-Cαnααβ（khkl+ khk公司l)β< 0-Cαβαnαα（khkl+ khk公司l)β+| x |+| x |+Cαnα<-|欧盟（x- G） |≤ 欧盟（x- G） ，如果khkl+ khk公司l>Mx，G，其中Mx，G：=最大值|x |+| x |+Cαnα+| E（U（x- G） ）| Cαnαββ,q1+kbklCαnααββ-1..然后，设置Mx，G：=最大值x个-xα，| x |α，Mx，G, 如果khkl+ khk公司l> Mx、G、EU（Vx、h- G） <欧盟（x- G） （10）因此，策略0的性能优于h。因此，khkl> Mx，Gimplies（10）sincekhkl=khk公司l+ khk公司l≤ khk公司l+ khk公司l.现在，我们展示我们的第一个主要结果。我们建立了效用最大化问题的优化器的存在性。在[19]中，这被认为是εi的均匀有界指数矩。在[18]中，力矩条件很弱，但假设所有εi都是任意大的ge负值和正值。在这里，我们不需要后一种假设和mer elyassume（4）和（8）。定理3.8。假设假设2.1、2.2、2.3、2.4、3.1、3.2和3.3倍tru e。让x∈ R、 存在h*∈ A（U，G，x）使得U（G，x）=EU（Vx，h*- G） 。证据让x∈ R和let hn∈ A（U，G，x）是一个序列，如tEU（Vx，hn- G）↑ u（G，x），n→ ∞.如果khnkl> Mx，G，然后使用引理3.7，我们可以用0代替hn，仍然有一个最大化序列。

所以一个人可以做一个支撑∈Nkhnk公司l≤ Mx，G<∞.因此为l如果具有Banach-Saks属性，则存在子序列（nk）k≥1和一些h*∈ l这样forehn：=nPnk=1hnkkehn- h类*kl→ 0，n→ ∞.使用（1），我们得到thatEhehn- h类*, ε - bi公司≤ 科恩- h类*kl（1+kbkl) → 0，当n时→ ∞. 尤其是hehn- h类*, ε - bi公司→ 0，n→ ∞ 在概率上。Hencealso U（Vx，ehn- G）→ U（Vx，h*- G） 在概率上由U的连续性决定。我们声称U+（Vx，ehn- G） ，n∈ N是一致可积的。实际上，从（9）U+（Vx，ehn- G）≤ |x |+| Vx，ehn |。我们知道supn∈恩肯克l≤ Mx，G<∞. 因此，从假设2.4（见引理2.8和备注2.9），我们得到{U+（Vx，ehn- G） ，hn∈ l, 克恩克l≤Mx，G}是一致可积的。Fatou引理用于-U-意味着-U-（Vx，h*- G）≥ lim支持→∞E-U-（Vx、ehn- G）,一致可积性保证了limn→∞EU+（Vx，ehn- G）= EU+（Vx，h*- G）.因此，通过UEU（Vx，h）的凹度*- G）≥ lim支持→∞EU（Vx、ehn- G）≥ 画→∞欧盟（Vx，hn- G） =u（G，x），一旦我们显示h，w的过程就会完成*∈ A（U、G、x）。根据假设3.2和Le mma 2.8，欧盟-（Vx、ehn- G）≤ CE | Vx，ehn- G |γ+C≤ Cγ-1（| x |γ+E |<ehn，ε- b>γ）+ C≤ Cγ-1.|x |γ+CγMγx，G1+kbkγl+ C=：K.（11）用于u的Fato u引理-意味着U-（Vx，h*- G）≤ lim信息→∞EU-（Vx、ehn- G）≤ K、 我们现在考虑只有随机源（εi）1的小市场n中的优化问题≤我≤n、 乐坛（U、G、x）：=h类∈ l, hi=0，我≥ n+1，欧盟-（Vx，h- G） <+∞.注意An（U，G，x） An+1（U、G、x） . . .  A（U、G、x）。我们设定为n∈ Nun（G，x）：=suph∈An（U，G，x）EU（Vx，h- G） 。（12） 现在，我们得出了pape r的主要信息：小市场的优化问题与大市场上的优化问题在本质上是一致的。定理3.9。假设假设2.1、2.2、2.3、2.4、3.1、3.2和3.3倍真实值。然后对于每个x∈ R、 我们有un（G，x）↑ u（G，x），n→ ∞.让h*nbe（12）的最优解。